I-1 - Mouvement rectiligne:

(1)

I-1 - Mouvement rectiligne:

Exercice 1 :

Un mobile M décrit un mouvement rectiligne suivant un axe (x’ox). La figure ci-

dessus montre son diagramme des espaces.

1°)- Décrire qualitativement le mouvement du mobile sur l’axe x’ox.

2°)- Représenter qualitativement le diagramme des vitesses V(t) : On donne V ( 0 ) =10m/s.

3°)- Quelles sont les différentes phases du mouvement ? Préciser leur nature.

4°)- A partir du diagramme des espaces déterminer la distance parcourue entre les instants t=0s et t=60s. A quoi correspond cette distance sur le graphe V(t) ?

5°)- Calculer la vitesse moyenne entre t=0s et t=40s de deux manières différentes. Conclusion ?

Exercice 2 :

Le graphe suivant représente le diagramme des espaces d’un mobile se déplaçant sur une trajectoire rectiligne.

1- Tracer, qualitativement le diagramme des espaces en fonction du temps.

t(s) x(m)

10 30

0 100

50

-50

40 50 60 70

20

v(m/s)

t(s)

(2)

F. MEKIDECHE – CHAFA, A. CHAFA, A. DERBOUZ, A. DIB, M. HACHEMANE, F. KAOUAH

2- Tracer le graphe de l’accélération en fonction du temps.

3- Donner la nature du mouvement dans les différentes phases. Justifier.

4- Quelle est la distance parcourue par le mobile entre 0 et 7 s

5- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations aux instants t= 3 et 6 s.

Exercice 3 :

Une voiture A est arrêtée à un feu rouge .Le feu devient vert et A démarre au même moment, une deuxième voiture B la dépasse, roulant à vitesse constante. Leurs courbes de vitesse en fonction du temps sont représentées sur la même figure ci-dessous.

1°)- Combien de temps la voiture A a-t-elle mis pour avoir la même vitesse que la voiture B ?

2°)- A ce moment, à quelle distance en avant de la voiture A se trouve la voiture B ? 3°)- Quelle est la voiture qui est en tête et de combien après 0.01h ?

4°)- A quel instant la voiture A rattrape –t- elle la voiture B ? Exercice 4 :

Le diagramme des vitesses d’un mobile animé d’un mouvement rectiligne est donné par la figure ci-dessous. On donne à t=0s, x=0m.

1°)- Tracer le diagramme des accélérations dans l’intervalle de temps 0s, 10s . Echelle: 1cm  0.5m/s² ; 1cm  1s

3

1

-2 0

v(m/s)

t(s) 10

8 4 6

2

(3)

2°)- Tracer le diagramme des espaces du mobile entre les instants t=0s et t=10s.

Echelle: 1cm  1m; 1cm  1s

3°)- Evaluer la distance parcourue par le mobile entre les instants t=0s et t=10s.

4°)- Décrire le mouvement du mobile dans l’intervalle de temps 0s, 10s.

5°)- Représenter sur la trajectoire, les vecteurs positions, vitesse et accélération à l’instant t=8s

Echelle : 1cm  1m ; 1cm  1m/s ; 1cm  1m/s².

Exercice 5 :

Soit un mobile se déplaçant suivant un axe x'ox. Son diagramme des vitesses est donné ci-dessous. A l’instant t = 0s, le mobile se trouve à x = 0 m.

1- Représenter le diagramme des accélérations.

2- Préciser les différentes phases du mouvement. Justifier.

3- Déterminer la distance parcourue entre les instants t = 0s et t =9s.

4- Donner les positions du mobile aux instants t=6s et t=9s.

5- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations à ces mêmes instants.

1cm 4 m/s et 1cm 2 m/s² Exercice 6:

On donne sur la figure ci-dessous le diagramme des accélérations d’un mobile animé d’un mouvement rectiligne.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10

v (m/s)

t(s)

0 10 20 30 t (s) -1

a(m/s²)

(4)

1°)- Tracer le graphe V(t) entre t=0 et t=30s. Préciser les phases du mouvement.

On donne V(0)=15m/s.

2°)- Tracer, sur la trajectoire, les vecteurs positions, vitesse et accélérations aux instants t1=5(s) et t2=15s sachant qu’à t=0s, x=0m.

Echelle : 4cm  25m ; 2cm  5m/s ; 1cm  1m/s².

Exercice 7 :

Une voiture A est arrêtée sur une route horizontale rectiligne à une distance d1=3 m d’un feu rouge. Lorsque le feu passe au vert, à l’instant t=0, la voiture démarre avec une accélération constante a1=3 m /s². Au même moment un motard M roulant à une vitesse constante v2=54 km/hse trouve à une distance d2=24 m de la voiture. La voiture et le motard considérés comme des points matériels sont repérée à l’instant t à l’aide de leurs vecteurs positions respectifs ^{O A}^^ ^{x i}₁^ et

O M  x i2

. On choisira comme origine O des abscisses la position du feu tricolore.

1° Déterminer les équations horaires x1(t) et x2(t) de la voiture et du motard respectivement.

2° Déterminer les instants des dépassements ainsi que les positions de la voiture et du motard à ces instants.

3° Si le motard roulait à la vitesse v2=36 km/h pourrait-il rattraper la voiture ? 4° - a- Calculer, dans ce cas, l’instant pour lequel la distance qui sépare le motard de la voiture est minimale.

- b- En déduire cette distance.

i j 



(5)

I – 2 - Mouvement curviligne:

Exercice 8:

Soit un mobile M se déplaçant sur un plan (xoy). On donne ci-dessous les graphes des composantes de la vitesse Vx(t) et Vy(t). A t= 0s, x=y=0m

1°)- Représenter la trajectoire décrivant le mouvement du mobile M entre t=0s et t=20s. Echelle : 1cm  2.5m.

2°)- Quelle est la distance parcourue entre t=0s et t=10s ?

3°)- Représenter, les graphes des accélérations ax(t) et ay(t). Préciser vos échelles.

4°)- Représenter, sur la trajectoire, les vecteurs vitesses et accélérations à t=5s et t=20s. Echelle: 1cm  1m/s, 1cm  0.1m/s².

Exercice 9 :

I)- Soit un mobile, A, se déplaçant sur un axe ox suivant la loi horaire : XA(t) =R Cos(t +) ; R= 0.5m

Le mouvement est sinusoïdal d’amplitude R, de pulsation  et de phase =(t + ).

On suppose qu’à t=0s, XA=R et qu’à t= (/2) s, la vitesse est VA= -(/2) m/s.

1°)- Calculer , la phase à l’origine des temps et  , la pulsation . En déduire la période T= 2/ et la fréquence f =1/T. Expliquer brièvement à quoi correspondent T et f.

2°)- Etablir une relation entre xA(t) et l’accélération aA (t).

3°)- Représenter qualitativement sur une période T les graphes xA(t), vA(t) et aA(t)

II)- Soit un deuxième mobile M, astreint à se déplacer sur une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R (Voir figure ci-contre). Sa vitesse angulaire est

=d/dt. On suppose qu’à t=0s,  = 0rad.

1°)- Ecrire, dans le repère (o ,x ,y) ,les coordonnées de M , xM(t) et yM(t). Préciser la nature du mouvement.

2°)- Comment, à partir du mouvement de M, peut-on

définir le mouvement de A ?  0

M x y

10 10 20

Vy (m/s) Vx(m/s)

0 0

t(s) 20

t(s)

1 1

(6)

3°)-Représenter, à t=0.75s, les vecteurs position O M , vitesse

v

M _et

accélération aM

.

Echelle: 1cm  0.1 m ; 1cm  (/4) m/s et 1cm  ²/2 =5m/s² Exercice 10 :

Dans le repère orthonormé R(O, ⁱ^, j

) les équations paramétriques du mouvement d’un point mobile M sont :

x = A cost et y = A sint avec A = 10 cm et  = 10 rad/s a- Donner les composantes de la vitesse v. Que peux - t - on dire de v ?

b- Donner les composantes du vecteur accélération. Que peux – t – on dire de a ? c- Calculer le produit ^{a v}^{ }^. . Que peux –t- on en conclure ?

d- Calculer et représenter les vecteurs ^v^et ^a^ à t = /20 s. Préciser l’échelle choisie.

Exercice 11 :

Une comète se déplace dans le système solaire. Sa position a pour expression :

2

( 1) 2 O M  t i  t j

  

Où O est l'origine du repère (le soleil) et t représente le temps exprimé en secondes. On suppose que la comète reste dans le plan (x O y) (z=0).

1. Déterminez les composantes du vecteur vitesse ^v^ et du vecteur accélération^a^ . 2. En partant de l'expression de l'accélération normale en fonction du rayon de courbure , démontrez la relation : ^v³

v a

   

En déduire le rayon de courbure  de la trajectoire en fonction de t.

3. Déterminez les composantes de l'accélération tangentiellea_t

. 4. En déduire les composantes de l'accélération normalea_n

. Vérifiez que : an  v² ^/

. Exercice 12:

Un point P se déplace dans un plan Oxy, ses coordonnées à l’instant t sont données par : ^x ^ ^{2 0}^⁽^t^^⁾ ¹⁰ ⁽ ^⁾²



 

 t

y

avec  = 1 m/s et  = 1 s.

On demande :

a) de trouver l’équation cartésienne de la trajectoire, de représenter la courbe correspondante entre 0 et 4 s;

b) de calculer les composantes cartésiennes de ^v^ et ^a^ ainsi que leurs normes ; c) de calculer les composantes intrinsèques de ^a^ (at et an) ;

d) de déterminer les caractéristiques du mouvement d’après le tableau des variations de ^v et at ;

e) de calculer le rayon de courbure lorsque t =3 s^.

(7)

Exercice 13 :

Un mobile se déplace sur une trajectoire circulaire de centre O et de rayon R=110/ m. Son accélération tangentielle est donnée sur la figure ci-dessous. A t0= 0s, le mobile se trouve en M0 d’abscisse curviligne S0=0m et sa vitesse est V0=4.5m/s.

1°)- Représenter les vecteurs vitesses et accélérations aux instants t1=10s et t2=20s correspondant respectivement aux positions M1 et M2.

Echelle : 1cm  R/4 m, 1cm  1m/s et 1cm  0.25m/s².

2°)- Déterminer l’instant où la particule rebrousse chemin. En déduire son abscisse curviligne à cet instant.

Exercice 14:

Une particule décrivant une trajectoire curviligne dans le plan (ox, oy) est repérée, en coordonnées polaires par les équations :

( ) 0

t

r t r e a

  et ( ) t t

a

  (r0 et a sont des constantes positives) 1- Donner l’expression du vecteur vitesse de cette particule.

2- Montrer que l’angle



^{V u}^{ }^, ^



est constant. Quelle est sa valeur ? 3- Donner l’expression du vecteur accélération.

4- Montrer que l’angle entre le vecteur accélération et la normale



a u ^, N



est constant. Donner sa valeur (On se servira de la question 2).

5- Calculer le rayon de courbure de la trajectoire.

Exercice 15:

Le mouvement curviligne d’un mobile est décrit par les équations paramétriques suivantes :

r(t) = t/2

 (t) = t²/4, (t en secondes, r en mètres et  en radians).

1°)- Représenter, à t = 1s, dans le repère (xoy), le vecteur position OM.

Echelle : 1cm  0.1m.

at (m/s²)

-0.3 0.3

t (s)

10 20

M2 M0

M1

y

x

(8)

2°)- Calculer les composantes radiales Vr et transversale V du vecteur vitesse et représenter ce vecteur dans le repère (xoy) à t =1s. Echelle: 1cm0.25m/s.

3°)- a) Déterminer l’expression de V à un instant t.

b) Calculer  at , le module de la composante tangentielle du vecteur accélération à t=1(s). Sachant que les composantes de l’accélération a sont :

ar =-1.23m/s² et a=2.36m/s², déduire le rayon de courbure à cet instant.

Exercice 16 :

Un mobile M est repéré par ses coordonnées polaires r(t) et (t) dont les variations en fonction du temps sont données par les graphes ci-dessous :

1°)- Tracer la trajectoire du mobile.

2°)- Représenter les vecteurs vitesses et accélération aux instants t= 1s et t=4s.

Echelle: 2cm 1m/s ; 1cm  0.1m/s².

3°)- Quelles sont les différentes phases du mouvement et quelle est la nature de chacune d’elle entre t=0s et t=6s. Justifier

Exercice 17:

La trajectoire d’un mobile est constituée d’un segment rectiligne faisant un angle

 = /4 rd et d’un arc de cercle de rayon R = 2 m (figure 1). Les variations des vitesses radiale (^{d r}

d t ) et angulaire (^d

d t

 ), en coordonnées polaires, sont données par les figures 2 et 3. On supposera qu’à t = 1s le mobile se trouve à r = 1.5 m et  = /4 rd.

0 0,5 1 1,5 2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0

Y (m)

x (m)

Figure 1 0 2 4 6 t(s)

r(m)

1 3 5

/4 /2

0 2 4 6

t(s) (rad)

(9)

1- Trouver les valeurs de r et  à l’instant t = 2.5 s 2- Calculer le vecteur vitesse à l’instant t = 2.5 s 3- Calculer le vecteur accélération à t = 2.5 s.

On donne :

2 2 2

2 , 2 2

r

d r d dr d d

a r a r

dt dt ^ dt dt dt

    

     

          

        et ² = 10

4- En déduire les composantes intrinsèques an et at de l’accélération à l’instant t = 2.5 s.

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

dr/dt (m/s)

t(s)

Figure 2

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0

0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5

d/dt (rd/s)

t (s)

2



4



Figure 3

(10)

I-3 Mouvement relatif:

Exercice 18 :

Les coordonnées d’une particule mobile dans le référentiel R muni du repère )

k , j , i , O (



 sont données en fonction du temps par :

2 4 2

4 1; 2 ; 3

xt  t y  t z  t .

Dans un deuxième référentiel (R’) muni du repère (O',i', j',k')



 avec,i i'



  , j j'



  et '

k k



  ,sont données en fonction du temps par :

2 4 2

' 2; ' 2 5; ' 3 7

x t  t y   t  z  t 

1) Exprimer la vitesse de M dans le (R) en fonction de sa vitesse dans (R’).

2) Exprimer l’accélération de M dans le (R) en fonction de son accélération dans (R’).

3) Définir la nature du mouvement d’entraînement de (R) par rapport à (R’).

Exercice 19 :

Soient deux mobiles A et B qui se déplacent dans un plan horizontal sur les droites D1 et D2 respectivement (figure 1). A l’instant t = 0s, les mobiles passent par l’origine O, les variations de vitesse en fonction du temps sont données par le diagramme de la figure 2.

1- Donner, par rapport à O, la position des mobiles à t = 4s ;

2- Etablir les équations horaires du mouvement de chaque mobile par rapport à O.

3- Déterminer et construire la vitesse de B par rapport à A, vB/A, et l’accélération de B par rapport à A, aB/A à l’instant t = 4s.

Echelle 1 cm pour 1 m/s et 1cm pour 2 m/s²

4- Etablir l’équation de la trajectoire de A dans le repère lié à B (Bx’, By’).

(Remarque Bx’ reste toujours parallèle à D2) (D2)

A

B

(D1) y’

x’

Figure 1

O t(s)

v(m/s)

vA

vB

2

-4 -2

2 4 6

0 Figure 2

(11)

Exercice 20:

Une particule A se déplace dans un plan (ox, oy). Les composantes cartésiennes de sa vitesse sont représentées sur la figure ci- dessous.

1- Sachant qu’à l’instant t = 0 x(0) = 4 m et y(0) = 1m. Calculer les composantes

des vecteurs positions, vitesses et accélérations aux instants t = 5 s et t = 10 s.

2- Une deuxième particule B se déplace dans le même plan avecvB ²i⁴j

. a- Calculer les composantes du vecteur vitesse de A par rapport à B (vA B/  v ix^'v jy^'

).

b- Représenter les graphes des composantes de cette vitesses [vx^'^{( )}t et vy^'^{( )}t ] en fonction du temps

Exercice 21:

Un nageur N et un piéton P font un aller–retour sur une distance 2L parallèlement à l’axe des x. Ils partent en même temps, à t = 0s, de la même abscisse, x = 0m .On suppose que pendant tout le trajet, en module, la vitesse de N par rapport à l’eau est égale à la vitesse de P par rapport au sol.

VN/eau=VP/sol, VC , la vitesse du courant est dirigée vers les x positifs et

VCVN/eau.

1°)- Lequel, du piéton ou du nageur, va, le premier atteindre le point O? Justifier votre réponse.

2°)- Représenter le graphe de la vitesse de N par rapport à P,VN/P entre t=0s et t=300s.

On donne VN/eau=VP/sol=1m/s, VC= 0.5m/s et L=150m. Préciser votre échelle. Déduire du graphe les instants où ils sont côte à côte.

L i

V_c

O x

t (s)

-5

2 10

5

Vx(m/s )

0 2 10

2

Vy(m/s )

t (s) 0

(12)

Exercice 22:

Dans un cours d’eau, trois baigneurs R, S et T commençant à nager à t = 0s vers un ballon B. A t = 0s, les coordonnées de R , S , T et B sont respectivement (XR= -20m, YR=0m), (Xs=100m, YS=0m),(XT=0m, YT=-30m) et (XB=40m, YB=0).La vitesse du courant mesurée par rapport au sol est VC = 0.4 i m/s. On suppose que les vecteurs vitesse de R , S et T sont constants au cours du temps et que

VR/eau=V S/eau=V T/eau= 1m/s . 1°)- Lequel des nageurs va atteindre, le premier le ballon ? Justifier votre

réponse. Calculer son temps.

2°)- Représenter la trajectoire de T par rapport à un observateur (lié à un repère xoy dans l’eau). A t = 0s, (xoy) coïncide avec (x’o’y lié au sol). Calculer la distance parcourue par T dans chacun des deux repères.

3°)- Représenter les vecteurs vitesses de T par rapport à l’eau VT/eau et par rapport au sol VT/sol.

Echelle : 1cm  0.2m/s.

En déduire VT/sol. Retrouver ce dernier

résultat par une deuxième méthode.

Exercice 23:

Un chien doit traverser un fleuve large de 50m pour rejoindre son maître sur l’autre rive (voir figure) .A l’instant t=0s, le chien se trouve au point O.

La vitesse du courant est VE/S=3km/h, dans le sens indiqué par la flèche de la figure.

Le chien nage perpendiculairement aux rives à la vitesse VC/E = 4km/h, relativement à l’eau (Vchien/eau).

1°)- Dessiner au point O les vecteurs vitesses : VE/S : vitesse du courant par rapport au sol VC/E : vitesse du chien par rapport à l’eau VC/S : vitesse du chien par rapport au sol A l’échelle 1cm  2km/h

2°)- Quelles sont dans le repère (xoy), les coordonnées du point B où le chien atteint l’autre rive.

i x

Vc

R S

T

B y

O

x’

O'

(13)

3°)- En réalité, à l’instant t=0s, l’homme se met en marche pour rejoindre le point B avec une vitesse VH = 6 km/h. Dessiner la trajectoire du chien dans le repère (x’o’y’) lié à l’homme.

y y’

x’

O’

x

O

Exercice 24:

Un nageur, parti de A, se déplace à la vitesse constante V par rapport à l'eau d'une rivière de largeur d dont les eaux sont animées d'un courant de vitesse constante v (v<V).

a) Le nageur effectue les trajets aller et retour :

AA1A en un temps t1 et AA2A en un temps t2. Exprimer le rapport t2/t1 en fonction de v/V. Sachant que t2=2t1=7 min, déterminer la direction de la vitesse V du nageur qui se déplace obliquement pour atteindre A1 et le temps t0 qu'aurait mis le nageur pour parcourir l'aller retour sur un lac.

b) Le nageur quitte le bord A au moment où il se trouve à la distance D de l'avant d'un bateau à moteur, de largeur l, qui se déplace à la vitesse constante u par rapport à l'eau, en suivant le bord de la rivière dans le sens de A vers A2. Déterminer la direction et la grandeur de la vitesse minimale (par rapport au sol) du nageur pour ne pas être atteint par le bateau.

Application numérique : l=20 m ; D=98 m ; u=19,8 km/h ; v=1,8 km/h.

SOL EAU

v

A2

A1

d A

d

(14)

Corrigé type de quelques exercices Exercice 7 :

1- Pour la voiture : ₁^{( )} ¹ ² ₁ ³ ² ³

2 2

x t  a t d  t  , Pour la moto : x2( )t  v t2 d2 1 5t2 4

2- Il y a dépassement si ₁^{( )} ₂^{( )} ³ ² ³ ¹⁵ ²⁴ ³ ² ¹⁵ ²¹ ⁰

2 2

x t  x t  t   t  t  t 

En résolvant cette équations on : ¹

2

1.68 1.2

8.32 ' 100.65

t s et x m

 

3- Si v2  3 6km h/ 1 0m/s x2'( )t 1 0t2 4, il y a dépassement si : x t1( ) x2'( )t ce qui revient à résoudre l’équation :

3 2

10 21 0

2

t  t  qui n’a pas de solution car  est négatif donc ils ne vont pas se rencontrer.

4- Détermination de la distance minimale :

a- ₂ ₁ ³ ² 1 0 2 1 0

2

x x x t t

       , est minimale si sa dérivée est nulle : ' 3 10 0 10

3

x t t s

      b- x_{m in}  4.33m Exercice 11 :

1- ^{( )} ₂ ¹ ^{( )} ¹ ^{( )} ⁰

( ) ( ) 1

( ) / 2

x x

y y

v t a t

x t t

O M v a

v t t a t

y t t

 

   

  

 

  

 

  

  

  

D’où : v 1t² et a 1m s/ ²

2- Composante at :

1 2 t

d v t

a

d t t

 



3- Composante aN : ² ²

2

1 1

N t

a a a

t

  



4- rayon de courbure :

2

2 3 / 2

(1 )

n

v t

a

   

(15)

Exercice 14:

1- Calcul du vecteur vitesse :

 

0 t a

r r r r

d r d r

v v u v u u r u e u u

d t d t a

   

 ^

      

      

2- L’angle



^{V u}^{ }^, ^



^{s’écrit :}

1

4 vr

tg

v_

      

3- Vecteur accélération :

0

2 2

t a r r

a a u a u r e u

  a 

T N 2

u u 

  

donc :



^,



N 4

a u 

   5- Calcul du rayon de courbure :

A partir de la question 1 on déduit que 2 ⁰

t

r a

v e

a

  A partir de la question 3 on déduit que

0 0

2 2

sin 2 co s 2

4 4

t t

a a

T N

r r

a a e et a a e

a a

 ^  ^

    et comme

2 2

2 0 N

N

v v t

a r e

a a

 

    

Exercice 17:

1- ( ) dr dr ( ) d d

r t dt aire sous et t dt aire sous

dt dt dt dt

 







 



 donc à t = 2.5 s

on a :

r(2.5 s) = 2 m et (2.5 s) = ⁵

1 6 = 0.98 rd 2- Vitesse : _r(2.5 ) dr

v s

dt

 0 m/s (2.5 ) d

v s r

 dt

   ^1.57

2

  m/s et v(2.5s) = v=1.57 m/s

v vr

v_



M

uN

a



O

(16)

3- Accélération :

2 2

r 2

d r d

a r

d t d t

  

    

  - ²

8

 =-1.25 m/s² ^a ² ^{d r} ^d ^r ^d²₂

d t d t d t



   

   

      

       = 3.14m/s²

4- Composantes intrinsèques de l’accélération :

at = a = 3.14 m/s² et aN =-ar = 1.25 m/s²

(17)

Hachemane Mahmoud (usthbst10@gmail.com)

Monsieur A. Dib et Mademoiselle R. Yekken sont remerciés pour leurs remarques et corrections.

Exercice 1

Le diagramme des espacesx(t)utilisé dans cette solution est légèrement différent de celui de l’énoncé car l’exercice est qualitatif, la méthode compte plus que les résultats numériques.

1. Description du mouvement : Le mobile démarre de l’origine des espaces dans le sens négatif (v <0).

Puis, il s’arrête à x == −50m entre 10 et 30s. Il reprend son mouvement mais dans le sens positif entre 30 et60 secondes en passant par l’origine des espaces àt = 40s. Il s’arrête à 100m à60s.

2.Méthode de la tangente :On trace la tangente en (t= 40s, x = 0m) pour déterminer la vitesse en ce point. On choisit deux points surcette tangente et on trouve

v(40s) = ^2cm_5cm⁻⁽₋⁻_3cm^2cm)^50m/cm_10s/cm = 10m/s

Méthode de la vitesse moyenne : on choisit l’intervalle entre t1 = 37s et t2 = 43s. Le milieu de cet intervalle esttm = 40s. On choisit deux points sur la courbe x(t)et on utilise v(tm) =vm(t1, t2), on trouve

v(40) = ^0.6cm_4.3cm⁻⁽₋⁻_3.7cm^0.5cm)^50m/cm_10s/cm = 9.17m/s

C’est normal que les résultats soient différents à cause des erreurs : – La tangente est difficile à tracer.

– La lecture des valeurs se fait avec des erreurs.

– L’intervalle[t1, t2] peut ne pas être assez petit.

Remarque :Dans cette solution, la tangente et l’intervalle sont bien choisis car ils sont confondus avec une partie droite de la courbex(t)correspondant à un MRU. Les erreurs de lecture sont surement la seule cause de la différence entre les deux valeurs de v(40). La méthode de la tangente est plus précise car les points utilisés dans le calcul sont éloignés ce qui réduit les erreurs. S’il n’ y avait pas une partie droite àt = 40s, la méthode de la vitesse moyenne aurait été la plus précise car la tangente serait très difficile à tracer.

On a donc le tableau suivant à tracer qualitativement en supposant que la vitesse a un maximum en t= 40s.

t(s) 0 [10; 30] 40 60

v(m/s) −10 0 10où 9.17 0 3. Phases du mouvement :

t(s) [0,10] [10,30] [30,40] [40; 60]

x(m) [0;−50] −50 [−50; 0] [0; 100]

Mouvement Retardé, sens - arrêt Accéléré, sens + Retardé, sens + justification |v| ց, v <0 v = 0 |v| ր, v >0 |v| ց, v >0

4.d=d(0; 10) +d(10; 30) +d(30; 60) =|−50−0|+ 0 +|100−(−50)|= 200m.

5. Sur le diagramme des espaces, on voit que vm(0s; 40s) = ₄₀⁰ = 0m/s.

t(s) x(m)

10 20 30 40 50 60

−50 50

v(m/s)

t(s)

−10

20 40

10

(18)

2. La distance parcourue par la voiture B est la surface du rectangle A(0,0.006, vB) (Fig.1). La distance parcourue par A est la surface du triangle A(0,0.006, v_A) (Fig.2). La voiture B et donc en avance d’une distance correspondant à la surface du rectangle au-dessus de la diagonale D = A(0,0.006, vB)−A(0,0.006, vA) = 0,120km (Fig.3).

Fig.1 Fig.2 Fig.3

3. Entre t = 6 10⁻³h et t = 0,01h = 10⁻²h, la voiture A prend une avance d’une distance correspondant au trapèze entre ces deux instants et les vitesses des deux voitures (Fig.3), soit d= ⁽⁴⁺¹⁾^×¹⁰₂ ⁻³^×²⁰ = 0.050km. La voiture B est toujours en avance de D−d= 0.070km

4. La voitureA doit rattraper les 0.070kmaprès t= 10⁻²h. On doit avoir 0.070km= (t−10⁻²h)× 20km/hce qui donne t= 0.0135h. On peut calculer à partir de l’origine des temps et écrirexA(t) = x_B(t), donc [^t+(^t−9×10⁻³h)]×60km/h

2 =t×40km/h, ce qui donne le même résultat t= 0.0135h.

Exercice 3

2 4 6 8 10

−2 0 2

t(s) v(m/s)

Donnée x(0s) = 0m

1. Accélérationa=dv/dt. Le graphique de v(t) est composé de droites. L’accélération est constante pour chaque droite et correspond à la pente. Par exemple, entret = 0sett= 10s, on aa= ^v(1)₁⁻₋^v(0)₀ =

−2m/s². On déduit le tableau suivant : t(s) [0,1] [1,2] [2,4] [4; 5] [5; 10]

a(m/s²) −2 +2 0 +1 −1

t(cm) [0,1] [1,2] [2,4] [4; 5] [5; 10]

a(cm) −4 +4 0 +2 −2

(19)

t(s)

2. On calcule les positions par la méthode des aires :

x(1)−x(0) =A(0,1, v)⇒x(1) =A(0,1, v) =−1m car x(0) = 0m.

De même, x(2)−x(0) =A(0,2, v) = −2m ⇒x(2) =A(0,2, v) = −2m.

x(4) =x(3) =x(2) =−2m car le mobile est au repos.

Maintenant, on utilise x(6)−x(4) = A(4,6, v) où A(4,6, v) = 2m est l’aire du triangle hachuré.

Comme x(4) =−2m, alors x(6) = 0m.

En calculant de cette façon à tous les instants, on aura le tableau suivant :

t(s) 0 1 2 4 5 6 7 8 9 10

x(m) 0 −1 −2 −2 −1.5 0 2.5 5 6.5 7

On trace sachant que, quand la vitesse est une droite, la position est une portion d’une parabole dont la tangente est horizontale aux instants où v = ^dx_dt = 0 (dans cet exercice, v = 0 pour t = 0s, t∈[2s,4s] ett= 10s).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1 2 3 4 5 6 7

−1

−2 x(m)

v= 0 t(s)

Méthode des intégrales : Le graphique de v a pour fonction,

(20)

v(t) =





0 si 2≤t≤4 t−4 si 4≤t≤7

−t+ 10 si 7≤t ≤10

On calcule les intégrales par l’une des deux méthodes suivantes (on prendra comme exemple 4s ≤ t≤7s) :

Méthode 1 : x(t)−x(4) =´t

4 vdt=´t

4 (t−4)dt= ¹₂t²−4t+ 8. La méthode des aires nous donne x(4) =−2m, doncx(t) = ¹₂t² −4t+ 6.

Méthode 2 :x(t)−x(1) =´t

1 vdt=´2

1 (2t−4)dt+´4

3 0dt+´t

4 (t−4)dt= ¹₂t²−4t+ 7. La méthode des aires nous donne x(1) =−1m, donc x(t) = ¹₂t²−4t+ 6.

On trouve :

x(t) =











−t² si 0≤t≤1 t²−4t+ 2 si 1≤t≤2

−2 si 2≤t≤4 0.5t²−4t+ 6 si 4≤t≤7

−0.5t² + 10t−43 si 7≤t ≤10 3.d=d(0,2) +d(4,10) = ²^×₂² +⁶^×₂³ = 11m.

4. Description du mouvement où l’abréviation MRUA (+) signifie "mouvement rectiligne uniformé- ment accéléré dans le sens positif".

t(s) [0,1] [1,2] [2,4] [4; 5] [5; 10]

Mouvement MRUA (-) MRUR (-) Repos MRUA (+) MRUR (+)

Justification a=C, av >0, v <0 a=C, av <0, v <0 v = 0 a=C, av >0, v >0 a=C, av <0, v >0 5. Le diagramme des vitesses donne : x(10)−x(8) =A(8,10, v)⇒7−x(8) = 2 ⇒ x(8) = 5m et v(8) = 3m/s.

Le diagramme des accélérations donne :a(8) =−1m/s² Représentation :

b b

O ~a x(8) ~v

x Exercice 4

1. Par la méthode des aires, on déduit :v(t2)−v(t1) =A(t1, t2, a) t(s) 0 10 20 30

v(m/s) 15 5 5 0

5 10 15

10 20 30

t(s) v(m/s)

Par la méthode analytique :

Entre t = 0s et t = 10s, v(t)−v(0) = ´t

0 adt = ´t

0 −1dt = −t. Comme v(0) = 15m/s, on a v(t) = −t+ 15

Entret = 10s ett = 20s, v(t)−v(10) =´t

10adt=´t

0 0dt= 0. Comme v(10) = 5m/s, on a v(t) = 5

(21)

2. Depuis le diagramme des vitesses et avec la méthode des aires, on trouve (échelle choisie 2cm→ 25m)

x(5) = ^(10+15)₂ ^∗⁵ = 62.5m−→5cm etx(15) = ⁽¹⁵⁺⁵⁾₂ ^∗¹⁰ + 5∗5 = 125m→10cm.

Les vitesses et accélérations sont obtenues à partir de leurs diagrammes directement : a(5) =−1m/s² →1cm eta(15) = 0m/s².v(5) = 10m/s→4cm etv(15) = 5m/s→2cm.

O ~r(5)

~r(15)

~a(5)

~a(15) =~0

~v(5) ~v(15)

Exercice 5

1. La vitesse est constante sur chaque droite du diagramme des espaces. Il suffit de calculer la pente v = ^x(2)_t ⁻^x(1)

2−t1 et on obtient :

[t₁, t₂](s) [0,1] [1,2] [2,4] [4,5] [5,7] [7,8]

v(m/s) 2 0 −2 0 1 0

0 1 2 3 4 5 6 7 8

-2 -1 0 1

2v(m/s)

t(s)

2. Phases du mouvement :

[t1, t2](s) [0,1] [1,2] [2,4] [4,5] [5,7] [7,8]

Nature MRU,+ Repos MRU,- Repos MRU,+ Repos

Justification v =C, v > 0 v = 0 v =C, v <0 v = 0 v =C, v >0 v =

3.d(0,7) =|x(1)−x(0)|+|x(2)−x(1)|+|x(4)−x(2)|+|x(5)−x(4)|+|x(7)−x(5)|= 2 + 0 + 4 + 0 + 2 = 8m

4. Il faut représenter les vecteurs, vitesse et accélération, aux bonnes positions :

t(s) 3 6

x(m) 0 −1

v(m/s) −2 1 a(m/s) 0 0

→

échelles t(s) 3 6

5cm→1m x(cm) 0 −5 1cm→2m/s v(cm) −4 2

a(cm) 0 0

b

b 0

x(3)

~v(3) x(6)

~v(6)

Exercice 6

1. Diagramme des accélérations :

[t1, t2](s) [0,3] [3,5] [5,9]

a= ^v(2)_t ⁻^v(1)

2−t1 (m/s) 2.67 0 −4

(22)

t(s)

4 8

−1

2. Phases du mouvement. Comme l’accélération est constante, on a un MRU, un MRUV ou un repos.

[t1, t2](s) [0,3] [3,5] [5,7] [7,9]

Mouvement MRUA (+) MRU (+) MRUR (+) MRUA (-)

Justification a=C,av >0,v >0 a= 0,v >0 a=C,av <0, v >0 a=C,av >0,v <0

3. La distance est la somme des surfaces (positives)d(0,9) =|A(0,7, v)|+|A(7,9, v)|= ⁽⁷⁺²⁾⁸₂ +²^×₂⁸ = 44m.

4. La différence des positions est l’aire algébrique : x(6)−x(0) = A(0,6, v) = 34m = x(6) car x(0) = 0m.

x(9)−x(0) = A(0,7, v) +A(7,9, v) = ⁽⁷⁺²⁾⁸₂ −²^×2⁸ = 28m=x(9) car x(0) = 0m et A(7,9, v)<0 (en dessous de l’axe des temps).

5. Représentation des vecteurs vitesse et accélération

t(s) 6 9

x(m) 34 28

v(m/s) 4 −8 a(m/s) −4 −4

→

échelles t(s) 6 9

1cm→5m x(cm) 6.8 5.6 1cm→2m/s v(cm) 2 −4 1cm→2m/s² a(cm) −2 −2

x(6) x(9)

~v(6)

~v(9)

~a(6)

~a(9) Exercice 7

Données par rapport à O : Voiture x1(0) = −3m, v1(0) = 0m/s, a1 = 3m/s². Motard : x2(0) =

−24−3 =−27m, v2 = 54km/h= _3.6⁵⁴m/s = 15m/s 1. Voiture :

vitesse v1(t)−v1(0) =´t

0a1dt=´t

0 3dt⇒v1(t) = 3t équation horaire : x1(t)− x1(0) =´t

0 v1(t)dt=´t

0 3tdt= ³₂t² ⇒x1(t) = ³₂t²−3 Motard :

vitesse v₂(t) =v₂(0) = 15m/s

équation horaire : x2(t)− x2(0) =´t

0 v2(t)dt=´t

0 15dt= 15t⇒x2(t) = 15t−27

2. Les instants de dépassement correspondent aux instants de rencontrex1(t) =x2(t). Donc

3

2t²−3 = 15t−27 =⇒ t= 2s et t= 8s.

Les positions à ces instants sont x1(2) =x2(2) = 3m et x1(8) =x2(8) = 93m

3. Si v2 = 36km/h= 10m/s, on doit avoir ³₂t²−3 = 10t−27⇒ ³2t²−10t+ 24 = 0. Le discriminant

∆ = (−10)²−4× ³2 ×24 =−44 est négatif. Il n’y a pas de solution réelle et le motard ne peut pas rattraper la voiture.

4.a. La voiture étant en avance, on a x1(t) > x2(t). La distance qui la sépare du motard est D = x1(t)−x2(t) = ³₂t²−10t+24>0. Elle devient minimale (ou maximale) quand ^dD_dt = 0 ⇒,3t−10 = 0 donc t= 3.33s

b. Cette distance est D= ³₂(3.33)²−10×3.33 + 21 = 4.33m.

Exercice 8

Méthode graphique :

Entre t = 0s et t = 10s, les composantes vx et vy sont constantes. Le vecteur vitesse ~v est par conséquent constant et le mouvement est rectiligne et uniforme. La trajectoire est une droite entre

(23)

analogie avec le mouvement d’un projectile). On calcule les différents points (x, y)graphiquement : Comme x(0) = 0m, alors x(t)−x(0) =´t

0 v_xdt=A(0, t, v_x)⇒ x(t) =A(0, t, v_x).

Comme y(0) = 0m, alorsy(t)−y(0) =´t

0 vydt=A(0, t, vy)⇒y(t) =A(0, t, vy).

On peut donc remplir le tableau suivant :

t(s) 0 10 12 14 16 18 20

x(m) 0 10 12 14 16 18 20

y(m) 0 10 11.8 13.2 14.2 14.8 15

Remarque : le maximum de la parabole correspond au point(x, y) = (20m,15m)carvy = 0etv =vx

(la tangente à la trajectoire est horizontale).

Méthode analytique : pourt ≤10s

vx(t) = 1 et vy(t) = 1⇒x=t ety =t ⇒y =x (droite) pourt ≥10s

vx(t) = 1 et vy(t) = (−0.1t+ 2)⇒x(t) =t

Attention : comme vy change de fonction à t = 10s, il faut calculer y(t)−y(t0), avec t > 10s et t₀ >10s. Il est plus simple de calculer

y(t)−y(10) =´t

10(2−0.1t)dt= 2t−0.05t²−15avec y(10) = 10m donc on a

x=t

y= 2t−0.05t²−5

La trajectoire est obtenue en remplaçant t par x dans y car x = t. On obtient une parabole y =

−0.05x²+ 2x−5

5 10 15 20

5 10 15 y(m)

x(m)

~v_y

~vx

~v

~v v :1cm → 1m/s ~a

a:1cm → 0.1m/s²

10 20

t(s) a_y(m/s²)

−0.1 0.1

10 20

t(s) a_x(m/s²)

−0.1 0.1

2. Les composantes de l’accélération sontax = ^dv_dt^x etay = ^dv_dt^y. Il suffit de calculer la pente de chaque droite du diagramme des vitesses. On trouve (échelle 1cm→0.1m/s²) :

[t₁, t₂](s) [0,10] [10,20]

ax(m/s²) 0 0 ay(m/s²) 0 −1

→

[t₁, t₂](cm) [0,4] [4,5]

ax(cm) 0 0

ay(cm) 0 −1

4. On vérifie aisément qu’à t = 5s, on a (x, y) = (10m,10m), (vx, vy) = (1m/s,1m/s) et (ax, ay) = (0m/s²,0m/s²). Par contre, àt= 20s, on a(x, y) = (20m,15m),(vx, vy) = (1m/s,0m/s)et(ax, ay) = (0m/s²,0.1m/s²)

Exercice 10 Partie I

x_A(t) =Rcos (ωt+ϕ)⇒v_A(t) = ^dx_dt^A =−Rωsin (ωt+ϕ).

1. A t = 0s, on a : xA(0) =R =⇒ Rcos (ϕ) = R et vA π 2ω

=−^π₂ =⇒ −Rωsin ω _2ω^π +ϕ

=

−^π2.

Comme, sin ω _2ω^π +ϕ

= sin ^π₂ +ϕ

= cos (ϕ), on obtient le système d’équations suivant :

(24)

La période T correspond à la durée pendant laquelle le mobile revient à la même position dans le même sens du mouvement (même vitesse). C’est l’intervalle de temps séparant deux maxima du diagramme des espaces, des vitesses ou des accélérations. La fréquence est le nombre de fois qu’il revient à cette même position (dans le même sens du mouvement) en une seconde. C’est le nombre de périodes par seconde.

2.aA= ^dv_dt^A =−Rω²cos (ωt+ϕ)⇒aA(t) =−ωxA(t) 3. Rappelons que la période est T = 2s.

1 2

aA

v_A

x_A

Partie II

1.xM (t) =Rcos (ωt) etyM(t) =Rsin (ωt)

Pour la nature du mouvement, remarquons qu’on retrouve la trajectoire circulaire en utilisant : x²_M(t) +y_M² (t) =R²cos²(ωt) +R²sin²(ωt) = R²

Calculons la vitesse en remplaçant ωt par θ vx =−Rθ˙sin (θ) etvy =Rθ˙cos (θ)⇒ k~vk=p

v²_x+v²_y =Rθ˙

Donc, ce mouvement circulaire est uniforme ou accéléré ou retardé si la vitesse angulaire θ˙ est constante, augmente ou diminue respectivement. Dans cet exercice on suppose qu’elle est constante θ=ωt =⇒ θ˙=ω.

2. Le mouvement deA apparaît comme la projection du mouvement de M sur l’axe(x^′Ox).

~r

~v ~a

y

3π/4 x

3. Pour t= 0.75s= ³₄s, on a θ =ωt= ^3π₄ . Sachant que cos ^3π₄

=−^√₂² , ax =−ω²x etay =−ω²y, on trouve

Grandeur R x y vx vy ax ay

Valeur 0.5m −^√₄²m ^√₄²m −^√₈^2πm/s −^√₈^2πm/s ^√₁₆^2π²m/s² −^√₁₆^2π²m/s² Echelle 6.25cm −4.42cm 4.42cm −0.71cm −0.71cm 0.56cm −0.56cm Exercice 11

Données

x(t) =Acos (ωt) ety(t) =Asin (ωt) oùA= 10cmet ω= 10rd/s.

a. Les composantes de la vitesse sont : vx(t) =−Aωsin (ωt) etvy(t) =Aωcos (ωt) Le module de la vitesse est constant k~vk = p

v_x²+v_y² = Aω. Elle est perpendiculaire à la position

~r·~v =xv_x+yv_y = 0.

b. Les composantes de l’accélération sont : ax(t) =−Aω²cos (ωt) etay(t) =−Aω²sin (ωt)