Pythagore/Relatifs/CalculLittéral CorrectionDevoirSurveillén˚3(Bilan)

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Correction Correction DS n˚3 (Bilan) - Quatrième - Octobre 2013

Correction Devoir Surveillé n˚ 3 (Bilan)

Pythagore/Relatifs/Calcul Littéral

Durée 1 heure - Coeff. 3

Exercice 1. QCM, sur cette feuille (4 points)

1. A= (−1)×(−2)×(−3)×· · ·×(−100)

est de signe positif

2. B = (−1)×(−2)×(−3)×· · ·×(−999)

est de signe négatif

3. Poura=−3, l’expression8−2×aest

égale à 14

4. Pourx=−2, l’expressionx²−2x+ 1

est égale à 9

5. La somme de deux termes négatifs est

toujours négative

6. Si M N² = M P²+N P², alors le tri-

angle MNP est rectangle en P

7.

b

A

b B

bC

4 cm 3 cm

Dans le triangle ABC ci-dessus ...

on ne peut pas calculerBC

8.

b

D

b E

b

F

4 cm 2 cm

Dans le triangle DEF ci-dessus ...

DE≈3,46cm

Exercice 2. Compléter sur cette feuille (4 points)

1. Compléter en donnant directement la forme réduite.

1. a. −3x+ 5−7x+ 1 +x²= x²−10x+ 6 1. b. −3x²+ 5x−7x+ 1 +x²= −2x²−2x+ 1 1. c. −x+ 5−7x²+ 1 +x²= −6x²−x+ 6

1. d. x²+x+ 1−2x²−2x−2 = −x²−x−1

2. Compléter en donnant directement la forme réduite sans les parenthèses.

2. a. 1−(2x+ 1) = 1−2x−1 = −2x 2. b. x−(−2x+ 1) =x+ 2x−1 = 3x−1 2. c. 1 + (2x+ 1) = 1 + 2x+ 1 = 2x+ 2 2. d. x+ (−2x+ 1) =x−2x+ 1 = −x+ 1

www.math93.com / M. Duffaud 1/4

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Exercice 3. Déjà vu (5,5 points)

b

A

b B

bC

b

D

13,5 4

1,5 14 On a :

• AC= 4cm ;

• AB= 13,5cm ;

• CD= 1,5cm ;

• BD= 14cm.

1. [3,5 points] Le triangle BCD est-il rectangle? 1. a. [2 points] CalculonsCB.

• Données.

Le triangleABCest rectangle enA. L’hypoténuse est donc le côté[CB].

• Le théorème.

Donc d’après lethéorème de Pythagore:

BC²=CA²+AB² BC²= 4²+ 13,5² BC²= 198,25 on a donc montré, cela sera utile lors du test ci-après, que :

BC²= 198,28 (1)

• Conclusion.

Et puisqueBCest une longueur, on a BC=√

198,25≈14,1cm à0,1cm près.

1. b. [1,5 point] Le triangle BCD est-il rectangle?

• Données.

Si le triangle BCD est rectangle, c’est en D car [BC] est le plus grand côté.

• Le test.

BC² = 198,25 d’après la relation (1) obtenue ci-avant BD²+DC² = 14²+ 1,5² = 198,25

• Conclusion.

On a donc égalité,BD²+DC²=BC².

De ce fait, d’après laréciproque du théorème de Pythagore, le triangle BCD est rectangle en D.

2. [2 points] On note H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Calculer AH (on donnera une valeur approchée au mm près).

• D’une part, puisque ABC est rectangle enAon a : Aire(ABC) =AB×AC

2 =13,5×4

2 = 27 cm²

• D’autre part, en considérant la base[BC]associée à la hauteur[AH]on a : Aire(ABC) =BC×AH

2 =

√198,25×AH

2 cm²

On peut donc écrire que :

√198,25×AH

2 = 27

p198,25×AH= 27×2 = 54 AH= 54

√198,25

AH= 54

√198,25 ≃3,8cm

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Exercice 4. Effectuer les calculs suivants (2,5 points)

1. Calculons en respectant les priorités opératoires : G= −2−3×4

10−2×(4−6) G= −2−12

10−2×(−2) G= −14

10−(−4) G=−14

14 donc

G= −14 14 =-1

2. Calculons en respectant les priorités opératoires :

H = (2−3)×4 + 1 (8−10)×2 + 5÷(2 + 3) H = (−1)×4 + 1

(−2)×2 + 5÷5 H =−4 + 1

−4 + 1 donc

H = −3

−3 =1

Exercice 5. Une expression sous différentes formes (4 points)

1. On considère l’expressionf définie par

f(x) = 2x²−5−(x²−2x−6) 1. a. [1 point] Calculons(f(−2).

f(x) = 2x²−5 −(x²−2x−6) f(−2) = 2(−2)²−5−

(−2)²−2×(−2)−6 f(−2) = 2×4−5 −

4−(−4)−6 f(−2) = 8 −5 −

4 + 4−6 f(−2) = 3 −2

donc

f(−2) = 1 1. b. [1 point]On a en supprimant les parenthèses

f(x) = 2x²−5−(x²−2x−6) f(x) = 2x²−5−x²+ 2x+ 6

donc après réduction

f(x) =x²+ 2x+ 1

1. c. [1 point]Pour calculerf(−2)avec l’expression de la question 1b) on obtient :

f(x) =x²+ 2x+ 1

f(−2) = (−2)²+ 2×(−2) + 1 f(−2) = 4 + (−4) + 1

On retrouve

f(−2) = 1

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2. On considère le programme de calcul, appelé aussialgorithme, suivant :

• Étape 1: Choisir un nombre ;

• Étape 2: Ajouter 1 au nombre choisi ;

• Étape 3: Multiplier le résultat obtenu à l’étape 2 par lui-même (c’est à dire le mettre au carré).

Algorithme 1

2. a. [1 point]Avec le nombre−2.

• Étape 1:−2;

• Étape 2:−2 + 1 =−1;

• Étape 3:(−1)×(−1) = (−1)²= 1

2. b. On retrouve bien le résultat des questions 1a) et 1c).

3. Bonus (2 points):Étrange non ? Est-ce vrai pour tous les nombres choisis ? Pourquoi ? On peut reprendre le programme avecx, un nombre quelconque :

• Étape 1:x;

• Étape 2:x+ 1;

• Étape 3:(x+ 1)×(x+ 1) = (x+ 1)²

Or on verra que l’on peut développer l’expression obtenue à l’étape 3

(x+ 1)²= (x+ 1)×(x+ 1) =x²+x+x+ 1 =x²+ 2x+ 1 On retrouve alors la forme réduite def(x)obtenue à la question 1b).