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le 18 F´evrier 2010 UTBM MT12
Arthur LANNUZEL http ://mathutbmal.free.fr
M´ ethodes classiques d’int´ egration 1 L’integration par partie.
(u.v)′ =u′.v+u.v′ donc ∫
u.v′ = [u.v]−∫ u′.v.
2 Changement de variable.
Dans I =∫b
a f(x)dx, en posant x =ϕ(t) avec ϕ bijective de [α, β] sur [a =ϕ(α), b =ϕ(β), on obtient
I =
∫ β
α
f(ϕ(t)).ϕ′(t)dt.
3 Integration des fonctions rationnelles.
On d´ecompose en ´el´ements simples pour ensuite int´egrer chaque ´el´ement simple.
3.1 El´ ements simples de premi` ere esp` ece.
∫ dx
(x−a)n =
{ −(n−1)(x1−a)n−1 si n≥2 ln|x−a| si n= 1
3.2 El´ ements simples de seconde esp` ece.
On cherche `a calculer ∫ Ax+B
(x2+px+q)ndx.
On ´ecrit Ax+B = A.(x+ p2) +B− Ap2 . On doit alors int´egrer ∫ dx
(x2+px+q)n que l’on ram`ene, grˆace `a un changement de variable `a∫ dt
(t2+k2)n. Sin = 1, pas de probl`eme (Arctan).
Sin > 1, On poseθ =Arctan(kt). On doit alors int´egrer ∫
cos2n−2(θ)dθ.
4 Integration des fonctions rationnelles en sin(x), cos(x).
Utiliser le changement de variableu= tanx2 puis int´egrer la fraction rationnelle.
dx= 2
1 +u2du, sin(x) = 2u
1 +u2, cos(x) = 1−u2
1 +u2, tan(x) = 2u 1−u2.
Remarque 4.1 Le mˆeme genre de m´ethode est valable pour les fonctions rationnelles enCh(x) et Sh(x).
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