• Indiquez NOM, PRENOM et numéro sur l’énoncé et le brouillon.
• L’examen se déroule de 17H00 à 20H30.
• Ne sont autorisés que le matériel d’écriture et de dessin éventuel (pas de calculette).
• Répondez dans les cadres prévus à cet effet (et au verso si vous manquez de place).
• Déposez votre carte d’étudiant (ou document d’identité) sur le banc.
• Attention : Indiquez les développements et justifications de vos réponses. Une réponse sans développement ou justification ne sera pas prise en compte !!!
Question 1 – Théorie /6
Q1.1
/2
Démontrez les 2 théorèmes de Coriolis exprimant la vitesse absolue et l’accélération absolue et ce pour un repère relatif à la fois en translation et en rotation.
Q1.2
/1
/1
1. Donnez l’équation différentielle du mouvement d’un oscillateur linéaire amorti en expliquant brièvement ce que représente physiquement chacun des termes de l’équation.
2. Donnez la condition sur les paramètres qui différencie un amortissement fort d’un amortissement faible.
Q1.3
/1
/1
Entourez la bonne réponse (pas de pénalité en cas de mauvaise réponse)
1. Lorsqu’un point se déplace le long d’une courbe, la composante normale de l’accélération du trièdre de Frenet est :
a. strictement positive.
b. indéfinie.
c. strictement positive ou indéfinie.
d. autre possibilité.
2. Le mouvement d’un oscillateur harmonique est défini par une période qui vaut : a.
b.
c.
d.
e. Autre solution.
Question 2 – Cinématique /3
Un tube de section circulaire de rayon dont la ligne médiane est celle d’un demi-cercle de rayon sur un tronçon conduit un liquide comme indiqué sur la figure 1. Le débit du liquide est imposé. Ce tube tourne autour de l’axe avec un angle formé par l’axe x du repère absolu, et l’axe r du repère en coordonnée cylindrique lié au tube.
_
1θ
_
1r
_
1z
_
1r
_
1θ
_
1z
_
1x
_
1y
θ
R
Figure 1
On suppose que la vitesse et l’accélération du liquide sont constantes sur la section du tube. (Attention : le débit n’est pas constant au cours du temps !)
Le point C se trouve sur la ligne médiane à un angle de 45° par rapport à l’axe z.
Q2.1
/1
Á l’instant où une molécule de liquide passe par le point C, on demande de représenter sa trajectoire d’entrainement.
Un cercle de rayon √
dont l’axe de symétrie est l’axe z et dont le centre se situe en 0 , 0, √.
Q2.2
/1
Exprimez la vitesse et l’accélération relative du liquide au point C, exprimées en coordonnées cylindriques liées au tube.
√2 2 1"# √2
2 1"$%
&' √2
2 1"# √2
2 1"$%
(√2
2 1"# √2 2 1"$)
Q2.3
/1
Exprimez les vitesses et accélérations absolues en fonction des différents paramètres dans le repère de coordonnées cylindriques lié au tube.
*+ ' 1"$
,-. *+ / 0""""" # 12 ' √2
2 1"3#
√2
2 1"#√2 2 1"$%
&,-.4 ,-.
4 ' √22 1"#' √2
2 1"# √2
2 1"$% 2' √2
2 1"3
(√2
2 1"# √2 2 1"$)
Question 3 – Dynamique /2
Une sphère de masse 5 est fixée à un ressort qui ne peut se déformer que axialement (pas de fléchissement).
Le ressort a une longueur libre 6 et une constante de rappel 7. La masse du ressort est négligeable devant celle de la sphère.
θ
Figure 2 Q3
/2
On vous demande de donner les équations différentielles du mouvement en utilisant et comme coordonnées généralisées permettant de déterminer la position de la sphère (Ne pas résoudre les équations !).
012
""""" 1"
,-.40"""""12
4 ' 1"# ' 1"3
&,-.40"""""12
4 8 1"# 2'' 1"3# 8 1"3 ' 1"
5 &,-. 598 1"# 2'' 1"3# 8 1"3 ' 1": 5;cos 1" sin 1"3 7 61"
A598 ': 5; BCD 7 6 592'' # 8 : 5; DEF G
Question 4 - Potentiel /3 Soit un système constitué de deux tiges pesantes (HI et IJ), de masse 5 et de longueur 2K chacune, articulées en I, et d'un manchon pouvant glisser sans frottement le long de la tige verticale fixe L0, et soumis à l'action d'un ressort fixé en 0. La tige AC est liée au manchon par une articulation au point B. Les extrémités H et J sont astreintes à se déplacer dans un guide horizontal poli. De plus, l'extrémité J est soumise à l'action d'un second ressort fixé en J. Le ressort L0 a une longueur libre K, celle du ressort JM est nulle. Les coefficients de rappel des deux ressorts sont liés par 7N 97 7.
Q4.1
/1
Exprimez le potentiel du système en fonction de , K, 7.
Voir syllabus ex. 23 ch. 4
Q4.2
/1
Déterminez à l'équilibre par la méthode du potentiel.
Voir syllabus ex. 23 ch. 4
Q4.3
/1
Déterminez les conditions pour que le système soit en équilibre stable pour ces positions d’équilibre.
Voir syllabus ex. 23 ch. 4
Question 5 - Dynamique /2
Une attraction d’un expérimentarium consiste en une chambre circulaire faites pour tourner autour de son axe de symétrie, elle tourne autour de celui-ci à une vitesse angulaire ' constante (voir figure 3). Les personnes se placent contre les parois et y sont plaquées sous l’effet de la rotation. Différents objets sont à disposition afin d’expérimenter les effets des forces virtuelles d’inertie observées par les participants. Un de ceux-ci, collé au mur, lance une balle. Elle se trouve dans la position indiquée sur le schéma au moment d’intérêt N.
Figure 3
Q5.1
/1
On vous demande d’écrire en toute généralité l’expression des forces virtuelles d’inertie perçues par un observateur lié à un repère relatif (en translation et en rotation).
5 P Q R 5 PST 5 PUVV. Q R# RUV# RST
R"UV 5 &UV 5 2*+ /
RST 5&V1 # *+ / *+ / 0""""" # W / 012 """"" 12
Q5.2
/1
Indiquez sur le schéma pour le cas présent les différentes forces (y compris les forces virtuelles) agissant sur la balle à l’instant pour un observateur lié au repère tournant en exprimant clairement de quels termes il s’agit dans l’expression données précédemment.
v rel
v rel
mg Fcor
Fent
Fent
Question 6 - Dynamique /4
Deux points matériels A et B de même masse 5 sont reliés par un câble (de masse négigeable) comme indiqué sur la figure 3. Le bloc A est relié à un point fixe par l’intermédiaire d’un ressort de constante de rappel 7. Il se trouve dans sa position libre lorsque le point A se situe en X 0. Une force de frottement entre le bloc et le plan, de coefficient de frottement sec Y, est également présente.
Figure 4 Q6.1
/1
En 0, le câble reliant le point A au point B se rompt. Sachant que le système était au repos pour Z 0 et que les blocs avaient été placés de telle manière à ce que la force de frottement statique soit nulle, déterminez la condition sur Y pour que le ressort subisse une contraction lors de la première demi-oscillation.
1. Recherche de x(t=0)
5; # [ 0 [ 7X0 0 0
X 0 5;
7
2. Il faut que l’énergie potentielle du ressort soit plus importante que les pertes par frottement dissipées lorsque le bloc A se déplace entre la position initiale et x=0.
Y5;5;
7 Z7 2 \5;
7 ]
^ Y Z1 2
Q6.2
/1
Quelle est la position du bloc après la première demi-oscillation ?
Loi du mouvement (première demi-oscillation)
5X8 7X 0 Y5;
5K# 7 0
^ K _E`7
5 _E *6 Xa HBCD*6 # LDEF*6 Xb IN
7 IN Y5; 0 ^ IN Y5;
7
X 0 5;
7 H Y5;
7 ^ H 5;
7 Y 1 X' 0 L *' 6 0 ^ L 0
X 5;
7 Y 1 BCD*6 Y5;
7
XN 5;
7 1 2Y
Q6.3
/1
Supposons que la première condition soit remplie. Quelle est la condition sur Y pour que le bloc reparte pour une deuxième demi-oscillation ?
Il faut que la force du ressort soit plus importante que la force de frottement sec.
Y;5 7 XN Z 0 Y Z 1/3
Q6.4
/1
Cette condition étant remplie, quelle est l’équation du mouvement lors de la deuxième demi- oscillation ?
5X8 7X 0 # Y5;
