Quelques calculs d’homologie cellulaire

5MF52 Topologie algébrique 2018–19

Quelques calculs d’homologie cellulaire

Rapides rappels ( ?) sur l’homologie cellulaire

Une décomposition cellulaire d’un espace topologique séparé X est la donnée d’un ensemble E de parties deX (appelées cellules) vérifiant :

— pour toute cellulee∈ E,eest homéomorphe à une boule ouverte,

— E forme une partition de X,

— en notantX^(k)la réunion des cellules de dimension≤k(que l’on appellek-squelette de la décom- position), il existe pour toute celluleede dimensionk, une application continue Φ_e: (Bk,Sk−1)→ (X^(k−1)∪e, X^(k−1)), appelée application d’attachement, qui induit un homéomorphisme entre Bk\Sk−1et e.

Le quotient X^(k)/X^(k−1) est homéomorphe à un bouquet de sphères de dimension k, chaque sphère correspondant à unek-cellule.

On fixe un anneau non-nul A. Etant donnée une décomposition cellulaire deX, on note Cm le A- module engendré par les cellules de dimensionm, et on définit une application linéaire∂m:Cm→C_m−1 par la formule

∂m(c) =X

d

N(c, d)d,

oùc est unem-cellule,dparcours l’ensemble desm−1-cellules. Sim≥2, le scalaireN(c, d) est le degré de l’application S^m−1→S^m−1 obtenue comme la composition

S^{m−1 Φ}

c|

Sm−1

−→ X^(m−1)→X^(m−1)/X^{(m−2) Ψ}−→^d S^m−1,

où Ψ_d est la projection canonique sur le quotient du bouquet de sphères X^(m−1)/X^(m−2) obtenu en écrasant toutes les sphères autres que celle correspondant à la celluled. Sim= 1, le scalaireN(c, d) est 1 ou −1 si la 0-celluledcorrespond à l’extrémité supérieure ou inférieure de la cellulec, et est 0 sinon.

Theorème. Les applications∂_•forment une différentielle surC_•. Les groupes d’homologie du complexe de chaines ainsi obtenu ne dépendent pas de la décomposition et sont isomorphes à l’homologie singulière deX.

Exercice : calculs d’homologie cellulaire pour les exemples classiques.

Pour chacun des espaces suivants, donner une décomposition cellulaire puis calculer les groupes d’ho- mologie. En particulier, qu’obtient-on pour A=Zet A=Z/2Z?

1. La sphèreSⁿ={x∈Rⁿ⁺¹| kxk= 1}, 2. Le toreT²=R²/Z²,

3. La bouteille de KleinK²=R²/∼, où (x, y)∼(x⁰, y⁰) si et seulement s’il existe (n, k)∈Z² tel que x⁰= (−1)^kx+nety⁰=y+k,

4. L’espace projectif réelPⁿ(R), 5. L’espace projectif complexePⁿ(C).

Un autre exercice pour aller plus loin¹.

1. Montrer que pour tout entier naturel ket tout entier n≥1, il existe une application de degrék, de la sphèreSⁿ dans elle-même.

2. Montrer qu’il existe un espace topologique simplement connexeX tel queHn(X,Z) soit isomorphe à Z/kZ, etHi(X,Z) = 0 si i6= 0, n.

3. Montrer que pour tout groupe abélien de type finiG, il existe un espace topologique simplement connexeX tel queHn(X,Z)'G, etHi(X;Z) = 0 sii6= 0, n. Un tel espace est appelé espace de Moore.

1. Tiré de : https ://www.math.u-psud.fr/∼paulin/notescours/cours_topoalg.pdf