A-Cours II

A- Cours d' electricite II

LELARROUM p3/74

PROGRAMME:

• CH I : Magnetostatique du vide;

• CH II : Courant continu et alternatif;

• · CH III : Les equations de Maxwell dans le vide;

• CH IV : Les ondes electromagnetiques dans le vide.

LELARROUM p4/74

CHI: Magnetostatique du vide

I-I-

Introduction:

a- Definition et historique:

L'electrostatique est l'etude de !'interaction entre les charges electriques immobiles et de ses effets.

L'etude des phenom6nes magnetiques (Magnetisme) est l'etude de l'interaction ~ntre les charges electriques en mouvement et de ses effets.

La Magnetostatigue est l'etude des phenomenes magnetiques independants du 1emps.

Le magnetisme estune branche de la-physique dont les origines remontent au moment ou on a observe des nilches (magnetite)attiraie11t l<t limg.ille d~ Fer. Cette pierre se trouvait en

Magnesie ( nom d'une ville d'Asie Mineur: actuellement Turquie), Ainsi le mot Magnetisme derive de Magnesie.

L'electricite est une branche de la physique dont !es origines remontent

a

!'observation de

!'attraction de brindilles de paille par Fombre jaune frotte (600 ans Av J.C: Thales et Miller).

Ces deux branches 6truent sepan~es jusqu' en 1820, annee ou Christian Oersted (1777 ~ 1831 ), observe une interaction entre elle, Depuis lors une nouvelle branche de la physique

(Electromagnetisme) ne cesse pas de se developper par des recherches de Michael Faraday (1791-1867).

James Clerck Maxwell ( 1831-18 79) a modelise 1' electromagnetisme. Ses equations constituent des lois fondamentales de l'electromagnetisme qui permettent d'expliquer les principes de tousles gros appareils optiques et electromagnetiques (Moteur electiique, la radio, la television, le radar hyperfrequence, le microscope et le telescope) .... , ... . b -Les effets magnetiques sont

a

distance:

L'experience montre qµe les efiets n1agnetiques procedent d'une interaction

a

^distance:

- L'experience d'OERSTEAD (1820) par exemple a mfa en 6viderice l'effetd'l.ll'.i cou:rant electrique sur un aiment:

il

s'agit d'un fi1 conducteur place au-dessus et paralleJement

a

^une

aiguille aimantee posee sur un pivot; Lorsque le fil est parcouru par un courant e!ectrique, l'aiguille s'oriente perpendiculairement au fi1 et le sens de }'orientation change avec celui du courant (figl ):

<

^f.

<'

.,

.N ... ~

fig1: Experience d'Oersted

L.ELARROUM

p6/74

. I

-

D'autres experiences ont mis en evidence l'action d'un aimant (d'un cha..111p magnetique) sur un courant:

Le conducteur mobile parcouru par un courant I, place au voisinage d'un aimant. se deplace

a

droite ou

a

gauche suivant le sens de I (fig2).

Conducteur mobile

"l·

^·--··

I

Fig2,

I

Aiman E

K

Comrne en electrostatique, les effets magnetiques peuvent etre decrits, dans la region ou ils se manifestent,

a

l' aide d'une grandeur (Champs magnetique ), fonction de 1' endroit choisi lndependamment de sa source.

1-2- Champs magnetique cree par une charge electrigue ponctuelle en mouvement:

L'experience montre qu'une chargeq animee d'une vitesse V cree en tout point M( r) de l'espace un champs magnetique:

Ou µ0=1.26 10-6 Him : permeabilite magnetique du vide :

- -

Le module de

B

^est

B

LBLARROUM

µo -1 o-7 ^(s.r)

4n

q VSi: a avec a == (V, -; )

r

p7/74

I I

Son sens est tel que

(s ' ^{V ' ; )}

fonnent un triedre direct:

p (q) ^V _~·

f>tvf = r7

~

l .

0 B : c 1an1ps cree en 1v1

L'unite de Ben (S.I) est Tesla (T). Dans le systeme CGS c'est le Gauss (G):

lG=I0-4 T.

A

partir du flux (d~=Bds), on definit l'unite de B : Weber/m2 (Wbm.,2).

Ordre de grandeur de quelques champs magnetiques:

-Champs magnetique terrestre:

Composante Horizontale ~0.2 G

=

2 10.:5 T Composante verticale ~ 0.4 G

=

4 10-5 T ., Electro~aimant dans

I'

^{entrefer: 0 .1}

a

^{2 T.}

- Bobine supraconductrice:

5 Bo t:

I.3-Action d'un champs magnetique sur une charge en mouvement:

a) Loi de la place:

Une charge ponctuelle q en mouvement avec une vitesse V dans un champ magnetique Best soumise entre autre

a

une force magnetique:

- + - ...

F=qVAB

LELARROUM

^{p8/74 '}

b) Force electromagnetique entre deux charges ponctuelles en mouvement:

Une charge electrique q₁ en mouvement cree en tout point de i' espace un champs electromagnetique

(El'

^{BJ ) :}

-

B ,(r)= µoq. V1~,r

• 4Jr ^I .l

Elle exerce alors sur une autre charge q ₂ en mouvement avec une Vitesse V_{2 :}

• Une force electrostatique ( q₂ supposee fixe)

Et une force magnetique (de Laplace: q₂ est en mouvement dans B_{1 ):}

Cette force est nulle : (Fl2) rn == 0 Si q2 est fixe soit V ₂

=

0,

Ou qi est fixe soit Vi

=

0 C.a.d Bi=O,

Ou // B₁ en effet dans ce cas on a V₂ I\ B₁ = 0 D'apres le principe de superposition,

la force globale que q₁ exerce sur q₂ (Force de Lorentz) est:

Remarques:

1) Les forces electrostatiques obeissent au principe de l'action et dela reaction:

,➔

1 qq2r12

4Jr6

➔

L.ELARROUM

r

I

I

p9/74

2) En generale les forces magnetiques n'obeissent pas au principe de

r

action et reaction (a cause des produits vectoriels), sauf dans le cas ou

r; =

V₂ (sens, module et direction) . 3) De maniere generale, si une particule q de vitesse Vest soumise

a

^{un champs}

electromagnetique

(£

₁^{, B}₁ ^{} ,} quelque soit sa source, al ors .cette particule est soumise

a

^{la force}

de Lorentz

I-4- Loi de Biot et Savart:

a)Champ magnetique cree par des courants stationnaires caracterise par la densite .J:

Le vecteur densite de courant est J=pm V

Ou Pm est la densite volumique cl.es charges en mouvemenLavec une vitesse moyenne. V.

Pm

i-

p. p etant la densite volumique totale qui est egale le plus souvent

a

^zero.

Le courant electrique

a

travers une surface est la charge electrique totale qui la traverse par unite de temps.

Si on suppose que toutes les charges mobiles se deplace~t avec une vitesse moyenne V alors Jes charges qui traversent /::,, S pendant un temps 6, t sont ceux contenues dans le volume de du cylindre de base I'!... S et de generatrice V 1:::,, t (fig3 ): ·

L.ELARROUM

d'C VAt·

~s _V

fig3

---- ^dS

/1 q

pl0/74

On appelle regime permanent ou stationnaire, les situations

ou

les repartitions de charges et les courants sont independants du temps,

On obtient des courants permanents

a

l'aide des generateurs qui obligent les charges

a

circuler.

Soit une distribution volumique de charges en mouvement avec la vitesse V, une charge elementaire dq= pd1: peut

etre

consideree comme une charge ponctuelle

mobile avec la vitesse V

J

M

dq cree alors. en un point M un champs magnetique:

- ^--

Le champs magnetique cree par toutes Jes charges contenues dans le volwne 't est:

dT

L.ELARR OlJJ\1

pll/74

b) Cas d'un circuit filiforme:

Un fil conducteur a des dimensions transversales negligeables: d1: d1

I

dl

dB··

d l

a

le meme sens que I

- - - -

dB ^{= µo} J

^I\

r ^{dr = µo} J

^I\

r ^dl

4Jr r3 ^4.1r r3

=µ

⁰

p f7 ~; ^dl=Adq f7 /\; ^di

4JZ"

m

r:) ^4Jr dl r3

µ dq dtAf° ^µ di/\r

= - 0 _

- - - d l = - O J - - -

47Z" di dt r3 ^4n- r3

dq dq en effet d ^r: = dl (fil) et p = - = -

m

dr dl

Le champs magneµque cree par le fil conducteur ( c) est :

( - ^{B ,} - ^{dl , r l -} '

^{forme un}

^triedre

^direct.

L.ELARROUM

pl2/74

C- Application

a

^{un fiJ} rectiligne:

.Fil de longueur fini:

N:M=a

N

t.:n element d I en un point P du fil cree en tout point M un chainps inagnetique elementaire:

-

Perpendiculaire au plan ( dl, r) dont le sens est donne par la regle du tire bouchon de Maxwell:

« Le Bouchon progresse dans le sens du courant, par rotation par la main droite dans le sens des lignes de champs >)

dB µOT d~

sin8 ==

for ~os. ^{~(! a ;}

4n-

r

4n-

a

L.ELARROUM pl3/74

.Fil rectiligne indefinie Pour un fil indefini on a :

7 j6. _..,.

~

f [ · _. ~ • I )

~

^{\ \}

\ \ I ; ;

~

lignes de champs sont

I-5" Theoreme d'ampere:

B~ I

27l'a

cercles

2

« La circulation du champ magnetique le long d'une courbe fennee rest egale au produit µ₀ par la somme algebrique des courants Ii qui traversent toute surface S s'appuyant sur

r

^)>

"

^{l l}

^I 1:~/1

^-+

₎ ⁽

/ 1.5

\

I I

\

f

_.,,.

dS=dSr.

_,,. I

Un courant ~ 0 s'il a le meme sens que n. Ii< 0 s'il est de sens contraire

a

^n.

1₅ ne trav·erse pas la surface S choisit s'appuyant sur (

r ).

L.ELARROUM pl4/74

Dans le cas d'une distribution volumique de courant de densite J :

- _J·dS -

Application:fil rectiligne indefinie

I l /'\

l•~

= B2rra ^{en effet} - B-/ / -· dl

cb. / _{~ <}

! \ B2Jra ^{= µof} (theoreme d' Ampere)

: ( r )

I

Soit B ⁼ µ

^{0 ]}

2TCa

I-6-Potentiel vecteur du champs magnetigue:

a)definition:

On a vu que pour une distribution volumique de courant c~acterisee par une densite J

...

M

r - - 1

or = -

orad (-)

b

r

µ - - I

B =--4 ° m. ^j

^I\

grad (-. )dz-

1[

r

L.ELARROUM

- J

I - - - 1 -

Rot (-) - Rot (J _T )+ f!rad c.::.)"

J

O r

- r

j ne depend que des coordonnees de P, les derivations se font par rapport aux

coordonnees, de M. Done Rot

(J

¹=

0

Dou

5/74

I _i

Ii ~

A

est le potentiel vecteur magnetique.

b) Cas particulier:

*

Pour une charge ponctuelle q

animee

d'une vitesse V:

- Jdl

* Pour un courant filifom1e: j

= -. -

dT

En magnetisme le potentiel vecteur

-

A joue un role analogue

a

celui du potentiel scalaire en electrostatique.

I-

7- Action des champs magnetigues sur les courants:

I-7-1-Cas d't1n circuit electrigu: place dans un chamns _ a) Charge volumique de densite j placee dans un champ magnetique B : Chaque element de charge dq se deplac;ant

a

^{vitesse V} est soumis

a

^{une force}

La

den.site volumique de force est

dF=J/\B

di-

Le sens et la direction de dF sont donnes par la regle de la main droite : j · (Courant) : pouce

·.:..

'fJ (Champs) : Indexe dF(Force) : Majeur

L.ELARROUM p16/74

b) Conducteur filiforme:

-,.

dF

I

dl

-

^B

I-7-2 Interaction de deux circuits:

Chaque element dl contient une qm se depiace

a

^{vitesse V} et qui est soumise

a

^une

force:

- - dq - - ....

dF=dqV /\.B=-dtV 1,B=IdlAB dt

Le fil tout entier est soumis

a

une force:

Soient deux circuits (C1) et (C2) parcourus respectivement par des courants 11 et

h

/7

,,

l,f,2 /

-- -_:;;1'

^j

dl2(_ /4

,' /

··",..

.. __ ,,,., (C2)

un point M2 de (C2) chaque element d/₁ de (Ci) cree un champs magnetique

II exerce alors sur (C2) une force elementaire:

L.ELARROUM

pl 7/74

De meme, en w1 point M1 de (Ci) chaque element dl₂ de (C2) cree un champs magnetique:

Ii exerce alors sur (Ci) une force elementaire:

, ~ -;---+ ---..

d- F

₂₁

= ^J

₁

dl

₁ ^A

B

₂

µo 11 dl dl

^{2 A r21}

- l 2 l A 1

41r r ₂₁

::t: _. d2 _r12 ^½'

Done pour les forces magnetiques, le principe de l' action et de la reaction n' est pas satisfait

a

l'echelle elementaire.

Mais clans le cas de courants co11tinues (regimes stationnaires) les actions totales entre circuits fermes obeissent

a

^{l' egalite} de l' action et de la reaction ( ce qui est verifie experimentalement).

I-7-3-Action mntuelle de deux circuits rectilignes indefinis:

-:-t

1

a

----.

M2 ^{. . ~ ...}

. B,

B- B-:- µOIJ ⁷

1 =- 1l = - - - i 2;ra

- - - - µ<J1 -:- µalif2 '"'/

dF;₂ = 1₂dl₂ ^I\ B₁

=

1₂dl₂ A--(-1)

=

_.;__::_..:....::..dl_2; ^e 2 ;ra · 2 ;ra

dF;2

dF;l

- - = - -

=

(force par unite de longueur) dl₂ dl₁ 2:ra:i

Si 1₁ et

h

sont de

memesens,

^{il ya} attraction; Si 11 et I2·sont de sens contraire, il ya repulsion.

µo=4nI

o·

^7; si

I

₁

=h::::1A

et a=lm alors dF = 2

~

^{10-1. · Nim.} Ces valeurs ont servi

a

verifier 1'unite de

· di

l'intensite (L~ampere: A)

L.ELARROUM pl8/74

I·S~ Travail des forces electromagnetiques:

a) Champ propre et champ applique:

Tout element

dl

d'un conducteur ( C) parcouru par un courant I et place dans un champ

-

magnetique applique Ba est soumis

a:

* Une force provenant de i'action du champ exterieur (applique):

dF/J =Id! ^A

*

Une force provenant de

1'

action du champ propre

Br ,

cree par tous elements du circuit autre que

df:

dF =ldl p I\

b)Travail mecanique des forces de Laplaceet flux coupe:

Pour

un circuit rigide (indefom1able ), le travail des interiems est nul ( Ti=0) al ors que celui des forces exterieurs est non nul (Ta:;t:0).

Exemplel: deplacement d'un cadre rectangulaire:

Soit un circuit filiforme rectangulaire (ABCD), parcouru par un courtant I et situe dans un champ magnetique B inhomogene, perpendiculaire au plan ABCD . Supposons B=0

la

ou se trouve CD et non nul et unifonne

a

l' autre extremite. Translatons le cadre de AA' parallelement aux cotes BC et AD:(figure):

Bilan des forces de Laplace:

- - -

F ^AB= I BA ^I\ B;

F ^BC = I CB A. B ;

FAD = I AD I\ B. ;

-

_{FBc .l AA'}

_,,.

t

;:; ^-B'C C

=

I DC AB; Frx II AA';

=

0 car B =

-

0 (par hypotese) Le travail des forces de Laplace se reduit

a

^{celui de}

F,.

18 soit:

- ➔

T =-FAE •AA' ^(il s'oppose au deplacement)

➔ ➔ ➔ ➔ ➔ ➔

. l

I

^;[

:::; -I(BA AB)• AA'= l(AB A.B) • AA¹ I

I .

= J(AA

^{'A AB)•}

13

⁼ J l *a* B (AA'=l et

L.ELARROUM p19/74

l * a est la surface balayee par AB et l * a* B est le fllLx de B

a

^travers cette surface. Ce flux ¢c

=

a" I* Best appele flux coupe par AB !ors de son deplacement

CD c: Flux coµpe c,a.d le flux de B

a

^travers la surface balayee par le ciJ;,Fuit.

C) Theoreme de Maxwell:

« Le travail des forces de Laplace au cours du deplacement d 'un circuit ( C) indefonnable parcouru par un courant constant d'intensite I et place dans un champ magnetique B est egale au produit de I par la variation .6.<D <D₂ <D₁ du flux de B

a

travers le contour constitue par

q~ .

T=l~<P

( <D₂ est le flux de

Ba

travers (C) dans sa position finale et ¢ ₁ est le flux de B

a

travers (C) dans sa position initiale )

L.ELARROlJM ^p20/74

Demonstration:

Considerons les surfaces S l et S2 s'appuyant sur pos1twns et ( C2) du depart et d'arrivee du circuit (C ). Lors de son de.placement ( C) engendre une surface coupee Sc orientee par continuite vers S 1: S 1 +Sc-'-S2 constitue une surface fermee (S)

52

CD f-Jlds

= Jf i

^div(B)dr

⁼

^{0 (B esi}

^a

flux conserv.at~l div(

B)

div( Rot( A)

- - - 0)

Consequence:

travail des forces magnetiques ne depend pas du chemin suivi, done ces forces derivent d'une energie potentielle

➔

=-gradU

➔ -

T ==

F •

di ~gradU• dl =-dU soitT =-&U

T

=

It.ct>= - t.U ⇒ .6.U

=

-ILi<I:>

L'energie potentielle d'interaction relative

a

^{une position} d'un circuit (C) est U

- Jct> .

, ct>

etant le flux de B

a

travers ( C ) dans cette position. Done connaissant ct> dans une position, on peat deduire U. cela necessite le choix de l'origine des energies electromagnetiques, c.a.d que U n'est determinee qu'a une constante arbitraire pres.

L.ELARROlJM

p21/74

•I I

Remarque:

Pendant un deplacement infinitesimal reversible de ( C ), roperateur fournie un travail d'iV oppose au travail dT des forces de Laplace:

dU==dW

=

Regle du flux maximal:

Si on relache le circuit , il se deplacera sous l' effet des forces de Laplace qui foumiront al ors un travail dT positif:

dT = -dU =.Jd<!> ⇒ d<l;J > 0

Le circuit se deplace de fayon

a

ce que le flux de B

a

travers ( C ) soit maximal.

I-9-Inductance propre d'un circuit et inductance mutnelle de deux circuits (Coefficient d'auto-induction):

I-9-1-induction propre:

a

)definition:

Soit un circuit ( C ) parcouru par un courant I, le flux propre ct>p est le flux du champ

- -

magnetique propre BP de ( C)

a

travers la surface s'appuyant sur ( C ). Le champ BP etant proportionnel

a

^{I , de}

^meme

le flux est proportionnel

a

^I.

B

_p ~l ⇒ <P _p ~I

(C)

ct> p

=

LI

. Le coefficient L s'appelle le coefficient d'auto indiction ou inductance propre .. L ne depend que des caracteristiques geometrique de ( C ), son unite est le Henry: [LJ=ft

b) exemples: .

Cas d 'un ~9leno:fde indefini de section S constitue de n spires paf WJ.ite

de

longueur: . n = N / l N: nombre de spires

1:

longueur du solenoYde ( I tres grand (infini)) Bp = nµ₀1 ; Son flux

a

travers une spire est <P₁

=

SBp = Snµ₀1

Le flux

total

est

ct> P = N<P₁ = Nl<P₁

ct> _p

=

LI

}

L.ELARROUM p22/74

I-9-2 Induction mutuelle de deu:x circuits:

Soient (Ci) et (C2) deux circuits parcouru respectivement I; et

h

* 11 cree un champ

B1~

11 Le flux de B1

a

travers C2 est Le flux propre est

*

h

cree un champ Bi~

h

Le :flux de B₂

a

^{travers C}1 est Le flux propre est

*

Le flux

a

^{travers C 1:}

* Le flux

a

^{travers C}2 :

Remarques:

{/}z2

=

B1 S2

=

M:2111

([)11 L1 h

(!)21

=

B2 S1 1'1112

h

$22

=

L2

h

(/)I"" (JJll + (/)21 ;;:: L1 fJ +M12 Ji

<P2

=

<P12 + <P12 L2

h

+lvl:n I1

a) Les inductances entre C1 et C2 ne dependent que de leur position respective, On demontre que 111₁₂=M₂₁=M appelee inductance mutuelle entre les deux circuits

Soit sous forme mat:ricielle:

b) Pour n. circuits:

L.ELARROUM

r©, <D

2

l~.

<P1

=

L1 I; +M/2

$2= L2h+M/i

Li M12

M21

L2

, j\{nl

I

^M112

Matrice inductance

M1n 11

]vf 211.

12

Ln

_/

I

_n

p23/74

C)

*

L'energie potentielle d'interaction de deux circuits est do1U1ee par:

U

=

-l1<P21 = -litP12

=

-IiM12l ²

=

-I2Af:ul1

* Generalisation

a

plusieurs circuits:

A travers Ci le flux envoye par Jes autres circuits Cj (j :;t: i )

est : (f),

I M/

1

; Mi,:

_. coefficient d'inductionmutuelle entre G/et C_{. 1,} /"''

Pour des courants permanents, Penergie potentielle d'interaction de l'ensemble des circuits est obtenue par sommation des interaction deux

a

deux soit:

I 1

U=--_,.,LI

'°"'

^J(J;>. _I ^=--_')L,,L.., " " M I _{l j ,} I _.I

"'-' i . ,;.. i )1Fl

L.ELARROlJM:

^p24/74

I-10- Phenomene d'induction electromagnetique:

I-10-1-Etude experimentale:

Le phenomene d'induction electromagnetique a ete mis en depuis 1831 par Faraday:

Soit ( C) un circuit fem1e ne contenar1t pas de generateur muni d'un galvanometre:

i=O

G

I ~

I \

-1' \

. if) \:)

C

G

Circuit 6xe courant vanable G

• Lorsque (C ) est seul, le galvanometre n'indique pas la presence d'un courant.

• Lorsqu'on deplace un aimant

a

cote de ( le galvanometre detecte

un courant induit i traversant ( C).

• De meme en presence d'un circuit C1 parcouru par un courar1t variable, le galvanometre indique

presence d'un courant induit i .

• Le deplacement d'un circuit C₂ parcouru par un courant fixe 12

a cote

de C, engendre un courant induit i qui traverse C.

Le circuit C est l'induit (darls lequel est cree une f.e.m d'induction).

L'aimant, C1 et C2 sont le.s inducteurs.

Explication: Les inducteurs creent un champ magnetique et les variations du flux de ce champ

a

travers C sont

a

l'origine de cette f.e.m

LELARROUM p25/74

I-10-2-Interpretation theorique:

Dans tousles cas on definit un champ electromoteur d'induction E,,, (champ eiectrique) tel que la f.e.m d'induction est la circulation de Em :

e=! EmdT =HRotEmds (stokes) S:surfaces

¹

apuyantsurC

j(C) J-j

(S)

Considerant un induit mobile par rapport

a

un observateur

lie a

1 'inducteur fixe:•

Tout se passent comme

etant

un circuit C se depla9ant d'une position C₁

a une

position C₂ dans un champ B. Une charge dq portee par d1 est entra1nee avec la vitesse V=dr/dt dans B invariable. Elle est soumise alors

a

la force de Laplace:

dF

=

dqV

/\B

^~dqEm

avec

Em =VA B (

champ electromoteur d¹ induction)

Ainsi dans le cas de deplacement de C dans B, la force electromotrice induite est la circulation de Em:

=f(dl

^A

dF)B =-f<dr ^{Adl)B =} ~f ^d2SB

C dt C dt C dt

d2

SB=

d2<"Pc

⇒

^{e =-}

^!

d2<"Pc

= -

d<"Pc

l

^{dt dt}

d(f;)c e = - - - . dt

d(!) c : Variarion de flux d' induction

a

travers le circuit (flux coupe)

L.ELARROUM

^p26/74

I-10·3 Lois de !'induction:

a) de Faraday:Lorsqu'un circuit ( C) est traverse par un flu.x qui varie dans le temps, quelque soit la cause de cette variation, il est soumis

a

^{une force} electromotrice induite:

b) Loi de Lenz:

e=-d,:P d1

Le sens du courant induit est tel que parses effets electromagnetiques, il s'oppose

a

la cause qui Jui a donne naissance.

I-10~4 Energie electromagnetique:

a) Circuit filiforme unique:

T

...

f

E RJ-e

I

j

^Eidt

0

}:1.\ + 1 dc'P ::::: RI d . 'I. + . ( ^1-, l R.' r + L di dt dt · ,

I

= f

^RI2dt

0

I

_f Lid!

Energie fournie = Energie dissipee +

I. par le generateur par effet joule

energie electromagnetique (Wero) emmagasinee clans L

Wem

!_

Ll² l J(D

2 2

Wern: energie electromagnetique emmagasinee par la bobine.

La self (L) est un reservoir d'energie c.a.d qu'elle absorbe une partie de l'energie du generateur. S'il y' a baisse de tension, la self restitue, confonnement a la loi Lenz, une partie de cette energie pour lutter contre la baisse.

b) Cas

.de d.eux circuits filiformes: .

Soient deux circuits ( C1), ( C2) de resistances Ri et R2, d'inductances Li et L2 et de f.e.m Ei et tel que

a

t=O, I1=Ii=O.

dll +M dl2_

dt dt

Cl C2

L.ELARROUM p27/74

I

I .

,.

L'energie fournie par E₁ pendant dt est:

L'energie foumie par E2 pendarit dt est:

L'energie electromagnetique totale (Wm): dW,,,

=

^L1J₁dl₁ + A11₁dl₂ + L₂I₂dl₂ + MI₂

dl

₁

Dou

En fonction du flux:

Pour deux circuits:

Pour n circuits:

1 , ,

=

^-d[LJ-1 _{2 '} ^{+ LJ·2} _" ^{+ 2kfl,l,]} _{' •}

<D₁

= L,J

1 + MI₂

<P2 = L,12 + ji{Jl

+2Ml/_{2 ]}

L'energie electromagnetique daris le cas de circuit non filiforme:

--> j -

··oo

I I ^I I ^I !

(C)

Wm=

!fff ^A.Jdz-

^{J :} Densite de courant volumique.

A : Potentiel vecteur.

- T.

Integrale etendue

au

·volume total (t ) parcouru par les courants

L.ELARROUM p28/74

CH II: Courant continu et alternatif II.

1 -Gen eralites:

II-1-1-Approximation des regimes quasi stationnaires (A.R.Q.S)

Soit tp

= (

^{ti -} to) le temps de propagation d'un signal electrique

a

travers un systeme electrique SE:

e (to)

Soit T la periode d' evolution dans le temps des sources ( p , j ) des signaux e(t) et s(t) lorsque tp <<Ton a un regime lentement variable

( !'evolution sources r, J dans le temps est suffisanm1ent lent)

Dans

ce

cas on peut admettre que les potentiels et done le champs suivent instantanement ]'evolution des sources. On peut alors calculer potentiels

a

l'aide des rnemes fommles qu'en regime stationnaire, valable

a

chaque instant:

V(A:f ,t)

=-1-Jf I

^{p(P,t) dv}

4 ,7&

0 ^•ofume p M

A(M,t µo

JJT .

^{J(P,t) dv}

47l" lvomme Plvf

Cette approximation est appelee rapproximation des regimes quasi stationnaires (A.R.Q.S), conditionnee par tp << T .Soit (A.R.Q.S) est valable pour des distances r << (11.=CT=C/v)

tp<<T <;::.-=..-::_~-v-... r << (t.=CT=C/v)

Exemple:

1) Circuit electrique de dimensions inferieur

a

lm (r<lm), alimente par un signal de

frequence v, pourra etre etudie clans l'A.R.Q.S si v=lff<<C/r =(3 10⁸ms-¹)/lm

=

3 10⁸Hz v=300Mhz.

La plus parts des circuits electriques usuels ne depassent pas lm. Done l'A.R.Q.S est valable dans la majorite des applications electriques meme en hautes frequences.

2)Cas d'un circuit industriel:

Au (Maroc, France, Belgique .. ) la tension secteur est telle que:'V= 220-230V; v=50Hz r <<C/v = 310⁸/50=6000Km Done

I'

A.R.Q.S est valable pour des dimensions importantes.

Cette distance est bien superieure

a

la plus part des longueurs .des circuits de distribution.

L.ELARRO{JM p29/74

Conclusion:

a) I' A.R.Q.S «Siles dimensions d'un circuit sont petites et 1es variations des signaux sont lentes alors les lois d'electrocinetiques sont encore valables ».

b) Consequence: Dans les circuits electriques usuels les lois d'electrocinetiques (Ohm, Kirchhoff ... ) sont valables en regime variable (altematif) qu'en regime continu.

Il*l-2-Dipoles electrocinetigues:

Toute systeme electrique ne communicant avec l'exterieur que par deux bornes A,B s'appelle dipole electrodnetique:

A

u r

B _ _ _ _ _ __,

Dans le cadre de I' A.R.Q.S le courant quj entre en A est egal a celui qui sort en B.

Le courant est compte positivement s'il va de Avers B (i=iAB).

Nous appellerons tension ( ou difference de potentiel aux bomes du dipole):

U=UAB=VA-VB (VA:potentiel en A et VB: potentiel en Bj.

U est orientee par convention dans le sens oppose

a

^{celui de i (} on dit que le courant decroit les potmtiels)

U=ZAB i (Loi d'Ohm)

L.ELARROUM ^p30/74

I I _!'

II-1-3 Circuit en regime transitoire:

Le regime transitoire est le passage de i=O

a

i=cte, pendant le temps ce passage on a un courant i(t). Pour etudier les differents dipoles concemes on se place dans l' A.R.Q.S.

a- Les composants R-L et C

* Resistance morte R:

* Inductance L: .•

U=VA-VB U(t)= Ri(t)

La variation du

courant

qui traverse L (I==o

a

I entraine la variation du flux magnetique traversant L. L est alors une source de tension de f.e.m induite

e(t) ;:;;; -d{J)/dt=-Ldi(t)ldt: loi de Faraday

Lest done un dipole dont la tension appliquee est

U(t)=-e(t)= Ldi(t)ldt : Loi de Lenz ( e(t) s 'appose

a

U(t))

. L

A -

^i_ ~~

---r-i- u u u ^u L.----.

B U=Liliirlt

*Condensateur C:

.. C'estun dipole dontla tension-estdonnee par:

U(t)

=

q(t)/C avec i(t)

=

dq(t) I dt q

etant

la charge de 1' armature reliee

a

^A

A,._,-.~-.

1 ^,y

^i(t)

= dq(t) .I dt

....L

U.::q{t} C C

6 - ·

~----T

q(t) ^;i::;

J

^{i(t)di ; U(t) =}

~J

^i(t)dt

L.ELARROUM ^{p3 l/74}

Remarque:

Une bobine reelle possede toujours une resistance interne r :

• ^r

De meme un condensateur reel presente une resistance de fuite R due

a

la conductivite non nulle de son dielectrique:

C I ^I

I I

- - El

R

L.ELARROUM

^p32/74

I I

b- Etude d'un dipole R.L.C serie:

Soit un dipole R.L.C serie soumis a une tension u(t)

/

Loi de mail:

La charge q verifie al ors la relation :

Soi

U(t}

=

Ri(t) +

L--·+!L

dt C

or flt) _{\ ,}

=

_dt

U(t) = Rq+ Lq+-q I C L _q+ R _cq ¹ _u(t) ^r-

T oute solution de cette equation differentielle peut se mettre sous forme:

q(t) = ql (t) + q2 (t)

q₁ (t) : Solution generale de Pequation homogene (Sans second membre) (Eq.2):

(Eq.1)

.. 1

Lq+Rq+ cq=O (Eq.2)

q₂(t) : une solutionparticulierede l'eguationcomplete (Eq.

L.ELARROUM p33/74

II-2- Definitions:

II-2-1- Regime continu (DC ou =):

C'est le regime dont le quel toutes les tensions dans un circuit et touts les courants qui le parcourent sontindependants du temps:

Ut)

I

negative}

Rerepteurs:

Le seul recepteur existant en regime etabli continu est la resistance R dont le fonctionnement est

regi

par Ia loi d'Ohm

U=FJ

Ren Ohm(O) - Puissance:

Lorsqu'un recepteur electrique en regime continu est soumis

a

^{la fois}

a

une tension et

a

^un

courant, i1 est le siege d'une dissipation de puissance. On dit alors que la puissance electrique est fournie par la source et consommee par la resistance.

I

I

u

R

R

I

I

Le_ generateur foumi la

puissance P₁

=

UI.

La

resistance re90it la puissance _ Pr

=

UR I.

F; =

P_{1 .} La puissance mise en j eux est :

LELARROUM

P=Ul=Rl² = -

ui

R

p34/74

I

II.2.2. Courant altematif:

a) Grandeur periodique quelconque:

Une grandeur S(t) (courant i(t) OU tension v(t)) est periodique de periode T

(en

seconde ( s)) est telle que :

S(t + T)

=

S(t)

f ___

^l est a reguence e repetition de S(t) exprimee en (Hz) ^{1 f d} T

.Valeur moyenne:

La valeur moycnne de S(t) notee <S> ^est:

] ,.

(S(r))

=

T

J

^S(t)dt

<S> represente la composante continue de S(t) . Valeur efficace:

La valeur efficace ( Seff) de S(t) est :

Remarques:

* C'est la recherche de la puissance dissipee par effet joule due

a

un courant alterna.tif qui

mene a ^la

notion des valeurs efficaces. La formulation des puissances sera la meme en alternatif et en continua condition d'utiliser les valeurs efficaces dans tousles cas

* Les voltmetres et les amperemetres utilises en TP (altematif) nous donnent des valeurs efficaces.

Si i(t) = ~ (t) + i₂ (t) alors < i(t) >=< i₁ (t) > + < i₂ (t) > mais Jeff (t) # 1₁ eff (t) + I _2~0 (t) (Voir TP du transformateur)

m .

. Decomposition en serie de Fourrier d'une grandeur periodique:

Toute grandeur periodique S(t) de periode T, peut etre ecrite sous la forme:

r

⁰⁰

j^! S(t) =

I>ncos(cvi

+ q\) ,,,,o

)

l

^{m, = nco = n}

^2; I

Cette forme s'appelle serie de Fourrier.

I

Le tenne a₀Cos(q:>₀) (n=O) est appele terrne fondamental, Ies autres term.es sont des termes

· · er h · ( -1) 2eme h · ( -2) '

harmomques. 1 armomque n- , , armomque n- ... : · .

L.ELARROUM

^p35/74

b) Courant alternatif:

C'est un courant periodique dont la valeur moyenne est nulle par exemple les courants : Carre :

i(t)

surf

--~-•t

et sinuso'idal:

triangulaire :

i(t)

urf

•· J

-surf

t

i(t) 2 T

(i(t)) = Tl

Cf

^i(t)dt +

f

^i(t)dt)

=

^Tl (surf - surf) ^;;;;c 0

() T .

2

t

Remarque:

Seulement pour le courant sinuso1dal qu'on ale" = '';; ; I pour !es autres courant

w ✓ 2 .

l .f: [ J ^ma, a temat1 s efI ""

Ji .

* Sinusoidal : i(t) = I max cos(cot); T

=

^2,r

OJ

12 = .!,_

rf 11 Cos1 (mt)

= I,!.x

Jr 1 + cos(2mt) =

•ff T max T ,,

0 0 "-

= I!,x

f

^dt

⁼

^I~

T _O 2 T Dou

L.ELA.RROUM

T 2 T

J

^{dt + I max}

f

cos(2mt) dt

T ₀ 2 TD _2

p36/74

]'

I _II

~

~

I

*Carre:

i(t) +/max i(t) =

pour O:;; t 5 -T

2

pour - 5 t T ::::;;T 2

r l;p- =

~ f

^i2(t)dt

0

Dou I eff I ^max

II-3- Courant sinusoYdale ( AC ou ~ ):

Dans un circuit fonctionnant en regime sinusoidal, tous les courants et toutes les tensions dans le circuit sont silmso1daux, de meme pulsation que la source d'alimentation.

II_3_1. Definitions:

· Expression analyfique:

Une grandeur S(t) qui varie sinuso'idalement en fonction du temps avec unc periode Tesl representee par l' expression generale:

. 2;rr

s

^{(t) :;;;;}

srruix

Sm(

T

^{t + (f)) (1)}

Smax Amplitude;

rp phase initiale (iz t

=

0) appelee aussi angle de phase;

(-t+ 2rc (fJ): la phase instantannee.

T

Pour definir une telle grandeur, il suffit de connaitre trois parametres: Smax, T et f Dipole capacitif:

---:t ----II-

I •◄---

_➔

courant est en quadrature Avant par rapport

a

la tension :

11 y a un dephasage

- - -

-

^{(fl I}

.. I

LELARROUM p37/74

b_ frequence ( f ou v) et pulsation (co):

f=v=-1 T

C Valeur crete: •

La plus grande vaJeur d'une grandeur S(t) dans un intervalle de temps specifie est appelee valeur de crete. On la note

S .

Pour une ~deur periodique, l'intervalle est la periode et la valeur de crete est egale

a

l'amplitude: S=Smax. la valeur crete

a

Crete Vcc==2S C _ Valeur moyenne;

1'

(s( )). , t

=

^{1 f2 0,} crs· in (21r - t + (p) 'd t

+

1fr

-

^0, ~'S. m (211: - t

+

^<p )d t

· . T _o T . T _T T

2

T T

l

rl

T ~ 2ff Ti l [ T - 27r 7

= - - -SCos(-t+tp)I + -SCos(-t+cp)J¹

T 27r T

Jo

T 27r · T !..

2

=-

S

[Cos(n-+<p)-Cos(ip)]+

S

[Cos(2.1l"+<p)-Cos(7r +q,)]

. 2r. 21r

= -

2: [Cos(n + <p)-Cos(rp)+Cos(2n:+ cp)-Cos(7r +(fl)]:::: O d Valeur efficace:

pr, ^/1~-

^2:rt

seff.

=VT f S·

^{(t)dt. =}

^✓riS

^{2 Sin2 ( ~ f} +rp)dt ...

I ^2tr

, §2 T

1 - COS 2( - - t + cp)

=1/-I

T dt

V T o 2

~

§21Tdt rcos2(~~t+q,)

l

=

-T

f-:::;-f -;

^dt

=

Q L., Q .., I

• L

J

§2 ^T di

-J-

To2

Remarques:

A· On trouvera lors de !'utilisation des appareils de mesure le terme

« RMS » ¹ ...

--->

«Root-Mean-Square>): Valeur efficace en anglais.

L.ELARROUM

p38i74

B- La notion de valeur efficace est directement liee

a

celle de la puissance moyenne;

J

p(t)- v(t).i(t) -

i'X)

(puissance instantannfr)

l

^{p moy}

^=_!_fT

^{TO i2(t) R dt}

^=J__!_rf

^{RT O i2(t)d1}

⁼

^{I~r R}

12

P =VJ= - (Continu) ;

R . .

pmO)'

=

^{vefi .I~[!}

= ; ( I\

alternatif)

II-3-2-Representation complexe:

a- Definition:

En electronique, on appelle valeur instantanee complexe d'une grandeur sinusoi'dale

~

-

s(t) =

^S

sin( mt+ cp) e,t on la notes ou s

L' expression complexe:

s

= s

ej(wt+((J)

s(t) = S sin( cot+ rp) ➔

^§_

= s

^eJ(wr+rp)

⁼ s ^e

^1rp

^.e

^1@

En regime sinusoYdal, tous les elements du circuit varient avec la meme pulsation, done le terme

J

⁰⁰ est commun

a

la representation de toutes les grandeurs sinusoi'dales du circuit et peut done etre simplifie.

~ Ff!

La grandeur complexe

S =Se

s'appelle le phaseur.

Le phaseur contient la valeur essentielle de la valeur efficace et du dephasage par rapport

a

une origine choisie arbitrairement b-operations elementaires:

Derivation:

d s ~

1,,,

d

1mr • [ · ]

-= =

se ,.

- e =

JOJS ⇒ §_=}OJ§..

dt dt -

Integration:

f -

^{§_dt =}

^{s e e}

^Jrp

^f

^{;o;, dt = -.} ]OJ ^{1 -§_}

⇒

[f ^~dt= J~~]

. ·"

NB : j

=

/2 . (imaginaire pure) J ^~,2 =-¹ 1 '

-/! ..

~=-1=e 2

J .

L.ELARROUM

^p39/74

II-3-3- Representation de Fresnel:

Puisque les phaseurs sont des nombres complexes, i1 est possible de les representer graphiquement dans le plan complexe sous forme de demi droite partant de l'origine si et seulement si ils ont la meme pulsation. Ce mode de representation appele diagramme de Fresnel, permet de mettre en evidence les dephasages relatifs des differentes grandeurs sinusoi'dales et d'effectuer des operations elementaires { addition, soustraction):

Les valeursinstantannees complexes de la tension

T? j(Wl+a) v~ ^{ja J<JJ/}

J.:=r

e

^:=

e e

et du courant i

I

^/(wt+fJJ

= J /fJ /w

¹

'--v-' ' - . , - - '

!::

;l'\ Im

y -

l"'s...

"·

Ont pour diagrnmme de Fresnel:

I

\

_Re

! I

' I ¹

\ / ^I

' " --

^{/ / I}

--..._

-

^{- /}

Remarque:

On appelle dephasage cp la difference entre la phase de la tension et du courant:

<p=a-/3

L'angle cp est

defini a

±2kn (k entier), on le ramenera toujours

a

sa valeur principale comprise dans l'intervalle £-n,+n].

Lorsque cp > 0 on dit que la tension est en avance sur le courant _ Lorsque cp<0 on dit que Ia tension est en retard par apport au courant

si ^{cp =} ± 1t

le

courant et la tension sont en quadrature de phase 2

si rp = 1t le courant et la tension sont en opposition de phase II-4- Impedance et admittance complexe:

II-4-1 Definitions:

L • impedance complexe

Z

d' un dipole en regime permanent sinusoidal est le quotient de

V- ^{j((!)l+a) •}

1- ^)(mt+P) y=

e

^{par !}

= e

V

^{)(itJ!+a) , )a -}

z = e

= _i

_e_ = r ^{= ~ ejfl)}

⁼

^{z ej(fJ}

J

^i((J}l+P) j

i/i ^!..

^I

L.ELARROUM ^p40/74

lZ

⁼

z

^jlp

i-

e

j ~

^{= module mesure en Ohm}

't' le dephasage (argument)

L' admetance complexe est l'inverse de !'impedance:

Y=

1 = -- Z V

La partie reelle de !'impedance complexeest appelee la resistance R du dipole corespondant:

R

=

Re(Z) ~ V cos rp

-

I

partie irnaginaire de 1, est appelee la reactance du dipole correspendant : X Jm(l)

=

V sin rp

Done .1:

pent

s'

ecrire :

Jlf) V ..

Z=Ze

=

1

^{(cosrp+ 1smq.i)}

R =Zcosip X Z sinip Z R + jX avec Z

=

✓

R

² +

x

²

!(f)

=

Arctg X

l R

Le <liagrnmme de Fresnel est le suivant Im

R

L.ELARROUM p41/74

II-4-2 Impedance complexe des dipoles elementaire:

a- Resistance:

La relation en valeurs instantanee v(t)=Ri(t) entre tension et courant dans une resistance R se traduit pour le regime sinusoYdal en valeur complexe par:

f_=Rl ⇒

=

^{= R et rpn == 0}

l

L' impedance d' une resistan_ce est independante de la1'frequence.

L' admettance est YR

= ~ = 2._

- z_R

R

Le diagramme de Fresnel est le suivant

(

- - - . . - · - - . . . . , Re

I

R

b- Inductance L:

Pour L on a la relation en valeur instantannees -v

=

L di qui se traduit pour le regime sinusoidal dt

en valeurscomplexe par V = L ~;

=

L

!!:.,l ⇒ [f. =

jLm£1 dou l'impedance complexe

diriva!Jott

et le dephasage d' une inductance sont donnes par :

iL

= jL@ _et (jJL =

+;-

^1!

"' Elle est purement imaginaire, le diagramme de Fresnel est le suivant:

t

^Jm

I

^JI,w

---+---'-~•-

12

- - ~ Re

L' admettance est Y ^L

= -_ -

1

- - -jL(J)

IZ:L I=

^{L(f) :} Varie lineairement avec la frequence.Ainsi pour une frequence nule ( courant continu)

kL

= 0 Une bobine en contipu se comporte comme un fil (court-circuit), pour une frequenceinfinie, L se comporte

..

com.me un circuit ouvert.

L.ELARROUM p42/74

j

"

C- Condensateur C:

Pour Con a la relation en valeur instantann6es i = dq

=

C - qui se traduit pour le regL:'11.e sinusoid

dt dt

en valeurs complexe par

Y

^-fldt= _{C -}¹ _C ^{1 _ i 1 I ⇒}

j{!} -

;:___,,_., integrario!I

et le dephasage d¹ un condensateur sont donnes par :

V=

jCm

dou

l'impedru1cecomplexe

l ^7r

Z~ =--=-/Cm et

rp

= - -

- c jCco · c 2

Elle est purement imaginaire, diagramme de Fresnel est le suivant.

L'admettanceest Y c

=

}Ceo

l?cl,.

Cl : est inversement proportionnelle

a

la frequence.Ainsi

po~r

^W1e frequence nule (courant

contin

' {!} .

Un condensateur en continu se comporte comme comme un circuit ouvert, pour une frequence infinie, C se o un fil (court~ circuit)

II-5- Lois d'Ohm et de Kirchhoff en regime sinusoidal:

II-5-1- Jes lois (modele complexe) Loid'Ohm:

L'introduction de la notion de !'impedance permet de generaliser la loi d'Ohm en utHisant la notation complexe : ~ =

I 1] . . . . . . .

Comme la loi d' Ohm, toutes les lois d' electricite restent valable dans le modele complexe:

Les Lois de Kirchhoff :

Llk =

0 (loi des noeuds);

k

L.ELARROUM

L

^{[k = 0 (loi} des mailles)

k

p43/74

II·S-2-Impedance {admittances) en serie et parallele:

a) Miseenserie:

I'ampedanceserieestZ,.,

= I

k

1' admettance correspondante est b) Mise en parallel :

X l ----~

X.1

T

1 2 y ^rk:

^1,T

I

r

^.=__p

L'admettanceparalle]eest Y P

=IL;

k

t 1 1 1

.

I' ampedance correspondante est Z - - - · autrement -. -· """" -

- P - Y

p - Ir.' ^{ip -f- lk}

k

C- exemplel:

. .. R .·.

^t·

4-q ..

A-•

- > . , . _ , 1 \ / \ l V \ ~ ... ,-q_·· - - •

B i(t)

C

U(t)

L.ELARROUM

p44/74

=R+jL@+-1

-=R-:-j(L(J)- l

jC(J) C(J)

On obtient obtient le diagramme Fresnel suivant:

Im

Le module ZAB

=

L(J)--1

- Lm

Le dephasage rp est / tgr.p ---'C=OJ=-⇒ ^m

=

Arctg(

R r ".

d~ exemple 2:

a~..._~ ~ L

,__..,c 1

T

b

1 1

·c

¹

·cc

¹

-+--+

J co=-+ J . ^{0 ) -}

R jLw R LOJ

c(I) 1

; Arg(fai,)

=

Arctg(

1 ^Lm)

=

ArctgR(C{J)- 1 R

=- ⇒ l

Lah

Pour les circuits en paralleles, il est preferable de travailler avec les admettances.

L.ELARROlJM

p45/74

II-6- Puissance et facteur de puissance:

II-6-1 Puissance instantanee p(t) en regime sinusoidale : a- Definitions:

p(t)

=

v(t).i(t)

= V

cos((l)t+a)J cos((l)t+ /J)

= !..

vl[cos(2cot +a+ fJ) + cos( a -

fJ)]

2 '--,.,_...!

•

IP

v I

= ✓2 ✓2 ^[cos(q,) + cos(2@t +a+

fJ)]

= J

^efI

Veff [

^{cos( tp) + cos(2mt + a +}

/3)]

=

I effVeffco_s(rp)

⁺

J

q/J

V

~rr cos(20Jt +a+

fJ)

composante constante

Composante

fluctuantede frequence double de celle de i(t) et dev(i) cos(2M + a +

/J) =

cos(2mt + 2a tp)

== cos t:p cos(2mt + 2a) + sin cp sin(2cvt + 2a)

dou:

p(t)

=

V0.ffleff cosip+ ^~if1•1T cosq,cos(2cot

+

2a) + V,₀1eff sin ipsin(2mt

+

2a)

= Ve.ff I •_{0 .} cos cp[l + cos(2mt + 2a)] + V eff J~fT sin cp sin(2mt + 2a)

composante pulsee,

toujours>O

qui ossile ^autour de la

composante alternative, sinusoidale

valeur moyelllle Ve.ff! €f;ff ^cos(fJ.

Traduit un echanged

¹

energie · · unidurectionnel entre une source

d

¹

amplitude Ve.ff] e:ffsinrp,

dont la valeur moyenne est nule.

Traduitun echan°e oscillatoire · et reverssible d

¹

e~rgie

etun charge entre la source et la charge.

L.ELARROUM

^p46/74