Analyse expérimentale et par élément finis du comportement statique et vibratoire des matériaux composites sandwichs sains et endommagés

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Analyse expérimentale et par élément finis du

comportement statique et vibratoire des matériaux

composites sandwichs sains et endommagés

Moustapha Idriss

To cite this version:

Moustapha Idriss. Analyse expérimentale et par élément finis du comportement statique et vibratoire des matériaux composites sandwichs sains et endommagés. Autre [cond-mat.other]. Université du Maine, 2013. Français. �NNT : 2013LEMA1003�. �tel-00808603�

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UNIVERSITÉ DU MAINE

THÈSE

Présentée pour obtenir le grade de

DOCTEUR DE L'UNIVERSITÉ DU MAINE

SPÉCIALITÉ : Acoustique

Par :

Moustapha IDRISS

ANALYSE EXPÉRIMENTALE ET PAR

ÉLÉMENTS FINIS DU COMPORTEMENT

STATIQUE ET VIBRATOIRE DES MATÉRIAUX

COMPOSITES SANDWICHS SAINS ET

ENDOMMAGÉS

Soutenue le 12 Mars 2013

JURY

Z. AZARI, Professeur, ENIM de Metz Rapporteur

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UNIVERSITÉ DU MAINE

Thèse

ANALYSE EXPERIMENTALE ET PAR ELEMENTS

FINIS DU COMPORTEMENT STATIQUE ET

VIBRATOIRE DES MATERIAUX COMPOSITES

SANDWICHS SAINS ET ENDOMMAGES

Présentée par : Moustapha IDRISS

Directeur de Thèse :

Abderrahim El MAHI

Laboratoire d'Acoustique de l'Université du Maine

UMR CNRS 6613

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Remerciements

Ce travail a été effectué au sein du Laboratoire d’Acoustique de l’Université du Maine.

Tout d’abord, je tiens à remercier vivement, A. EL MAHI directeur de thèse pour son soutien qu’il n’a cessé de m’apporter, sa disponibilité et ses précieux conseils qui ont permis de mener à bien ce travail.

Je remercie aussi Monsieur R. EL GUERJOUMA et O. DAZEL co-directeur de et co-encadrant de la thèse pour ses aides, sa collaboration aussi efficace qu’agréable tout au long de ce travail.

Je remercie ensuite tout particulièrement le Professeur Z. AZARI, et Professeur L.

GUILLAUMAT d’avoir accepté d’être rapporteurs de mon travail de thèse.

Je voudrais remercier également les Professeurs C. DEPOLLIER et A. BÉAKOU, ainsi que M. ASSARAR, maître de conférences, pour l’intérêt qu’ils ont porté à ce travail en acceptant de l’examiner.

Je remercie Monsieur M. ASSARAR pour son aide apporté à mettre en place le dispositif expérimental pour les essais de vibrations.

J’exprime mes remerciements aussi à l’ex recteur de l’Université Adam Barka d’Abéché, le Professeur Ali S. Dabye.

Je remercie également le Gouvernement du Tchad qui, par son soutien financier, a rendu possible le présent travail.

Un grand merci aux techniciens de l’IUT notamment Monsieur A. ARAGOT et C.

BOUCHERIE, ainsi que S. LEBON technicien du Laboratoire d’Acoustique de

l’Université du Maine, Anne Marie Brulé, secrétaire, pour leur aide apportée pour la réalisation du dispositif d’essais des vibrations.

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Publications

En plus du mémoire de thèse, ces travaux ont conduit aux publications et communications suivantes :

1. M. IDRISS, A. EL MAHI, M. ASSARAR & EL GUERJOUMA "Damping

analysis in cyclic fatigue loading of sandwich beams with debonding"

Composites: Part B, 44, 597–603 (2013)

2. M. IDRISS, A. EL MAHI, R. EL GUERJOUMA, O. DAZEL "Damping

Analysis in Flexural Vibration of Sandwich Beams with Debonding"

11èmeCongrès Français d’Acoustique, Nantes ACOUSTICS 2012, du 22 au 27

Avril 2012.

3. M. IDRISS, A. EL MAHI, R. EL GUERJOUMA "Analyse de l’amortissement

en fatigue cyclique des matériaux sandwichs endommagés par fissuration" JNC

17, AMAC, Futuroscope Poitiers, 15-17 juin 2011

4. M. IDRISS, A. EL MAHI & R. EL GUERJOUMA "Etude du comportement en

statique et en fatigue cyclique d’un matériau sandwich endommagé par décohésion" 20ème Congrès Français de Mécanique, Besançon, 28 août au 2 septembre 2011

5. M. IDRISS, A. EL MAHI, R. EL GUERJOUMA "Analyse du comportement en

fatigue cyclique des matériaux sandwichs endommagés par fissuration." 10ème

Congrès de Mécanique, à Oujda au Maroc, du 19 au 22 Avril 2011

6. EL MAHI, M. IDRISS, M. ASSARAR, R. EL GUERJOUMA, O. DAZEL

"Effets de l’endommagement sur le comportement Vibratoire des matériaux sandwichs endommagés." 19ème Congrès Français de Mécanique, Marseille,

24-28 août 2009.

7. M. IDRISS, M. ASSARAR, A. EL MAHI "Analyse expérimentale et par

éléments finis du comportement vibratoire des matériaux sandwichs endommagés." JNC 16, AMAC, Toulouse, 10-12 juin 2009.

8. M. IDRISS, A. EL MAHI, R. EL GUERJOUMA "Caractérisation par vibration

non linéaire de l’endommagent des matériaux sandwichs" JNC 18, AMAC,

Nantes, 12-14 juin 2013

9. M. IDRISS, A. EL MAHI, R. EL GUERJOUMA "Analyse du comportement en

fatigue cyclique des matériaux sandwichs endommagés par fissuration." 11ème

Congrès de Mécanique, à Agadir au Maroc, du 23 au 26 Avril 2013.

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Tables de matières

CHAPITRE 1 Introduction……… 1

CHAPITRE 2 Analyse bibliographique……….. 3

2.1 Introduction………..………..……….. 5

2.2 Matériaux sandwichs et leurs constituants………..……….. 5

2.2.1 Introduction……….. 5

2.2.2 Âmes………..…….. 6

2.2.3 Peau……….. 6

2.2.4 Adhésifs……… 7

2.3 Comportement mécanique des composites sandwichs en statique et en fatigue………… 8

2.3.1 Comportement en statique……….... 8

2.3.2 Comportement en fatigue………. 10

2.3.2.1 Introduction………...……. 10

2.3.2.2 Effets des paramètres expérimentaux……… 11

2.3.2.3 Comportement des matériaux sandwichs en flexion………. 13

2.3.2.4 Énergie dissipée et amortissement en fatigue……… 15

2.4 Comportement en vibration des composites sandwichs ………. 16

2.4.1 Introduction………..……… 16

2.4.2 Analyse expérimentale………. 16

2.4.2.1 Analyse à partir des vibrations des poutres……… 16

2.4.2.2 Amortissement………..….. 18

2.4.3 Quelques approches pour la détermination de l’amortissement……….. 20

2.5 Modes de dégradation des matériaux sandwichs ………. 22

2.5.1 Introduction………..……… 22

2.5.2 Rupture de la peau en traction ou en compression……….. 22

2.5.3 Poinçonnement... 23

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CHAPITRE 3 Analyse du comportement mécanique en statique et en fatigue cyclique des composites sandwichs avec une décohésion…. 29

3.1 Introduction……….. 31

3.2 Comportement des matériaux sandwich……… 31

3.2.1 Introduction……….. 31

3.2.2 Analyse à l’aide de la théorie des plaques sandwichs……….. 32

3.2.2.1 Équations générales……….. 34

3.2.2.2 Essai de flexion 3-points……….……….. 38

3.2.3 Évaluation des performances en statique des matériaux sandwichs………. 40

3.2.3.1 Mise en œuvre………...……… 40

3.2.3.2 Procédures expérimentales……… 42

3.2.3.3 Comportement statique des matériaux sains………. 43

3.2.3.4 Effet de la longueur de la décohésion……… 45

3.2.3.5 Module de cisaillement et module de flexion……… 50

3.3 Comportement en fatigue cyclique des matériaux sandwichs avec une décohésion……… 52

3.3.1 Introduction ……… 52

3.3.2 Essais………..……… 57

3.3.3 Comportement en fatigue du matériau sandwich sain……… 52

3.3.4 Effet de la longueur de fissure sur le comportement en fatigue………. 53

3.3.4.1 Rigidité………...……... 53

3.3.4.2 Cycle d’hystérésis……….. 55

3.3.4.3 Énergie dissipée………. 57

3.3.4.4 Amortissement ……….…. 59

3.4 Conclusions………... 62

CHAPITRE 4 Analyse expérimentale et par éléments finis du comportement vibratoire des matériaux sandwichs endommagés…………..………………. 63

4.1 Introduction……… 65

4.2 Équation des vibrations transverses d’une poutre orthotrope………. 65

4.2.1 Équation du mouvement……… 65

4.2.2 Vibration transverse amorties d’une poutre ……… 67

4.2.3 Réponse dans le cas d’une charge concentrée impulsionnelle……… 70

4.3 Analyse expérimentale effectuée……… 71

4.3.1 Dispositif expérimental……… 71

4.3.2 Méthode d’analyse des résultats expérimentaux………. 72

4.4 Évaluation expérimentale de l’amortissement du matériau sain ……….. 73

4.4.1 Amortissement des composites à fibres croisés (peaux)………. 73

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4.5 Analyse par éléments finis ………..……… 81

4.5.1 Formulation de l’équation de la dynamique………...………. 81

4.5.2 Équation dynamique en absence d’amortissement………. 81

4.6 Modélisation par éléments finis ……….……… 82

4.6.1 Géométrie et caractéristiques mécaniques ………. 82

4.6.2 Effet de la décohésion sur les fréquences propres……….. 83

4.7 Modélisation de l’amortissement d’une structure en matériau sandwich... 90

4.7.1 Évaluation des énergies de déformation……….…. 90

4.7.2 Évaluation de l’amortissement……… 90

4.7.3 Comparaison des amortissements obtenus expérimentalement et par éléments finis en présence d’une décohésion……….……… 91

4.7.4 Contribution à l’amortissement des différentes énergies dissipées………..…….. 96

4.7.4.1 Introduction ……….. 96

4.7.4.2 Énergies dissipées dans les constituants (peaux et âme)……….…….……… 96

4.7.4.3 Énergie dissipée dans les différentes directions des peaux……….……… 100

4.7.4.4 Énergie dissipée dans les différentes directions de l’âme………..………… 102

4.8 Conclusions……….…… 106

CHAPITRE 5 Caractérisation par vibration non linéaire des matériaux sandwichs endommagés………... 107

5.1 Introduction……….………….. 109

5.2 Méthode de résonance non linéaire………. 110

5.2.1 Procédure expérimentale……… 110

5.2.2 Détermination des caractéristiques des courbes de résonance……….. 111

5.3 Caractérisation non linéaire par résonance du composite sandwich…………....………… 112

5.3.1 Courbes de résonances……….…… 112

5.3.2 Effet du niveau d’excitation sur la fréquence de résonance ……….. 115

5.3.3 Effet du niveau d’excitation sur l’amortissement………..………. 117

5.4 Analyse des résultats ………..……… 119

5.4.1 Introduction……….……… 119

5.4.2 Modélisation du comportement non linéaire ……… 119

5.4.3 Décalages fréquentiel et amortissement non linéaire……….……….… 121

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Chapitre 1

Introduction générale

Les matériaux sandwichs connaissent un essor important, tant dans les applications les utilisant, que dans les technologies les mettant en œuvre. Ils présentent un intérêt pour les applications qui requièrent à la fois rigidité et légèreté, notamment les transports, la marine, le nautisme, l’aéronautique, l’aérospatial, les sports et loisirs, l’industrie lourde, le génie civil et l’armée. Les matériaux sandwichs sont constitués d’une âme, souvent épaisse et de faible masse volumique, enserrée entre deux peaux à la fois rigides et minces. Du fait que l’on peut modifier la nature des matériaux constitutifs d’âme et de la peau (densité, propriétés mécaniques, physiques et chimiques), il est possible de concevoir des structures adaptées aux applications bien définies.

Lors de la sollicitation en flexion des matériaux sandwichs, la décohésion (décollement) entre la peau et l’âme est l’un des modes d’endommagement observé par de nombreux chercheurs dans le cas des essais de fatigue en flexion. Cet endommagement peut aussi survenir à la suite des imperfections dans le processus de fabrication, le dégazage de l’âme en mousse sous l’exposition directe du soleil, soit résulter des charges externes au cours de la vie d’opération, comme l’impact par des objets étrangers, soit encore résulter par la capacité d’absorption d’eau des âmes cellulaires. La présence de la décohésion affecte le comportement local et global en statique et en dynamique du matériau sandwich. En outre, lors de l’utilisation du matériau sandwich en présence de la décohésion, celle-ci peut se propager et provoquer de nouveaux modes d’endommagement tels que le flambage localisé de la peau, le délaminage de la peau, la fissuration en cisaillement de l’âme, etc. Ces modes d’endommagement peuvent interagir entre eux et aboutir à une défaillance prématurée de la structure en matériau sandwich.

L’objet de ce présent travail est d’analyser le comportement mécanique en statique, en fatigue et en vibration linéaire et non linéaire des matériaux sandwichs en présence d’une décohésion de longueur variable. Les matériaux composites sandwichs considérés dans le présent travail sont constitués d’une âme en mousse PVC de différentes masses volumiques et de peaux en fibres de verre et de résine époxyde. Ce travail se plaçait dans la continuité des travaux déjà réalisés au sein du laboratoire, sur l’analyse du comportement en statique, en fatigue et en vibration des matériaux composites sandwichs.

Après l’introduction du travail dans le présent chapitre, le chapitre 2 est consacré à une analyse bibliographique sur les effets de l’endommagement sur le comportement en statique, en fatigue cyclique et en vibration des matériaux composites sandwichs. Cette revue débutera avec une exposition plutôt générale du matériau sandwich (différents constituants). Ensuite, le

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Chapitre 1 Introduction générale

comportement mécanique en flexion des matériaux sandwichs et les principaux mécanismes d’endommagement d’une structure sandwich sont exposés. Dans un deuxième temps, l’accent sera mis sur le comportement mécanique en statique et en fatigue cyclique des matériaux composites ayant un endommagement. Finalement, nous présentons les travaux existants sur l’influence de l’endommagement sur le comportement vibratoire des matériaux composites.

Le chapitre 3 est consacré à la caractérisation des propriétés mécaniques en statique et en fatigue de ces matériaux en présence d’une décohésion de longueur variable. Cette caractérisation est menée à partir de la flexion 3-points sur des poutres en matériaux sandwichs avec plusieurs longueurs de la fissure. Le chapitre présente ensuite une analyse par la théorie des plaques sandwiches du comportement statique en flexion des sandwichs en fonction de la longueur de fissure. Le module de flexion et le module de cisaillement sont déterminés en fonction de la longueur de fissure à partir des résultats de cette analyse et par des essais de flexion sur des éprouvettes de ce matériau en faisant varier la distance entre appuis. La dernière partie du chapitre est consacrée à l’analyse du comportement en fatigue cyclique. Les essais de fatigue sont conduits en contrôlant le signal déplacement qui est de type sinusoïdal avec une fréquence de 5 Hz. Dans le cas des éprouvettes endommagées par fissuration, l’énergie dissipée et l’amortissement sont calculés à partir des données expérimentales de la charge et du déplacement en fonction du temps pour différentes longueurs de la fissure.

Le chapitre 4 est consacré à l’analyse expérimentale et par éléments finis du comportement en vibration des matériaux sandwichs en présence d’une décohésion de longueur variable. L’analyse expérimentale est menée dans le cas de vibration en flexion de poutres. La réponse en fréquence à une impulsion, menée à l’aide d’un vibromètre laser, a dans un premier temps permis de mesurer la fréquence et l’amortissement de ces matériaux autour de chaque pic de résonance en fonction de la longueur de la fissure. Une modélisation de l’amortissement des matériaux sandwichs a été développée en utilisant les résultats d’une analyse par éléments finis. L’évaluation de différentes énergies emmagasinées a permis de déterminer l’amortissement des différents sandwichs en fonction de la longueur de fissure. Les résultats obtenus par cette approche sont comparés à ceux obtenus expérimentalement.

Le chapitre 5 est consacré à l’étude expérimentale du comportement vibratoire non linéaire des matériaux sandwichs endommagés par fissuration. Les variations de la fréquence de résonance et de l’amortissement aux différents états (sains et endommagés) du matériau sont

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Chapitre 2

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Chapitre 2 Analyse bibliographique

Résumé

Ce chapitre a pour but de donner une revue bibliographique des effets de l’endommagement sur le comportement en statique, en fatigue cyclique et en vibration des matériaux composites sandwichs. Il débute avec une exposition plutôt générale de la structure en matériau sandwich et ses différents constituants. Ensuite, le comportement mécanique en flexion et les principaux mécanismes d’endommagement d’une structure en matériau sandwich sont exposés. Dans un deuxième temps, l’accent est mis sur le comportement mécanique en statique et en fatigue cyclique des matériaux composites en présence d’un endommagement. Enfin, nous présentons quelques travaux existants sur l’influence de l’endommagement sur le comportement vibratoire et les propriétés dynamiques des matériaux composites sandwichs.

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Chapitre 2

Analyse bibliographique

2.1 Introduction

Les matériaux sandwichs connaissent un essor important, tant dans les applications les utilisant, que dans les technologies les mettant en œuvre. Ils sont ainsi largement utilisés dans tous les secteurs industriels et notamment les transports, la marine, le nautisme, l’aéronautique, l’aérospatial, les sports et loisirs, l’industrie lourde, le génie civil et l’armée. Leur consommation ne cesse d’augmenter. Les matériaux sandwichs présentent donc un intérêt pour les applications qui requièrent à la fois rigidité et légèreté. Cependant, les propriétés en statique, en fatigue et en vibration des matériaux composites sandwichs peuvent se dégrader sévèrement par la présence des dommages. Une revue bibliographique sur les effets de l’endommagement sur le comportement en statique, en fatigue cyclique et en vibration des matériaux composites sandwichs est développée dans ce chapitre. Cette revue débutera avec une exposition plutôt générale de la structure en matériau sandwich (différents constituants), le comportement mécanique en flexion et les principaux mécanismes d’endommagement de ces structures en matériau sandwich. Dans un deuxième temps, l’accent sera mis sur le comportement mécanique en statique et en fatigue cyclique des matériaux composites ayant un endommagement. Finalement, nous présentons les travaux existants sur l’influence de l’endommagement sur le comportement vibratoire des matériaux composites sandwichs.

2.2 Matériaux sandwichs et leurs constituants

2.2.1 Introduction

Les matériaux sandwichs (fig. 2.1) sont obtenus à partir de deux peaux, de faibles épaisseurs, constituées de matériaux ayant de très bonnes caractéristiques mécaniques, collées sur une âme beaucoup plus épaisse et constituée d’un matériau très léger et ayant de faibles caractéristiques mécaniques. La colle ou l’adhésif est le troisième composant du matériau sandwich. C’est ce dernier qui permet un bon assemblage de la structure et une bonne transmission des contraintes d’un milieu à un autre. De part la constitution des matériaux sandwichs, on peut adapter leurs propriétés mécaniques en faisant varier la nature des peaux (identiques ou non) et de l’âme ainsi que l’épaisseur de chacun des constituants.

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2.2.2 Âmes

Le rôle principal de l’âme dans le matériau sandwich est de résister aux efforts de cisaillement. Par ailleurs, l'âme doit pouvoir supporter des charges localisées de poinçonnement. Dans les faits, c’est le constituant de l’âme qui permet de classer les différentes structures en matériau sandwich. Parmi les âmes les plus utilisées, citons celles en mousse, en nid d’abeilles et en bois de balsa:

– Les mousses: se sont les plus fréquemment utilisées, elles sont produites à partir de polychlorure de vinyle, polystyrène, polyuréthane ou d'autres polymères synthétiques. Elles sont thermoformables et permettent donc de réaliser des pièces de formes complexes. Leurs propriétés mécaniques sont bonnes, elles adhèrent bien à la résine et absorbent peu d'eau. Néanmoins, leur point faible réside dans une faible résistance à l'impact.

– Le bois : il est utilisé pour sa très bonne résistance à la compression notamment pour les supports d’accastillage. Le bois le plus utilisé comme matériau d’âme est le balsa. Les âmes en balsa ont été utilisées pour la première fois dans les années 1940 sur des hydravions. Le bois de balsa est aussi un isolant thermique mais pour conserver cette propriété, il doit être traité avec un produit hydrofuge puisqu’il est très hygroscopique.

– Le nid d’abeilles : l’âme en nid d’abeilles, connue sous le nom «Nida », est un matériau structural souple constitué de mailles hexagonales. Elle est réalisée à partir de différents matériaux comme par exemple le papier ou l’aluminium. Le Nida étant une structure anisotrope, ses propriétés varient selon le sens transversal ou longitudinal des alvéoles (taille de mailles). De plus, la taille de celles-ci, l’épaisseur des parois du Nida et la méthode de mise en œuvre sont des paramètres qui influencent la résistance au cisaillement transversal et longitudinal du Nida. Les variétés les plus courantes sont le Nomex et le Korex et sont fabriquées à partir du Kevlar.

2.2.3 Peaux

Un module d’élasticité élevé ainsi qu’une grande résistance à la compression et à la traction sont les principales qualités recherchées pour les peaux des matériaux sandwichs. Les peaux des sandwichs sont généralement constituées de fibres (mat ou tissu) enrobées d’une matrice à base de résine. Il existe plusieurs types de fibres parmi lesquelles on trouve :

— les fibres de verre : les filaments sont obtenus par filage de verre (silice+carbonates de sodium et de calcium) en fusion (T>1000°C), à travers des filières en alliage de

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— les fibres de carbone : sont des filaments acryliques de tergal ou de rayonne obtenus à partir de la distillation de houille ou de pétrole. Ils sont oxydés à chaud (300°C) puis chauffés à 1500°C dans une atmosphère d’azote. Il ne subsiste alors que la chaine hexagonale des atomes de carbone. On obtient des filaments noirs et brillants. Le module d’élasticité élevé est obtenu par filage à chaud. Les fibres de carbone ont des modules qui varient de 150 à 800 GPa et une masse volumique en général inférieure à 2000 kg m–3. leur résistance à l’impact est mauvaise, d’autre part elles sont inflammables et conduisent l’électricité.

2.2.4 Adhésifs

L’assemblage des peaux et de l’âme est réalisé par collage. Les adhésifs ont pour rôle de transférer les sollicitations mécaniques aux fibres et à l’âme et de les protéger de l’environnement extérieur. Les adhésifs sont généralement des résines. Il existe différents types des résines:

— Les résines à base de polyester : elles sont surtout employées pour les stratifiés composites avec de la fibre de verre pour réaliser par coulée des objets opaques ou transparents. Elles sont constituées par de longues chaînes de monomères comprenant des groupes esters et des sites réactifs au carbone. L’inconvénient du polyester est la présence des groupements esters qui peuvent réagir avec les différents agents chimiques et ainsi rompre les réseaux constitués. — Les résines à base vinylesters : le terme vinylester désigne le plus souvent le produit de la dissolution du vinylester dans un solvant copolymérisable, le plus utilisé étant le styrène. Les résines vinylesters se rapprochent des résines polyesters par leur mode de polymérisation et leurs applications (qui sont aussi celles des résines époxydes). En revanche, leurs modes de mise en œuvre sont très différents ainsi que les propriétés physiques et chimiques des produits finis. C’est pourquoi, la nouvelle appellation des résines Dow (premier producteur mondial) est à présent résines époxy vinylesters afin de bien accentuer les similitudes entre les familles des résines époxydes et vinylesters.

— Les résines époxydes : Les résines époxydes possèdent de bonnes caractéristiques mécaniques. Le terme époxyde désigne une grande variété de prépolymères comportant un ou plusieurs motifs époxydiques qui, après polycondensation avec un durcisseur, conduisant à des produits thermodurcis dont les principales applications concernent le collage et les matériaux composites (matrice époxyde avec des renforts en fibre de verre ou de carbone). Il s’agit de produits performants qui rentrent dans un très grand nombre d’applications, dont certaines sont d’un niveau technique incontestablement élevé :

— industrie aéronautique et automobile (collages de structures et de panneaux), — industrie électrique moyenne et haute tension (surtout appareillage électrique), — électronique (enrobages de condensateurs, confection de circuits imprimés, etc.), — sport (skis, raquettes, arcs et flèches de compétition, cadres de vélos en carbone, roues

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— outillages (modèles à reproduire, maîtres modèles, boîtes à noyaux, etc.),

— stratifiés et composites (nids d’abeilles, structures triangulaires, arbres de transmission, carrosseries de voitures de sport...),

— revêtements résistants aux agents chimiques, réparation de fissures de barrages,…etc.

2.3 Comportement mécanique des composites sandwichs en statique et en

fatigue

2.3.1 Comportement en statique

Les matériaux sandwichs sont généralement sollicités en flexion, pour l’optimisation des caractéristiques des matériaux de l’âme et de la peau dans une application donnée, il convient donc de connaître leur comportement pour ce type de sollicitation. Dans ce cas la poutre

schématisée sur figure 2.2 est caractérisée dans [1] par :

Sa rigidité en flexion équivalente (EI )_eqexprimée par :

2 3 3 2 ( ) 2 6 12 2 f f f f c f f eq E bt d E bt E bc E bt d EI = + + ≈ (2.1)

Et sa rigidité équivalente en cisaillement (AG)_eq exprimée par :

2 ( ) c eq c bd G AG bdG c = ≈ (2.2)

— tf et Ef sont respectivement l’épaisseur et le module d’élasticité du matériau constituant les peaux,

— c,Ec, G_csont respectivement l’épaisseur, le module de Young et le module de cisaillement du matériau d’âme,

— b et d sont respectivement la largeur et l’épaisseur de l’éprouvette en matériau sandwich.

c tf Peau, Ef Âme d b Ec, Gc

(21)

Les deux premiers termes de la rigidité en flexion équivalente (équation 2.1) représentent les rigidités en flexion des peaux (indice f) et de l’âme (indice c) par rapport à l’axe neutre de chacun des éléments.

Lorsqu’une charge concentrée P est appliqué, la poutre fléchit (Fig. 2.3). La flèche δ de la

poutre est la somme d’une composante

δ

_b due à sa rigidité en flexion et d’une composante

δ

_s

due à la déformation par cisaillement de l’âme :

avec 3 1 2 3 1 2 , ( ) ( ) , ( ) ( ) b s eq eq b s eq eq PL PL B EI B AG PL PL B EI B AG

δ

= + = + = = (2.3)

Avec L la portée, B1 et B2 sont des constantes données dans le tableau 2.1, appelées

«coefficients d’encastrement», résultant des conditions aux limites (type de distribution de la charge, conditions d’encastrement aux extrémités, etc.) [1].

(a) (b)

Figure 2.3 Flèche d’une poutre en matériau sandwich en flexion :

a) flèche due au moment fléchissant et b) flèche due aux contraintes de cisaillement de l’âme

Tableau 2.1 – Constantes pour la flexion de la poutre en matériau sandwich

Type de chargement B1 B2 3 1( ) b eq PL B EI

δ

= eq s AG B PL ) ( 2 =

δ

3 1 8 2 48 4 384 5 8 192 4 384 8 b

δ

s

(22)

2.3.2 Comportement en fatigue

2.3.2.1 Introduction

Le phénomène de fatigue est rencontré fréquemment dans de nombreux domaines industriels qui mettent en jeu des sollicitations cycliques. Les premières études fondamentales du phénomène de fatigue ont été entreprises par Wöhler sur les métaux.

Un essai de fatigue est généralement réalisé à l’aide de chargement sinusoïdal. Ainsi l'état de chargement de fatigue peut être décrit par des paramètres comme le montre la figure 2.4 en précisant le maximum et le minimum de chargement. Les autres paramètres peuvent être facilement déterminés, tels que la contrainte moyenne, la variation de la contrainte, l’amplitude, le rapport de chargement et le niveau de chargement :

La contrainte moyenne

(

)

2 min max σ σ σ_m = +

La variation de la contrainte ∆_a =

(

σ

_max −

σ

_min

)

L’amplitude de la contrainte

(

)

2 min max

σ

_a = − Le rapport de chargement max min

σ

= R Le niveau de chargement rup r

σ

_max =

La valeur de R est une indication du type de chargement de fatigue. On distingue alors les

sollicitations :.

R=-1 : contraintes alternées symétriques, -1<R>0 : contraintes alternées asymétriques, R= 0 : contraintes répétées (

σ

a =

σ

m) ,

R>0 : contraintes ondulées.

Les essais de fatigue peuvent être effectués en flexion, en compression, en traction, en torsion ou en cisaillement. Ces essais peuvent être de faibles sollicitations mais à des fréquences élevées (fatigue vibratoire) et aussi à faibles fréquences mais à fortes sollicitations (la fatigue

(23)

homogène, alors le mode de l’essai est à "contrainte imposée" (la contrainte est identique en chaque point de l’éprouvette).

— déplacement imposé : le signal de la sollicitation appliquée à l’éprouvette est un signal de déplacement avec une amplitude et une fréquence constantes. La force nécessaire pour créer ce déplacement évolue au cours de l’essai. Si le champ de déformation dans l’éprouvette est homogène, le mode de l’essai est alors à "déformation imposée" (la déformation est identique en chaque point de l'éprouvette).

Figure 2.4 Charge sinusoïdale pour les essais de fatigue.

2.3.2.2 Effets des paramètres expérimentaux

• La forme d’onde

La forme d’onde cyclique peut avoir une influence sur la durée de vie en fatigue. Pendant une période donnée de vague (fréquence constante), la forme de l’onde est caractérisée par le type du signal, le taux de chargement et le temps à la charge maximale. La forme d’onde la plus commune est le chargement sinusoïdal mais les formes d’ondes carré et triangulaire représentent les limites extrêmes qui peuvent affecter la durée de vie en fatigue. D’une manière générale, l’onde carrée représente la dissipation maximum d’énergie par cycle. La forme d’onde sinusoïdale est un niveau intermédiaire tandis que la forme d’onde triangulaire représente le niveau le plus bas de dissipation d’après Trantima et Ninmer [2]. Mandell et Meier [3] ont constaté qu’une forme d’onde carrée a donné des durées de vies en fatigue inferieures que celles d’une forme d’onde sinusoïdale lors d’essais sur des stratifiés croisés 0/90 verre/époxyde.

Les formes d’onde jouent un rôle important dans le taux de déformation en fluage par cycle. Ceci dépend essentiellement du temps de la charge maximale pendant chaque cycle. Une charge constante et une onde impulsion (avec une composante du temps négligeable)

Temps Contrainte (ı) Cycle Amplitude Contrainte moyenne 0

ı

_min

ı

_moy

ı

_max

(24)

représentent respectivement les limites qui sont essentiellement le fluage pur et la fatigue pure. Entre ces limites, les taux relatifs de la fatigue et du fluage peuvent être contrôlés en variant le temps à la contrainte maximale dans chaque cycle de chargement. Dans ce type de chargement, les éléments de la fatigue et du fluage sont intimement mélangés provoquant ainsi des effets possibles d’interaction de fluage/fatigue et réduisant les durées de vies d’après Bowman et Baker [4]. C’est particulièrement le cas pour beaucoup de polymères sollicités à des fréquences cycliques basses (typiquement en dessous de 1 Hz) où le temps de la charge maximale est plus grand provoquant des effets significatifs de fluage. Ainsi, la forme d’onde sinusoïdale est un peu plus compliquée car le changement de la fréquence change le taux de contrainte, mais généralement la même tendance globale est obtenue. Ainsi, la forme d’onde cyclique a une influence sur les mécanismes d’endommagement en fluage/fatigue et sur le taux de propagation des fissures.

• Influence du rapport de chargement

Le rapport de chargement R a une influence considérable sur la durée de vie en fatigue. Les types de chargement peuvent être : tension, compression-compression ou tension-compression. Il a été établi pour beaucoup de matériaux comme les stratifiés et les polymères que le chargement compressif est plus préjudiciable que le chargement de tension, soulignant ainsi que des rapports R avec des valeurs négatives qui tendent à ramener les durées de vie de fatigue les plus courtes. Plusieurs auteurs ont étudié l’influence du rapport R comme EL Kadi et Ellyin [5] et Rotem [6].

Mandell et Meier [3] ont étudié des stratifiés croisés (0/90) verre/époxyde, avec des valeurs du rapport R positives allant de 0 à 1. L’augmentation de R permet l’augmentation de la durée de vie en fatigue jusqu’à l’obtention d’une charge constante régulière (charge de fluage, R=1). Ceci indique qu’une charge cyclique permet un endommagement plus important qu’un chargement en fatigue statique.

Pour des structures en matériau sandwich, Burman et Zenkert [7] se sont intéressés à l’influence du rapport de chargement sur la propagation de fissures dans les âmes en mousses. Ils ont conclu que pour les valeurs de R inferieures à zéro, les durées de vie en fatigue sont plus courtes et les fissures se propagent dans deux directions au lieu d’une direction pour des valeurs de R au dessus de zéro.

• Effet de la fréquence

(25)

Kanny et al. [9] ont étudié les effets de la fréquence sur le comportement en fatigue d’un composite sandwich constitué de mousse en PVC pour l’âme et de stratifiés à fibres de verre et de résine vinylester pour les peaux. Les essais de flexion en fatigue ont été effectués sur des poutres en matériau sandwich avec une âme de densité de 130 et 260 kg m–3, à des fréquences de 3 et 15 Hz, à un taux de chargement R=0.1 et quatre niveaux de chargement différents 90%, 85%, 80% et 75%. Les conclusions suivantes ont été tirées :

— la charge à la rupture et la rigidité du matériau sandwich augmentent avec l’augmentation de la densité de l’âme,

— la résistance à la fatigue diminue avec l’augmentation de la densité de l’âme,

— le nombre de cycles jusqu’à la rupture (Nf) a augmenté avec la fréquence, mais le temps mis jusqu'à la rupture (tf) a diminué,

— Une augmentation significative de la température au niveau de l’âme a été mesurée, pour la poutre en matériau sandwich avec une âme de densité 130 kg/m3 à 15 Hz. À une fréquence de 3 Hz, l’augmentation de la température a été de 2±1°C et à la fréquence de 15 Hz l’augmentation de la température de l’âme a été de 12±2°C.

Sharma et al. [10] ont étudié le comportement en fatigue d’un matériau sandwich avec une âme en polyuréthane. Les essais ont été effectués en flexion trois points en contrôlant la charge (60% de la charge à la rupture). Ils ont testés trois types des éprouvettes de matériaux sandwichs, la première éprouvette est fabriquée en utilisant la résine époxyde, la seconde avec une résine polyester et la troisième est fabriquée en utilisant un mélange de la résine époxyde et de la résine polyester. Ces éprouvettes ont été testées à trois fréquences différentes (1, 3 et 5Hz) jusqu’à un million de cycles. A la fréquence de 1 Hz, les trois types d’éprouvettes n’ont pas été complètement endommagés. A la fréquence de 3 Hz, l’éprouvette fabriquée à partir de la résine époxyde est partiellement endommagée par décollement entre la peau et l’âme, alors que les deux autres sont complètement endommagées par décollement entre la peau et l’âme et par fissuration de l’âme. A 5 Hz, toutes les éprouvettes sont complètement endommagées par décollement peau/âme et par fissuration de l’âme. Ces auteurs ont conclu aussi que la dégradation de la rigidité augmente avec l’augmentation de la fréquence.

2.3.2.3 Comportement des matériaux sandwichs en flexion

Kulkarni et al. [11] ont constaté que la rupture en fatigue par flexion du sandwich est contrôlée par la rupture de l’âme. Ces auteurs ont mis en place des essais de fatigue de telle sorte que l’endommagement se manifeste par la propagation des fissures dans l’âme. Ils ont montré que la propagation de la fissuration se fait en trois phases: d’abord la décohésion entre l’âme et la peau supérieure, ensuite le cisaillement de l’âme suivie par une autre décohésion entre la peau inférieure et l’âme. La première phase représente environ 85% de la durée de vie en fatigue et correspond à une dégradation de la rigidité d’environ 10%.

Clark et al. [12] ont constaté lors de l’étude des matériaux sandwichs, que le processus d’endommagement en fatigue se déroule en deux phases: une première phase d’initiation de

(26)

l’endommagement suivie d’une deuxième phase de la multiplication et la propagation de cet endommagement. En se basant sur les résultats expérimentaux, les auteurs ont développé un modèle analytique permettant d’évaluer la réduction du module au cours de la fatigue. L’évolution de la déformation en fonction de nombre de cycles est explicitée suivant une fonction de type exponentielle. A partir de cette expression, le module en fatigue est déterminé en fonction du nombre de cycles et du niveau de chargement. Enfin, les auteurs ont utilisé les courbes de Wöhler pour caractériser la durée de vie des composites sandwichs.

Dans les travaux de Bezazi et El Mahi [13], l’influence de la densité et l’épaisseur de l’âme sur le comportement en fatigue des matériaux sandwichs a été analysée. Les matériaux sandwichs considérés dans ce travail sont constitués de peaux en fibres de verre et de résine époxyde d’épaisseur constante et des âmes de différentes masses volumiques et de différentes épaisseurs. Les essais ont été menés en flexion trois points avec différents niveaux de chargement en contrôlant le signal déplacement. L’analyse des résultats obtenus a permis de constater que :

– La rigidité et la résistance des matériaux sandwichs en fatigue augmentent avec l’épaisseur et la densité de l’âme,

– La diminution de la rigidité au cours de la fatigue jusqu’à la rupture se déroule en trois phases pour l’ensemble des matériaux : une première phase avec une chute rapide de la rigidité, une deuxième phase où la réduction de la rigidité devient lente et enfin une chute brutale de la rigidité conduisant à la rupture du matériau. La durée de chaque phase dépend du niveau de chargement, de la densité et de l’épaisseur de l’âme,

– La rupture des matériaux sandwichs dépend de la densité et l’épaisseur de l’âme ainsi que la distance entre appuis. Elle se fait soit par rupture de la peau supérieure soit par rupture de l’interface peaux/âme ou par rupture en cisaillement de l’âme,

– La durée de vie des matériaux augmente avec l’augmentation de la densité et l’épaisseur de l’âme

Les résultats expérimentaux obtenus dans les essais de fatigue ont conduit El Mahi et al [14] à développer une approche analytique permettant de décrire le comportement en fatigue des matériaux sandwichs. Cette approche est basée sur l’interpolation par des fonctions simples de l’évolution de la rigidité en fonction du nombre de cycles. Les durées de vie des matériaux sandwichs en fonction des conditions de chargement ont été déterminées à partir de cette approche et comparées aux résultats expérimentaux en utilisant le critère N10. Les

(27)

2.3.2.4 Energie dissipée et amortissement en fatigue

Le comportement viscoélastique des fibres et de la mousse polymère joue un rôle important dans l'absorption et la dissipation de l'énergie dans des composites stratifiés et des matériaux sandwichs et en particulier pendant le chargement cyclique. Plusieurs auteurs ont utilisé la dissipation d’énergie ou l’amortissement pour l’analyse du comportement en fatigue des composites stratifiés ou sandwichs. Parmi ces auteurs nous citons :

Hacker et al. [15] ont utilisé le cycle d’hystérésis pour analyser le comportement des stratifiés en bois/époxyde. Ces stratifiés ont été soumis à des essais de fatigue cyclique en traction, en compression et en chargement inverse, en contrôlant la force. Les auteurs ont constaté que l’aire intérieure du cycle d’hystérésis augmente avec le nombre de cycles.

Dharan et al. [16] ont utilisé la même approche pour étudier le comportement d’un stratifié à fibres de verre/époxy avec une entaille de forme circulaire au centre de l’éprouvette. Ce stratifié a été soumis à des essais de fatigue cyclique en traction avec cinq niveaux de chargements. Les auteurs ont constaté que l’énergie dissipée décroît avec la diminution du niveau de chargement et avec l’augmentation du nombre de cycles.

Barron et al. [17] ont utilisé le facteur d’amortissement pour examiner les effets de la fréquence sur le comportement en fatigue d’un stratifié. Les essais de fatigue ont été effectués à des niveaux de chargement différents et à trois fréquences différents (5, 10 et 20 Hz) pour trois séquences d’empilement (plis unidirectionnels à (0)8, plis croisés à (0/90)4s et plis à (±45)4s). Pour les stratifiés unidirectionnels il n’y a pas de tendances perceptibles pour le facteur d'amortissement. Le facteur d’amortissement augmente sensiblement lorsque la fréquence a augmenté de 5 à 20 Hz. Pour les stratifiés à plis orientés à (±45)4s, une diminution de l’amortissement est observée entre les valeurs de la fréquence de 5 Hz à 10Hz, alors qu’une augmentation est constaté pour des valeurs de fréquences de 10 à 20 Hz. Zhang et al. [18] ont déterminé le facteur amortissement au cours des essais de fatigue cycliques de matériaux composites à fibres unidirectionnelles. Ils ont constaté que l'amortissement augmente avec nombre de cycles de fatigue.

Samirkumar et al. [19] ont utilisé l’amortissement pour étudier les effets de la température (20°C à −60°C) sur le comportement en fatigue cyclique d’un matériau sandwich. Le matériau considéré est constitué de fibres de verre et de résine vinylester pour la peau et d’une âme en mousse PVC. Ils ont constaté que l’amortissement augmente avec la température pour un nombre de cycles et pour un niveau de chargement donnés.

Farooq et al. [20-22] ont utilisé les cycles d’hystérésis pour analyser l’influence de la fréquence sur le comportement en fatigue des matériaux sandwichs. Trois matériaux sandwichs ont été considérés et sont constitués de peaux en stratifiés à fibres de verre et d’une âme en mousse PVC de différentes densités. Les essais se sont déroulés en fatigue cyclique en flexion 3-points avec une fréquence allant de 0,1 à 10 Hz. Ils ont constaté que l’évolution de la rigidité des matériaux sandwichs au cours de la fatigue est indépendante de la fréquence et

(28)

aucun changement important dans le cycle d’hystérésis n’est constaté. Ils ont constaté que l’aire du cycle d’hystérésis diminue avec l’augmentation du nombre de cycles en raison du dommage subi par ces matériaux. La même démarche a été utilisée par Bezazi et al. [23] pour l’analyse du comportement en fatigue d’une mousse polyuréthane et d’une mousse auxetique (coefficient de poisson négatif) en traction. Les auteurs ont constaté que pour un niveau de chargement donné, l’aire intérieure du cycle d’hystérésis diminue lorsque le nombre de cycles augmente pour les deux mousses. Ils ont montré aussi que l’aire du cycle d’hystérésis dans la mousse auxetique est plus élevée que celle dans la mousse polyuréthane.

2.4 Comportement en vibration des composites sandwichs

2.4.1 Introduction

Les caractéristiques mécaniques et dissipatives jouent un rôle déterminant dans le comportement des structures et en particulier dans leur comportement vibratoire. Dans ce paragraphe, nous donnons un aperçu général des travaux effectués dans la littérature sur le comportement vibratoire des matériaux composites ainsi que quelques modèles permettant la détermination de l’amortissement.

2.4.2 Analyse expérimentale

2.4.2.1 Analyse à partir des vibrations des poutres

Le premier dispositif expérimental pour évaluer l’amortissement des matériaux composites a été développé par Adams et al. [24] et Adams et Bacon [25]. Ce dispositif permet d’étudier l’amortissement en flexion des poutres dans un domaine de fréquence allant de 100 à 800 Hz et a été utilisé dans le cas de différents types de stratifiés [26-28]. Dans ce dispositif un excitateur inductif est fixé sur une des faces et un capteur inductif sur l’autre face, au centre d’une poutre. La poutre généralement libre-libre, est excitée sur une de ses fréquences propres, usuellement la fréquence fondamentale. Le module d’Young est déduit de la fréquence de vibration, et l’amortissement est évalué à partir du courant d’excitation et de la tension induite dans le capteur.

Dans le cas d’une poutre vérifiant les conditions de Bernouilli-Euler (absence de cisaillement transverse), l’équation de mouvement des vibrations libres en flexion s’écrit [29] :

4 2

w w

(29)

(

)

( )

1 , _n sin _n , n w x t X x

ω

t ∞ = =

¦

(2.5)

où

ω

_n est la fréquence angulaire propre etX_n

( )

x est la déformée écrite suivant :

( )

sin cos sinh cosh ,

n n n n n n n n n x x x x X x A B C D a a a a κ κ κ κ = + + + (2.6)

où A_n, B_n, C_n, D sont des constantes dépendant des conditions aux extrémités de la poutre _n

etκ_n est lié à la fréquence propre λ_n par la relation :

4 4 2 2 , n n n n A m a EI EIa

λ

ρ

κ

=§_¨ ·_¸ =

ω

=

ω

Où a est la longueur de la poutre et m sa masse.

La connaissance de la déformée modale a permis de déterminer l’énergie maximum emmagasinéeU pour le mode n. Elle est donnée par : _n

³

(2.8)

Ensuite, l’énergie dissipée par cycle pour une force exercée d’amplitude F a été _m

exprimée par: 0 cos . T n m n U F ω t dt ∆ =

³

(2.9)

Il en résulte que l’énergie dissipée par cycle est : ,

n m cm

U π F w

∆ = (2.10)

OùF_met w_cm sont les valeurs crêtes de la force et de la flèche correspondantes. Ces valeurs sont données par :

max, m d F =Γ I (2.11) max 1 _, cm d n V w Γ ω = (2.12)

Où I_max est l’intensité crête du courant induit dans l’excitation, Γ_d est le facteur de sensibilité de l’excitation et V_max la tension crête mesurée aux bornes du capteur.

Le coefficient d’amortissement spécifique a été ensuite déterminé à partir de la relation : . n n U U ψ = ∆ (2.13)

Où le coefficient d’amortissement ψ est lié au facteur de perte η par la relation : 2 .

(30)

2.4.2.2 Amortissement

L’amortissement est le mécanisme par lequel l’énergie mécanique d’un matériau ou d’un système est dissipée dans le milieu environnant de manière réversible. Le processus d’amortissement peut avoir divers origines, telles que le frottement sec entre surfaces, le frottement entre surfaces lubrifiées, la résistance de l’air ou d’un fluide, le frottement interne du comportement inélastique des matériaux, etc. Parmi ces phénomènes de dissipation d’énergie, le cas où la force de frottement est proportionnelle à la vitesse, appelé amortissement visqueux, est le plus simple à traiter d’un point de vue mathématique. Il en résulte que les phénomènes d’amortissement, de nature complexe, sont remplacés, pour leur analyse, par un amortissement visqueux équivalent.

Lorsque la structure en matériau sandwich subit une vibration en flexion, l’âme est contrainte en cisaillement, entraînant ainsi une dissipation d’énergie et par conséquent, l’atténuation des niveaux de vibration. L’évaluation de l’amortissement de telles structures apparaît dès lors comme un enjeu essentiel de leur conception. L’amortissement est un paramètre important pour le contrôle dynamique de bruit et les vibrations, la stabilité dynamique, la résistance à la fatigue et la résistance aux chocs [30]. On sait que l’amortissement d’une structure dépend non seulement des propriétés intrinsèques des matériaux la constituant, mais également de sa géométrie, des conditions aux limites et des actions extérieures appliquées. La dissipation d’énergie étant à la source de l’amortissement, il apparaît naturel d’utiliser une évaluation de l’amortissement qui repose sur le calcul de la dissipation dans la structure.

Il existe différentes méthodes pour déterminer l’amortissement :

• Bande passante

La méthode dite de la demi-puissance ou largeur de bande à −3 dB, avec la fonction de réponse en fréquence en ordonnée et la fréquence en abscisse. L’amortissement dépend de la largeur de la bande passante qui est prise à −3dB (fig.2.5). Il est donné par :

2 1

r

f

η

=

−

(2.15)

Avec

f

_rest la fréquence de résonance,

f

₁ et

f

₂ se trouvant de part et d’autre du pic de

(31)

Chapitre 2 Analyse bibliographique Fréquence (Hz) 0 1 2 3 4 5 6 A m p lit u d e ( d B ) 0 1 2 f₁ f_r f₂ -3 dB

Figure 2.5 Principe de calcul du facteur de perte à – 3dB du pic de résonance

• Méthode du facteur d'amplification

La méthode du facteur d'amplification est une méthode de réponse en fréquence. Le facteur de perte peut être déterminé, à la condition que la courbe amplitude de la fonction de réponse en fréquence soit connue. L’amortissement pour un mode donné est déterminé par le facteur d'amplification Q qui est le rapport des amplitudes (Amax/A0) de la réponse à la résonance (Ȧo) et la réponse statique (Ȧ = 0). Le facteur d'amplification est fonction du facteur de perte à travers :

(

2

)

1 /

Q

=

+

η

(2.16)

• Méthode du décrément logarithmique

La méthode de décrément logarithmique est la méthode la plus couramment utilisée pour mesurer l'amortissement. Dans cette méthode, la décroissance de la réponse du système dans le domaine temporel (Fig. 2.6) est utilisée pour la détermination de l’amortissement. Le décrément est donné en fonction de l’amortissement par la relation suivante :

1 ln

n n m

x

m

x

δ

+

=

(2.17)

δ

représente le coefficient d’amortissement, n et m sont respectivement la période de départ et la période d’arrivée. xn Temps A m p lit u d e x xn+m

(32)

2.4.3. Quelques approches pour la détermination de l’amortissement

La première tentative pour obtenir une expression de l’amortissement (ou facteur de perte) de la poutre en matériau sandwich a été effectuée par Kerwin [31]. Il a considéré des poutres sandwichs en appui simple, dont les peaux élastiques étaient beaucoup plus rigides que l’âme. Ainsi, l’âme était supposée ne se déformer qu’en cisaillement transverse et la rigidité en flexion de la poutre sandwich était celle de la structure de base.

Ditaranto [32] a étendu les travaux de Kerwin pour traiter les vibrations libres des poutres sandwichs avec des conditions aux limites arbitraires. Ensuite, tout en gardant les hypothèses de Kerwin, un autre modèle a été développé par Mead et Markus [33] pour étudier les vibrations forcées pour plusieurs conditions aux limites.

Yu [34] a utilisé une approche variationnelle pour déterminer le facteur de perte des matériaux sandwichs. Il a tenu compte des effets d’inertie dus à des mouvements transversaux, longitudinaux et rotatifs des plaques en sandwich symétriques. Il a examiné les effets combinés de trois facteurs de perte associés à des contraintes en cisaillement de l'âme et des contraintes dans les peaux. La même approche a été utilisée par Rao [35] pour la mise en place des équations de mouvement en vibration de poutres courtes en matériaux sandwichs asymétriques. La fréquence et le facteur de perte obtenus par cette analyse ont été comparés à ceux de la littérature.

Plusieurs chercheurs [36-38] ont développé le concept d’un module complexe en utilisant le principe de correspondance entre l’élasticité et la viscoélasticité. Dans ce concept, la partie réelle du module complexe représente la rigidité élastique et la partie imaginaire est associée à la dissipation d'énergie. Le concept du module complexe a été associé à une théorie de déformations en cisaillement d’ordre élevé par Meunier et Shenoi [39] pour la modélisation de l’amortissement des plaques en matériau sandwich. Les caractéristiques d’amortissement de plaques en matériau sandwich avec une âme viscoélastique mince ont été étudiées par Cupial et Niziol [40] en utilisant la théorie de Reissner-Mindlin et la représentation en module complexe. Rikards [41] a développé des éléments finis qui utilise la théorie de Mindlin-Reissner dans le but d’évaluer l’amortissement des plaques en matériau sandwich constituées de peaux en stratifiés d’une âme une mousse PVC. Ces éléments finis ne tiennent pas compte de la dépendance en fréquence des propriétés des matériaux viscoélastiques (mousse en PVC). Yim et al [42] ont développé un modèle analytique basé sur la théorie des stratifiés pour étudier l’amortissement des composites sandwichs à fibres unidirectionnelles. L’analyse des

(33)

exprimé en fonction de l’amortissement de chaque élément et en fonction de l’énergie emmagasinée dans chaque élément sous la forme :

1 1 n i i i n i i

U

η

= =

=

¦

(2.18)

où

η

est le coefficient d’amortissement de la structure, n le nombre d’éléments,

η

_i le coefficient d’amortissement de l’élément i et Ui l’énergie élastique emmagasinée dans l’élément i. Johnson et Kienholz [44] se sont basés sur une méthode énergétique et ont utilisé une analyse par éléments finis pour déterminer l’amortissement dans les structures en matériau sandwich avec des couches viscoélastiques. Les résultats obtenus par cette méthode et ceux de l’expérience sont en bon accord. Hwang et Gibson [45-47] ont étudié l’amortissement dans les matériaux composites et structures sandwichs à deux échelles : macro-mécaniques et micromécaniques en utilisant la méthode énergétique. Rao [48] a utilisé la même approche pour étudier les fréquences propres et les facteurs de la perte de poutres en matériau sandwich sous diverses conditions aux limites. Plagianakos et Saravanos [49] ont présenté un nouvel élément fini dans le cas des poutres en matériau sandwich impliquant des termes quadratiques et cubiques du déplacement dans chaque couche. L’amortissement est calculé selon la méthode modale énergétique. Les effets de l'orientation et épaisseur des plis ainsi que les conditions aux limites sur l’amortissement sont analysés.

Zhang et al [50] ont utilisé la méthode des éléments Galerkin (GEM) pour analyser le comportement vibratoire des plaques rectangulaires en matériau sandwich. Cette méthode associe des fonctions orthogonales de Galerkin à la formulation d’éléments finis classique. La comparaison de la fréquence et de l’amortissement obtenus avec cette méthode et ceux d’un logiciel d’élément finis (Nastran) montre une bonne concordance. La méthode GEM utilise 5 fois moins d’éléments qu’une analyse par éléments finis classique.

Duigou et al [51] ont utilisé un élément fini sandwich de type coque/volume/coque pour la discrétisation des tôles en matériau sandwich de forme quelconque. Un nouvel algorithme itératif basé sur la technique d’homotopie et la méthode asymptotique numérique a été mis en place. Cette modélisation a permis le calcul de la fréquence et de l'amortissement des tôles en matériau sandwich viscoélastiques. Récemment, El Mahi et al. [52-54] ont effectué une analyse de l’amortissement des composites stratifiés et sandwichs en utilisant la méthode des éléments finis basée sur la théorie des plaques sandwiches. Les résultats obtenus par cette approche sont comparés avec les résultats expérimentaux. La méthode des éléments finis a été utilisée par la suite pour analyser les effets de différents paramètres des peaux et de l’âme sur l’amortissement des matériaux sandwichs.

(34)

2.5 Modes de dégradation des matériaux sandwichs

2.5.1 Introduction

La présence des défauts dans les structures en matériaux sandwichs est due à deux causes ; les endommagements dus à la fabrication et les dommages en service. Les défauts peuvent déjà surgir dans la fabrication des différents constituants des matériaux, tels que les fissures et les porosités dans les peaux, les délaminages entre les peaux stratifiées et l’âme en mousse et la porosité élevée dans les âmes en mousses cellulaires. Les porosités (grands vides) non désirées dans les âmes cellulaires peuvent agir comme source de déclenchement de la progression de la fissure dans le matériau. Il est par conséquent, essentiel de les détecter et ceci devrait être établi avant la fabrication du composant ou de la structure.

Il existe plusieurs modes d’endommagement des poutres en matériaux sandwichs qui dépendent de la contrainte appliquée et de la géométrie de la poutre. La résistance et le module d’élasticité des peaux conditionnent le comportement en flexion d'un matériau sandwich. En flexion, une des peaux du sandwich est sollicitée en traction et l’autre en compression, tandis que l'âme transmet des efforts de cisaillement. Plusieurs modes d’endommagement ont été identifiés pour les poutres en matériau sandwich en flexion trois points : rupture de la peau en traction ou en compression, flambement localisée de la peau (wrinkling et dimpling), rupture par cisaillement transverse de l’âme, le poinçonnement de l’âme, le décollement entre la peau et l’âme (debonding). Ces modes d’endommagement ont été confirmés par plusieurs études effectuées par Petras et Sutcliffe [56], Craig et Norman [57], Triantafillou et Gibson [58], Andrews et Moussa [59], Daniel et al. [60] et Gdoutos et Daniel [61], , Manalo et al. [62]. Nous allons passer en revue tous ces modes dans le cas de la flexion.

2.5.2 Rupture de la peau en traction ou en compression

Si les contraintes dans les peaux excèdent les contraintes admissibles pour le matériau constituant les peaux, il y aura une rupture de la peau en traction ou en compression (fig. 2.7). On peut éviter cette rupture en utilisant un matériau dont les contraintes à la rupture sont plus élevées, en augmentant l’épaisseur des peaux où en augmentant l’épaisseur de l’âme.

(35)

2.5.3 Poinçonnement

Le poinçonnement de l’âme (fig.2.8) se produit lors d’une concentration de la charge en un point, soit de la position d’un appui de type ponctuel ou linéique. Pour éviter le poinçonnement de l’âme, il faut que la charge soit appliquée sur une surface suffisamment grande, sinon augmenter l’épaisseur de peau ou utiliser une âme de masse volumique plus élevée.

Figure 2.8 Poinçonnement de l’âme

2.5.4 Rupture de l’âme en cisaillement

Sous charge en flexion, l'âme est seulement sujette à des contraintes de cisaillement. Si les contraintes de cisaillement dépassent la résistance au cisaillement de l’âme, il y aura rupture de l’âme (fig. 2.9). Pour éviter ce problème, il faut augmenter soit la résistance au cisaillement soit l’épaisseur de l’âme.

Figure 2.9 Rupture par cisaillement dans l’âme

2.5.5 Décollement entre la peau et l’âme (debonding)

Le décollement entre la peau et l’âme (fig.2.10) est la dégradation de l’adhésif qui joint la peau et l’âme. Cette dégradation peut survenir à la suite des imperfections dans le processus de fabrication, soit résulter des charges externes au cours de la vie d'opération, comme l'impact par des objets étrangers, soit encore résulter de l'absorption d'eau des âmes cellulaires et une exposition à une température élevée pendant longtemps. Pour éviter ce mode d’endommagement, on peut utiliser des adhésifs plus résistants.