II Premières propriétés des séries

(1)

BCPST2

95 2 3 Séries numériques

I Généralités

A) Dénition Dénition :

Soit (an)n∈Nune suite à valeurs dansR.

On appelle série de terme général a_n, et on note P

a_n la suite dénie par : S_n=

n

X

k=0

a_k

On dit que S_n est la somme partielle d'indicen. Remarque:

Comment transformer une suite en série ?

Soit une suite(bn)n∈N. On veut exprimer la suite(bn)comme une série, c'est-à-dire trouver une suite (an) telle que ∀n∈N, bn=

n

X

k=0

ak. On pose : a_n=b_n−bn−1 pour n≥1eta₀=b₀.

B) Convergence d'une série Dénition :

Soit P

an une série.

On noteSn=

n

X

k=0

ak la somme partielle d'indicen.

G On dit que la série est convergente si et seulement si la suite(Sn) est convergente.

G Dans ce cas, on appelle somme de la série et on note

+∞

X

k=0

a_k, la limite de la suite (S_n). G Dans le cas contraire, la série est dite divergente.

Remarque:

Bien faire la diérence dans la notation entre : G X

a_k ou X

k≥0

a_k : qui représente la série, c'est à dire que l'on se pose la question de la convergence des sommes partielles.

G

+∞

X

k=0

a_k qui est la somme de la série, en cas de convergence.

En particulier, il faut avoir montré que la série est convergente avant d'écrire et de manipuler le réel :

+∞

X

k=0

a_k

(2)

Exemple : Série géométrique

©

On considère la sérieP qⁿ.

A quelle condition sur q cette série est-elle convergente ? Exemple : Série télescopique

©

^Soit

u_n= (n+ 1)^α−n^α.

Etudier suivant la valeur de α la nature de la sérieP un. En cas de convergence, préciser la valeur de la somme.

Remarque:

G Certaines séries ne sont dénies qu'à partir d'un certain rangn0 : dans ce cas là, on écrit X

k≥n₀

ak pour écrire la série.

En cas de covergence, la somme est notée

+∞

X

k=n0

a_k

G X

k≥n₀

a_k et X

k≥n₁

a_k sont de même nature.

En cas de convergence, on a (avecn₀ < n₁) :

+∞

X

k=n0

a_k=

n1−1

X

k=n0

a_k+

+∞

X

k=n1

a_k

C) Reste d'une série convergente Dénition :

Soit P

ak une série convergente.

On appelle reste de rang net on note (souvent)

R_n=

+∞

X

k=n+1

a_k

Proposition : Soit P

ak une série convergente.

G ∀n∈N, S_n+R_n=

+∞

X

k=0

a_k G Rn −→

n→+∞0

(3)

II Premières propriétés des séries

A) Divergence grossière Proposition :

Soit P

an une série convergente alors an −→

n→∞0.

En particulier si lim

n→∞ an6= 0 alors la série diverge.

On dit que la série diverge grossièrement.

Démonstration : Remarque:

La réciproque est fausse.

EtudierX1 n.

B) Sommes de séries Proposition :

SoientP

a_n etP

b_n deux séries.

G SiP

a_n etP

b_nsont convergentes alors P

(a_n+b_n)est convergente et

+∞

X

n=0

(a_n+b_n) =

+∞

X

n=0

a_n+

+∞

X

n=0

b_n

G SiP

a_n est convergente etP

b_ndivergente alors P

(a_n+b_n) est divergente . G SiP

a_n etP

b_nsont divergentes alors on ne peut rien dire sur P

(a_n+b_n). Démonstration :

Remarque:

Soit P

c_n une série convergente.

On suppose que c_n s'écrit sous la formec_n=a_n+b_n. Avant de séparer sous la forme

+∞

X

n=0

a_n+

+∞

X

n=0

b_n, il faut impérativement montrer la convergence des 2 séries.

a_n une série et λ∈R, λ6= 0. Les séries P

a_netP

λa_n sont de même nature.

En cas de convergence, on a

+∞

X

n=0

λan=λ

+∞

X

n=0

an

(4)

III Séries à termes positifs

A) Dénition Dénition :

Soit P

an une série.

On dit que la sérieP

an est à termes positifs si et seulement si∀n≥0, an≥0.

B) Théorème de Majoration Proposition :

Soit P

a_n une série à termes positifs.

On noteS_n=

n

X

k=0

a_k la somme partielle d'indicen. G Si(S_n) est majorée alors la sérieP

a_n est convergente.

G SinonS_n −→

n→∞ +∞. Démonstration :

C) Théorème de comparaison Proposition :

SoientP

un etP

vndeux séries à termes positifs.

On suppose :∃n₀ ∈N,∀n≥n₀, u_n≤v_n. G SiP

vn est convergente alorsP

un est convergente.

G SiP

u_n est divergente alors P

v_n est divergente.

Démonstration :

Comment utiliser le théorème de comparaison ?

Méthode

SoitX

an une série sur[a, b[. On veut montrer la convergence de X an. â Vérier que la série est à termes positifs.

â Trouver une série X

b_n à termes positifs telle que : ∀n≥0, a_n≤b_n. â Vérier queX

bnest convergente.

â Conclure : D'après le théorème de compariason des séries à termes positifs, X an

converge. converge.

Il est inutile et très maladroit d'écrire une inégalité du style :

+∞

X

n=0

an≤

+∞

X

n=0

bn avant d'avoir conclu.

D) Etude de la convergence par la recherche d'un équivalent SoientP

u_n etP

v_n deux séries à termes positifs. On suppose :u_n ∼

n→∞ v_n. Alors, les deux séries sont de même nature.

Méthode à rédiger à chaque fois :

(5)

Utilisation d'équivalent

Méthode

G Commeun ∼

n→∞ vn, on a : un

v_n −→

n→∞1. G On en déduit :∃n₀ ∈N,∀n≥n₀,

u_n vn

−1

≤ 1

2 =⇒ −1 2 ≤ u_n

vn

−1≤ 1 2

=⇒ 1

2v_n≤u_n≤ 3 2v_n

G On utilise ensuite le théorème de comparaison et l'inégalité précédente pour conclure.

Exemple :

©

Etudier la nature de la série P sin ₃¹n

.

E) Comparaison avec une intégrale

Soitf :R→Rdécroissante, positive et continue. Soit la sérieX f(n). La méthode suivante est classique et à connaître :

Comparaison avec une intégrale

Méthode

G En utilisant la décroissance def, encadrerZ n+1 n

f(t)dt.

−→ 1 i

−→ j

1

O

x7→f(x)

f(n) f(n+ 1)

n n+ 1

G En déduire un encadrement def(n).

G En déduire un encadrement des sommes partielles par des intégrales.

G Conclure avec le théorème de majoration.

Exemple :

©

Etudier la série X 1

n^α suivant les valeurs deα.

F) Absolue Convergence Dénition :

Soit P

an une série.

On dit que la série est absolument convergente si et seulement si la sérieP|a_n|est convergente.

an une série.

Une série absoluement convergente est convergente.

La réciproque est fausse.

Démonstration :

Exemple : Etude de la série harmonique alternée.

©

Montrer que la série X(−1)ⁿ

n est convergente non absolument convergente.

(6)

IV Calculs de séries classiques

Proposition :

G ∀q ∈R, |q|<1,

+∞

X

n=0

qⁿ= 1 1−q

G ∀q ∈R, |q|<1,

+∞

X

n=0

nqⁿ⁻¹= 1 (1−q)²

G ∀q ∈R, |q|<1,

+∞

X

n=0

n(n−1)qⁿ⁻² = 2 (1−q)³

G ∀x∈R,

+∞

X

n=0

xⁿ n! =e^x

(7)

BCPST2

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C'est un mathématicien qui organise une loterie dans laquelle le prix est une quantité innie d'argent.

Tous les tickets sont vendus très vite. Quand l'heureux gagnant se présente pour réclamer son prix, le mathématicien explique le mode de paiement : 1 euro maintenant, 1/2 euro demain, 1/3 d'euro le jour suivant, etc

Soit f : [0; 1] → R une fonction continue. Montrer que la série X

n≥0

(−1)ⁿ Z 1

0

xⁿf(x)dx est convergente et calculer sa somme.

1^◦) Pour toutn∈N, simplier,arctan(n²+n+ 1)−arctan(n²−n+ 1). 2^◦) En déduire queX

n≥0

arctan

2n n⁴+n²+ 2

converge et calculer sa somme.

Soitα∈R.

On pose :∀n≥2, un= (n−1)^α+ (n+ 1)^α−2n^α. Etudier la convergence deP

un et le cas échéant, calculer la somme de la série.

Etudier la série de terme généralun= cos(π√ n) n! .

Montrer la convergence et calculer la somme des séries de terme général : 1^◦) un= 2²ⁿ⁺¹

3ⁿ⁻¹ 2^◦) un= 3n+ 1

4ⁿn!

3^◦) u_n= n²−n+ 1 5ⁿ

4^◦) un=n² n!

5^◦) u_n= 1 n³−n

Nature et somme des sériesX 1

(2n+ 1)! etX n (2n+ 1)!

1^◦) Montrer que, pour tout réelx∈[−1; 1[et tout entiernnon nul, on a

ln(1−x) =−

n

X

k=1

x^k k −

Z x

0

tⁿ 1−tdt 2^◦) En déduire que

ln(2) =X

n≥1

1

2ⁿn =X

n≥1

(−1)ⁿ⁺¹ n

Majorer chaque reste à l'ordrenet écrire un programme en python pour calculer ln(2)à 10⁻⁶ près.

(8)

Considérons la suite(v_n)_n∈_N^∗ dénie parv_n=

n−1

X

k=1

1 k−lnn

1^◦) On dénit la suite(wn)n∈N^∗ par :wn=vn+1−vn . Montrer quewn≥0 pourn≥2. 2^◦) Étudier la fonctionf :x7→x−ln(1 +x)−^x₂². En déduire une majoration dew_n.

3^◦) Déduire des questions précédentes que la série de terme généralw_n est convergente puis que la suite (v_n)_n∈_N^∗ est convergente.

4^◦) Donner un équivalent de

n

X

k=1

1 k

1^◦) Montrer que la sérieX 1

n² est convergente.

On admet que X

n≥1

1 n² = π²

6 .

2^◦) Calculer, après avoir montré la convergence, la somme des séries suivantes :

P =X

n≥1

1

(2n)², I =X

n≥0

1

(2n+ 1)², A=X

n≥1

(−1)ⁿ n²

On poseun= n

n+ 1 n²

.

1^◦) Déterminer la limite devn = √ⁿ

un et en déduire quevn ≤1

2 au moins à partir d'un certain rang.

2^◦) En déduire la nature de la série.

3^◦) Donner une majoration du reste d'ordrende la série.

1^◦) On dénitf :x7→ lnx

x . Étudier succintement cette fonction.

2^◦) Démontrer la proposition suivante :

∀n >3, Z n

4

lnt

t dt+ln 2

2 +ln(3)

3 ≤

n

X

k=1

lnk k ≤

Z n

3

lnt

t dt+ln 2

2 +ln(3) 3

En déduire la nature de la série Pln(n)

n . On note Sn =

n

X

k=1

lnk

k . Donner un équivalent simple de la suite(Sn).

3^◦) On se propose de démontrer l'existence d'un nombrec tel queSn =ln²(n)

2 +c+ε(n)oùε(n)_n→∞−→0 a) Démontrer que, pour toutn∈N^∗,

ln²(n)−ln²(n−1) = 2lnn n +lnn

n² + o

n∞

lnn n²

b) On poseun=lnn n −1

2 ln²(n)−ln²(n−1) . Exprimer Sn à l'aide de

n

X

k=2

uk. c) Conclure.

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III Séries à termes positifs

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