[ Baccalauréat STI Antilles–Guyane juin 2000 \ Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux
Durée : 4 heures Coefficient : 4
EXERCICE1 4 points
Une enquête a été effectuée auprès de 450 jeunes titulaires d’un baccalauréat d’enseignement général ou technique, 3 ans après l’obtention de leur diplôme :
• 20 % sont titulaires d’un bac STI ;
• le tiers des 450 jeunes interrogés ont un emploi ;
• 220 continuent leurs études ; parmi eux, 15 % sont titulaires d’un bac STI ;
• 95 % de ceux qui sont au chômage sont titulaires d’un bac autre que STI.
1. Recopier et compléter le tableau des effectifs suivant :
Nature du Bac
Situation
Ont un emploi Continuent leurs études
Sont au chômage Total Bac STI
Autre Bac
Total 220 450
2. Dans cette question, les résultats seront donnés sous forme de fractions irréductibles.
On choisit un jeune au hasard parmi les 450 interrogés.
a. Calculer les probabilités des évènements suivants : A: « le jeune a un bac STI » ;
B: « le jeune continue ses études ».
b. Définir par une phrase l’évènementA∩B.
Déterminer la probabilité de l’évènementA∪B.
c. Définir par une phrase l’évènementA∪B.
Déterminer la probabilité de l’évènementA∪B.
d. le jeune choisi au hasard est titulaire du bac STI. Quelle est la probabilitéppour qu’il ait un emploi ?
EXERCICE2 4 points
le plan complexe est muni d’un repère orthonormal¡
O ;→−u,−→v¢
d’unité graphique 2 cm.
On désigne par A le point d’affixeZA=2+ip 2.
1. Résoudre dans l’ensemble des nombres complexes l’équation : z2+2p
2z+6=0.
On appellezBla solution de cette équation dont la partie imaginaire est positive.
Placer dans le plan complexe les points A et B d’affixes respectivesZAetZB. 2. Montrer que les points A et B appartiennent au cercle (C) de centre O et de rayonp
6.
3. Soient I, J et K les points d’affixes respectiveszI,zJetzKtelles que :
• zI=2i ;
• zJest le nombre complexe de module 2 et d’argument 3π 4 ;
• zK= −zJ.
Baccalauréat STI Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux A. P. M. E. P.
a. Donner la forme algébrique dezJ.
b. Placer les points I, J et K dans le plan complexe.
Quelle est la nature du triangle IJK ? Justifier.
Donner le rayon du cercle (C′) circonscrit au triangle IJK.
4. Soit E l’ensemble des pointsMdu plan dont l’affixezvérifie la relation : 2< |z| <p
6.
a. Tracer les cercles (C) et (C′).
b. Représenter l’ensemble E sur le graphique précédent à l’aide de hachures.
Justifier.
PROBLÈME 12 points
le but de ce problème est d’étudier la fonctionf définie surRpar : f(x)= −e2x+4ex−7
4.
On désigne parCla courbe représentative def dans le plan muni d’un repère orthonormal¡
O ;−→ı,→−¢ (unité graphique : 2 cm).
Partie A - Résolution d’une inéquation
1. Résoudre, dans l’ensemble des nombres réels, l’inéquation d’inconnuey:
−y2+4y−7 4Ê0
2. Déduire de la question précédente que l’ensemble des nombres réelsxtels que−e2x+4ex−7 4 est positif ou nul est l’intervalle
·
−ln 2 ; ln7 2
¸ . (On pourra poser : ex=y.)
Partie B - Étude de la fonctionf et tracé de sa courbe représentative 1. a. Déterminer la limite def(x) quandxtend vers−∞.
En déduire que la courbeC admet une asymptote∆dont on donnera une équation.
b. Montrer que :
f(x)=ex µ
−ex+4− 4 4ex
¶ . En déduire la limite def(x) quandxtend vers+∞.
2. a. Calculer la dérivéef′de la fonctionf. Montrer quef′(ln 2)=0.
b. Étudier le signe def′(x) pourxélément deRet en déduire le tableau de variations def. 3. a. Calculer les coordonnées de E, point d’intersection de la courbeC et de l’axe des ordon-
nées.
b. Déterminer une équation de la tangente T à la courbeC en ce point.
4. Reproduire et compléter le tableau de valeurs ci-dessous en donnant pourf(x), lorsque c’est nécessaire, des valeurs décimales arrondies à 10−2près.
x −4 −2 −1 0 ln2 1 3
f(x) 2
Antilles–Guyane 2 juin 2000
Baccalauréat STI Génie mécanique (B, C, D, E), des matériaux A. P. M. E. P.
5. Tracer avec précision la tangente T et la courbeC.
Partie C - Calcul d’aire
1. Déterminer une primitiveFde la fonctionf.
2. À l’aide de la partie A, étudier la position de la courbeC par rapport à l’axe des abscisses.
Préciser les coordonnées des points d’intersection deC et de l’axe des abscisses.
3. On noteAl’aire, exprimée en cm2, de la portion du plan limitée par la courbeC et l’axe des abscisses.
Calculer la valeur exacte deA, puis en donner une approximation décimale à 10−2près.
Antilles–Guyane 3 juin 2000
