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Submitted on 1 Jan 1990
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PRISE EN COMPTE DU RAYONNEMENT ACOUSTIQUE EN FLUIDE LOURD PAR
ÉQUATIONS INTÉGRALES DANS LA MODÉLISATION DES TRANSDUCTEURS PIÉZOÉLECTRIQUES BIDIMENSIONNELS PAR
ÉLÉMENTS FINIS
Th. Mazoyer, Y. Lagier, D. Guyomar, M. Letiche, S. Defraguier
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Th. Mazoyer, Y. Lagier, D. Guyomar, M. Letiche, S. Defraguier. PRISE EN COMPTE DU RAYONNEMENT ACOUSTIQUE EN FLUIDE LOURD PAR ÉQUATIONS INTÉGRALES DANS LA MODÉLISATION DES TRANSDUCTEURS PIÉZOÉLECTRIQUES BIDIMENSION- NELS PAR ÉLÉMENTS FINIS. Journal de Physique Colloques, 1990, 51 (C2), pp.C2-349-C2-352.
�10.1051/jphyscol:1990284�. �jpa-00230706�
COLLOQUE DE PHYSIQUE
Colloque C2, supplément au n°2, Tome 51, Février 1990 1er Congrès Français d'Acoustique 1990
C2-349
PRISE EN COMPTE DU RAYONNEMENT ACOUSTIQUE EN FLUIDE LOURD PAR ÉQUATIONS INTÉGRALES DANS LA MODÉLISATION DES TRANSDUCTEURS PIÉZOÉLECTRIQUES BIDIMENSIONNELS PAR ÉLÉMENTS FINIS
Th. MAZOYER, Y. LAGIER, D. GUYOMAR, M. LETICHE et S. DEFRAGUIER
THOMSON SINTRR ASM, Direction des Services Acoustiques, Laboratoires Recherches, Etudes et Modélisations, Parc de Sophia Antipolis, BP. 38, F-06561 Valbonne Cedex, France
R é s u m é - O n présente u n e formulation variationnelle p e r m e t t a n t d e résoudre des problèmes piézoélastiques avec couplage élasto-acoustique. Celle-ci repose sur l a description d u rayon- nement acoustique p a r équations intégrales de Helmholtz, p o u r le p r o b l è m e h a r m o n i q u e dans le t e m p s . Les p e r t e s internes de m a t é r i a u x viscoélastiques sont prises e n c o m p t e a u moyen de constantes physiques complexes.
L'application présentée est l ' i m p l é m e n t a t i o n de cette formulation d a n s le logiciel bidimen- sionnel E . T . B I D . '1' qui travaille e n déformations planes et calcule donc la r é p o n s e d e t r a n s d u c - teurs piézoélectriques dont la dimension perpendiculaire a u plan décrit est très g r a n d e .
A b s t r a c t - A piezo-elastic problem including fluid-structure interaction is adressed using a single variationnal formulation based on Helmholtz integral equations in the continuous wave regime. Internal losses are taken into account by introducing complex material constants.
This formulation has been implemented in the numerical code E.T.BID.M which is a plane strain bidimensionnal finite elements program. The response of transducers having large transversal dimensions can be accurately computed.
1- I n t r o d u c t i o n
L a modélisation des t r a n s d u c t e u r s acoustiques piézoélectriques nécessite la prise en c o m p t e de trois phénomènes physiques dits en interaction forte:
- r a y o n n e m e n t acoustique;
- vibrations mécaniques ( avec amortissement éventuellement );
- c o m p o r t e m e n t électrique.
Cela signifie que souvent, il est impossible d e travailler séparément p o u r chacun d'entre-eux.
L'approche n u m é r i q u e p a r éléments finis p e r m e t d e résoudre le p r o b l è m e piézoélastique. M. Nail- lon et al.™ d o n n e n t u n e description de l a formulation utilisée lorsque l'on choisit c o m m e inconnues variationnelles les déplacements et les potentiels électriques d a n s le solide piézoélectrique.
P o u r p r e n d r e en c o m p t e l'interaction élasto-acoustique, on p e u t o p t e r p o u r u n e discrétisation du milieu acoustique e n éléments finis. D a n s le cas le plus c o u r a n t , le d o m a i n e fluide est n o n borné, ce qui est m a l a d a p t é à cette technique : il faut discrétiser u n e large p a r t i e d e ce domaine fluide ( problèmes numériques de g r a n d e taille et donc coûteux ), puis appliquer des conditions particulières sur la frontière fictive i n t r o d u i t e afin de la rendre non réfléchissante. Des m é t h o d e s existent, basées sur des décompositions sérielles!3! o u des formulations dites d'éléments infinis.
U n e a u t r e alternative est l'utilisation des équations intégrales. O n se r a m è n e alors à l'interface de rayonnement. Schenck'4' fut l ' u n des premiers à implémenter u n e formulation n u m é r i q u e p o u r résoudre le problème d u rayonnement acoustique e n milieu n o n b o r n é . L a m é t h o d e de collocation qu'il a d o p t e , très largement reprise depuis, présente les difficultés suivantes:
- calcul d'intégrales singulières ( à calculer a u sens d e la p a r t i e finie d e H a d a m a r d );
- résolution de systèmes linéaires complexes n o n symétriques;
- n o n convergence ( n o n unicité de la solution ) de l a m é t h o d e p o u r certaines fréquences ( problème des fréquences irrégulières ).
P l u s r é c e m m e n t , Hamdit5! propose u n e formulation variationnelle qui élimine les deux premiers inconvénients et amoindrit fortement le troisième. Nous reprenons l'idée d e c e t t e dernière p o u r construire
la fonctionnelle d u problème complet •piézo-élasto-acoustique.
Article published online by EDP Sciences and available at http://dx.doi.org/10.1051/jphyscol:1990284
COLLOQUE DE PHYSIQUE
2- Théorie
Dans le cas d'une dépendance temporelle en eiwt, les équations gouvernantes du problème physique sont les suivantes:
T;j,j = - ~ J ' u ~
,
dans V (1)V 2 P + k 2 P = 0 , d a n s 0
Condition de rayonnement de Sommerfeld,
Di,; = O
,
dans V p (3)où T est le champ de contrainte dans le solide V , et u le champ de déplacement; p la masse volumique du solide; P la pression acoustique dans le domaine fluide Q, k2 le nombre d'onde; D le déplacement électrique dans la partie piézoélectrique V p de V .
où Qi est le potentiel électrique,
cE
le tenseur d'élasticité du solide, e le tenseur de piézoélectricité et Ele tenseur diélectrique.
Tiinj
+
P n , = O,
surI'
(6)p f u 2 ~ , n i = PYini
,
sur I' (7) où 11 est le vecteur normal sortant à l'interface fluide structure I'; pf la masse volumique du fluide.L'excitation d'origine électrique sera donnée en terme de densité de charges électriques q sur la frontière du milieu ~iézoélectrique ( nulles si la surface n'est pas électrodée, non nulles sinon ):
Dini = -q
,
sur Se,Dini = O
,
sur dV, privé deI'
Comme nous l'avons précisé en introduction, nous allons remplacer l'équation (2) par son expression intégrale portant uniquement sur î:
dn'
où c vaut 1 si M est dans 0 privé de
I',
si M est surI',
O sinon; P et P' sont les pressions acoustiques respectivement en M e t M'; G est la fonction de Green du problème: en dimension 3, -;H!~)(~R) en dimension 2 ( avec R = IIMM'II ).Pour pouvoir résoudre numériquement le problème aux dérivées partielles constitué des équations (1),(3)-(9) au moyen des éléments finis, il nous faut le remplacer par un problème faible associé:
où B sera une forme bilinéaire définie positive symétrique et L une forme linéaire définie positive.
La référence 2 donne une formulation associée au problème en {u, @} que nous reprenons ci-dessous en introduisant la pression acoustique comme une charge mécanique extérieure ( équation (6) ).
L'équation (9) ainsi que sa dérivée normale peuvent être réécrites sous la forme équivalente suivante, en utilisant l'égalité (7):
Par combinaison de (11),(12) et (13), en remplacant w par vin; dans (12), on obtient la forme faible (10) du problème complet avec:
(15) Les éléments finis utilisés pour la discrétisation des milieux piezoélastiques et de la frontière de couplage fluide-structure sont le triangle et le segment de degré 2 isoparamétriques. La minimisation de la fonctionnelle (10) nous conduit au système matriciel complexe suivant :
Ku, - w 2 (Mu,
+
M f ) K u +I C $ (16)
h', 0 ICPP
L'intérêt de la technique est l'obtention d'un système symétrique, que l'on sait résoudre de façon très efficace numériquement; c'est aussi la régularisation des intégrales singulières de (9) qui simplifie grande- ment leur traitement numérique par rapport à la méthode classique de collocations.
3- A p ~ l i c a t i o i i
Nous avons implémenté dans le code piézoélectrique déjà développé E.T.BID. le couplage élasto- acoustique. Pour valider le rayonnement ( partie acoustique ), on présente le calcul du champ rayonné
- S . 8.A
-
FIGURE 1 : Pression rayonnée par le piston bafflé. - -
-
: Eléments Finis,-
: AnalytiqueCOLLOQUE DE PHYSIQUE
par un piston bande de largeur 2X, bafflé rigide sur 3X de part et d'autre. Ce calcul nécessite, avant propagation par (9), la résolution du système (16) pour obtenir pression et déplacement sur la frontière.
La figure 1 donne la comparaison avec le calcul analytique du même piston baffié infini.
Un exemple plus concret est constitué par l'étude d'un transducteur de type fEeztenseur classe I V dont la figure 2 donne le maillage. Le modèle est en bon accord avec les mesures tant sur le plan des réponses électriques ( résonnance très bien localisée par balayage en fréquence ), qu'au niveau de la directivité. Pourtant, l'objet modélisé est loin de la géométrie bidimensionnelle puisque sa dimension transversale est du même ordre que les autres. On voit donc l'intérêt de cet outil très économique par rapport à un code tridimensionnel, et néanmoins performant.
FIGURE 2 : Maillhge du flextenseur et carte d'intensité à la résonnance
Enfin, pour montrer les fonctionalités que nous utilisons, signalons les cartes intensimétriques, comrne celle donnée à titre d 'exemple en figure 2, dont l'étude constitue une nouvelle approche énergétique de l'efficacité des sources sonores.
4- Conclusioii
Dans cet article, nous avons décrit une façon de modéliser efficacement le rayonnement d'un système acoustique en tenant compte des couplages piézoélectrique et fluide-structure. Les pertes internes dans les matériaux sont prises en compte par l'utilisation de constantes mécaniques complexes. L'utilisation de la formulation intégrale permet de résoudre précisement le problème en évitant le maillage du domaine fluide ainsi que les hypothèses de raccordement à la frontière de ce dernier avec le milieu infini. De plus, la formulation variationnelle unique décrivant l'ensemble du problème nous amène a résoudre un système linéaire symétrique.
La mise en oeuvre dans la cas bidimensionnel fournit un outil bien plus économique que le 3D, ce qui le rend utilisable en phase d'optimisation de transducteurs. La possibilité de visualiser le champ proche émis, sous forme d'isopressions ou mieux, en carte intensimétrique est susceptible d'apporter beaucoup à la conception de transducteurs optimaux.
Les résultats obtenus dans le cas d'un flextenseur classe IV, de dimension transversale du même ordre que les autres, ont montré à quel point la précision peut être excellente.
Référeiices
1 E.T.BID. : "Etude de Transducteurs BIDimensionnels"; développé à THOMSON SINTRA ASM.
2 M. Naillon, R.H. Coursant, F. Besnier, "Analyse de structures piézoélectriques par une méthode
I l
d'éléments finis", Acta Electronica, 25(4), 1983, p p 341-362.
[3] J.B. Iieller and D. Givoli, "Exact non-reflecting boundary conditions", Journal of Computationilal Physics, 82, 1989, pp 172-192.
[4] H.A. Schenck, "Improved integral formulation for acoustic radiation problems", J. Acous. Soc. Am., 44(1), 1968, pp 41-58.
[5] M.A. Hamdi, "Formulation variationnelle par équations intégrales pour le calcul de champs acous- tiques proches et lointains", thèse de doctorat d'Etat, Université de Technologie de Compiègne, 1982.
