corrigé EXERCICE 1 : 1) Limites ÉPREUVE ÉCRITE / ÉPREUVE spécifique / option technologique / Mathématiques

corrigé

VOIE TECHNOLOGIQUE

EXERCICE 1 :

1) Limites

 

   

0

0 0

lim lim

lim 0

x

x x

f x g x

x













   

  



0,

  

^{2 1 ln} 1

2

x g x x x

x x

 

        

  

lim2 0 lim 2 ln 1 1 lim

ln 2

lim 0

x

x x

x

x x g x

x x x

x



 



         

2) Dérivée

La fonctiongest dérivable sur



^0,



comme somme de fonctions dérivables sur



^0,





0,



'

 

¹ 1 0

x g x 2

     x  , comme somme de termes strictement négatifs

3)

 

 

 

       

continue puisque dérivable sur 0,

strictement décroissante sur 0, l'équation 0 a une seule solution dans 0,

0, , qui contient 0

g

g g x

g



   

    

Cette solution est notée 4)

 

 

1 1 0

3 0 1

2 g

g e ^{ }e ^     e

   

De plus f

 

 g

 

    5)

La fonctionfest dérivable sur



0,



(somme de fonctions dérivables sur



0,



)



0,



, '

 

¹ 0

x f x 2

x

    

La fonctionfest donc strictement décroissante sur



0,



6) P n

 

^:"1une^"

Initialisation : u0 1 1,2

 

doncP

 

0 vraie Hérédité : pour unn0, P n

 

vraie

On a alors 1

 

³

   

1 2

n 2 n

u e f e f u f

       car fest décroissante sur



^0,



On obtient 1u_n1edonc P n



1



vraie Conclusion :  n ,1u_ne

7)



0,



, '

 

¹ 0

x f x 2

x

    

Alors



0,



, '

 

¹

x f x 2

    x

Si 1 x ealors 1 1 1 1

e x  (puisque la fonction inverse est décroissante sur



0,



) On a donc



0,



, '

 

^{1 1}

2 2

x f x

    x

 

         

La fonction est d rivable sur 1,1, , ' 1 pour tous réels et de 1, , 12 2

f é e

a b e f b f a b a

x e f x

    

   

Prenonsa 

 

^1,e _et b u n

 

^1,e pour tout entier natureln

Il vient que ,

   

1 1

n n 2 n

n f u f  u_  u 

      

8)

 

:" ¹



1 "



n 2n

Q n u   e

Initialisation : u₀     1   1et ¹₀



1



1 2 e  e Commee, on a    1 e 1doncQ

 

⁰ vraie

Hérédité : on suppose que pour unn0, ¹



1



n 2n

u   e

Alors 1 1 1 1



1



2 2 2

n n n

u_   u    e soit 1 1

 

1 1

n 2n

u_   _ e doncQ n



¹



vraie

Conclusion :  n , ¹



1



n 2n

u   e

1  1 ⁿ 1

EXERCICE2 : I. Calcul deu n

1) 1 9 0 1 0 ₂

0 9 0 1

PQ9    I

    est bien une matrice diagonale La matrice

2 2 3 3 6 0 2 0

1 3 1 3

2 2 1 0 3 1

9 1 9 0

3 3

D QAP

   

       

          

est une matrice diagonale

2) PQ I 2doncPest inversible etP^1Q

3) ^* 1 ^{1 1}

2 1 1

0 1

, 1 2 2 1

3 9 9 3

n n n

n n

n n n n

u u u

n X AX

u u u u

 



  

   

      

          

En multipliant à gauche chaque membre de l’égalitéY QX_n _npar la matricePon tire l’égalité

n n

PY PQX soit PY_nX_n

On a alors Yn1QXn1QAXnQAPYnDYn

4) Montrons par récurrence que  n ^*,Y_nD Y^n1₁

Initialisation : D Y D Y I Y Y^{1 1} ₁ ⁰ ₁ _{2 1} ₁donc la proposition est vraie pour n1 Hérédité : pour unn1, on suppose que Y_nD Y^n1₁

AlorsY_n1DY_nDD Y D Y^n1₁ ⁿ ₁, la propriété est bien héréditaire Conclusion :  n ^*,Y_nD Y^n1₁

5) 1 ¹

2

X u u

   

 , ₁

4 4

1 3 0

1 2 3 4 1 34 274

9 9

9 3 27

Y

   

     

  

               

1 1

* 1

1 1 1

2 0 4 4 2

3 27 27 3

, 0 31 274 274 31

n n

n

n n n

n Y D Y

 



 

       

         

   

          

6) On a vu que X_nPY_ndonc

1 1 1

1 1 1

4 2 4 2 4 1

3 3 27 3 9 3 9 3

2 1 4 1 8 2 4 1

27 3 27 3 27 3

n n n

n n n n

X

  

  

          

         

           

                

On a donc 4 2 ¹ 4 1 ¹ 4 2 ¹ 1 ¹

9 3 9 3 9 3 3

n n n n

un

      

       

           

        

II Probabilités 1)

a) On effectue népreuves identiques et indépendantes.

A chaque épreuve deux issues : succès: on obtient pile avec la probabilité2 3 échec





La variable aléatoireXcompte les succès donc ,2 X B n 3

  

 

0, ,

 

^{2 1}

3 3

k n k

k X n P X k n k

    

              

b)

 

²;

 

²

3 9

E X n V X n 2)

a) On effectue des épreuves identiques et indépendantes

A chaque épreuve deux issues : succès: on obtient pile avec la probabilité2 échec 3





La variable aléatoireYest le temps d’attente du premier succès donc 2 Y G 3

   

 

^*,

 

^{1 1 2}

3 3

k

k Y P Y k    ^

             b)

 

³;

 

^{1 9 3}

2 3 4 4

E Y  V X    3)

 

2 ( )2 1 2

v p D p F F =^{p F p F}

   

^{1 2} car les deux évènements sont indépendants Donc

2

2 2 4

3 9

v    



 

 ^{ }    

3 1 2 3 1 2 3

v p F F F p F p F p F car les trois évènements sont indépendants Donc 3 1 2 2 4

3 3 3 27 v    

Alors1 2 2 1 1 4 0 4 3

3v 9v    3 9 27v

4) Si au premier lancer on obtient pile, pour que l’évènement Dn_2se réalise (c’est à dire pour obtenir un double pile pour la première fois au rangn 2 3) il faut obtenir face au deuxième lancer, il restera nlancers pour obtenir un double pile pour la première

       

1 2 1 2 2 1 2 1 2 2

2, F n _F n _{F F F} n

n p D p F D p F p _ D

    

1( )2 ( )2 1

3 p FF p F  et

1 2( _n2) ( )_{n n}

pF F D p D v et 2, ₁



2



1

n 3 n

n p DF _ v

  

5) Si au premier lancer on obtient face, pour que l’évènement D_n₂se réalise (c’est à dire pour obtenir un double pile pour la première fois au rangn 2 3) il restera



1n



lancers pour obtenir un double pile pour la première fois Donc  n 2,p DF₁



n2



p D



n1



vn1

6) F¹ et F¹forment un système complet d’événements, la formule des probabilités donne :

      ^{  }

1

^  

1

^{ }

2 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2, _{n n n n F n F n}

n v p D p F D p F D p F p D p F p D

        

Ce qui donne : 2, ₂ 2 1 ₁ 1 2 ₁ 1

3 3 3 9 3

n n n n n

n v v v v v

      

7)

La suite v vérifie 1 0, 2 4

v  v 9 et ^*, 2 2 1 1

9 3

n n n

n v v v

   

La partie I permet d’écrire :

 

^{4 2 1 1 1} .

9 3 3

n n

n n

v P D

 

    

      

   

 

 

8) pourn2, EnD2 ... Dn union d’événements deux à deux incompatibles On en déduit que pourn2,

  ^{ }

2 n

n k

k

p E p D







^donc

^{ }  

2

1 1 ⁿ

n n k

k

p E p E v



   



9)

 

^{1 1 1 1}

2 1

4 2 1 4 2 1

1 1 .

9 3 3 9 3 3

k k k k

n n

n k k

p E

   

 

         

 



      



     

En posanti k 1,

 

^{1 1 1}

0 0 0

4 2 1 4 2 1

1 1

9 3 3 9 3 3

i i i i

n n n

n i i i

p E ^{  }

  

        

 



       



   



 

Finalement

 

2 1

1 1

4 3 3

1 9 1 23 1 31

n n

p En

     

      

 

  

     

  

 

Comme 1 2 1

  3 et 1 1 1 3

   , lim 2 0 3

n

n     etlim 1 0 3

n n

  

 

 

 

^{4 1 1 4 3 4 1}

lim 1 9 1 4 1 9 3 4 1 3 3 1 1 0

3 3

n_p En

 

     

 

               

   

   

 

EXERCICE 3 :

1)  x



0,



,1e^x0(somme de termes strictement positifs), donc la fonctionfest dérivable sur



0,



(inverse d’une fonction dérivable ne s’annulant pas sur



0,



)

On a

 



²



²

^{     }

0, , '( ) ( ) 0, , '

1

x x

x f x e h x x h x f x

e

           





0,



,1 ^x 0

x e^

     , donc la fonctiongest dérivable sur



0,



comme composée légitime de fonctions dérivables

On a



^0,



^{, '( )}



¹²



²



¹



¹²

^

^0,

^{  }

^{, ' ( )}

x x

x x x x

e e

x g x x g x f x

e e e e

 

 

          



 

2)  A



0,



,



₀^Ah x dx

 

  f x

 

₀^A f A

 

f

 

0 1 f A

 



0,



A

   ,



₀^Af x dx

 

g x

 

₀^Ag A g

   

 0

3)  A



0,



, posons u x

 

x v x h xet '( ) ( ) f x'

 

On a u x'

 

1etv x

 

 f x

 

avec les fonctionsuetvde classe C¹sur



0,



puisqueuest de classeC¹sur



0,



(fonction affine) etvest de classe C¹sur



0,



(f est de classe C¹sur



0,



comme inverse d’une fonction de classe C¹ne s’annulant pas sur



0,



) L’intégration par parties est possible et donne :

   

₀

           

0^Ah x dx  x f x ^A 0^A f x dx A f A  0^Af x dx A f A g A g  0

  

4)

 

 

   

0

0 0 2

lim 0

0 0 non continue en 0

2 1

lim lim

1 2

x

x x

x x

h x

h h

h x e

e



 



 

 

  



  

 

 5)

a) La fonctionhest continue sur



,0



car nulle et la fonctionhest continue sur



0,



comme quotient de fonctions continues sur



0,



dont le dénominateur ne s’annule pas sur



0,



: la fonction h est donc continue sur sauf en 0 (question 4)

b)   x



,0 ,

  

h x  0 0et  x



0,

  

,h x 0donc la fonctionh est positive sur

c) ^h x dx

 

₀^h x dx

 

 

 

sous réserve de convergence



0,



,

 

¹ 0

1 ^{x x}

x f x

e ^

    

 , puisque lim ^x

x e

  

Donc ₀^A

 

1

 

1 h x dx f A A

  



L’intégrale ^h x dx

 



 converge et vaut 1

Conclusion : la fonctionh est une densité de probabilité

6)

   

₀

   

0 si 0

, si 0 1 1 2 1

1 1

x x x

x x

x

x H x h t dt x h t dt f x e

e e



 

  



  



      

7)



ln 2 1

 

ln 2 1

  

ln 2 1 ^{1 2} P Z  P Z  H   3 3



ln 2 ln8

  

ln8

 

ln 2 ^{7 1 4} 9 3 9

P  Z H H   

 

   

 

ln 2

ln 2 ln8 4 3 2

ln8 ln 2 9 2 3

Z

P Z

P Z

 P Z

      

 8)



,0 ,

  

0 ¹

x H x 2

    



0,



,

 

^{1 1} 2 2 1

1 2

x x x

x

x H x e e e

e

         

 , puisque  x



0,



,1e^x0

Nous avons donc

 

¹ 3 ln3

2

H x  ex  x

La médiane de la variable aléatoire Z est donc ln3 9) Sous réserve de convergenceE Z

 





_^xh x dx

 





₀^xh x dx

 

Or  A



0,



,



₀^Axh x dx

 

 A f A g A g

     

  0



0,



A

   ,

 

^{2 2} 0

1

1 ^{A A A}

A f A A

e e

A A

  

 

En effet lim¹ 0 et lim ^x



limite usuelle



x x

e

x x

    

Comme lim_x e^x 0

  , nous avons _Alimg A

 

2ln1 0

   

Conclusion ₀^Axh x dx

 

_A g

 

0 2ln 2

  



La variable aléatoire Z admet donc une espéranceE Z

 

et E Z

 

2ln 2