Chapitre I : La biodiversité et son évolution

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Chapitre I : La biodiversité et son évolution

Thème 3 : Une histoire du vivant

I) Contexte

Il est intéressant de connaitre l’abondance d’une population dans un milieu pour étudier la dynamique de celle-ci. Ainsi, on peut déterminer si une population est en danger d’extinction ou au contraire si elle a tendance à proliférer.

Compter de manière exhaustive tous les individus n’est cependant pas toujours possible ou facilement réalisable. On utilise donc diverses méthodes d’estimation.

II) Estimation de l’abondance d’une population par la méthode capture-marquage-recapture 1. Descriptif de la méthode

La méthode « capture-marquage-recapture » ou « CMR » désigne une méthode statistiquecouramment utilisée en écologie pour estimer la taille d’une population animale (son effectif).Une partie de la population que l’on veut représentative est capturée, marquée et relâchée.Ultérieurement, lors d’une seconde capture, une autre partie est capturée et le nombre d’individus marqués dansl’échantillon est compté.

On considère que le nombre d’individus marqués dans le second échantillon estproportionnel au nombre d’individus marqués dans la population totale. On utilise donc la quatrième proportionnelle pour estimer l’effectif de la population totale.

La relation de base est :^𝑹 𝑪

=

^𝑴

𝑵

N est l’effectif estimé de la population totale ;

M est le nombre d’individus marqués lors de la première capture ;

C est le nombre total d’animaux capturés lors de la seconde capture (recapture) ;

R est le nombre d’animaux capturés lors de la seconde capture (recapture) et déjà marqués.

À partir de cette relation, on peut déduire l’effectif estimé de la population totale :𝑵 =^{𝐶 × 𝑀}

𝑅 . .

III) Intervalle de confiance 1. Introduction

Nous avons vu que la méthode capture-marquage-recapture (CMR) permet d’avoir une estimation de l’effectif total, un ordre de grandeur. Il est intéressant de déterminer la marge d’erreur, de mesurer l’écart entre l’effectif total réel et le résultat obtenu grâce à la méthode CMR. Nous avons vu qu’en appliquant plusieurs fois cette méthode sur une même population nous obtenions des résultats différents alors même que les échantillons considérés étaient de même taille. Le fait que le résultat puisse être différent d’une expérience à l’autre s’appelle la fluctuation d’échantillonnage. Il est quasiment impossible que la réalisation d’une seule expérience puisse nous donner la valeur exacte de l’effectif total.

Connaître cependant l’intervalle dans lequel se trouve cette valeur est largement suffisant dans de nombreux cas. On parle alors d’intervalle de confiance. Il reste tout de même une marge d’erreur qu’il convient d’estimer.

On s’intéresse le plus souvent à des intervalles de confiance à 95% . Cela signifie que dans 95% des cas, l’effectif réel est dans cet intervalle.

Des formules mathématiques permettent de déterminer ces intervalles de confiance à 95%.

Attention, on peut également déterminer, à l’aide de formules mathématiques, des intervalles de confiance à 95% qui contiennent la proportion p telle que 𝑝 =^M

N.

P désigne alors la proportion des individus d’une population présentant un même caractère.

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2. Remarques

 Les formules que vous devrez utiliser seront données dans les exercices.

 Il faudra bien distinguer les intervalles de confiance auxquels appartient l’effectif total de la population (dans 95 % des cas) des intervalles de confiance auxquels appartient la proportion des individus présentant un même caractère (là aussi, dans 95 % des cas).

 Plus la taille C de l’échantillon est grande, plus l’intervalle de confiance sera petit (avec une petite amplitude) et plus on obtiendra ainsi des résultats exploitables.

3. Exemple à l’aide de l’écart-type

En général, on ne connaît pas la proportion p d’un caractère dans la population. On n’a accès qu’à 𝑝_é𝑐ℎ dans l’échantillon de taille C et à son incertitude associée, donnée par l’écart-type 𝑠_é𝑐ℎ, calculé à partir de 𝑝_é𝑐ℎ. 𝑝_é𝑐ℎ et 𝑠_é𝑐ℎ permettent de construire un intervalle de confiance qui inclut probablement la proportion p de la population. La taille, l’amplitude de cet intervalle dépend du niveau de confiance qu’on se fixe.

L’écart-type 𝑠_é𝑐ℎd’une proportion 𝑝_é𝑐ℎdans un échantillon de taille finie C vaut :

𝑠

_é𝑐ℎ

= √

^𝑝^é𝑐ℎ^×(1−𝑝^é𝑐ℎ⁾

𝐶 .

 À partir de l’intervalle de confiance déterminé pour la proportion dans la population, on peut déduire l’intervalle de confiance au sein duquel on espère que l’effectif de la population se trouve.

La proportion d’individus marqués dans l’échantillon vaut : 𝑝_é𝑐ℎ=^𝑅

𝐶 .Ainsi : N = ^𝑀

𝑝_é𝑐ℎ .

 Au niveau de confiance 95 %, il y a 95 % de chance que la proportion p d’individus marqués soit comprise entre 𝑝_𝑖𝑛𝑓 et 𝑝_𝑠𝑢𝑝, appartienne donc à l’intervalle [𝑝_𝑖𝑛𝑓; 𝑝_𝑠𝑢𝑝] soit [𝑝_é𝑐ℎ− 2𝑠_é𝑐ℎ; 𝑝_é𝑐ℎ+ 2𝑠_é𝑐ℎ].

 On en déduit qu’il y a 95 % de chances que l’effectif de la population soit compris entre N_𝑖𝑛𝑓 =_𝑝^𝑀

𝑖𝑛𝑓 et N_𝑠𝑢𝑝 = ^𝑀

𝑝_𝑠𝑢𝑝 .

4.

Exemple à l’aide de la formule vue en classe de 2de

a) Généralités

Soit𝑓 =^R

Cla proportion expérimentale (observée sur un échantillon)avec C > 30 et 5 ≤ R ≤ C − 5.

L’intervalle de confiance pour la proportion 𝑝 =^M_Ndans la population au niveau de confiance de 95 % correspond alors à l’intervalle [𝑓 − ¹

√𝐶 ; 𝑓 + ¹

√𝐶].

L’intervalle ainsi déterminé a 95% de chance de contenir la proportion p à savoir la valeur qui aurait été déterminée en analysant l’ensemble des individus de la population. On en déduit l’encadrement qui suit :

𝑓 − ¹

√C≤ 𝑝 ≤ 𝑓 + ¹

√C avec 𝑝 =^M

N . IV)

Loi de Hardy-Weinberg

1) Introduction :

On considère que les conditions pour appliquer la loi de Hardy-Weinberg sont réunies:

- Population de taille infinie

- - absence de migration, de mutation, de sélection

- Panmixie (c’est-à-dire reproduction aléatoire des individus)

Cette loi dit que ce modèle est stable d’une génération à l’autre. Autrement dit que si la fréquence d’un allèle est p à une génération, elle est la même à la génération suivante, ainsi qu’à celles qui lui succèdent.

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3 La fréquence d’un allèle A est 𝑝_𝐴= 𝑝 =^{𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑}^′^{𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠 𝐴}

𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 on a 0 ≤ 𝑝 ≤ 1 Pour un gène à deux allèles A dominant et a récessif

On a 𝑝𝑎 =𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 ^{𝑛𝑜𝑚𝑏𝑟𝑒 𝑑}^′^{𝑎𝑙𝑙è𝑙𝑒𝑠 𝑎}= 𝑞 avec 𝑝 + 𝑞 = 1 2) Loi des grands nombres :

Lorsqu’ on fait un très grand nombre de fois la même expérience, dans les mêmes conditions, la fréquence de réalisation de l’événement est très proche de la probabilité de cet événement.

Autrement dit, le résultat expérimental est pratiquement égal au résultat théorique

On utilise la loi des grands nombres pour démontrer la loi de stabilité énoncée par Hardy –Weinberg 3) Démonstration de la loi de Hardy-Weinberg:

Les conditions de loi de Hardy-Weinberg, correspondent à des conditions de tirages indépendants, avec remise, d’une expérience à deux issues de probabilité p et q avec 𝑝 + 𝑞 = 1

Supposons que la probabilité de l’allèle A est 𝑝_𝐴= 𝑝 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑝_𝑎= 𝑞 avec 𝑝 + 𝑞 = 1 à la génération 1 et calculons les probabilité des d’avoir l’allèle A, puis l’allèle a à la génération 2 , c’est-à-dire celle des enfants.

Tableau de croisement

Gamète femelle

A a

Gamète mâle A A//A A//a

a a//A a//a

On obtient donc les gènes A//A, a//A et a//a. Calculons leur probabilité

Rappel mathématique : lorsque deux événements sont indépendants, on a P(A et B) = P(A) xP(B) P( A//A) = P( A et A) =P(A) x P(A) =p²

P( a//a)= P(a) x P(a) = q² P( A//a) = P( a//A) = pq

La fréquence de l’allèle A à la génération 2 est

PA =P( A//A) + ½ P(A//a) + ½ P( a//A) = p²+pq = p(p+q) = p La fréquence de l‘ allèle a à la génération 2 est

Pa= P( a//a) + ½ P(A//a) + ½ P( a//A)= q²+pq= q(q+p) = q

On retrouve à la génération 2, la même fréquence des allèles A et a qu’à la génération 1 donc le système est stable.

4) Utilisation :

Pour connaître l’évolution d’une population, on suppose que les conditions de la loi de Hardy- Weinberg sont réunies et par conséquent que le système est stable.

On compare les résultats obtenus sous cette hypothèse avec les résultats expérimentaux.

S’ils sont différents, on conclut que les conditions d’application de cette loi ne sont pas réunies. On tente ensuite d’expliquer quel est le ou les paramètre(s) qui induisent l’évolution génétique de la population étudiée :

sélection, dérive, mutation, migration des gènes , ( voir le cours de SVT)

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4

IV) Loi de Hardy -Weinberg 1. Introduction

On considère que les conditions pour appliquer la loi de Hardy-Weinberg sont réunies : - Population de taille infinie

- - absence de migration, de mutation, de sélection

- Panmixie (c’est-à-dire reproduction aléatoire des individus)

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Cette loi dit que ce modèle est stable d’une génération à l’autre. Autrement dit que si la fréquence d’un allèle est p à une génération, elle est la même à la génération suivante, ainsi qu’à celles qui lui succèdent.

Pour un gène à deux allèles A dominant et a récessif, dans une population, on a La fréquence d’un allèle A est 𝑝_𝐴= 𝑝 =………

……… avec … ≤ 𝑝 ≤ ⋯ et la fréquence de 𝑝_𝑎= 𝑞 = ……….

𝑝𝑜𝑝𝑢𝑙𝑎𝑡𝑖𝑜𝑛 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙𝑒 avec … ≤ 𝑞 ≤ ⋯ et ……….=1

2. Loi des grands nombres :

Lorsqu’ on fait un très grand nombre de fois la même expérience, dans les mêmes conditions, la fréquence de réalisation de l’événement est très proche de la probabilité de cet événement.

Autrement dit, le résultat expérimental est pratiquement égal au résultat théorique

Remarque : On a vu avec la simulation de 1 000 tirages d’un nombre aléatoire entre 0 et 1 avec une probabilité de 0,4 , d’apparition du 1 que la fréquence obtenue est très proche de 0,4 ( partie prolongement de l’ activité tableur)

On utilise la loi des grands nombres pour démontrer la loi de stabilité énoncée par Hardy –Weinberg 3. Démonstration de la loi de Hardy-Weinberg:

Les conditions de loi de Hardy-Weinberg, correspondent à des conditions de tirages indépendants, avec remise, d’une expérience à deux issues de probabilité p et q avec 𝑝 + 𝑞 = 1

Supposons que la probabilité de l’allèle A est 𝑝_𝐴= 𝑝 𝑒𝑡 𝑞𝑢𝑒 𝑐𝑒𝑙𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑠𝑡 𝑝_𝑎= 𝑞 avec 𝑝 + 𝑞 = 1 à la génération 1 et calculons les probabilité d’avoir l’allèle A, puis l’allèle 𝑎 à la génération 2 , c’est-à-dire celle des enfants.

Tableau de croisement

Gamète femelle

A 𝑎

Gamète mâle A 𝑎 On obtient donc les gènes ………

Calculons leur probabilité

Rappel mathématique : lorsque deux événements sont indépendants, on a P(A et B) = P(A) xP(B)

P( A//A) = P( A et A) =………..

P(𝑎 // 𝑎)= P(𝑎) x P(𝑎) = ………

P( A// 𝑎) =………..

P(𝑎 //A) = ………..

La fréquence de l’allèle A à la génération 2 est

PA =P( A//A) + ½ P(A// 𝑎) + ½ P(𝑎 //A) = ………

La fréquence de l‘ allèle 𝑎 à la génération 2 est

P 𝑎 = P(𝑎 // 𝑎) + ½ P(A// 𝑎) + ½ P(𝑎 //A)= ………

Conclusion:

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………

4. Exemple d’utilisation :

Pour connaître l’évolution d’une population, on suppose que les conditions de la loi de Hardy- Weinberg sont réunies et par conséquent que le système est stable.

On compare les résultats obtenus sous cette hypothèse avec les résultats expérimentaux.

S’ils sont différents, on conclut que les conditions d’application de cette loi ne sont pas réunies. On tente ensuite d’expliquer quel est le ou les paramètre(s) qui induisent l’évolution génétique de la population étudiée :

sélection, dérive, mutation, migration des genes. ( voir le cours de SVT)