ECOLE NORMALE SUPERIEURE MARTIL
Exposé sur la méthode
« BOX MULLER »
Réalisée par : FAYZ Hagar
SOUKAMKIAN Roseline Sylvie
Encadé par : Mr MEROUNI
Master : GIE
ANNEE UNIVERSITAIRE : 2011/2012
Simulation de la loi normale centrée réduite :
O n v e u t s i m u l e r d e s v a r i a b l e s a l é a t o i r e s i n d é p e n d a n t e s s u i v a n t l a l o i g a u s s i e n n e c e n t r é e r é d u i t e N ( 0 , 1 ) . I l e s t p o s s i b l e d e t r o u v e r u n e m é t h o d e d e d é c o m p o s i t i o n , a d a p t é e n o n s e u l e m e n t à l a d e n s i t é d e l a l o i N ( 0 , 1 ) m a i s a u s s i a u x q u a l i t é s d u g é n é r a t e u r e t d u c o m p i l a t e u r , q u i s o i t p l u s r a p i d e q u e c e l l e s q u i s u i v e n t . L e s m é t h o d e s q u e n o u s d o n n o n s i c i s o n t f a c i l e s à p r o g r a m m e r .
Algorithme polaire :
I l r e p o s e s u r l e r é s u l t a t s u i v a n t . T h é o r è m e 1 . 1 S o i t ( X , Y ) u n c o u p l e d e v a r i a b l e s a l é a t o i r e s , d e l o i u n i f o r m e s u r l e d i s q u e u n i t é :
E c r i v o n s c e s v a r i a b l e s a l é a t o i r e s e n c o o r d o n n é e s p o l a i r e s :
s o n t d e u x v a r i a b l e s a l é a t o i r e s i n d é p e n d a n t e s , d e m ê m e l o i N ( 0 , 1 ) .
L a p r e u v e d e c e r é s u l t a t r e p o s e s u r l e c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e e n p o l a i r e q u i p e r m e t d ’ o b t e n i r q u e l e s v a r i a b l e s R e t θ s o n t i n d é p e n d a n t s . I l p e r m e t a u s s i d ’ o b t e n i r q u e R s u i t u n e l o i b ê t a d e p a r a m è t r e 2 e t 1 ( a u s s i a p p e l é e l o i t r i a n g u l a i r e s u r [ 0 , 1 ] ) e t q u e θ s u i t u n e l o i u n i f o r m e s u r [ 0 , 2 θ] . O n e n d é d u i t e n s u i t e a i s é m e n t l a d e n s i t é d e l a l o i d u c o u p l e ( U , V ) p a r u n s e c o n d c h a n g e m e n t d e v a r i a b l e e n p o l a i r e . I n t e r p r é t a t i o n g é o m é t r i q u e : o n p o u r r a f a i r e u n d e s s i n p o u r r e p r é s e n t e r l a p o s i t i o n d u v e c t e u r ( U , V ) p a r r a p p o r t à c e l l e d u p o i n t i n i t i a l ( X , Y ) . C e s d e u x p o i n t s f o r m e n t l e m ê m e a n g l e a v e c l ’ a x e d e s a b s c i s s e s . S e u l e l e u r n o r m e d i f f è r e . O n d é d u i t d e c e r é s u l t a t e t d e s o n i n t e r p r é t a t i o n g é o m é t r i q u e , l ’ a l g o r i t h m e p o l a i r e :
Méthodes Box-Muller :
La distribution normale (ou loi gaussienne) est certainement la plus célèbre des distributions non-uniformes, mais elle est également l’une des plus utilisées. Étant donnée la difficulté de trouver pour elle une mise en œuvre simple dans le cadre des méthodes universelles (inversion et rejet), un important effort scientifique a été consenti durant les cinquante dernières années pour trouver des méthodes spécifiques à la gaussienne qui soient adéquates. La distribution normale de l’équation (a l’avantage de ne pas être entièrement soumise à ses paramètres puisque toute variable x issue de la normale centrée réduite :
, peut être manipulée pour obtenir pour tous σ >0 et µ. On applique simplement y = σx +µ. Aussi les algorithmes spécifiques à la distribution normale se concentrent sur la distribution normale centrée réduite :
La plus célèbre des méthodes spécifiques à la gaussienne est due aux chercheurs Box et Muller et porte de ce fait leur nom. Elle consiste à utiliser un certain nombre d’opérations arithmétiques sur des échantillons de U(0,1) pour aboutir à produire des échantillons x de la fonction f(x), donnée par l’équation :
Plus exactement, en prenant u0 et u1, deux échantillons indépendants issus de U(0,1), Box et Muller relèvent que les variables x0 et x1 , données par :
Elles sont indépendantes et suivent la normale N(0,1). Cette expression est généralement connue comme la forme cartésienne de l’algorithme Box - Muller puisque x0 et x1 sont les coordonnées cartésiennes du vecteur de coordonnées polaires :
Une forme dite polaire de l’algorithme Box-Muler existe aussi et permet quant à elle d’éviter le recours aux fonctions trigonométriques qui peuvent être coûteuses en temps de calcul [15]. Ainsi, en prenant les deux échantillons u0 et u1 de U(0,1) et leur contrepartie respective X = 2u0−1 et Y = 2u1−1, uniformément réparties sur l’intervalle] −1,0[U]0,1[, alors les variables x0 et x1 suivent N(0,1) si s <1.
Cette forme polaire de l’algorithme Box-Muller appartient à la famille des méthodes derejet. Dans la pratique, la forme polaire compense le rejet (dont le ratio ρa a= 1.2146) parune accélération du calcul des variables x0 et x1 en évitant le calcul d’un sinus et d’un cosinus.
