FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES FONDAMENTAUX DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE :

(1)

Chapitre 3

FORMULATION ANALYTIQUE DE PROBLEMES FONDAMENTAUX DE L'ACOUSTIQUE EN MILIEU FLUIDE :

LES LOIS FONDAMENTALES

Problème acoustique bien posé

Mouvement acoustique

http://www.kettering.edu/

~drussell/Demos/demos.html

1) inertie du système 2) élasticité du système

(compressibilité)

3) loi de "comportement"

z Limites du domaine

PFD : équation d'Euler div v≠0: équation de conservation de la masse

transformations adiabatiques, relation entre pet ρ(et s)

→ z Les trois équations fondamentales

Nature du coefficient de compressibilité

Domaine spatial

9conditions aux frontières 9condition de Sommerfeld

Domaine temporel 9conditions initiales

z Sources

z Loi de conservation de l'énergie

Equation de propagation

Paramètres et variables thermomécaniques (1/2)

z Les paramètres thermodynamiques d'un fluide

Propriétés du fluide

3 masse volumique ρ_E 3 pression "statique" P_E

3 température T_E

Nature du fluide

3 coefficient de viscosité de cisaillement µ

3 coefficient de viscosité de volume η

3 coefficient de conduction thermique λ

3 capacités calorifiques massiques C_p, C_v

3 coefficient γdu fluide γ= C_p/C_v

3 coefficient de dilatation isobare α

3 coefficient d'augmentation de pression isochore β 3 coefficients de compressibilité isotherme et adiabatique χ_S= χ_T/γ

Tous ces paramètres dépendent du point r et du temps t^→

Siles paramètres du fluide ne dépendent ni du point ni du temps, indice "E" indice "0"

Paramètres et variables thermomécaniques (2/2)

z Les variables fondamentales (écarts instantanés)

9 pression

9 masse volumique 9 vitesse particulaire 9 entropie 9 température

( )

r;t pr

( )

rr;t ρ

( )

r;t vr

r déplacement particulaire r

( )

rr;t ξ

( )

r;t sr r

( )

rr;t τ

Variations autour d'un état de référence "E" :

( ) ( ) ( )

( )

r;t T

( )

r;t T

( )

r;t t

; r S t

; r s

t

; r v t

; r v

t

; r t

; r

t

; r P t

; r p

E tot

r r r

r r r r rr

r r r

−

= τ

−

=

−

=

ρ

− ρ

= ρ

−

=

temps (s) P

_tot

P

_E

p

0 0 0 0 0

T S v P r ρ

fluide homogènedont les caractéristiques ne dépendent pas du temps

Variation élémentaire - Ecart instantané

z Variation élémentaire

( ) ( )

[ F t d t F t ]

lim F

d =

dt 0

+ −

→

( ) t d F F ( ) t F ( ) t

f

_F^F _E

E

= −

= ∫

( )

r;t dP P

( )

r;t P

( )

r;t

p tot E

P P tot E

r r

r =∫ = −

z Ecart instantané par rapport à une origine donnée F

_E

, à un instant donné

t F

F

_E

f

Application :

C

F(t)

t t + d t F(t + d t)

d F

∆F

Hypothèses dans la suite du cours

( ) ( )

( )

tot

( )

0 0 tot

0 tot

T t

; r T t

; r

S t

; r S t

; r s

v t

; r v t

; r v

t

; r t

; r

P t

; r P t

; r p

−

= τ

−

=

−

=

ρ

− ρ

= ρ

−

=

r r

r r r r r

r r

r

z Fluide homogène, dont les caractéristiques ne dépendent pas du tempsr

z Viscosité du fluide et conduction thermique négligées fluide au repos

3coefficient de viscosité de cisaillement µ 3coefficient de viscosité de volume η

3coefficient de conduction thermique λ ^négligés car transformations acoustiques (quasi) adiabatiques z Acoustique linéaire

3petites fluctuations autour d'un état d'origine

3équations limitées à l'ordre un des quantités acoustiques

(2)

Etat thermodynamique d'un fluide (1/2)

z Loi d'état

z Milieu bivariant : 2 variables thermodynamiques indépendantes

(

P ,V ,T

)

0 f tot tot tot = pression

volume massique : V_tot=1/ρ_tot température

Exemple : loi des gaz parfaits

0 MT V R Ptot tot− tot=

masse molaire constante des GP











 ρ

χ

−ρ

= β _tot

s tot tot tot tot

v

tot dP 1 d

P T S C d

tot s tot

tot 1 d

P

d ρ

χ

=ρ 2 tot

tot c d

P

d = ρ

s tot T tot

2 1

c =ρ χ

χ ρ

= γ entropie

χ_S= χ_T/γ= - (∂V/ ∂P)_S/ V

tot tot tot

v p tot tot

p

tot dP

P T

C T C T d S C

d β

− −

= ou

pression masse volumique température pression

z Transformations adiabatiques : pas d'échanges de chaleur δQ_tot= 0 or δQ_tot= T_totd S_tot d S_tot= 0

c.à.d avec

célérité adiabatique

Etat thermodynamique d'un fluide (2/2)

tot 2

tot c d

P

d = ρ

s tot T tot

2 1

c =ρ χ

χ ρ

= γ

z Transformations adiabatiques avec

célérité adiabatique 9cas de l'acoustique linéaire

T E T

tot

constante χ ρ

= γ χ ≈

ρ

γ ⌡

⌠ ρ

χ ρ

= γ

⌡

⌠ ^ρ

ρ tot

E tot

E

tot T E P

P dPtot d

(

tot E

)

T E E

tot P

P ρ −ρ

χ ρ

= γ

−

p ρ

c.à.d

9cas de l'acoustique linéaire + fluide homogène ne dépendant pas du temps

ρ_E= ρ₀ ρ

χ ρ

= γ

T 0

p

ρ

=c²₀ p

T 0

c0

χ ρ

= γ célérité adiabatique du son

≈344,8 m/s dans l'air

Types de sources (1/3) : sources volumiques

z sources de forces

z source de chaleur z sources de débit

V

molécules ajoutées ou ôtées

( ) r ; t F r

( ) r ; t q r

( ) r ; t h r

force fluctuante par unité de masse

débit massique

quantité de chaleur par unité de masse et par unité de temps

δW = 0

Phénomène adiabatique

P

V

ˆ p 1 β γ

−

=γ τ

τ_max τmin= -τmax

τmax

τmin

λ/2

dt h S d

T =

0 S d

T =

Hors sources :

ρ

=c²0

p

En présence de sources :

source de chaleur

instant t₀ instant t₀+ π/ω

τ_max τ_min π/ω

0

~V>

δ ~δP<0 ~δτ<0

~τ>0

~P>0 δ 0 δ

~V<

δ

Effet de source

P

δW < 0

Energie échangée entre la particule et la source, sous forme de travail (force, débit) ou de chaleur

V

0

~V>

δ ~δP<0 ~δτ<0

~τ>0

~P>0 δ 0 δ

~V<

δ

τmax

τmin

λ/2

τ_max τ_min

π/ω la particule restitue

plus d'énergie sous forme de travail qu'elle n'en a reçu

la particule récupère moins d'énergie sous forme de travail qu'elle n'en a restitué

Schéma de principe de l'effet d'une source de chaleur

Un moyen de réaliser ce processus est de maintenir un

gradient de température statique suffisamment élevé et de prévoir la relation de phase entre la pression acoustique et le déplacement telle que la situation

schématique qui précède soit réalisée dans son principe.

particule comprimée particule détendue

¾Particule dans son état de volume minimum, de pression acoustique maximum, de température maximum

¾Apport extérieur de chaleur positif (augmentation consécutive de son énergie interne et de sa pression)

Q_h>0 Q_c>0

¾Absorbe moins d'énergie acoustique au cours de sa compression qu'elle n'en restitue au cours de sa détente

¾Augmentation de

l'énergie acoustique par conversion d'énergie calorifique en énergie acoustique

¾Particule dans son état de volume maximum, de pression acoustique minimum, de température minimum

¾Cède de la chaleur à l'extérieur Qc>0 (diminution consécutive de son énergie interne et de sa pression)

(3)

Types de sources (2/3) : sources de surface

carreaux

amont aval

z Haut-parleurs sur les parois

z Surface vibrante

( ) r ; t

u r

- sources de forces - sources de débit - sources de chaleur

n r

0 nr0

source S

Σ

V Σ

( )

r;t

fˆr et sont des sources non locales (non "ponctuelles")uˆ

( )

rr;t

9 instruments de musique sur une scène

9 sources aérodynamiques 9 gyromètre acoustique 9 ...

sources surfaciques (sources de débit dans la suite)

( ) ^r ^; ^t

uˆ r

_:

9 haut-parleurs sur une paroi 9 surface vibrante 9 machine dans un atelier 9 ...

Types de sources (3/3) ( ) r ; t

fˆ r

: sources volumiques proportionnel à div F, ∂→ _tq ou ∂_th

z Mouvement acoustique

http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/demos.html

1)inertie du système 2)élasticité du système

(compressibilité)

3)loi de "comportement"

PFD : équation d'Euler div v≠0: équation de conservation de la masse

transformations adiabatiques, relation entre pet ρ(et s)

→

z Nature du coefficient de compressibilité

Les trois équations fondamentales

Une combinaison de ces trois équations fondamentales permet d'obtenir l'équation de propagation

z Résultante dynamique

z Résultante des forces extérieures

(

ext

)

Frvol Frs

+

=

→ → R V

Traduction de l'inertie : équation de propagation (1/4)

O

x

₁

x

₂

x

₃

R

0

M

dV →

F

Σ V

z PFD pour les résultantes

(

→V

)

=

(

V R

)

∀V

→

, / d

ext 0

R r

( )

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ

=

V

V R

V d

t d

v / d

d 0 tot ^tot

r r

force de volume

force de surface somme des forces extérieures

exercées sur le volume dV. dFr=ρtotFrdV

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ

=

V FdV

Fr_vol _totr

force par unité de masse



( )

⌡

⌠

⌡

⌠ − σ

=

Σ

d n t

; r P Fr_s _totr r

Traduction de l'inertie : équation de propagation (2/4)

z Forces de surface

force surfacique

Somme de toutes les forces extérieures exercées sur les surfaces élémentaires ds du petit élément de volume dV.dfs fsds

r r =

x₁ x₁+dx₁ dx₂

dx3

x₁ dx₁

Ptot(x1,x2,x3;t) dx2dx3→ex1 - P_tot(x₁+dx₁,x₂,x₃;t) dx₂dx₃e^→_x1

(

1 2 3

)

x1

sx,x ,x;t e f

dr ⋅r dfrs

(

x1 dx1,x2,x3;t

)

erx1

⋅ +

( ) [ ( ) ( ) ]

. x d x d x x d P

x d x d t

; x , x , x d x P t

; x , x , x P e t

; x , x , x d

3 2 1 1 tot

3 2 3 2 1 1 tot 3 2 1 tot x 3 2

s 1 ₁

∂

−∂

=

+

−

=

→ ⋅r

R

et de même pour les autres faces du cube élémentaire

Traduction de l'inertie : équation de propagation (3/4)

z Forces de surface, suite

( )

dx dx dx .

x e P t

; x , x , x

d ₁ ₂ ₃

1 tot x 3 2

s 1 ₁

∂

−∂

=

→ ⋅r

R

( )

1 2 3

2 tot x 3 2

s 1 dx dx dx

x e P t

; x , x , x

d ₂

∂

−∂

=

→ ⋅r

R

( )

1 2 3

3 tot x 3 2

s 1 dx dx dx

x e P t

; x , x , x

d ₃

∂

−∂

=

→ ⋅r

R

(

x,x ,x ;t

)

gradP dx dx dx gradP dV dR^→s ₁ ₂ ₃ =− _tot ₁ ₂ ₃=− _tot

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ −

=

V

V d P grad

Fs tot

r OU

M^I II

→

n

dσ

Σ V



( )

⌡

⌠

⌡

⌠ − σ

=

Σ

d n t

; r P

Fs totr r

r

Théorème d'Ostrogradsky (ou de Gauss)

(4)

Traduction de l'inertie : équation de propagation (4/4)

z PFD pour les résultantes ^→

(

ext→V

)

=d

(

V /R0

)

,∀V R r

( )

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ

 =

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ −

V V

V

V d

t d v d d

P grad

F tot tot ^tot

tot

r r

V V

V

∀

 =

⌡

⌠



⌡

⌠



⌡

⌠



 



ρ − −ρ d 0,

t d v P d grad

F _tot _tot ^tot

tot

r r r

tot tot tot

tot F gradP

t d v

d =ρ −

ρ r r

c.à.d.

tot tot tot tot tot tot

tot gradv v F gradP

t

v ⋅ =ρ −



 

 ρ 

∂ +

ρ ∂r r r r

tot tot tot tot tot

tot gradv v gradP

t

v ⋅ =−



 

 ρ 

∂ +

ρ ∂r r r

c.à.d.

Equation d'Euler avec sources

tot tot

tot gradP

t d v

d =−

ρ r

c.à.d.

Equation d'Euler hors des sources

Traduction de la compressibilité : éq. de conservation de la masse (1/6)

z Allongement d'un fil extensible

→ F L

L'

M N

M' N'

∆ x

ξ(x+∆ x) - ξ(x) + ∆ x ξ(x)

ξ(x+∆ x)

x x+∆ x

x + ξ(x) x + ∆ x + ξ(x+∆ x)

( ) x =

^

M

^{ →}^

M ' ξ r

déplacement particulaire :

variation relative de longueur du petit élément MN :

( ) ( )

[ ]

x x

x x x x x

∆ ξ

=∆

∆

−

∆ + ξ

−

∆ +

ξ

( ) ( )

x d d x

x x lim x

0 x

= ξ

∆ ξ

−

∆ + ξ

→

∆

déformation (allongement linéique) :

Traduction de la compressibilité : éq. de conservation de la masse (2/6)

z Interprétation de la divergence du vecteur vitesse particulaire

(

1 1 x1 2 x2 3 x3

)

V '

V≈ +∂ξ ∂ +∂ξ ∂ +∂ξ ∂ = − ≈ ξr

V div V ' V V

V d

variation relative de volume t

d vr r=

ξ

div v d t

V V

d ≈ r

or

déplacement élémentaire du point M pendant le temps dt

a b

c x₁ x₂

x₃

M

V=abc a'

b' c'

M

V'=a'b'c' déformation supposée sans

cisaillement

Traduction de la compressibilité : éq. de conservation de la masse (3/6)

z Source de débit

V

molécules en plus

( ) V V d

d t q

; r q r =

petit volume élémentaire d V

d V

^{q d V}

autre source extérieure

particule voisine

volume de matière introduit dans le volume élémentaire dVpar unité de temps

débit volumique (en s^-1)

Traduction de la compressibilité : éq. de conservation de la masse (4/6)

9 Masse introduite par une source extérieure dans le volume Vpar unité de temps

petit volume élémentaire d V

d V

^{q d V}

autre source extérieure

particule voisine

volume de matière introduit dans le volume élémentaire dVpar unité de temps, par une source extérieure

totq

ρ : masse introduite par unité de volume et par unité de temps (en kg.m^-3.s^-1) V

d

totq

ρ : masse introduite dans le volume d Vpar unité de temps (en kg.s^-1)

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ

=

V

V d t q

d m d

tot i

Masse introduite par la source dans le volume Vpar unité de temps z Loi de conservation de la masse

∆de masse contenue dans le volume V/ t = masse entrante dans ce même volume / t

t d m d t d m

d contenue= entrant

Traduction de la compressibilité : éq. de conservation de la masse (5/6)

9 Masse de fluide entrant dans le volume Vpar la surface fixe Σ, par unité de temps

( )

_

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ ⋅ σ

−

=

Σ V

V d q d

n t v

d m d

tot tot

entrant totr r

flux entrant = opposé du flux sortant

de à travers Σρtotvrtot masse de fluide introduite par la source de débit

( )

_

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ

−

=

V V

V

V qd

d v t div

d m d

tot tot

tot

entrant r

M

→

n

dσ

Σ V

vtot

→

Volume fixe Vtraversé par le fluide



( )

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ ρ

=

V r;tdV

m_contenue _totr

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠

∂ ρ

= ∂

V

V t d t

d m

d contenue tot

variation par unité de temps 9 Masse de fluide contenue dans le volume V, à l'instant t

t d

m d i

=

(5)

Traduction de la compressibilité : éq. de conservation de la masse (6/6)

z Loi de conservation de la masse

( )

[ ]

V V

V

V V

 ∀

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ − ρ +ρ

 =

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠

∂ ρ

∂ d div v qd ,

t ^tot ^tot ^tot

tot r

( )

[ ]

V V

V

∀

 =

⌡

⌠



⌡

⌠



⌡

⌠







 −− ρ +ρ

∂ ρ

∂ div v q d 0,

t ^tot ^tot ^tot

tot r

(

totvtot

)

totdivvtot vtotgrad tot

divρ r =ρ r +r ⋅ ρ

(

v

)

q

t div ^tot ^tot ^tot

tot+ ρ =ρ

∂ ρ

∂ r divv q

t d d

tot tot

tot+ρtot =ρ

ρ r

(

v

)

0 t div ^tot ^tot

tot+ ρ =

∂ ρ

∂ r divv 0

t d d

tot

tot+ρtot =

ρ r

c.à.d.

soit

c.à.d.

Equation de conservation de la masse avec sources c.à.d.

Equation de conservation de la masse hors des sources avec

∆de masse contenue dans le volume V/ t = masse entrante dans ce même volume / t

t d m d t d m

d _contenue= _entrant

Loi de comportement d'un fluide : le coefficient de compressibilité

2 tot

tot c d

P

d = ρ

s tot T tot

2 1

c =ρ χ

χ ρ

= γ

z En dehors des sources de chaleur : transformations adiabatiques avec

célérité adiabatique

9cas de l'acoustique linéaire + fluide homogène ne dépendant pas du temps ρ

=c²₀

p avec

T 0

c0

χ ρ

= γ z En présence d'une source de chaleur

d S_tot= 0

dt h S d Ttot tot=

quantité (algébrique) de chaleur introduit par unité de masse de

fluide, par unité de temps











 ρ

χ ρ

− γ

= β tot

T tot tot tot tot

v

tot dP d

P T S C d or α=βχTPtot

v

p C

C =γ h

C t d P d t d 1 d

p tot T tot tot

− α γ

=χ ρ ρ

δW = 0 δE_a= 0 0

~V<

δ ~δP>0 ~δτ>0

~τ<0

~P<0 δ 0 δ

~V>

δ

Phénomène adiabatique (rappel)

P

V

ˆ p 1 β γ

−

=γ τ

τmax

τmin

λ/2

dt h S d

T =

0 S d

T =

Hors sources :

ρ

=c²0

p

En présence de sources :

source de chaleur

τ_max τ_min π/ω

Phénomène non adiabatique (effet dissipatif)

P

δW > 0

Chaleur échangée entre la particule et ses voisines δEa< 0

V

0

~V<

δ ~δP>0 ~δτ>0

~τ<0

~P<0 δ 0 δ

~V>

δ

Synthèse des trois lois fondamentales de l'acoustique

z En présence de sources F P t grad d v d

tot tot tot

tot

r r

ρ

= + ρ

0 P t grad d

v d

tot tot tot

r r

= + ρ

z En dehors des sources

(

v

)

q

t div ^tot ^tot ^tot

tot+ ρ =ρ

∂ ρ

∂ r

(

v

)

0 t div ^tot ^tot

tot+ ρ =

∂ ρ

∂ r

tot T tot

tot d

P

d ρ

χ ρ

= γ

C h t d P d t d 1 d

p tot T tot tot

−α γ

=χ ρ ρ

c²

fluide homogène, indépendant du temps, au repos, acoustique linéaire

F p t grad v

0 0

r r ρ

=

∂ + ρ ∂

q v t+ρ⁰div =ρ⁰

∂ ρ

∂ r

C h t p c

1

t p

0 2 0

ρ

−α

∂

= ∂

∂ ρ

∂

T 0 2

c0

χ ρ

= γ

0 p t grad v

0

r r

=

∂ + ρ ∂

0 v t+ρ⁰div =

∂ ρ

∂ r

t p c

1 t ₀²∂

= ∂

∂ ρ

∂ p=c²0ρ avec

c.à.d.

3 3 3

3 3 3 3 3 3 éq. d'Euler éq. de conservation de

la masse loi de "comportement"

éq. d'Euler éq. de conservation de

la masse loi de "comportement"

Dérivée particulaire (1/2)

M ⁹volume suffisamment grand pour que l'aspect moléculaire soit ignoré 9volume suffisamment petit par rapport àλpour que les grandeurs

physiques puissent être considérées comme (quasi) constantes z Particule repérée par le point M

z Représentation de Lagrange

z Représentation d'Euler (en usage en acoustique classique)

9Variables liées à la particule considérée : position initiale a, et temps t 9Suivi du mouvement d'uneparticule au cours du temps

→

9Les variables sont liées au point géométrique r (à d r près au besoin) 9Suivi de l'évolution d'une grandeur en ce pointgéométrique, au cours

du temps

→ → t0

→a ^→r

grandeur g

t

( )

a;t Gr

t

t+dt

→r

( )

r;t gr

(6)

Dérivée particulaire (2/2)

z quantité scalaire g

( )

rr;t

t td x g x d x g x d x g x d g g

d 3

3 2 2 1

1 ∂

+∂

∂ + ∂

∂

=∂

t g t d

x d x

g t d

x d x

g t d

x d x

g t d

g

d 3

3 2 2 1

1 ∂

+∂

∂ + ∂

∂

= ∂ ^d_d^g_t

(

^grad^g

)

^vtot ^g_t

∂ +∂

⋅

= r

( )

gradg⋅vrtot

c.à.d.

grad t t v d

d

tot ∂

+∂

⋅

=r ou

( )

r;t Ar r z quantité vectorielle

t A t d

x d x A t d

x d x

A t d

x d x

A t d

A

d 3

3 2 2 1

1 ∂

+∂

∂ +∂

∂

=∂

r r r r r

t v A A t grad d

A d

tot ∂

+∂

⋅



 



= r

r r r

grad t t v d

d

tot ∂

+∂

⋅

=r

















∂

∂ ∂

∂

∂ ∂

∂

=



 





3 3 2

3 1 3

3 2 2

2 1 2

3 1 2

1 1 1

x A x A x A

A gradr ou

avec terme de convection

dérivée particulaire : dérivée par rapport au temps de la grandeur g, attachée à une particule suivie dans son mouvement pendant le temps dt

dérivée locale, en un point fixe r^→

Equation de propagation

z En présence de sources F p t grad v

0 0

r r ρ

=

∂ + ρ ∂

q v t+ρ⁰div =ρ⁰

∂ ρ

∂ r

div

∂t

∂

( )

_



 





∂

−∂ ρ

∂ = ρ

−∂

t F q t div p grad

div 2 0

2 r

∆p

C h t p c

1

t p

0 2 0

ρ

−α

∂

= ∂

∂ ρ

∂













∂

−α

∂

−∂ ρ

∂ =

− ∂

∆ t

h C t F q t div

p c p 1

p 2 0

2 2 0

r

f t p c

1

2 2 2 0

−

 =













∂

− ∂

∆ 











∂

−α

∂

−∂ ρ

=

− t

h C t F q div f

p 0

r

t h t C

p c

1

t p

0 2 2 2 0 2 2

∂ ρ ∂

−α

∂

= ∂

∂ ρ

∂

avec

z En dehors des sources p 0

t c

1

2 2 2 0

 =













∂

− ∂

∆

opérateur d'Alembertien noté

Loi de "comportement"

∂t

∂

( )

Equation de Helmholtz

z Décomposition d'un signal en somme de signaux monochromatiques

( )

r;t e

[

pˆ

( )

r;t

]

pr =R r

partie réelle forme complexe

( )

_

( )

⌡

⌠ ω ω

=

+∞

∞

−

ωd e

; r Pˆ t

; r

pˆr r ⁱ ^t

( )

_

( )

⌡

⌠

= π

ω ^+∞

∞

− ω

− dt e t

; r 2 pˆ

; 1 r

Pˆr r ⁱ^t

Transformée de Fourier / ω Transformée de Fourier / t z Champ monochromatique de pulsation ω

( )

r;t Pˆ

( )

r; eⁱ ^t pˆr = rω ^ω

( ) ( )

r;t Fˆr; eⁱ^t fˆr = rω ^ω

et z Représentation complexe

( )

ω=−

( )

ω











 ω

+

∆ Pˆr; Fˆr; c²0

2 r r

équation de Helmholtz

fˆ t pˆ c

1

2 2 2 0

−

 =













∂

− ∂

∆

( )

r; 0 c²0 Pˆ

2 ω=









∆+ω r en dehors des sources

en présence de sources

( )

r; TF

[

pˆ

( )

r;t

]

Pˆrω= /t r et ^Fˆ

( )

^rr^;ω=^TF/t

[ ]

^fˆ

( )

r^r^;^t vérifient l'équation de Helmholtz

Potentiel des vitesses

z Définition vr

( )

rr;t=gradϕ

( )

rr;t K1

( )

t

(

^grad

)

^grad^p ⁰

0 t

=r +

∂ ϕ

ρ ∂ p 0,

( )

r,t

grad 0 t r r

∀

=



 



 +

∂ ϕ ρ ∂

( )

t K

t p ²

0 + =

∂ ϕ

ρ ∂ K

( )

t

t d

K d

2 1

0 =

ρ 0 t p

0 + =

∂ ϕ ρ ∂

p 0∂t ϕ ρ ∂

−

=

t c²₀

0

∂ ϕ ρ ∂

−

= ρ

t 0 c

1

2 2 20

∂ = ϕ

− ∂ ϕ

∆

( )

r;t ˆ

( )

r; eⁱ^t

ˆ =Φ ω ^ω

ϕr r

(

∆+k²₀

)

Φˆ

( )

rr;ω=0

0

0 c

k =ω défini à une constante près

0 p t grad v

0

r r

=

∂ + ρ ∂

avec z Equation de propagation

t p c

1 t ²₀∂

= ∂

∂ ρ or ∂

0 v t+ρ⁰div =

∂ ρ

∂ r

or

z Equation de Helmholtz Champ monochromatique :

Notation

Problèmes aux limites de l'acoustique

z Domaine spatial limité ou infini

9conditions aux frontières :

frontière matérialisée par une surface de séparation entre deux milieux,

frontière décrite par les propriétés vibratoires à l'interface entre le milieu considéré et la paroi constituant la frontière.

9condition de Sommerfeld : condition de décroissance annulant le champ à l'infini (loin des sources)

9NB : les conditions portent surp et/ou∂_np

9conditions initiales

9NB : les conditions initiales portent surp et∂_tp

z Domaine temporel

Conditions aux frontières non linéarisées

fluide M

→n

Σ : paroi parfaitement rigide v_tot(M;t) w_tot(M;t) →

→

z Interface parfaitement rigide

(

M ;t

)

n w

(

M ;t

)

n, M , t vtot ∈Σ ⋅r=rtot ∈Σ ⋅r ∀ ∈Σ ∀ r

(

x ;t

)

n 0, M , t vtot r∈Σ ⋅r= ∀ ∈Σ ∀ r

(

x ;t

)

n v

(

x ;t

)

n, M , t vtot₁ r∈Σ ⋅r=rtot₂ r∈Σ ⋅r ∀ ∈Σ ∀ r

(

r ;t

)

P

(

r ;t

)

, M , t Ptot₁r∈Σ = tot₂r∈Σ ∀ ∈Σ ∀

paroi Σmobile :

paroi Σfixe :

z Interface séparant deux fluides non visqueux

fluide 1 M

→n Σ

fluide 2 égalité des composantes normales de la vitesse :

égalité des pressions acoustiques :

(7)

Linéarisation des conditions aux frontières

fluide 1 fluide 2

O M_E

M ^→n

n_E

→

ΣE

Σ

→r

rE

→

→R

Conserver uniquement les grandeurs acoustiques du premier ordre conduit à écrire les conditions aux frontières pour les grandeurs fluctuantes sur la surface dans sa position de référence.

Conditions aux frontières usuelles en acoustique linéaire, fluide homogène, indépendant du temps, au repos (1/3)

z Interface parfaitement rigide

fluide M

→n

Σ : paroi parfaitement rigide v(M;t) w(M;t) →

→

paroi Σmobile :

paroi Σfixe :

(

M ;t

)

n w

(

M ;t

)

n, M , t v ∈Σ ⋅r=r ∈Σ ⋅r ∀ ∈Σ ∀ r

(

r ;t

)

n 0, M , t vr∈Σ ⋅r= ∀ ∈Σ ∀ r

( )

₀

n p t

n v

0 =

∂ +∂

∂

⋅ ρ ∂r r

( )

₀_, _M _, _t

n t

; r

p = ∀ ∈Σ ∀

∂ Σ

∈

∂ r 0 p t grad v

0 r r

=

∂ + ρ ∂

n

. ( )

or →

Condition de Neumann

Rappel mathématique

Soient f(x,y,z) et n un vecteur unitaire→ γ β α B

nr 0 0 u

z y x OM

B1

B M =

y x

z u

x₁

O y

x z

→n

αγ β

u z

; u y

; u

x=α =β =γ

{_α {_β {∂_γ

∂

∂ +∂

∂

∂ +∂

∂

=∂

∂

=∂

∂

u z z f u y y f u x x f u f n f

f f f f grad

z y x

∂

∂ B

n f n grad

f= ⋅r

∂

Conditions aux frontières usuelles en acoustique linéaire, fluide homogène, indépendant du temps, au repos (2/3)

z Paroi parfaitement souple

champ à l'intérieur d'un tube ouvert sur l'espace infini

champ dans le fluide 1

M

→n Σ fluide 2, ρ2<< ρ1

(

r ;t

)

0, M , t

pr∈Σ = ∀ ∈Σ ∀

Condition de Dirichlet

z Interface séparant deux fluides non visqueux

fluide 1 M

→n Σ

fluide 2 égalité des composantes normales de la vitesse :

égalité des pressions acoustiques :

(

r ;t

)

n v

(

r ;t

)

n, M , t v1r∈Σ ⋅r=r2r∈Σ ⋅r ∀ ∈Σ ∀ r

(

r ;t

)

p

(

r ;t

)

, M , t p1r∈Σ = 2r∈Σ ∀ ∈Σ ∀

Conditions aux frontières usuelles en acoustique linéaire, fluide homogène, indépendant du temps, au repos (2/3)

z Paroi à réaction locale - Notion d'impédance de paroi

fluide M

→n

Σ : paroi à structure interne fixe, à réaction locale v(M;t)

p (M;t) →

fluide

M

→n

Σ : paroi mobile à réaction locale v(M;t)

→ p (M;t)

w(M;t)

→

(

M ;t

) [

v

(

M ;t

)

n

]

, M , t p ∈Σ =FZr ∈Σ ⋅r ∀ ∈Σ ∀

( ) { [ ( ) ( ) ] }

t , M

, n t

; M w t

; M v t

; M

p Z

∀ Σ

∈

∀

⋅ Σ

∈

− Σ

∈

= Σ

∈ F r r r

opérateur linéaire (fonction de réflexion).

MAIS, paramètre de proportionnalité entre pression acoustique et vitesse particulaire (impédance de la paroi), n'est défini que pour une fréquence, dans le domaine complexe

(

M ;

)

Zˆ

(

M;

)

Vˆ

(

M ;

)

Wˆ

(

M ;

)

n, M , fixé

Pˆ ⋅ ∀ ∈Σ ω



 ∈Σω− ∈Σω ω

= ω Σ

∈ r r r

impédance de paroi

Paroi à structure interne fixe, à réaction locale

(

M;

) (

ZˆM;

) (

VˆM;

)

n

Pˆ ω= ωr ω⋅r

n: normale sortante du milieu considéré

≡normale pénétrante dans le matériau z Condition aux frontières

( )

[

ρ0∂t^vˆr^M^;^t

]

⋅ⁿr=−

[

^grad^pˆ

(

^M^;^t

) ]

⋅ⁿr

(

ω

)

⋅ =−∂

(

ω

)

ω

ρ0i VˆrM; nr nPˆM;

( )

∂

(

ω

)

ω ρ

= −

⋅

ω PˆM;

i n 1

; M

Vˆ n

0

r r

( ) ( )

Pˆ

(

M;

)

0

; M iZˆ

; M

Pˆ ⁰

n ω=

ω ω + ρ ω

∂

( ) (

ω

)

= ρ ω β ZˆM;

; c

ˆM ⁰ ⁰

0

0 c

k =ω

(

M;

)

ik ˆ

(

M;

) (

PˆM;

)

0

Pˆ ₀

n ω+ β ω ω=

∂

(

M;

)

0

nPˆ ω=

∂

(

M;

)

0 Zˆ ω=

(

M;

)

0

ˆ ω=

β

(

M;

)

0 Pˆ ω=

(

ω

)

βˆM;

M

(

M;ω

)

Zˆ ou n

(

M;t

)

Vˆ

(

M;

)

eⁱ ^t

vˆ =r ω ^ω

(

M;t

) (

PˆM;

)

eⁱ ^t r

pˆ = ω ^ω

avec et

z Projection sur n de l'équation d'Euler→

c.à.d.

d'où

avec

z Paroi rigide (condition de Neuman) Zˆ

(

M;ω

)

→∞

z Paroi sans réaction et non dissipative

(condition de Dirichlet) βˆ

(

M;ω

)

→∞

(1)

(2)

admittance de surface du matériau, normalisée par l'impédance caractéristique du fluide ρ₀c0

(1) (2)

(8)

Conditions aux frontières usuelles en acoustique linéaire, fluide homogène, indépendant du temps, au repos (2/3)

z Paroi à réaction locale - Notion d'impédance de paroi, suite fluide

M

→n

Σ : paroi mobile à réaction locale v(M;t)

→ p (M;t)

w(M;t)

→

(

M;

) (

PˆM;

)

Uˆ

(

M;

)

, M , fixé k ˆ

n i ⁰  ω= ω ∀ ∈Σ ω



 



 + β ω

∂

( ) (

ω

)

= ρ ω β ZˆM;

; c

ˆM ⁰ ⁰

(

M;

)

i Wˆ

(

M;

)

n

Uˆ 0 r r

⋅ ω ω ρ

−

= ω

0

0 c

k =ω

admittance de surface du matériau

dans le domaine temporel

( )

=

[

β

( )

ω

]

βr;t TFωik r; k

i ₀ r _/ ₀ r

( )

[

∂n+ik0βˆM;t ∗

]

pˆ

(

M;t

) (

=uˆM;t

)

;∀M∈Σ;∀t>ti

avec

Problème acoustique bien posé

z Domaine fréquentiel

Equation de Helmholtz

(

M;

) (

PˆM;

)

Uˆ

(

M;

)

, M , fixé k ˆ

n i ⁰  ω= ω ∀ ∈Σ ω



 



 + β ω

∂ Conditions aux frontières ∂

Conditions de rayonnement à l'infini (éventuellement) z Domaine temporel

Equation de propagation Conditions aux frontières Conditions initiales

( )

[

∂n+ik0βˆM;t ∗

]

pˆ

(

M;t

) (

=uˆM;t

)

;∀M∈Σ;∀t>ti

( ) ( )

i

2t c t

12 pˆM;t fˆM;t , M , t t

0

>

∀

∈

∀

−

 =



 



∆− ∂ V

(

i

) (

i

) (

i

) (

i

)

i

tpˆM;t =AˆM;t ;pˆM;t =BˆM;t ;∀M∈ ;t=t

∂ V

fonctions connues dans tout le domaine V, à l'époque initiales t = t_i

(

∆+k²0

)

Pˆ

(

M;ω

)

=−Fˆ

(

M;ω

)

,∀M∈V

Densité totale d'énergie acoustique instantanée (1/2)

z Densité d'énergie = énergie emmagasinée par unité de volume (E_{volume dV}/ dV)

E_a= E_c+ E_p densité d'énergie

acoustique totale densité d'énergie cinétique

densité d'énergie potentielle

tot 2

c v

2

E =1ρ r _c ₀v²

2 E =1ρ r acoustique

linéaire z Densité d'énergie cinétique instantanée z Densité d'énergie acoustique totale

Densité totale d'énergie acoustique instantanée (2/2)

z Densité d'énergie potentielle instantanée M

état au repos

M état "actuel"

P₀, ρ₀ P_tot=P₀+p;ρ_tot=ρ₀+ρ

M état "courant"

ρ + ρ

= ρ +

=P p~;~ ~ P~

0 tot 0 tot

9volume élémentaire :

9travail élémentaire reçu par la particule (énergie emmagasinée) :^él ^él ^tot m ~

V = ρ

(

él tot

)

él

él p~dV p~dm ~

W =− =− ρ

δ

( ) ( )

ρ

ρ +

=ρ ρ + ρ ρ +

=ρ ρ ρ

= ρ ρ

−

=











 ρ

− ρ

= δ

=

δ ~ p~d1~ ~1 p~d~ 1~p~d ~ 1~p~d~

~ d m m p~~ V W W

0 0 0 tot tot tot tot tot

él él tot él él

ρ ρ

≈ δW 1p~d~

0ρ

=c ~

p~ ²₀ ρ ρ

≈ρ δW 1c²0~d~

0

0 2 2 0 0 0 2 0

p 2

~ c

~d E c

ρ

= ρ

⌡

⌠ ρ ρ

=ρ ^ρ 2

0 0

2

p 2 c

E p

= ρ

él él

él Q W

W U

d =δ +δ =δ

9densité d'énergie potentielle :

énergie potentielle car transformations adiabatiques :

variation d'énergie interne

acoustique linéaire loi de "comportement" :

9densité d'énergie potentielle instantanée :

z Densité totale d'énergie acoustique instantanée











 +ρ ρ

= +

= ₂

0 0 2 2 0 p c

a c

v p 2 E 1 E

E r

Equation de conservation de l'énergie acoustique (1/4)

M

→

n

dσ

Σ V

→v

L'énergie acoustique E_aprésente localement dans la particule (E_c+ E_p) résulte donc d'un apport etd'une perte d'énergie.

Lors de la propagation acoustique

emmagasine de l'énergie et la restitue aux particules adjacentes

particules adjacentes

flux d'énergie apporté et retiré au volume en permanence.

v pr

P= : flux d'énergie acoustique instantané, ramené à l'unité de surface et à l'unité de temps (puissance instantanée traversant l'unité de surface dσ, transportée par l'onde acoustique)

: travail élémentaire fourni par une particule à son environnement pendant le temps dt.

t d d v pr⋅ σ

Equation de conservation de l'énergie acoustique (2/4)

z En dehors des sources

( )

_

⌡

⌠

⌡

⌠ ⋅ σ

−

 =

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠ +

∂

Σ

d n v p d

E

t E^c ^p

r r

V V



( )

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

−⌠

V

V d v p div r

(

E E

)

div

( )

pv d 0

t ^c ^p =



⌡

⌠



⌡

⌠



⌡

⌠ 



 



 + +

∂

V

r V

(

E E

)

div

( )

pv 0

t ^c+ ^p+ =

∂

∂ r

variation par unité de temps de l'énergie acoustique contenue dans un volume V

opposé de l'énergie

sortante par unité de temps

(Th. d'Ostrogradsky)

Equation de conservation de l'énergie en dehors des sources P

Ea

(9)

Equation de conservation de l'énergie acoustique (3/4)

z En présence de sources

F p t grad v

0 0

r r ρ

=

∂ + ρ ∂

v

. ( )

→

t q v 1 div

0

∂ + ρ

∂

−ρ

r=

( ) ( )

pq

t v p p div v div p v p div p grad v

0

∂ − ρ

∂ +ρ

=

−

=

⋅ r r r

r

( )

ph pq

C t p c v p p div p grad v

2 p 0 0

α −

∂ −

∂ +ρ

=

⋅ r

r

( )

ph pq vF

C t p c v p p t div

v v ₀

2 p 0 0 0

r r r r

r −α − =ρ ⋅

∂

∂ +ρ

∂ +

⋅∂ ρ

( )

ph pq

F C v v p t div p c 2

1 t v 2 1

p 0 2

2 0 0 2

0 α +

+

⋅ ρ

=

∂ +

∂ + ρ

∂

ρ ∂r r r r

( )

ph pq

F C v v p c div v p 2 1

t 2 0 p

0 0 2 2

0 + =ρ ⋅ +α +









 +ρ

∂ ρ

∂ r r r r

( )

ph pq

F C v t div

E

p 0

a+ =ρ ⋅ + α +

∂

∂ P r r

F v p grad t v

v v 0

0

r r r r

r + ⋅ =ρ ⋅

∂

⋅∂ ρ

C h t p c

1

t _p

0 2 0

ρ

−α

∂

= ∂

∂ ρ

∂ 3

3

Ec E_p P→

Equation de conservation de l'énergie en présence de sources

Equation de conservation de l'énergie acoustique (4/4)

z Bilan intégral



⌡

⌠



⌡

⌠



⌡

⌠











ρ ⋅ +α +

 +

⌡

⌠

⌡

⌠ ⋅ σ

−

 =

⌡

⌠

⌡

⌠

⌡

⌠

∂

Σ V

V

V ph pq d

F C v d

n v p d

t Ea 0 p

rr r

r

variation par unité de temps de l'énergie contenue dans le domaine V

M

→

n

dσ

Σ V

→v

flux total d'énergie entrant dans le volume Vpar unité de temps

énergie apportée par les sources par unité de temps

volume supposéfixe

Vecteur intensité acoustique (1/2)

v p

I r

r=P=

( )

^pˆ ₂¹

(

^pˆ ^pˆ^*

)

e

p=R = +

( ) (

vˆ vˆ^*

)

2 vˆ 1 e

v r r r

r=R = +

(

pˆ pˆ^*

) (

vˆ vˆ^*

)

4

I 1 r r

r= + +

t

ei

Pˆ

pˆ= ^ω vˆr=Vˆreⁱ^ω^t

(

^* ^*

) ( )

^*

( )

^*

*

* epˆvˆ

2 vˆ 1 pˆ 2 e vˆ 1 pˆ vˆ 4pˆ Vˆ 1 Pˆ Vˆ 4 Pˆ

I 1 r r r r r r

r=  + = + = R = R

grandeurs REELLES

or et

z Champ monochromatique : et M

→

n

dσ

Σ V

→v

σ

⋅nd I r

r : quantité moyenne d'énergie acoustique qui traverse l'élément de surface par unité de temps dσ Ir : vecteur densité surfacique de flux de

puissance acoustique moyenne, en W.m^-2

Vecteur intensité acoustique (2/2)

z En dehors des sources : 0 t div

Ea+ =

∂

∂ P div 0

t

Ea + =

∂

∂ P div 0

t E_a

=

∂ +

∂ P

0 I t div

Ea+ =

∂

∂ r

2 0 E T 2 E T T lim1 t t d E T lim1 t E

a T a

2 T

a T

a =

 



 



 

 −

−



 



= 

⌡

⌠

∂

= ∂

∂

∞

→ +

∞ −

→

t 0 Ea =

∂

∂ 0 I divr=

c.à.d. c.à.d.

Ir

or

En dehors des sources, le vecteur intensité acoustique est à divergence nulle 3

3 gradp 0 t v

0

r r

=

∂ +

ρ ∂ amplitude de p proportionnelle à amplitude de v^→

amplitude de proportionnelle au carré de l'amplitude de pP=pvr amplitude I de proportionnelle àrI p²rms

( )

s 10

(

rms s

)

10II 20log p p

log 10

L= =

niveau sonore :

Puissance moyenne d'une source (1/2)

(S)

Σ

→

n

dσ

( )

_

⌡

⌠

⌡

⌠ ⋅ σ

=

Σ

d n I

mS r r

P

( )

_

⌡

⌠

⌡

⌠ ⋅ σ

= Σ

Σ1

d n I /

S ₁ ₁

m r r

P

( )

_

⌡

⌠

⌡

⌠ ⋅ σ

= Σ

Σ2

d n I /

S ₂ ₂

m rr

P

( )

n d 0 I

d n I

2 1

2

1 ⌡ =

⌠

⌡

⌠ ⋅− σ

 +

⌡

⌠

⌡

⌠ ⋅ σ

= Φ

Σ Σ

r r r r

(

1

)

m

(

2

)

mS/Σ =P S/Σ

P

La puissance moyenne d'une source est indépendante de la surface Σ choisie qui l'entoure.

Σ₁

Σ₂

n

₂

→

n

₁

→ (S)

V 12

flux de puissance au travers de (Σ₁+Σ₂) limitant le volume clos V₁₂:

et

intensité acoustique à divergence nulle en dehors des sources démonstration :

Puissance moyenne d'une source (2/2)

( )

rer

I

I r

r=

( ) ( ) ( )

_

⌡

⌠

⌡

⌠ θ θ ψ

 =

⌡

⌠

⌡

⌠ θ θ ψ

=

Σ Σ

d sin d r r I d sin r d r r I

S ²

Pm

( )

S 4 r²I

( )

r

m = π

P

z Cas particulier d'une source omnidirectionnelle (champ acoustique identique dans toutes les directions)

(S) r

er

→ Σ

( )

₂

r r 1

I ∝ et

( )

r r 1

p ∝ (caractère sphérique)

(10)