à rendre pour le

(1)

Devoir n

^◦

8 à rendre pour le

^7/1/08

Graphes stables par homothétie

1 Étudiez la fonction f1 : x 7→ f1(x) = 6x+ 3

4 + (x+ 3

2) sin(ln

¯¯

¯¯x+ 3 2

¯¯

¯¯) (branches innies comprises; on pensera, pour étudier le signe de la dérivée, à utiliser la trans- formation Acosx+Bsinx=Kcos(x+φ)). Montrer que le pointA(−3/2,−3/2) est centre de symétrie du graphe de f1.

2 On dit qu'une courbe est stable par l'homothétie h = Hom(C;k) (de centre C et de rapportk) si pour tout point M de la courbe, l'imageM⁰ =h(M)(avec −−→

C M⁰ = k−−→

C M) du point appartient aussi à la courbe, et réciproquement. Déterminer l'image de M (de coordonnées (x;y)) par h = Hom(A;k). Montrer qu'il existe un plus petit nombre k0, avec k0 > 1, tel que le graphe de f1 soit stable par l'homothétie h= Hom(A;k0).

3 Montrer que la fonction f1 commute (c'est-à-dire que f ◦ϕ = ϕ◦ f) avec une fonction ane de la formeϕ:x7→ϕ(x) =ax+b(aveca6= 1) que l'on déterminera.

Plus généralement, montrer que sif commute avecϕ, le graphe def est une courbe stable par une homothétie que l'on précisera.

4 On prolonge f1 en −3/2 par continuité, et on note f˜1 la nouvelle fonction ainsi obtenue. Étudier la limite (quand x tend vers −3/2) de f˜1(x)−f˜1(−3/2)

x+ 3/2 . Que pensez-vous de la dérivée éventuelle de f˜1 en −3/2? Comment peut-on interpré- ter géométriquement cette situation, compte tenu de la propriété trouvée en 2 ? Comment expliquez-vous que rien d'exceptionnel ne semble appara^tre sur le graphe fourni par les calculettes (ou par Maple) ?

5 On va à présent s'intéresser à des fonctions g dont le graphe est stable par une homothétie de centre O. Par changement de repère, donner un exemple d'une fonction ayant cette propriété, et construite à l'aide de la fonction f1 (on la notera désormais g1). On dira (pour abréger) qu'une telle fonction est k-stable (où k 6= 1 est le rapport d'homothétie). Quelles sont les fonctions(−1)-stables ? Montrer que les fonctionsk-stable sont celles qui commutent avec l'application linéaireϕ0 :x7→

ϕ0(x) =kx. Montrer que si g est k-stable, et si0∈Dg, on a g(0) = 0.

6 Montrer que si g et h sont k-stable, et si g(x) = h(x) pour tout x ∈

[

^1;^k

[

^(avec

k >1), on ag(x) =h(x)pour toutx > 0(on pourra commencer par raisonner par récurrence sur l'intervalle

[

^kⁿ^{, k}ⁿ⁺¹

[

^).

7 Soit g une fonction k-stable (avec k > 0), posant alors h(x) = g(e^x)/e^x, montrer quehest une fonction périodique. Le vérier pour la fonctiong1. La réciproque est- elle vraie, autrement dit, partant d'une fonction h périodique, obtient-on toujours ainsi une fonction g qui soit k-stable ? Construire ainsi un exemple d'une fonction k-stable (dénie sur

]

^{0; +∞}

[

^{), avec} h(x) = Frac(x). Que vaut k dans ce cas ? Que se passe-t-il sur

]

^−∞,⁰

]

^?