Université Rennes 1
Masters mention Physique et Modélisation parcours Systèmes Complexes U.E. «Mécanique des Milieux Continus»
Cours de Mécanique des Milieux Continus
Yves Méheust
Décembre 2012
Yves Méheust Mécanique des Milieux Continus
Mécanique des Milieux Continus Yves Méheust
Ce cours est en partie inspiré par le cours de Mécanique des Fluides donné au milieu des années 90 par M.
Jean-Noël Gence à l’École Normale Supérieure de Lyon, cours dont une transcription numérique comportant quelques raccourcis (accessible àhttp ://sravier.free.fr/telechargement/meca_flu.pdf) a été réalisée par Matthieu Rigaut et Stéphane Ravier. Par ailleurs je suis redevable à mon collègue Jean de Bremond d’Ars pour une partie de l’iconographie et des exemples des chapitres 1, 2 et 4, que j’ai empruntés aux notes de cours qu’il m’avait très gentiment fournies en 2007. J’ai aussi utilisé largement l’ouvrage de référence « Hydrodynamique Physique » par Guyon, Hulin et Petit (CNRS Editions).
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Yves Méheust Mécanique des Milieux Continus
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Table des matières
1 L’état fluide et sa description comme un milieu continu 1
1.1 Rappels sur l’état fluide . . . 1
1.2 Le modèle de milieu continu . . . 1
1.2.1 Différentes échelles d’observation . . . 1
1.2.2 Notion de particule fluide – Description du fluide comme un milieu continu . . . 2
2 Cinématique des fluides 5 2.1 Description lagrangienne . . . 5
2.1.1 Définition . . . 5
2.1.2 Trajectoire des particules fluides . . . 5
2.1.2.1 Définition . . . 6
2.1.2.2 Observation expérimentale . . . 6
2.1.3 Vitesse et accélération lagrangiennes . . . 6
2.1.4 Suivi d’une grandeur attachée à une particule fluide . . . 7
2.2 Description eulérienne . . . 7
2.2.1 Définition . . . 7
2.2.2 Lien avec la description lagrangienne . . . 7
2.2.3 Lignes de courant . . . 8
2.2.3.1 Définition . . . 8
2.2.3.2 Observation expérimentale : . . . 8
2.2.4 Détermination des trajectoires en description eulérienne . . . 8
2.2.5 Cas des écoulements permanents . . . 9
2.2.6 Accélération eulérienne et dérivée particulaire . . . 9
2.2.7 Changement de référentiel . . . 10
2.3 Déformation d’une particule fluide . . . 12
2.3.1 Tenseur des taux de déformation . . . 12
2.3.2 Interprétation du terme antisymétrique . . . 12
2.3.3 Interprétation du terme symétrique . . . 13
2.4 Conservation de la masse – Équation de continuité . . . 14
2.4.1 Bilan intégral . . . 14
2.4.2 Conditions aux limites qui en découlent pour la vitesse aux parois imperméables . . . 15
2.4.3 Équation de continuité . . . 15
2.4.4 Écoulement incompressible – Conservation du débit . . . 15
2.5 Fonction courant . . . 16
2.5.1 Écoulements plans . . . 16
2.5.2 Écoulements axisymétriques . . . 18
3 Application du principe fondamental de la dynamique au milieu continu 21 3.1 Les forces qui s’exercent sur les particules fluides . . . 21
3.1.1 Forces à distance . . . 21
3.1.2 Forces de contact – Tenseur des contraintes . . . 22
3.2 Principe fondamental de la dynamique . . . 22 iii
Yves Méheust Mécanique des Milieux Continus
3.2.1 Expression intégrale du théorème de la résultante dynamique . . . 22
3.2.2 Théorème de la résultante dynamique . . . 23
3.2.3 Expression locale du théorème du moment dynamique . . . 24
3.2.4 Conditions aux limites pour le tenseur des contraintes . . . 24
4 Statique des fluides 25 4.1 Équation fondamentale de l’hydrostatique . . . 25
4.1.1 Principe fondamental de la dynamique à vitesse nulle . . . 25
4.1.2 Forces de contact à vitesse nulle – Pression de fluide . . . 25
4.1.3 Équation de la statique . . . 25
4.1.4 Dépendance de la pression vis-à-vis de l’altitude . . . 26
4.1.5 Applications classiques de la loi de l’hydrostatique pour les fluides incompressibles . . 27
4.1.5.1 Crève-tonneau de Pascal . . . 27
4.1.5.2 Baromètre de Torricelli . . . 27
4.1.5.3 Manomètre différentiel . . . 27
4.2 Principe d’Archimède . . . 28
4.2.1 Principe d’Archimède – Poussée d’Archimède . . . 28
4.2.2 Démonstrations du théorème . . . 29
4.2.3 Exemples d’application à la flottaison de corps immergés dans l’eau . . . 30
4.2.3.1 Flottaison d’un corps solide de densité uniforme . . . 30
4.2.3.2 Flottaison d’un cylindre ouvert creux : . . . 30
4.2.3.3 Flottaison d’un cylindre fermé creux . . . 30
5 Écoulements de fluides visqueux 33 5.1 Fermeture de la description mathématique . . . 33
5.1.1 Relation entre le tenseur des contraintes et le tenseur des déformations . . . 33
5.1.2 Relation entre masse volumique et pression . . . 33
5.2 Fluides newtoniens . . . 34
5.2.1 Une expérience de cisaillement d’un fluide usuel . . . 34
5.2.2 Loi de comportement d’un fluide newtonien . . . 35
5.2.3 Conditions aux limites associées à la rhéologie newtonienne . . . 35
5.3 Dynamique des fluides newtoniens incompressibles . . . 35
5.3.1 Équation de Navier-Stokes . . . 35
5.3.2 Écriture simplifiée . . . 36
5.3.3 Régimes d’écoulement . . . 36
5.3.4 Adimensionalisation de l’équation de Navier-Stokes – Nombres caractéristiques et changements d’échelle 5.4 Résolution analytique de l’équation de Navier-Stokes dans deux géométries d’écoulements parallèles 38 5.4.1 Écoulement de cisaillement . . . 38
5.4.2 Écoulement dans une fracture plane infinie . . . 39
5.5 Complément sur les lois de comportement – Rhéologie . . . 40
5.5.1 Fluides « complexes » . . . 41
5.5.2 Exemple d’influence de la rhéologie sur la géométrie d’un écoulement . . . 42
6 Écoulements de Stokes 43 6.1 Exemples de configurations . . . 43
6.2 Différentes formes de l’équation de Stokes en régime stationnaire . . . 44
6.2.1 Première forme de l’équation . . . 44
6.2.2 Deuxième forme de l’équation . . . 44
6.2.3 Troisième forme de l’équation . . . 44
6.2.4 Quatrième forme de l’équation . . . 44
6.3 Propriétés de l’équation de Stokes en régime stationnaire . . . 44
6.3.1 Unicité . . . 45
6.3.2 Réversibilité . . . 45 iv
Mécanique des Milieux Continus Yves Méheust
6.3.3 Invariance des lignes de courant à différents débits . . . 46
6.3.4 Additivité des solutions . . . 46
6.3.5 Minimum de dissipation . . . 46
6.4 Champ de vitesse autour d’une sphère en mouvement uniforme : . . . 47
6.4.1 Résolution . . . 47
6.4.2 Limites de cette description de Stokes : . . . 49
6.4.2.1 Validité de l’hypothèse de Stokes loin de la sphère : . . . 50
6.4.2.2 Équation d’Oseen : . . . 50
6.5 Champ de vitesse autour d’un cylindre en mouvement uniforme – paradoxe de Stokes : . . . . 50
6.6 Force exercée par un écoulement de Stokes sur un solide immergé : . . . 51
6.6.1 Cas de la sphère dans un milieu infini : . . . 51
6.6.2 Généralisation : . . . 52
7 Bilan d’énergie d’un fluide incompressible 55 7.1 Expression intégrale . . . 55
7.1.1 Densité massique d’énergie : . . . 55
8 Écoulements de fluides parfaits incompressibles 57 8.1 Fluide parfait – Écoulement parfait . . . 57
8.1.1 Définition . . . 57
8.1.2 Equation d’Euler . . . 57
8.1.3 Première forme du théorème de Bernoulli . . . 58
8.1.4 Projection de l’équation d’Euler sur le trièdre de Frénet : . . . 58
8.1.5 Applications classiques du théorème de Torricelli : . . . 60
8.2 Écoulements parfaits irrotationnels . . . 62
8.2.1 Équation d’Helmholtz . . . 62
8.2.2 Écoulements potentiels . . . 62
8.2.3 Seconde forme du théorème de Bernoulli . . . 63
8.2.4 Écoulements potentiels plans . . . 63
8.2.4.1 Calcul des champs de vitesse et de pression à l’aide d’une fonction courant : 63 8.2.4.2 Utilisation d’un potentiel complexe . . . 64
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