________ Calcul et mise en équation ________

Département TECHNIQUES DE COMMERCIALISATION

MATHEMATIQUES

Semestre 1

________ Calcul et mise en équation ________

CORRIGES TD et exercices

Document en ligne : sur http://jff-dut-tc.weebly.com section BUT TC.

%

1 Taux et élasticité

1.1 Proportionnalité

1.1.1 Compléter le tableau suivant, sachant que les listes sont proportionnelles :

Liste 1 5 6 12 14,8 28

Liste 2 12,5 15 30 37 70

Liste2 = 2,5×Liste1 1.1.2 Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles

14 35 49 42 1 1,4 63

10 25 35 30 5/7 1 45

1.1.3 Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?

a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5

5 50 10 2 34 22

d. 2 5 e. 2 4 10 20 50

20 50 14 28 70 140 350

On vérifie que les produits en croix sont égaux dans a., c. et d. et qu’ils ne le sont pas dans b.

Pour le tableau e., le plus simple est de vérifier les rapports : on constate qu’ils sont tous égaux (par exemple, le rapport de la deuxième ligne par la première vaut 7).

1.1.4 Cours de la bourse et consommation des ménages : proportionnalité ?

date janv-09 févr-09 mars-09 avr-09

CAC 40 3588 3825 3644 3860

indice conso 115 122,6 116,8 123,7

3588/115 = 31,2 et les autres rapports ont la même valeur, à très peu de choses près.

On pourra dire dans la pratique qu’il y a bien une relation de proportionnalité.

1.1.5 On relève, dans un groupe, les évolutions comparées du CA annuel et du nombre moyen d'employés de la même année :

année N N+1 N+2 N+3

A : CA (M€) 250 300 320 280

B : nombre d’employés 1500 1800 1920 1680

a. Quelle formule pourrait-on établir pour calculer directement B en fonction de A ? On remarque que B = 6×A

b. Donner une estimation du nombre d'employés pour que le CA monte à 350 M€ en N+4.

B = 6×350 = 2100 employés

c. Si en N+4 on compte 1560 employés en moyenne, donner une estimation du CA.

A = 1560 / 6 = 260 M€

1.1.6 Un lot de 15 articles est vendu 87 €, mais ils peuvent être vendus à l'unité. Combien coûtent 6 articles ?

1 2

nb 15 6

coût 87 P P = 6×87 / 15 = 34,8 €

1.1.7 Si 100 g d’un aliment donné fournissent 300 kJ, combien une portion de 30 g fournit-elle ?

1 2

masse (g) 100 30

1.1.8 Un producteur de cerises vend pour 22 € sa caisse de 12 kg.

a. Dire combien il vendrait une caisse de 5 kg.

« Coefficient de proportionnalité de la masse vers le prix » = prix au kg = 22/12.

Prix de 5 kg : 5×22/12 = 9,167 €.

b. Il a estimé son bénéfice à 0,80 €/kg. Quelle quantité vendre pour en retirer un bénéfice de 1000 € ? 1000/0,8 = 1250 kg.

1.1.9

a. Un taille-haies mesure 0,80 m pour une puissance de 2 cv ; un autre mesure 1,10 m pour une puissance de 3 cv. Puissance et longueur sont-elles proportionnelles ?

Produits en croix : 0,8×3 = 2,4 et 1,1×2 = 2,2. Elles ne sont pas proportionnelles.

b. Un taille-haies mesure 0,80 m pour une puissance de 2 cv ; puissance et longueur sont proportionnelles. Calculer la puissance d’un taille-haies mesurant 1 m.

1×2/0,8 = 2,5 cv.

1.1.10 Un employé est payé en fonction du temps de travail comme l’indique le tableau ci-contre : a. Est-ce un tableau de proportionnalité ? pourquoi ?

Oui, car le salaire vaut 12 multiplié par le temps.

b. Calculer le salaire correspondant à 85 h 30 min de travail.

85,5×12 = 1026 €.

c. Calculer le temps de travail nécessaire pour obtenir un salaire de 1 755 € ; exprimer le résultat en heures minutes.

1755/12 = 146,25 h = 146 h 15 min.

1.1.11 On donne la répartition, en proportion, de la consommation d’eau des ménages en France : alimentation : 3/50 ; vaisselle : 1/10 ; lavage linge : 3/25 ; hygiène : 2/5 ; WC : 1/5 ; autres : 3/25.

Quelle est la source de consommation la plus gourmande en eau ? La moins gourmande ? Les fractions doivent être comparables : on peut en calculer chaque valeur, ou les écrire sur le même dénominateur (solution proposée ici). Dans l’ordre : 3/50, 5/50, 6/50, 20/50, 10/50, 6/50.

La source de consommation la plus consommatrice d’eau est l’hygiène, et la moins est l’alimentation.

1.1.12 Une bouteille d’une capacité de 1,5L est partiellement remplie de jus d’orange. Calculer le volume restant, sachant qu’on a réalisé les mesures suivantes : à l’endroit, on remarque que

jus d’orange remplit un cylindre de 18 cm de hauteur ; à l’envers, le cylindre d’air mesure 12 cm de hauteur.

Si la bouteille était totalement cylindrique, sa hauteur serait donc 30 cm, dont 18 cm de jus d’orange. La proportion de jus d’orange est 18/30^e du volume total de la bouteille. 18/30 × 1,5L = 0,9L.

1.1.13 On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux.

On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m).

a. Quelle sera l'échelle de la maquette ?

échelle = dim(maquette) / dim(réalité) = 30 cm / 30000 cm = 1/1000^e.

b. Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ? 12000 m / 1000 = 12 m.

c. Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité de 55m × 50m × 20m ?

En divisant ces dimensions par 1000, on obtient : 55 mm, 50 mm et 20 mm.

1.1.14 Afin de monter une petite entreprise, trois amis, Paul, François et Marc ont besoin de 200 000 €. Ils décident d’investir respectivement 94 000 €, 61 000 € et 45 000 €. Au bout d’un an ils réalisent un bénéfice total de 75 000 € qu’ils se partagent proportionnellement à leurs investissements.

Temps (h) 1 10 50 Salaire (€) 12 120 600

Paul François Marc Total

investissement (k€) 94 61 45 200

bénéfice (k€) 35,25 22,875 16,875 75

1.1.15 Trois vendeurs ont reçu chacun une prime, proportionnelle au montant des ventes qu’ils ont réalisées dans le mois. Le vendeur A a vendu pour 12 000 € , le vendeur B pour 8 000 € et le vendeur C pour 11 000 €. Sachant que le vendeur B a reçu 200 € de moins que le vendeur A, calculer le montant de chaque prime.

Le vendeur A a réalisé 4000 € de chiffre d’affaires de plus que le vendeur B, et il a reçu 200 € de prime en plus que ce dernier. La prime vaut donc un vingtième du CA.

Les primes de A, B et C sont donc : 600 €, 400 € et 550 €.

1.1.16 Compléter le tableau suivant, sachant que les deux listes sont inversement proportionnelles :

février mars avril mai juin

28 15,08 12 8 5 Jours de pluie dans le mois

70 130 163,3 245 392 Nombre de visiteurs

28×70 = 1960. Chacun des autres produits doit avoir cette valeur.

Ici, le nombre de visiteurs est proportionnel à l’inverse du nombre de jours de pluie : on pourra réaliser un tableau de proportionnalité entre ces deux grandeurs pour effectuer des produits en croix et vérifier les résultats.

1.1.17 Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de sa masse. Un diamant de 0,45 g vaut 3 000 €.

a. Combien coûte un diamant de 0,693 g ?

b. Quel est la masse d'un diamant valant 30 000 € ?

Réalisons un tableau contenant le carré de la masse ! (seules les 2^e et 3^e lignes sont proportionnelles)

masse (g) 0,45 0,693 1,423

carré 0,2025 0,480249 2,025

prix (€) 3000 7114,8 30000

1.2 Taux simples

1.2.1

Taux de 20 par rapport à 25 : 20/25 = 0,8 = 80%

Taux de 50 par rapport à 48 : 50/48 = 1,042 = 104,2%

Taux de 8 par rapport à 32 : 8/32 = 0,25 = 25%

Taux de 56 par rapport à 28 : 56/28 = 2 = 200%

1.2.2 Trouver les valeurs manquantes, en considérant un taux (1ère ligne) d'une valeur donnée (1ère colonne).

1% 5% …25…% 50% 150%

40 …0,4… …2… …10… …20… …60…

80 …0,8… 4 20 …40… …120…

100 …1… …5… …25… …50… …150…

…300… …3… 15 75 …150… …450…

800 …8… …40… …200… …400… …1200…

Il s’agit d’un tableau de proportion. On peut donc partir du principe que chaque ligne est multiple d’une autre, idem de chaque colonne. On peut aussi raisonner en « parts » :

1% = un centième ; par exemple : 1% de 80 = 0,8 5% = un vingtième ; par exemple : 5% de 40 = 2 25% = un quart ; par exemple : 25% de 800 = 200

1.2.3 M. D. est représentant pour sa société. Sur le montant de chaque vente qu'il réalise, il touche cette année une commission de 15 %.

Deux façons de procéder : calcul général : COM = t × CA tableau de proportions €/% :

€ %

COM

A 100

1. Ce mois-ci, il a fait un chiffre d'affaires de 14 000 €. Combien a-t-il gagné en commissions ?

COM = 15% × 14000 = 2100 € € %

COM 15

CA 14000 100

2. Le mois dernier, il a touché 850 € de commissions. Quel a été son chiffre d'affaires ? 850 = 15% × CA, donc CA = 850/15% = 5667 € € %

COM 850 15

CA 100

3. Au même mois de l'an dernier, il avait touché 1032 € pour un CA de 8600 €. Quel pourcentage de commission touchait-il sur ses ventes ?

1032 = t × 8600, donc t = 1032/8600 = 0,12 = 12% € % COM 1032

CA 8600 100

1.2.4 Lors d’une élection, 44 551 212 personnes étaient inscrites. Il y a eu 22% d’abstention. A l’issue du vote, un candidat a reçu 19 856 077 voix. Quel a été le pourcentage réalisé par ce candidat ?

Cela dépend si on prend pour base le nombre d’inscrits ou le nombre de votants.

Inscrits : 19856077 / 44551212 = 0,4457 = 44,57%

Votants : 78% de 44551212 personnes ont voté, soit 34749945 personnes.

19856077 / 34749945 = 0,5714 = 57,14%

1.2.5 Les experts disent que 25% des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures à la tête et que, parmi toutes ces blessures à la tête, 80% sont fatales. Quel pourcentage des accidents graves de bicyclette entraînent des blessures mortelles à la tête ?

80% de 25% = 80%×25% = 80/100×25/100 = 0,20 = 20%

1.2.6 Lu dans la presse... où tout est relatif... : Le "oui" l'emporte avec 66,3 % (contre 33,7 % pour le

"non"), mais la participation des Niçois a été de 22,71 % seulement.

Quel pourcentage de la population niçoise inscrite a effectivement voté pour le "oui" ? 66,3% de 22,71% = 0,663×0,2271 = 0,1506 = 15,06%

1.2.7 Les étudiants se répartissent en trois catégories : premier cycle, deuxième cycle, troisième cycle. Les étudiants du premier cycle sont plus nombreux que ceux de chaque autre catégorie, alors que ceux du troisième cycle sont deux fois moins nombreux que ceux du deuxième cycle. Parmi les affirmations suivantes, lesquelles sont sûres ?

a. La répartition suivante est possible : 1er cycle : 58%, 2e cycle : 28%, 3e cycle : 14%

b. Les étudiants du premier cycle représentent plus de 50% du total des étudiants c. La répartition suivante est possible : 1er cycle : 46%, 2e cycle : 36%, 3e cycle : 18%

d. Les étudiants du premier cycle représentent plus du double des étudiants du troisième cycle Pour a. et c., les deux critères sont bien vérifiés ;

Le premier critère n’impose pas que le nombre d’étudiants du premier cycle soit supérieur à la somme des étudiants des deux autres cycles (mais seulement supérieur à chacun d’eux), donc b. n’est pas sûr.

Puisque le nombre d’étudiants du premier cycle est supérieur à celui des étudiants de deuxième cycle, lui-même étant le double des étudiants de troisième cycle, d. est vrai.

1.2.8 Une enseigne de vêtements a acheté une nouvelle collection de Jean’s 40 € pièce. À combien doit- elle fixer son prix de vente pour que son taux de marge soit le double de son taux de marque ?

Notons PV le prix de vente cherché. La condition se traduit par : (PV – 40) / 40 = 2 × (PV – 40) / PV.

En simplifiant : 1/40 = 2/PV, soit 40 = PV/2 et donc PV = 80.

L’enseigne doit fixer son prix de vente à 80 €.

En effet : taux de marge = 40/40 = 100% ; taux de marque = 40/80 = 50%.

1.2.9 J'ai ramassé des champignons contenant, frais, 90 % d'eau. Une fois séchés, ils ne contenaient plus que 30 % d'eau et pesaient 1,5 kg. Quelle était leur masse lorsqu'ils étaient frais ?

Les champignons sont composés de matière sèche et d’eau. Pour un total de 1,5 kg, la matière sèche représente 70%, soit 1,05 kg. Lorsqu’ils contiennent 90% d’eau, leur matière sèche ne représente donc qu’un dixième de leur masse totale. Cette dernière vaut donc 10,5 kg.

1.3 Indices

1.3.1 Coût d’achat moyen du coton : 1,84 €/kg année N ; 2,12 €/kg année N+1 ; 1,53 €/kg année N+2. En fixant l’indice initial du cours du coton à 1000 pour l’année N, calculer les indices du cours en N+1 et N+2.

Il suffit d’organiser ces données dans un tableau et d’appliquer la règle de trois :

coût 1,84 2,12 1,53

indice 1000 1152,17 831,52

1000 × 2,12 / 1,84 = 1152,17 1000 × 1,53 / 1,84 = 831,52

1.3.2 Si une grandeur était représentée par 344 points d’indice fin août et par 372 points d’indice fin septembre, date à laquelle elle valait 117000 €, combien valait-elle fin août ?

valeur (€) V 117000

indice 344 372 V = 344 × 117000 / 372 = 108194 €

1.3.3 On donne dans le tableau suivant les quantités vendues et les prix pratiqués pour trois produits.

année N année N+1

prix quantité prix quantité

ampoule LED 10W 12 124 11,50 141

ampoule LED 6W 8 207 7,80 176

ampoule LED 4W 6 188 6,50 225

a. Calculer l’indice synthétique des prix, de Laspeyres.

( )

1 0/

11,5 124 7,5 207 6,5 188 4262,6

ampoules 0,9978

12 124 8 207 6 188 4272

LP = × + × + × = ≈

× + × + ×

En synthèse sur ces trois produits, on ne distingue pas une variation notable des prix.

On a calculé le rapport de deux chiffres d’affaires : 4262,6 € est celui qui aurait été obtenu avec les quantités N et les prix N+1, et 4272 € est celui réellement obtenu avec les quantités N et les prix N.

Ces deux chiffres d’affaires sont très proches.

b. Calculer l’indice synthétique des quantités, de Paasche.

( )

1 0/

11,5 141 7,5 176 6,5 225 4456,8

ampoules 1,0456

11,5 124 7,5 207 6,5 188 4262,6

PQ = × + × + × = ≈

× + × + ×

En synthèse sur ces trois produits, on distingue une augmentation notable des quantités.

On a calculé le rapport de deux chiffres d’affaires : 4456,8 € est celui réellement obtenu avec les quantités N+1 et les prix N+1 et 4262,6 € est celui qui aurait été obtenu avec les quantités N et les prix N+1.

Le premier est 4,56% plus élevé que le second.

1.4 Taux de variation

1.4.1 Un hebdomadaire qui publie chaque année une étude intitulée "Quel est le meilleur Lycée ???" a réalisé une de ses enquêtes auprès d'une classe de terminale, afin de connaitre l'évolution du taux de réussite dans ce lycée :

Bac année N année N+1

inscrits reçus inscrits reçus

non redoublants 20 13 16 10

redoublants 2 2 8 7

Voici, à la suite de ce tableau, le commentaire du proviseur et celui d'un élève :

Le proviseur : « Cette nouvelle année marque une progression de presque 4% de la réussite au bac dans cette classe - Je félicite les professeurs ! » Un élève : « Que l'on soit redoublant ou pas, cette année cela a moins bien marché. Bravo les profs ! »

Ces avis sont pour le moins contradictoires... Et pourtant ils sont tous les deux justifiés ! Justifiez-les à votre tour et faites-vous une opinion sur les progrès de ce lycée.

Le proviseur raisonne globalement :

En N, 15 reçus sur 22 inscrits, 15/22 = 0,6818 donc 68,18% de réussite au bac.

En N+1, 17 reçus sur 24 inscrits, 17/24 = 0,7083 donc 70,83% de réussite au bac.

Passer de 68,18 à 70,83 (en %) représente une augmentation de 2,65 points et de 4% environ : 70,83 68,18 %

0,03887 3,887 68,18

− ≈ = .

L’élève raisonne sur des parties de la population :

En N, pour les non redoublants : 13 reçus sur 20 inscrits, soit 65% de réussite au bac.

En N+1, pour les non redoublants : 10 reçus sur 16 inscrits, soit 62,5% de réussite au bac.

Le taux de réussite a baissé pour les non redoublants.

En N, pour les redoublants : 2 reçus sur 2 inscrits, soit 100% de réussite au bac.

En N+1, pour les redoublants : 7 reçus sur 8 inscrits, soit 87,5% de réussite au bac.

Le taux de réussite a baissé pour les redoublants.

Ces résultats sont paradoxaux (« paradoxe de Simpson ») : comment une tendance globale peut-elle être contraire à la tendance de chaque partie ?

La réponse se trouve dans les barycentres (donc dans le cas de valeurs coefficientées) :

le poids de chaque partie n’est pas le même en N et en N+1. En effet, les redoublants représentent 9,09%

de l’effectif en N et 33,3% de l’effectif en N+1. Leur taux de 87,5% de réussite en N+1 pèse pour 33,3%

dans le taux de réussite global de N+1, alors que leur taux de 100% en N ne pèse que pour 9,09% dans le taux de réussite global de N, ce qui est suffisant pour que ce dernier soit plus faible qu’en N+1.

Plus simplement : imaginons deux notes de mathématiques par semestre, sur deux semestres successifs.

Semestre 1 : note 1 : 12 (coef 4) et note 2 : 16 (coef 1) – moyenne : 12,8 Semestre 2 : note 1 : 11 (coef 2) et note 2 : 15 (coef 3) – moyenne : 13,4

Du semestre 1 vers le semestre 2, les notes ont baissé, mais la moyenne a augmenté !

On peut cependant dire que les résultats ont été moins bons au semestre 2… je vous laisse donc vous faire un avis pour le lycée dont les résultats sont donnés plus haut.

1.4.2 Calculer les taux de variation suivants.

Taux de variation de 20 vers 25 : +5/20 = +0,25 = +25%

Taux de variation de 50 vers 48 : -2/50 = -0,04 = -4%

Taux de variation de 28 vers 56 : +28/28 = +1 = +100%

Taux de variation de 56 vers 28 : -28/56 = -0,5 = -50%

1.4.3 Calculer les taux de variation dans les cas suivants.

prix initial prix après variation Taux

120 € 114 € –5%

120 € 126 € +5%

120 € 60 € –50%

120 € 240 € +100%

1.4.4 Un article est vendu 35€. Puis il est soldé : "-40%". À combien se vend-il, soldé ? remise : 40% de 35€ = 40% × 35 = 0,4 × 35 = 14€

nouveau prix : 35 – 14 = 21€

plus directement : une remise de 40% signifie qu’on paiera 60% du prix initial. 60% × 35 = 21€

L’indice de variation vaut 0,6 : la valeur finale vaut 0,6 fois la valeur initiale.

1.4.5 Un magasin, à l'occasion d'une braderie, propose des soldes de 20% sur tous les articles qu'il vend.

On donne dans le tableau ci-dessous les prix auxquels sont vendus divers articles avant les soldes.

article sucre baguette huile fromage salade

prix avant soldes (€) 0,85 0,6 1,8 1,4 0,7

prix pendant soldes (€) 0,68 0,48 1,44 1,12 0,56

a. Compléter ce tableau de valeurs grâce au pourcentage de diminution pratiqué pour les soldes.

Les prix avant sont multipliés par 0,8.

b. Le prix pendant soldes est-il proportionnel au prix avant soldes ? Si oui, donner le coefficient de proportionnalité.

Oui, et le coefficient (de la première ligne vers la seconde) est 0,8.

c. Représenter, dans un repère orthogonal, les points dont les coordonnées sont présentes dans ce tableau (abscisses : prix avant soldes ; ordonnées : prix pendant soldes). Relier ces points.

d. En utilisant votre graphique (uniquement), donner, avec la meilleure précision, les réponses aux questions suivantes :

d1. Quel est le prix pendant soldes d'un article qui coûte habituellement 1,00 € ?

L’axe des abscisses (horizontal) contient les prix avant soldes. On choisit donc la valeur 1 sur cet axe. En remontant sur la droite, puis en visant vers la gauche l’axe des ordonnées, on lit la valeur d’arrivée : 0,8. L’article soldé coûte 0,80 €.

d2. Quel était le prix avant soldes d'un article qui coûte 1,00 € pendant les soldes ?

L’axe des ordonnées (vertical) contient les prix pendant les soldes. On choisit donc la valeur 1 sur cet axe. En se déplaçant horizontalement vers la droite, puis en visant verticalement l’axe des abscisses, on lit la valeur d’arrivée : 1,25. L’article coûtait 1,25 € avant d’être soldé.

1.4.6 Traduisez les taux de variation proposés en un indice de variation (coefficient multiplicateur).

augmentations : de 15%, de 30%, de 22%, de 50%, de 13,2%, de 6,8%, de 100%

baisses : de 15%, de 30%, de 22%, de 50%, de 13,2%, de 6,8%, de 100%

augmentations : 1,15 1,3 1,22 1,5 1,132 1,068 2 baisses : 0,85 0,7 0,78 0,5 0,868 0,932 0

1.4.7 Traduisez les indices de variation proposés en taux de variation

1,18 1,06 0,94 1,005 0,99 0,75

1,54 0,8 0,95 1,074 0,996 3

+18% +6% –6% +0,5% –1% –25%

+54% –20% –5% +7,4% –0,4% +200%

1.4.8 En France, en dix ans, la proportion de jeunes de moins de vingt ans a été multiplié par 0,955.

Traduire cette information par un pourcentage de variation.

Le coefficient multiplicateur vaut 0,955, soit (1 – 0,045) = (1 – 4,5%).

La proportion de jeunes de moins de vingt ans a diminué de 4,5%.

1.4.9 Un magasin de vêtements propose des « soldes -40% ».

1. Le prix normal d’un jean est 48 € ; quel sera son prix soldé ? 48×0,6 = 28,8 €

2. Un t-shirt de prix normal 25 € est soldé à 15 €. Est-ce conforme ? taux de variation : –10/25 = –40% ; ok

3. Une veste est soldée à 108 €. Quel était son prix normal ? 108/0,6 = 180 €

1.4.10 Un commerçant pratique en fin d'année des soldes de 20 %. Son chiffre d'affaires est sur la période de soldes de 15 000 €. Quel serait celui-ci s'il n'avait pas fait de soldes et avait vendu la même quantité de produits ? Quel serait-il si ses soldes avaient été de 30 % ?

15000 = CA sans soldes x 0,8, donc CA sans soldes = 15000/0,8 = 18750 €.

CA 30% = 18750 x 0,7 = 13125 €

1.4.11 Voici deux affichages, vus chez deux vendeurs pour le même produit.

chez Jules chez Jojo

Ici, 20 % de produit en

plus ! Ici, 20 % de remise !!

Laquelle de ces promotions est la plus avantageuse pour l'acheteur ? Appelons P le prix au kg pratiqué par les deux commerçants, hors promotion.

Chez Jules, on a 1,2 kg de produit pour le prix d’un kg. Le prix au kg est donc P/1,2 = 0,8333xP environ.

Chez Jojo, on paye 0,8xP pour l’achat d’un kg, ce qui est donc plus avantageux.

(la promotion de Jules revient à une remise d’environ 16,67%)

1.4.12 L’entreprise ABC a augmenté son chiffre d’affaires de 80 000 € par rapport à l’année dernière, ce qui représente une augmentation de 4 %. Quels sont ses chiffres d’affaires actuel et de l’année dernière ? 4% représentent 80 000 €, donc 100% représentent 25 fois plus, soit 2 M€.

CA an dernier = 2 M€ ; CA cette année = 2,08 M€.

1.4.13 Un article vaut 79 € TTC. Le taux de TVA s’élève à 20 %. Quel est le montant HT ? HT × 1,20 = 79 ; donc HT = 79/1,20 = 65,83 €.

1.4.14

a. Une facture fait état d'un montant hors taxes (HT) de 248,5 € sur lequel devra être appliquée une TVA à 20%. Quel sera le montant TTC de la facture ?

Augmenter de 20%, c’est multiplier par 1,2. 248,5 × 1,2 = 298,2

b. Une autre facture affiche un prix à payer de 71,25 € après remise de 15%. Quel était le prix normal sans la remise ?

Diminuer de 15%, c’est multiplier par 0,85. prix × 0,85 = 71,25. prix = 71,25 / 0,85 = 83,82 1.4.15 Une facture affiche un montant HT (hors taxes) de 526 €. Le taux de TVA est 20 %.

a. Quel est le montant de TVA et le montant TTC (= HT + TVA) ?

Montant TVA : 20% x 526 = 105,2 €. Montant TTC : 526 + 105,2 = 631,2

b. Le vendeur décide d’apppliquer une remise de 10% à son client : calculer le « Net à payer », pour ce dernier, donc le montant TTC baissé de 10%.

Diminuer de 10%, c’est multiplier par 0,9. Prix net : 631,2 × 0,9 = 568,08 €

c. Le client aurait-il payé la même somme si le vendeur avait décidé d’appliquer d’abord la remise de 10%

au montant HT, puis la TVA de 20 % au résultat ? (ce qui est interdit…) Oui, car P x 1,2 x 0,9 = P x 0,9 x 1,2.

1.4.16 La société e-Madissa détient 28% de parts de marché (en volume) sur une catégorie de produits, alors que son principal concurrent i-Passifor en détient 22%. Si les ventes de ce dernier augmentent de 10%, de quel taux baissent les parts de marché de e-Madissa en conséquence ? (on imagine que la demande, elle, n’a pas augmenté en volume et que les ventes des autres concurrents sont constantes) Pour 100 articles, i-Passifor en vend désormais 24,2 et e-Madissa 25,8.

Taux de variation de e-Madissa : (25,8 – 28)/28 = –7,86%.

1.4.17 Un agriculteur produit des pommes de terre. Cette année, il a récolté 40% de plus que l'an dernier, en masse totale ; mais les prix auxquels il peut vendre sa production ont baissé dans la même période de 30%. Son chiffre d'affaires a-t-il augmenté par rapport à celui de l'an dernier ? Quel a été le taux de variation de ce chiffre d’affaires ?

Notons Q la quantité récoltée l’an dernier et P le prix de vente à l’unité (l’an dernier).

CA an dernier = QxP. CA actuel = Qx1,4 x Px0,7 = QxP x 0,98 = CA an dernier x 0,98.

Le CA de l’agriculteur a diminué de 2%.

1.4.18 Le prix de revient d'une chemise, pour le fabricant, se décompose de la façon suivante : 60 % pour la main d'oeuvre et 40 % pour le tissu et les boutons.

Pour cette nouvelle année, la main d'oeuvre augmente de 10 % et les matériaux de 30 %.

a. De quel pourcentage augmente le prix de revient de la chemise ?

Pour simplifier le problème, supposons que le prix de revient initial se monte à 10 €. Dans ce dernier, la main d’œuvre représente 6 € et les matériaux 4 €.

Pour la nouvelle année, la main d’œuvre représente 6,6 € et les matériaux 5,2 €, soit un total de 11,8

€. L’augmentation est de 1,8 €, soit 18%.

(sans fixer de prix de départ, on calcule 60%x10% + 40%x30% = 6% + 12% = 18%) b. Comment se décompose ce nouveau prix de revient (en pourcent) ?

Main d’œuvre : 6,6/11,8 = 55,93% ; matériaux : 5,2/11,8 = 44,07%.

1.4.19

Une marchandise dont le prix est 1600 € subit une hausse de 15% puis une nouvelle hausse de 5%.

Quel est le prix final ? Quel est le pourcentage global d'augmentation ?

Prix final : 1600 x 1,15 x 1,05 = 1932 €. 1,15 x 1,05 = 1,2075 : augmentation de 20,75%.

1.4.20 Dans un article de presse, on peut lire que le prix du gasoil à la pompe a augmenté successivement de 5%, 8% et 10%, puis a baissé de 15%. Entre les instants initial et final, quelle a été le taux de variation du prix du gasoil ?

Entre les instants initial et final, le prix a été multiplié par 1,05 × 1,08 × 1,10 × 0,85 = 1,06029.

Le prix a donc augmenté de 6,029 %.

1.4.21 En septembre, le prix du fuel a augmenté de 4,5%. On prévoit une baisse de 2% entre début et fin octobre. Au 30 septembre, il coûtait en moyenne 1,088€.

a. Combien coûtait-il le 1er septembre ?

Notons P1 son prix au 1^er septembre. P1×1,045 = 1,088 ; donc P1 = 1,04115 € b. Combien coûtera-t-il le 31 octobre ?

Notons P3 son prix au 31 octobre. 1,088×0,98 = P³ ; donc P3 = 1,06624 € c. Quel aura été le pourcentage global de variation sur ces deux mois ?

(1,06624 – 1,04115)/1,04115 = 0,0241 = +2,41 %.

1.4.22 Le prix du baril de pétrole valait 32 $ à une date 1, puis il est monté à 96 $ à une date 2, 140 $ à une date 3, et enfin est redescendu à 40 $ à une date 4.

a. Donner le détail des taux d'augmentation ou de baisse entre chaque date.

de 32 à 96 : +64/32 = +2 = +200% de 96 à 140 : +44/96 = +0,4583 = +45,83%

de 140 à 40 : -100/140 = -0,7143 = -71,43%

b. Donner le taux global de variation entre les dates 1 et 4. de 32 à 40 : +8/32 = +0,25 = +25%

c. Quel a été le taux moyen de variation d'une date à l'autre ?

Il faut envisager que trois augmentations successives d’un même pourcentage permettent de passer de 32 à 40. Autrement dit, multiplier 32 trois fois de suite par un même coefficient « c » doit donner 40 : 32 × c × c × c = 40, soit 32 × c³ = 40 et donc c³ = 1,25. Ainsi, c = 1,25^1/3 = 1,07722.

Il faudrait appliquer trois fois une augmentation de 7,722% pour passer de 32 à 40.

1.5 Elasticité

1.5.1 Si le prix d’un article augmente de 5% et que la quantité demandée diminue de 10%, calculer l’élasticité-prix de la demande.

%

%

10 2

e=−5 = − . La variation relative de la demande est deux fois plus forte que la variation relative du prix, et dans le sens contraire.

1.5.2 Dans le rayon boulangerie d’une grande surface, le prix de la baguette de pain a baissé de 0,90€ à 0,85€. Consécutivement, le nombre moyen journalier de baguettes vendues est passé de 350 à 320.

Calculer l’élasticité-prix de la demande. Interpréter.

320 350

0,08571

350 1,54

0,85 0,9 0,05556 0,9

e

−

= − = = . Si le prix de la baguette diminue de 1%, alors la demande diminue de

1,54%. Cela est assez habituel pour les produits de première nécessité.

1.5.3 On donne les élasticités-revenus de la demande en deux produits A et B : +3 et –0,5. Si les revenus augmentent de 5%, calculer les taux de variation de la demande pour chaque produit.

A : 3 5× % = +15%. B : −0,5 5× %= −2,5%.

1.5.4 Compléter la phrase suivante : Si l’élasticité-prix de la demande vaut –2, alors un prix qui baisse de 10% provoque une augmentation de la demande de 20 %.

1.5.5 Explications :

a. Lorsque l’élasticité-prix est positive, comment réagit la demande à une augmentation du prix ? La demande augmente elle aussi.

b. Lorsque l’élasticité-prix est comprise entre 0 et –0,5, est-il intéressant pour un vendeur d’augmenter les prix ?

Une baisse de 1% du prix va provoquer une augmentation de la demande inférieure à 0,5%. En termes de chiffre d’affaires, ça revient à : un ancien CA égal à QxP et un nouveau égal, au maximum, à

Qx1,005xPx0,99 = QxPx0,995 environ. Le nouveau CA est inférieur au précédent : la demande n’a pas suffisamment augmenté.

1.5.6 Pour un certain produit, l’élasticité-prix de la demande est égale à –2,5. Le prix unitaire est actuellement 30 € et la demande se monte à 600 unités.

a. A-t-on intérêt à augmenter les prix, en termes de recette totale ? La recette (chiffre d’affaires) est actuellement : 600 × 30 = 18 000 €.

Une augmentation du prix de 1% entraîne une baisse de la demande de 2,5%.

Ces taux de variation donneraient un prix de 30,3 € et une demande de 585 unités, donc une recette de 585 × 30,3 = 17 725,5 €. Il ne faut pas augmenter le prix de vente.

b. Pouvait-on répondre à la question précédente sans connaître le prix et la quantité initiaux ? Oui : CA₁ = ×p q et CA₂ = ×p 1,01× ×q 0,975= × ×p q 0,98475=CA₁×0,98475<CA₁. c. Quelle devrait être la valeur de l’élasticité-prix pour que la recette soit inchangée ?

Il faudrait : _{2 1} 1

1,01 1,01 1 0,9901

CA =CA ⇔ ×p × × = × ⇔q c p q × = ⇔ =c c 1,01 ≈ .

La quantité devrait être multipliée par 0,9901 et donc devrait baisser d’un peu moins de 1% (0,99%

environ). Autrement dit, l’élasticité devrait être égale à 0,99 environ.

1.5.7 Une entreprise produit des gobelets en carton. Leur fabrication entraîne des coûts de production : pour 20000 unités à produire, les coûts sont estimés à 500 €. Au-delà de cette quantité, ces coûts augmentent de 0,5 centime par unité supplémentaire.

Calculer l’élasticité-quantité du coût pour une production passant de 20000 à 20100 unités.

3

500 1,2

100 20000

e= = . Si la quantité augmente de 1%, alors le coût de production augmente de 1,2%.

Calculer l’élasticité-quantité du coût pour une production passant de 30000 à 30100 unités.

3

800 1,111

100 30000

e= = . Si la quantité augmente de 1%, alors le coût de production augmente de 1,111%.

Les 100 nouveaux gobelets représentent un surcoût proportionnellement moins important par rapport aux 30000 précédents (dont 10000 coûtaient déjà 3 centimes/pièce), en comparaison du surcoût des 100 gobelets par rapport aux premiers 20000 (qui revenaient tous à 2,5 centimes/pièce).

2 Eléments de calcul

2.1 Puissances de 10, arrondis et ordres de grandeur

2.1.1 Écrire en chiffres : 10² ; 10³ ; 10⁶ ; 10^–3 ; 10^–6. 100 ; 1000 ; 1000000 ; 0,001 ; 0,000001

2.1.2 Écrire les nombres 2 300 ; 55 000 ; 0,02 ; 0,00015 en notation scientifique.

2,3×10³ ; 5,5×10⁴ ; 2×10^–2 ; 1,5×10^–4

2.1.3 Donner l'écriture scientifique correcte des nombres suivants, ainsi que leur valeur citée dans une unité plus appropriée.

35 000 000 0,000078 2 580 milliardièmes 47 500×10² 68,5 cent millièmes 0,000127 milliards

3,5×10⁷ = 35 millions ; 7,8×10^–5 = 78 millionnièmes ; 2,58×10^–6 = 2,58 millionnièmes ;

2.1.4 Faire les calculs suivants et écrire les résultats en notation scientifique :

a. 2,4×10³ + 3×10² b. (2,4×10³) × (3×10²) c. 2,4×10³ – 3×10² d. (2,4×10³):(3×10²) a. 2400 + 300 = 2700 = 2,7×10³ b. 2,4×3×10³×10² = 7,2×10⁵

c. 2400 – 300= 2100 = 2,1×10³ d. 2,4 : 3 × 10³ : 10² = 0,8 × 10 = 8 2.1.5 La distance Terre-Soleil est environ 150 millions de kilomètres.

a. Écrire en notation scientifique (puissances de 10) le nombre de mètres correspondant. On appelle ce nombre "a".

« million » = 10⁶ ; kilo = 10³ ; a = 150 millions de kilomètres = 150 × 10⁶ × 10³ m = 1,5×10¹¹ m.

b. Une feuille de papier a une épaisseur de 0,2 mm. Écrire en notation scientifique cette épaisseur en mètres. On appelle ce nombre "b".

« milli » = 10^–3 ; b = 0,2 mm = 0,2 × 10^–3 m = 2×10^–4 m.

c. Calculer, en utilisant seulement a et b, le nombre de feuilles qu'il faudrait empiler pour atteindre le Soleil.

a = nb ; n = a/b = (1,5×10¹¹) / (2×10^–4) = 1,5/2 × 10¹¹ / 10^–4 = 0,75 × 10¹⁵ = 7,5 × 10¹⁴. Il faudrait empiler 750 000 milliards de feuilles.

2.1.6 Compléter le tableau suivant :

Exemples Arrondi à l’entier Arrondi à 10^–2 près (au centième)

Arrondi à 10^–4 près (au dix-millième)

Arrondi à 4 chiffres significatifs

120/7 17 17,14 17,1429 17,14

1/6 0 0,17 0,1667 0,1667

10/3 3 3,33 3,3333 3,333

0,25/9 0 0,03 0,0278 0,02778

2.2 Calculs de tête

2.2.1 Effectuer de tête les multiplications suivantes :

a. 40 × 2,5 b. 16 × 5 c. 12 × 25 d. 0,64 × 50

e. 68 × 0,25 f. 84 × 0,05 g. 2,8 × 250 h. 62 × 500

a. 40 × 10 ÷ 4 = 400 ÷ 4 = 100 ou 4 × 25 = 100 b. 16 ÷ 2 × 10 = 8 × 10 = 80 c. 12 ÷ 4 × 100 = 3 × 100 = 300 d. 6,4 × 5 = 64 × 0,5 = 64 ÷ 2 = 32

e. 68 ÷ 4 = 34 ÷ 2 = 17 f. 84 × 5 ÷ 100 = 84 ÷ 2 × 10 × 100 = 42 × 1000 = 42000 g. 28 × 25 = 28 ÷ 4 × 100 = 7 × 100 = 700 h. 62 ÷ 2 × 1000 = 31 × 1000 = 31000 2.2.2 Effectuer de tête les divisions suivantes :

a. 40 ÷ 2,5 b. 16 ÷ 5 c. 12 ÷ 25 d. 0,64 ÷ 50

e. 68 ÷ 0,25 f. 84 ÷ 0,05 g. 2,8 ÷ 250 h. 62 ÷ 500 a. 40 ÷ 10 × 4 = 4 × 4 = 16 ou 4 ÷ 0,25 = 4 × 4 = 16 b. 16 × 2 ÷ 10 = 32 ÷ 10 = 3,2 c. 12 × 4 ÷ 100 = 48 ÷ 100 = 0,48 d. 0,64 × 2 ÷ 100 = 1,28 ÷ 100 = 0,0128

e. 68 × 4 = 272 f. 84 ÷ 5 × 100 = 84 × 2 ÷ 10 × 100 = 168 × 10 = 1680

g. 2,8 × 4 ÷ 1000 = 11,2 ÷ 1000 = 0,0112 h. 62 × 2 ÷ 1000 = 124 ÷ 1000 = 0,124

2.3 Simplifier une fraction

2.3.1 Décomposer les nombres suivants en facteurs premiers.

12 ; 15 ; 18 ; 700 ; 150 ; 735 ; 135

12 = 2² × 3 ; 15 = 3 × 5 ; 18 = 2 × 3² ; 700 = 2² × 5² × 7 ; 150 = 2 × 3 × 5² ; 735 = 3 × 5 × 7² ; 135 = 3³ × 5

2.3.2 Sans calculatrice : les nombres suivants sont-ils divisibles par 3 ? par 9 ? par 7 ? 525 ; 15 ; 18 ; 700 ; 150 ; 735 ; 525

525 : la somme des chiffres vaut 12, multiple de 3, mais pas de 9. Donc : idem pour 525.

52 – 2 × 5 = 42, multiple de 7. Donc 525 est un multiple de 7.

333 : la somme des chiffres vaut 9, multiple de 3 et de 9. Donc : idem pour 333.

33 – 2 × 3 = 27, non multiple de 7. Donc 333 n’est pas un multiple de 7.

567 : la somme des chiffres vaut 18, multiple de 3 et de 9. Donc : idem pour 567.

56 – 2 × 7 = 42, multiple de 7. Donc 567 est un multiple de 7.

249 : la somme des chiffres vaut 15, multiple de 3, mais pas de 9. Donc : idem pour 249.

24 – 2 × 9 = 6, non multiple de 7. Donc 249 n’est pas un multiple de 7.

308 : la somme des chiffres vaut 11, non multiple de 3 (et donc de 9 non plus). Donc : idem pour 308.

30 – 2 × 8 = 14, multiple de 7. Donc 308 est un multiple de 7.

2.4 Conversion d’unités de temps

2.4.1 Convertir :

a. 2 h 40 min, en heures b. 2 h 40 min, en minutes c. 7 minutes et 40 secondes, en minutes d. 7 min 40 sec, en secondes e. 3,75 heures, en h-min f. 140 minutes, en heures

g. Deux heures et un tiers, en h-min h. Un quart d’heure, en minutes i. 25 min, en heures a. 2 h 40 min = 2,667 heures (40 min = 2/3 d’heure) b. 2 h 40 min = 160 min

c. 7 minutes et 40 secondes = 7,667 min (40 sec = 2/3 de minute) d. 7 min 40 sec = 460 sec e. 3,75 heures = 3 h 45 min (0,75 h = 3/4 h) f. 140 minutes = 140 / 60 h = 2,333 h

g. Deux heures et un tiers = 2 h 20 min h. Un quart d’heure = 15 min i. 25 min = 25 ÷ 60 h = 0,4167 h

2.4.2 Convertir :

a. 2 mois et 8 jours, en mois b. 45 jours, en mois c. 3 jours, en heures d. 3 heures, en jours e. 10 jours, en mois f. 800 heures, en mois

a. 2 mois et 8 jours = (2 + 8÷30) mois = 2,267 mois b. 45 jours = 45÷30 mois = 1,5 mois c. 3 jours = 3×24 h = 72 h d. 3 heures = 3÷24 jour = 0,125 jour e. 10 jours = 1/3 mois f. 800 heures = 800÷24÷30 mois = 1,111 mois

2.4.3 La durée d’un jour terrestre est supérieure à 23h59min et inférieure à 23h59min10sec.

a. Convertir ces deux durées en heures dans le système décimal avec 6 chiffres après la virgule.

23 + 59/60 ≈ 23,983333 et 23 + 59/60 + 10/3600 ≈ 23,986111 b. Donner un encadrement à 10^–4 près de la durée d’un jour.

23,9833 < durée < 23,9862

2.5 Calcul approché

2.5.1 Calculer approximativement, en simplifiant :

a. 22 × 37 b. 0,58 × 41 c. 523 × 1,9 d. 98 ÷ 3,9 e. 117 ÷ 39 f. 814 ÷ 21 a. 22 × 37 ≈ 20 × 40 = 800 (résultat exact : 814) b. 0,58 × 41 ≈ 0,6 × 40 = 24 (résultat exact : 23,78) c. 523 × 1,9 ≈ 500 × 2 = 1000 (résultat exact : 993,7) d. 98 ÷ 3,9 ≈ 100 ÷ 4 = 25 (environ : 25,13) e. 117 ÷ 39 ≈ 120 ÷ 40 = 3 (résultat exact : 3) f. 814 ÷ 21 ≈ 800 ÷ 20 = 40 (environ : 38,73)

3 Méthodes du premier degré

3.1 Présentation et résultats

3.1.1 Compléter le tableau ci-dessous en traçant, dans chacune des neuf cases, une droite d’équation

y = ax + b qui convienne.

3.1.2 Dans un repère orthonormal, tracer en bleu les droites d’équations y = 2x – 1, y = 2x + 1 et y = 2x + 3, puis en rouge les droites d’équations y = – 3x – 1, y = –3x + 3 et y = –3x + 5. Commenter.

On reconnaît l’ordonnée à l’origine (ordonnée de l’intersection avec l’axe vertical) valant –1, 1 et 3 pour droites bleues et –1, 3 et 5 pour les droites rouges.

Les droites bleues sont parallèles entre elles, car elles ont la même pente (2) ; idem pour les droites rouges dont la pente est –3.

3.1.3 Dans un repère orthonormal, tracer en bleu les deux droites d’équations y = 2x + 1 et y = –0,5x + 1, puis en rouge les deux droites d’équations y = 4x – 1 et y = –0,25x – 1. Commenter.

On reconnaît l’ordonnée à l’origine (ordonnée de l’intersection avec l’axe vertical) valant 1 pour les deux premières droites et –1 pour les deux dernières.

Plus difficile à voir (et hors programme) : les deux droites rouges sont perpendiculaires, ainsi que les deux droites bleues. C’est dû au fait que deux droites perpendiculaires ont des pentes qui sont l’opposée de l’inverse l’une de l’autre (ici : 2 et –1/2 ; 4 et –1/4).

3.2 Interpolation linéaire

3.2.1 Dans chaque cas, on donne deux points E et F. Déterminer la coordonnée manquante d’un point M donné aligné avec E et F.

a. E(2 ; 8), F(5 ; 1), M(4 ; ?) ; b. E(–3 ; 2), F(3 ; 4), M( ? ; 6) ; c. E(6 ; 1), F(3 ; –8), M(4 ; ?)

a. ^{M E F E M} _{M M}

M E F E

8 7 7 2 10

2 3 8 3 3

y y y y y

y y

x x x x

− = − ⇔ − = − ⇔ − =− × ⇔ =

− − ^.

b. ^{M E F E M} _{M M}

M E F E

3 6 6 4

3 12 9

4 2 2

x x x x x

x x

y y y y

− = − ⇔ + = ⇔ + = × = ⇔ =

− − ^.

c. ^{M E F E M} _{M M}

M E F E

1 9

3 1 6 5

2 3

y y y y y

y y

x x x x

− = − ⇔ − = − = ⇔ − = − ⇔ = −

− − − − ^.

3.2.2 Les responsables d’une salle de spectacles réfléchissent sur les tarifs qu’ils peuvent proposer. Une possibilité est d’additionner un abonnement à l’année à des tarifs réduits pour les spectacles choisis par un client. Il faudrait dans ce cas qu’assister à un spectacle par mois coûte 270 € et assister à un spectacle tous les deux mois coûte 180 € (coût annuel pour le spectateur).

a. Quelle serait la dépense à l’année pour un client assistant à un spectacle tous les trois mois ? Nommons x le nombre annuel de spectacles auxquels un client va assister et y le coût total.

Ce coût est la somme d’un abonnement « b » et du coût des spectacles, lui-même produit du nombre de spectacles par le tarif par spectacle « a ». Ainsi : y = ax + b. Le coût total augmente linéairement en fonction du nombre de spectacles.

« un spectacle par mois coûte 270 € » signifie que pour x = 12, y = 270.

« un spectacle tous les deux mois coûte 180 € » signifie que pour x = 6, y = 180.

« un spectacle tous les trois mois » signifie x = 4.

Nommons E le point (6, 180), F le point (12, 270) et M le point (4, ?). On a :

M E F E M

M M

M E F E

180 90

180 2 90 6 30 150

2 6

y y y y y

y y

x x x x

− = − ⇔ − = ⇔ − = − × ÷ = − ⇔ =

− − − ^.

Cela représenterait une dépense de 150 €.

b. Quelle serait la dépense à l’année pour un client assistant à deux spectacles par mois ?

« deux spectacles par mois » signifie x = 24.

Nommons E le point (6, 180), F le point (12, 270) et M le point (24, ?). On a :

M E F E M

M M

M E F E

180 90

180 18 90 6 240 420

18 6

y y y y y

y y

x x x x

− = − ⇔ − = ⇔ − = × ÷ = ⇔ =

− − ^.

Cela représenterait une dépense de 420 €.

c. Quel est le prix de l’abonnement et quel est le tarif par spectacle ? Abonnement seul : « zéro spectacle par mois », x = 0.

Nommons E le point (6, 180), F le point (12, 270) et M le point (0, ?). On a :

M E F E M

M M

M E F E

180 90

180 6 90 6 90 90

6 6

y y y y y

y y

x x x x

− = − ⇔ − = ⇔ − = − × ÷ = − ⇔ =

− − − ^.

L’abonnement seul coûte 90 €.

Passer du point E au point F, c’est assister à 6 spectacles de plus, pour un surcoût de 90 € (270 – 180).

Le coût d’un spectacle est donc 15 €.

Notons qu’au lieu de pratiquer une interpolation, on peut aussi rechercher directement l’équation de la droite (EF), qui nous fera obtenir a et b l’un après l’autre.

3.2.3 Un foyer compare deux factures d’électricité :

une première facture se montant à 948,24 € pour une consommation de 5448 kWh, une deuxième facture se montant à 758,31 € pour une consommation de 3987 kWh

Ces factures comportent une partie fixe (abonnement) et une partie variable, proportionnelle à la consommation.

a. Quel serait le montant de la facture pour une consommation de 4500 kWh ? Nommons x la quantité annuelle consommée en kWh et y le coût total.

Ce coût est la somme d’un abonnement « b » et du coût de la consommation, lui-même produit de la quantité annuelle consommée par le tarif du kWh « a ». Ainsi : y = ax + b. Le coût total augmente linéairement en fonction de la quantité consommée.

Pour x = 5448 kWh, y = 948,24 €. Pour x = 3987 kWh, y = 758,31 €.

Nommons E le point (3987, 758,31), F le point (5448, 948,24) et M le point (4500, ?). On a :

M E F E M

M M

M E F E

758,31 189,93

758,31 513 189,93 1461 66,69 825

513 1461

y y y y y

y y

x x x x

− = − ⇔ − = ⇔ − = × ÷ = ⇔ =

− − .

Cela représenterait une facture de 825 €.

b. Quelle serait la consommation correspondant à une facture de 1000 € ?

Nommons E le point (3987, 758,31), F le point (5448, 948,24) et M le point ( ?, 1000). On a :

M E F E

M M

M E F E M

241,69 189,93

3987 241,69 1461 189,93 1859,15 5846,15 3987 1461

y y y y

x x

x x x x x

− = − ⇔ = ⇔ − = × ÷ = ⇔ =

− − − .

Cette facture serait celle d’une consommation de 5846,15 kWh.

c. Quel est le prix de l’abonnement et quel est le prix du kWh ? Abonnement seul : x = 0.

Nommons E le point (3987, 758,31), F le point (5448, 948,24) et M le point (0, ?). On a :

M E F E M

M M

M E F E

758,31 189,93

758,31 3987 189,93 1461 518,31 240

3987 1461

y y y y y

y y

x x x x

− = − ⇔ − = ⇔ − = − × ÷ = − ⇔ =

− − − .

L’abonnement seul coûte 240 €.

Passer du point E au point F, c’est consommer 1461 kWh de plus, pour un surcoût de 189,93 €.

Le coût d’un kWh est donc 0,13 €.

3.3 Systèmes

3.3.1 Résoudre

a. ^{2 8 2}

(

)

7 7 7 2

x y x x x x

x y y x y x y

− =  − − = = =

  

⇔ ⇔ ⇔

   

+ = = − = − =

    (substitution)

4 2 4 2 4 2 4 2 4

b. 6 13 6 13 6 13 4 2 10 15 1,5

x y y x y x y x y

x y y x x x x x

+ = = − + = − + = − + = −

    

⇔ ⇔ ⇔ ⇔

    

− = = − − = − + = =

     (ident.)

c. ( )^{2 2} ( ) ( )^{1 2}

2 7 14 2 7 14 2 7 14 7

3 7 6 2 14 13 0 0

x y x y x y x

y x × y x + y y

+ = + = + = =

   

⇔ ⇔ ⇔

   

− = − − = − = =

    (combinaison linéaire)

d. 2 8 ^{( )1 3} 6 3 24

impossible

6 3 20 6 3 20

x y x y

x y x y

− = × − =

 

⇔

 

− = − =

 

3.3.2 Résoudre

. _{2 2 1}

3 3 1 3 3 2

2 4 5 2 4 5 2 4 5 1,5

a 6 2 6 2 8 5 17 8 5 17 0,25

2 5 2 8 5 4 12 3

x y z x y z x y z x

x y z L L L y z y z y

x y z L L L y z L L L z z

+ + = + + = + + = =

   

   

+ − = − ← − ⇔ − = − ⇔ − = − ⇔ = −

   

 − + = ← −  − + = ← +  − = −  =

   

(Gauss)

( )

.

2 2 2 2 2 2

b 2 4 4 2 4 2 2 2

2 8 2 8 2 8

2 2 2 0,5

3 3 4,5 (substitution)

2 8 2 6 8 1,5

x y z y x z y x z

x y z z x y z x x z

x y z x y z x y z

y x z y x y

z x z x z

x y z x x x x

+ + = = − − = − −

  

  

+ + = ⇔ = − − ⇔ = − − − −

  

 + + =  + + =  + + =

  

= − − = + =

  

  

⇔ = − ⇔ = − ⇔ =

 + + =  + + − =  = −

  

. _{2 2 1}

3 3 1 3 2 3

4 5 4 5 4 5 2

c 2 5 3 18 2 13 5 28 13 5 28 1

3 10 3 13 4 25 3 3

x y z x y z x y z x

x y z L L L y z y z y

x y z L L L y z L L L z z

+ − = − + − = − + − = − =

   

   

− + = ← − ⇔ − + = ⇔ − + = ⇔ = −

   

 − + = ← − − + = ← −  =  =

   

(Gauss)

3.4 Mise en équation d’un problème

3.4.1 Un panier rempli d’œufs est vendu 15 €. Les œufs seuls seraient vendus 6 € de moins que le panier seul. Combien coûtent les œufs ?

Soit p le prix des œufs. Le panier coûte donc 15 – p. L’énoncé nous dit : p = 15 – p – 6.

On en déduit p = 4,5. Les œufs coûtent 4,50 € (et donc le panier seul : 10,50 €).

3.4.2 C'est aux âges de 22 ans, 24 ans et 27 ans qu'une mère, actuellement âgée de 46 ans, a eu chacun de ses trois enfants. Il y a combien d'années que l'âge de la mère était égal à la somme des âges des trois enfants ?

Soit n le nombre d’années cherché. Les enfants ont actuellement 24, 22 et 19 ans.

Il y a n années, 46 – n = 24 – n + 22 – n + 19 – n.

Donc 2n = 24 + 22 + 19 – 46 = 19. n = 9,5. C’était il y a 9 ans et demi.

Vérification : à cette date, l’âge de la mère était 36,5 ans et ceux des enfants étaient 14,5, 12,5 et 9,5.

3.4.3 Un fermier plante des pommiers. Pour les protéger du vent, il plante des conifères tout autour. Le schéma ci-dessous illustre la façon dont il décide de s’y prendre, en fonction du nombre de rangées de pommiers qu’il décidera de planter.

a. Compléter le tableau :

n nombre de pommiers nombre de conifères

1 1 8

2 4 16

3 9 24

4 16 32

5 25 40

b. Déterminer, en fonction de n, le nombre de pommiers et le nombre de conifères.

Le nombre de pommiers est clairement n². et le nombre de conifères est 8n.

3.4.4 Dans un grand demi-cercle de diamètre [AB], dont le diamètre mesure 10 cm, on inscrit deux demi- cercles plus petits, dont la somme des diamètres vaut également 10 cm (voir figure). Leurs dimensions peuvent être choisies comme bon nous semble, moyennant la contrainte précédente.

On s’intéresse en particulier aux points C et D, respectivement sommets des demi-cercles de gauche et de droite.

A B

1) Si on note x le rayon du demi-cercle de gauche, donner l’expression de la pente du segment [CD] par rapport au segment [AB] considéré horizontal.

Les coordonnées de C sont (x, x).

Le diamètre du deuxième demi-cercle est 10 – 2x et donc son rayon est 5 – x.

Les coordonnées de D sont alors (2x + 5 – x, 5 – x) = (x + 5, 5 – x).

La pente du segment [CD] est donc ^{D C}

D C

5 5 2 2

5 5 1 5

y y x x x

x x x x x

− = − − = − = −

− + − .

2) a. Quelles sont les valeurs extrêmes que peut prendre cette pente ? x est compris entre 0 et 5, donc 1 ²

5x

− est compris entre 1 et –1.

b. Comment choisir x pour que le segment [CD] ait une pente nulle ?

2 2 5 .

1 0 1 2,5

5x 5x x 2

− = ⇔ = ⇔ = = (les deux demi-cercles sont de même taille)

3.4.5 Développer, réduire et ordonner les expressions ci-dessous, puis dire (pour les points a. et e.) pour quelle valeur de x elles s’annulent et donner leur sens de variation.

a. 4(1 - x) + 5(2 + 3x) = 4 – 4x + 10 + 15x = 11x + 14, s’annule pour x = -14/11.

Le coefficient de x vaut 11 ; il est positif, donc 11x + 14 augmente avec x.

b. -(b - a) - (c - b) - (a - c) = -b + a – c + b – a + c = 0

c. (x + y)z + 2(y + z)x + 3(z + x)y = xz + yz + 2xy + 2xz + 3yz + 3xy = 5xy + 4yz + 3xz d. 3(a - b + 3) - (b - 3)(a - 3) = 3a – 3b + 9 – ab + 3a + 3b – 9 = 6a – ab = a(6 – b) e. -2(3 - 5x) + 6(-2x + 1) = -6 + 10x – 12x + 6 = -2x, s’annule pour x = 0.

Le coefficient de x vaut -2 ; il est négatif, donc -2x diminue lorsque x augmente.

f. -(m - 2 + 3p) + 2m - 5 - 6p - (-1 + 4 - 10p) = -m + 2 – 3p + 2m – 5 – 6p + 1 – 4 + 10p = m + p – 6

3.4.6 Un club scolaire a projeté une excursion en bus dans un parc naturel. La location d’un bus pouvant transporter au maximum 45 personnes coûtera 600 € et les billets d’entrée coûtent 30 € chacun. Si le club facture l’excursion 50 € à chaque participant, combien de personnes, au moins, doivent s’inscrire à l’excursion pour que tous les frais soient couverts ?

Soit x le nombre de personnes inscrites. Frais : 30x + 600 ; recettes : 50x.

50x ≥ 30x + 600 ⇔ 20x ≥ 600 ⇔ x ≥ 30 Il faut qu’au moins 30 personnes s’inscrivent.

3.4.7 Les deux annonces suivantes ont été publiées : IMMEUBLE A

espace disponible pour des bureaux 60 - 70 mètres carrés : 420 €/mois 100 - 120 mètres carrés : 800 €/mois

IMMEUBLE B

espace disponible pour des bureaux 40 - 130 mètres carrés : 90 €/m²/an Pour quelles surfaces l’immeuble A revient-il plus cher que l’immeuble B ? (résolution par le calcul et illustration graphique)

Entre 60 et 70 m², le coût « A » est à l’année 12×420 = 5040€ et le coût « B » annuel minimal est 60×90 = 5400€. B est donc plus cher que A.

Entre 100 et 120 m², les choses sont différentes. Le coût « A » annuel est 12×800 = 9600€, tandis que le coût « B » pour une surface x m² est 90x. 90x < 9600 ⇔ x < 106,7 environ.

A revient plus cher que B uniquement pour des espaces de 100 à 106,7 m².

Ci-dessous : représentation graphique des coûts mensuels en fonction de la surface pour les immeubles A (en bleu) et B (en rouge). L’équation de la droite rouge est y = 7,5x, car 90€/m²/an correspondent à 7,5€/m²/mois.

3.4.8 Un particulier a fait intervenir chez lui un tapissier et un carreleur, sur deux jours. Le premier jour, le carreleur a posé 10 m² et le tapissier 36 m². Le deuxième jour, le carreleur a posé 30 m² et le tapissier 52 m². Le montant des factures additionnées est 2520 € et le deuxième jour a coûté deux fois plus cher que le premier. Quels sont les tarifs au m² du carreleur et du tapissier ?

Soit x le prix au m² du carreleur et y celui du tapissier. Les indications séparées sur les deux jours donnent le système de deux équations suivant :

2 1 2

10 36 840 10 36 840 30

3

30 52 1680 56 840 15

x y x y x

L L L

x y y y

+ = + = =

  

⇔ ⇔

  

← −

+ =  =  =



3.4.9 Un groupement de commerçants planifie ses dépenses promotionnelles au jour le jour, sur une période d’un an. Il sait qu’au début de l’année, une dépense de 180 € par semaine suffit, mais qu’à la fin de l’année il faudra dépenser 400 € par semaine. Pour l’année, il dispose d’un budget de 14000 €. Pour des raisons simplificatrices, nous considérerons des dépenses régulières : 180 € par semaine pendant une certaine période, puis 400 € par semaine pour le reste de l’année.

Notre objectif est de déterminer à quel moment il faut passer à une dépense de 400 €.

1) Résolution par une équation unique

La mise en équation d’un problème débute par la définition de sa ou de ses variables.

Plutôt que risquer de se ″perdre″ dans l’énoncé, on s’orientera vers la question posée :

« …à quel moment… ».

Nommons x la durée pendant laquelle le groupement dépensera 180 €, en semaines.

Ensuite, nous devons écrire, en fonction de cette (ou de ces) variable, toute grandeur ou contrainte apparaissant dans l’énoncé.

a. Ecrire en fonction de x la dépense totale sur la première partie de l’année.

1ère partie de l’année : dépense totale = d1 = 180x

b. Ecrire en fonction de x la dépense totale sur la deuxième partie de l’année.

2^ème partie de l’année : dépense totale = d2 = 400(52 – x)

c. Ecrire alors en fonction de x la contrainte liée au budget de 14000 €. 180x + 400(52 – x) = 14000 d. L’équation vient d’être posée, il suffit de la résoudre puis de conclure.

180x + 20800 – 400x = 14000 ⇔ -220x = -6800 ⇔ 220x = 6800 x = 6800/220 = 30,91 semaines