Td corrigé Exercice 1 - Exercices corriges pdf

(1)

Sciences de

l’Ingénieur

DM 6

Eléments de correction

Avion de chasse.

Depuis plusieurs années, les avions de chasse sont en constante innovation et recherche. Ces avions utilisent de plus en plus de systèmes électriques en vue de remplacer les systèmes hydrauliques ; et les progrès en électronique de puissance permettent la mise en œuvre de conversions d’énergie performantes et fiables. Cette utilisation dans ce domaine d’application est motivée notamment par une réduction de masse de l’appareil et une simplification des réseaux hydrauliques et contraignant en terme de maintenance.

Nous allons nous intéresser dans ce sujet, à la chaîne de puissance entre les réacteurs et les différentes énergies électriques à bord des avions de chasse ainsi qu’à la commande de la gouverne de profondeur située sur l’empennage des avions de chasse. Nous étudierons aussi le dispositif de réglage du siège dans ce type d’avions en vue d’une adaptabilité aisée et avec de moindres efforts pour le pilote.

(2)

Partie 1 : Commande du plan horizontal d’un empennage d’avion de chasse

Mise en situation :

Un empennage d'avion est composé de 2 parties :

 la première (plan horizontal et gouverne) assure la stabilité en profondeur de l'avion

 la deuxième (queue arrière) assure la stabilité en direction.

I-1 Etude du boîtier comparateur.

La solution retenue pour le boîtier comparateur est un train épicycloïdal dont le schéma (figure 3) est donné ci-après.

Q1-1.1 Immobiliser par rapport au bâti 0, successivement une des trois entrées possibles de ce train épicycloïdal. Etablir pour chaque cas, sous forme littérale, en fonction de Z1 et Z2, le rapport

0 j

0 i



 des taux de rotation des deux autres entrées i et j accessibles.

Q1-1.2 Lorsqu'une des trois entrées possibles du train épicycloïdal est bloquée, le cahier des charges impose ⁰^,⁷⁵

E

C 



 et ³

E

R 



 .

En fonction des rapports obtenus à la question précédente, préciser alors à quelle partie du train épicycloïdal, sont liés respectivement le servomoteur, le vérin à vis et le distributeur.

Q1-1.3 Afin de répondre au cahier des charges, déterminer alors le nombre de dents de chacune des roues dentées de ce train épicycloïdal.

Q1-1.4 Déterminer la relation _E  f



_C,_R



lorsque aucune des trois entrées possibles du train épicycloïdal n'est bloquée.

(3)

I - 2 Étude de la chaîne de puissance

La chaîne de puissance est composée de deux moteurs électriques, d'un réducteur à roues coniques, d'un différentiel et d'un vérin à vis. Un seul moteur est en fonctionnement, le deuxième permet de pallier à toute avarie du premier. Un schéma cinématique simplifié de la chaîne de puissance est donné ci-dessous (voir figure ci-dessous). Les moteurs M1 et M2 sont identiques.

La transmission de puissance de chaque moteur vers la vis v est assurée par un réducteur à roues coniques (réducteur composé des roues 1 et 2 pour le moteur M1, réducteur composé des roues 6 et 7 pour le moteur M2).

Un différentiel, constitué des roues dentées 3, 4, 5 et du porte-satellites v, complète le dispositif.

Les roues dentées 2 et 3 sont en liaison encastrement ainsi que les roues dentées 5 et 6.

Le centre d'inertie d'une roue dentée i est noté Oi (ce point est bien évidemment sur l'axe de symétrie de la roue dentée) et son rayon primitif est noté Rpi. Le point Ov est tel que

x R x R O

O_v ₄  _p₃  _p₅.

Nous avons Z1 = 18 dents, Z2 = 32 dents, Z3 = 33 dents, Z4 = 13 dents, Z5 = 33 dents, Z6 = 25 dents, et Z7 = 14 dents.

Le mouvement de rotation, autour de l'axe u, d'un solide k par rapport à un solide i est caractérisé par le vecteur de rotation : ^k^/ⁱki^.^u.

Q1-2.1 Soit I le point de contact des roues dentées 3 et 4. Déterminer VI3/4

en fonction de

v

3 et 4v. Sachant qu'il y a roulement sans glissement au point I entre les roues dentées 3 et 4, en déduire une relation scalaire entre 3v, 4v, Z3 et Z4.

Q1-2.2 Soit J le point de contact des roues dentées 4 et 5. Déterminer VJ5/4

en fonction de

v

4 et 5v. Sachant qu'il y a roulement sans glissement au point J entre les roues dentées 5 et 4, en déduire une relation scalaire entre 4v, 5v, Z4 et Z5.

Q1-2.3 Sachant que Z3=Z5, en déduire alors une relation entre 30, 50 et v0. Q1-2.4 Si 10 m0^x





 _/ et 7 0 ⁰



 

 _/ , calculer alors vis/0

. Faire l’application numérique.

Si 7 0 m0^x





 _/ et 10 ⁰



 

 _/ , calculer alors vis/0

. Faire l’application numérique.

Pour un sens de rotation imposé à la vis v, conclure quant au sens de rotation des moteurs M1 et M2.

Comparer le rapport de réduction de cet ensemble réducteur-différentiel avec le résultat trouvé à la question Q1-2.1. Justifier le rôle du différentiel constitué des pièces 3, 4, 5 et v.

Partie 2 : Etude du montage assurant la

(4)

recharge des batteries

L’énergie électrique est fournie par 2 alternateurs triphasés (un par réacteur), puis redressée par un montage redresseur et modulée par un second convertisseur statique. Un seul alternateur fourni l’énergie électrique à la fois.

On se propose de faire l’étude de ces 2 convertisseurs statiques.

II-1 Etude du montage redresseur :

Le montage de base du redresseur est le suivant :

L’alternateur est considéré comme une source de tension triphasée équilibrée parfaite de valeur efficace V=115V couplée en étoile, et les diodes sont considérées parfaites.

Q2-1.1 Les règles d’interconnexion des sources sont elles respectées ? Justifier votre réponse.

La source d’entrée est une source de tension, et la source de sortie est une source de courant, car il y a présence d’une inductance en série avec la charge. Donc les règles d’interconnexion sont bien respectées.

Q2-1.2 Déterminer les périodes de conduction des 6 diodes. Vous justifierez proprement votre raisonnement.

Un montage parallèle double peut être considéré comme la mise en série de 2 redresseurs parallèles simples, dont un à anodes communes et un second à cathodes communes. Donc :

1 4

2 5

3 6

5 7 11

de à de à

6 6 6 6

5 3 11

de à et de à 2 +

6 2 6 2

3 7

de à 2 + de à

2 6 2 6

D D

   

    

Q2-1.3 Tracer en VERT l’allure de la tension de sortie sur le document réponse DR 1.

Voir document réponse DR1.

Q2-1.4 Déterminer l’expression de la valeur moyenne de la tension de sortie du montage redresseur. Faire l’application numérique.

 

^{3. . 6}

s

u  V

 

 

²⁶⁹

us   V

D1 D2 D3

D4 D5 D6

L

C i_D1 i_F

Alternateur

(5)

On suppose de plus que l’inductance L est suffisamment grande pour assurer que le courant en sortie du montage redresseur est continu et constant pris égal à I=10A.

Q2-1.5 Tracer en ROUGE sur le document réponse DR 1 l’allure du courant iD1 dans la diode D1.

Voir document réponse DR1.

Q2-1.6 En déduire l’allure du courant dans une phase de l’alternateur. Tracer cette allure en BLEU sur le document réponse DR 1.

La loi des nœuds donne : iPhase₁

 

 iD1

 

 iD4

 

 . Voir document réponse DR1.

Q2-1.7 Déterminer l’expression de la puissance active P fournie par l’alternateur. Faire l’application numérique.

3. . 6.V I

P  car diodes supposées parfaites.

2690

P W

Q2-1.8 Déterminer l’expression de la puissance réactive Q fournie par l’alternateur. Faire l’application numérique.

0

Q , car le fondamental du courant dans une phase est en phase avec la tension délivrée par la source de tension d’entrée.

Q2-1.9 Déterminer l’expression de la puissance déformante D. Faire l’application numérique.

3. . Phaseeff

S  V I avec 2

. 8.165 3

Phaseeff

I  I A

donc S2817VA Or

2 2

2

2 3. . 6. 2 6

3. . . 3. . . 836

3 3

V I

D S P V I V I SI

 

   

         

II - 2 Etude du montage modulateur :

On désire moduler l’énergie fournie par le montage redresseur pour la recharge des batteries. Le transfert de l’énergie doit être contrôlé par des phases de roue libre. La source d’entrée est la sortie du montage redresseur étudié précédemment. On place en série avec la batterie d’accumulateurs une inductance L.

Q2-2.1 Déterminer la nature des sources d’entrée et de sortie.

Source d’entrée : Source de tension

Source de sortie : Source de tension en série avec une inductance, donc source de courant.

Q2-2.2 Déterminer les réversibilités possibles des sources et celles à mettre en œuvre.

Source d’entrée réversible en courant et en tension.

Source de sortie réversible en courant.

Q2-2.3 Déterminer la structure de base du convertisseur, et la simplifier en fonction des réversibilités souhaitées.

(6)

Aucune réversibilité souhaitée. Donc K3 non nécessaire (ou alors K2).

Q2-2.4 Déterminer les caractéristiques statiques des interrupteurs composant la structure du CVS.

Q2-2.5 En fonction des différentes combinaisons d’association des sources, déterminer les caractéristiques dynamiques des interrupteurs.

Q2-2.6 En déduire les types d’interrupteurs statiques à utiliser.

v_K1 i_K1

v_K2 i_K2

v_K4 i_K4

v_K1 i_K1

v_K2 i_K2

v_K4 i_K4

1)

2)

1)

2)

1) 2)

TRANSISTOR IGBT DIODES EN INVERSE FIL

i

_K1

v

_K1

i

_K2

v

_K2

E

K

₁

K

2 K4

(7)

0

6 E

5 4

I J

F 8

1 D

H

7 3

2 C

B A

pilote ^pes ^pilote G _

M (connu) (connu)

Q2-2.7 Tracer le schéma de montage du modulateur d’énergie.

Partie 3 : Etude de la cinématique du siège de l’avion

Isolons {8} ; bilan des actions mécaniques extérieures :

- Action au point F de 0 sur 8 : modélisable par le glisseur F₀_₈ passant par le point F (pivot parfaite dans le plan) - Action au point D de 1 sur 8 : modélisable par le glisseur D₁_₈ passant par le point D (pivot parfaite dans le plan) Isolons {4+5} ; bilan des actions mécaniques extérieures :

- Action au point E de 0 sur 5 : modélisable par le glisseur E₀_₅ passant par le point E (pivot parfaite dans le plan) - Action au point I de 6 sur 4 : modélisable par le glisseur I₆_₄ passant par le point I (pivot parfaite dans le plan) Isolons {3+7} ; bilan des actions mécaniques extérieures :

- Action au point C de 1 sur 3 : modélisable par le glisseur C₁_₃ passant par le point C (pivot parfaite dans le plan) - Action au point B de 2 sur 7 : modélisable par le glisseur B₂_₇ passant par le point B (pivot parfaite dans le plan) Ce sont des ensembles de solides en équilibre soumis à l’action de deux glisseurs. Or :

Si un système est en équilibre sous l’action de 2 glisseurs alors ces 2 glisseurs sont opposées (même direction, sens opposé et même norme) et ont même droite d’action (passant par les points d’application).

Ainsi la direction de :

8

F0_ et D₁_₈ est (DF) E₀_₅ et I₆_₄ est (EI) C₁_₃ et B₂_₇ est (BC)

(8)

- Action au point A de 1 sur 2 : modélisable par le glisseur A₁_₂ passant par le point A (pivot parfaite dans le plan) - Action au point B de 7 sur 2 : modélisable par le glisseur B₇_₂ de support (BC)

- Action au point M du pilote sur 2 : modélisable par le glisseur M_utilisateu_r_₂ totalement connu Le solide {2} est un solide en équilibre soumis à l’action de trois glisseurs. Or :

Si un système est en équilibre sous l’action de 3 glisseurs alors ces 3 glisseurs sont :

 coplanaires,

 concourants ou parallèles,

 de somme vectorielle nulle.

La deuxième propriété nous donne la direction de l’action A₁_₂ et la troisième propriété (triangle des forces) nous donne les normes de A₁_₂ et B₇_₂.

Graphiquement nous trouvons : B7_2 = 950 N

(9)

(10)

Isolons {1+2+3+7+pilote} ; bilan des actions mécaniques extérieures :

- Action au point H de 6 sur 1 : modélisable par le glisseur H₆_₁ passant par le point H (pivot parfaite dans le plan) - Action au point D de 8 sur 1 : modélisable par le glisseur D₈_₁ de support (DF)

- Action au point G de la pesanteur sur le pilote : modélisable par le glisseur Gpes_pilote totalement connu Le système {1+2+3+7+pilote} est un système de solides en équilibre soumis à l’action de trois glisseurs.

Donc compte tenu du principe précédent :

La deuxième propriété nous donne la direction de l’action H₆_₁ et la troisième propriété (triangle des forces) nous donne les normes de H₆_₁ et D₈_₁.

Graphiquement nous trouvons : ^H⁶¹ = 500 N

(11)

- Action au point J de 0 sur 6 : modélisable par le glisseur J₀_₆ passant par le point J (pivot parfaite dans le plan) - Action au point I de 4 sur 6 : modélisable par le glisseur I₄_₆ de support (EI)

- Action au point H de 1 sur 6 : modélisable par le glisseur H₁_₆ totalement connu Le solide {6} est un solide en équilibre soumis à l’action de trois glisseurs.

Donc compte tenu du principe précédent :

La deuxième propriété nous donne la direction de l’action J₀_₆ et la troisième propriété (triangle des forces) nous donne les normes de J₀_₆ et I₄_₆ .

Graphiquement nous trouvons : I4_6 = 1050 N

Partie 4 : Etude du convertisseur statique

associé au moteur de commande de gouverne

On désire commander le moteur électrique permettant la commande du système vis écrou à l’aide d’un modulateur d’énergie appelé onduleur. Il permet d’imposer les formes d’ondes des tensions aux bornes des enroulements du moteur électrique.

Soit u(θ) la tension aux bornes d’un enroulement du moteur électrique défini ci-dessous.

(12)

Q4.1 Faire la décomposition en série de Fourier du signal u(θ) en fonction de E, 1,2,

…,10.

   

¹⁰

 

¹

     

0 1

2 . 1 .cos .sin 2 1 .

. 2 1

i

k i

u E k

 k  



 

 

 





 



  

Q4.2 Quelles relations lient les angles 6, 7, 8, 9, 10 aux angles 5, 4, 3, 2, 1

respectivement. Simplifier alors la décomposition en série de Fourier en ne faisant intervenir que les variables 1, 2, 3, 4, 5.

1 10

2 9

3 8

4 7

5 6

  

 

  

  

  

  



   

⁵

 

¹

     

0 1

4 . 1 .cos .sin 2 1 .

. 2 1

i

k i

u E k

 k  



 

 

 





 



  

Q4.3 On désire éliminer tous les harmoniques de rang n  n0 où n0 N^+* sauf le fondamental de la tension u(θ). Tracer le spectre du signal u(θ) en respectant ce cahier des charges.

Si n0 est pair, le premier harmonique non nul est celui de fréquence (n0+1).f.

Si n0 est impair, le premier harmonique non nul est celui de fréquence (n0+2).f.

Q4.4 Proposer une méthode permettant de réaliser cet objectif. On présentera le résultat sous la forme d'un système d’équations non linéaires.

Remarque : On ne cherchera pas à résoudre ce système.

Si n0 est pair

         

 

                 

1 2 3 4 5

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5

cos 3 cos 3 cos 3 cos 3 cos 3 0

cos n 1 cos n 1 cos n 1 cos n 1 cos n 1 0

    

     

     



          





θ u

E

-E

1 3 5 ₆ ₇ ₉ ₂ ₄ ₈ ₁₀

T/2 T

Spectre

n 0 1 2 3 4 5 …. n₀

(13)

Si n0 est impair

         

1 2 3 4 5

0 1 0 2 0 3 0 4 0 5

cos n cos n cos n cos n cos n 0

    

     

     



     





Q4.5 Calculer la valeur efficace Ueff de la tension u(θ) en fonction de E et des angles 1, 2,

3, 4, 5.

2 1 4 3 5

. 2.

eff 2

U E      



 

       

Q4.6 On désire que Ueff = 220V avec 1 = 0.1 rad, 2 = 0.25 rad, 3 = 0.35 rad, 4 = 0.8 rad,

5 = 0.9 rad. Déterminer la valeur de E.

E=244.6V.

Q4.7 Déterminer le facteur de puissance Kp si le courant dans une phase du moteur électrique est un courant de valeur efficace I déphasé d’un angle β par rapport au fondamental de u(θ).

 

⁵

 

¹

   

1

2 1 4 3 5

1 .cos .cos

. .cos 2

. .

2

eff

i

fond i i

p

eff

U I

K P

S U I

 



      





  

 

 

  

      

 

 



(14)

Document réponse DR1

 t

Tension

(V) Courant

(A) 300

200 100 0 -100 -200 -300

15 10 5 0

-5 -10 -15

(15)

Document réponse DR2

G A

B C

J H

M 1

2 3

5 7

0

M(util 2) E

6 F D

I 8

4