CM3 : Le h-principe : préquelle

Moris Hirsch

Vincent Borrelli Institut Camille Jordan - Lyon 1

Le fibré des 1-jets

Définition. – SoitU⊂R^m.L’espace des 1-jets des applications deU dansRⁿest le produit

J¹(U,Rⁿ) =U×Rⁿ× L(R^m,Rⁿ).

Le 1-jet de f ∈C¹(U,Rⁿ)enx est le triplet :

j¹f(x) = (x,f(x),df_x)∈U×Rⁿ× L(R^m,Rⁿ).

Tout choix de coordonnées permet d’identifierJ¹(U,Rⁿ)avec le produit

J¹(U,Rⁿ)≈U×Rⁿ×(Rⁿ× · · · ×Rⁿ) et le 1-jetj¹f(x)avec

j¹f(x)≈

x,f(x), ∂f

∂x₁(x),· · · , ∂f

∂xm

(x)

.

Définition. – Soientp:X −→Mun fibré, unesectiondeX est une applicationσ :M−→X telle quep◦σ =id_M.L’espace des sectionsC^r deX est notéΓ^r(X).

Définition. – Soientp:X −→Mun fibré vectoriel,x ∈Met

σ₁, σ₂:U−→X deux sectionsC¹au dessus d’un voisinage trivialisant U dex.On dit queσ₁etσ₂sontéquivalentes en x si, dans un système de coordonnées, elles ont la même valeur et les mêmes dérivées enx.

Une classe d’équivalence sous cette relation est appelée unjet d’ordre 1 en x. L’espace des 1-jets est notéX⁽¹⁾.

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Le fibré des 1-jets

Le 1-jet d’une section (locale)σenx est le couple j¹σ(x) = (σ(x),dσ_x)

oùdσx :TxM −→T_σ(x)X.L’espace des1-jets des sections localesde X est l’espace

X⁽¹⁾={(y,L)|y ∈X,L∈ L(T_xM,T_yX)etdp_y◦L=id_TxM} etx =p(y).

Remarques.– 1) Sip:M×N −→Mest le fibré trivial, une section σ :M−→M×N s’écritσ(x) = (x,f(x))avecf ∈C¹(M,N).Le 1-jet de σ s’identifie au triplet(x,f(x),df_x).Dans ce cas l’espace des 1-jets des sections deps’identifie à

J¹(M,N) ={(x,y,L)|x ∈M, y ∈N,L∈ L(T_xM,T_yN)}.

qui est appelé l’espace des 1-jets des applications deM dansN.

2) La projection naturelle

p¹: X⁽¹⁾ −→ X (y,L) 7−→ y

définit une structure de fibré, la fibre au dessus dey étant (p¹)⁻¹(y) ={L∈ L(T_xM,TyX)|dpy◦L=id_TxM} oùx =p(y).

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Relations différentielles, h-principe

Définition.– SoitX −→M^mune fibration. Unerelation différentielle d’ordre 1 portant sur les sectionsΓ(X)de classeC¹est un

sous-ensembleRde l’espace des 1-jetsX⁽¹⁾.

Exemple 1.– Un système d’équations aux dérivées partielles Φ

x,f(x), ∂f

∂x₁(x), ..., ∂f

∂x_m(x)

=0

oùx ∈U⊂R^m,f :U ⊂R^m−→RⁿetΦ :J¹(U,Rⁿ)−→R^q définit naturellement une relation différentielleR:

R={(x,y,v₁, ...,v_m)|Φ(x,y,v₁, ...,v_m) =0}.

IciX est le fibré trivialU×Rⁿ−→UetX⁽¹⁾=J¹(U,Rⁿ).

Exemple 2.– SoitX =S¹×R².Une applicationγ :S¹−→R²est une immersion si pour toutx ∈S¹on aγ⁰(x)6=0.Cette condition définit une relation différentielle

R=S¹×R²×R²\ {(0,0)} ⊂X⁽¹⁾=S¹×R²×R². Exemple 3.– SoitX =M^m×Nⁿ−→M^m.On dit quef :M^m−→Nⁿ est une immersion si, en tout pointp∈M^m,on arg dfp=m.Cette condition définit une relation différentielle

R={(x,y,Lx,y)|Lx,y ∈ Mono(TxM,TyN)} ⊂X⁽¹⁾=J¹(M,N).

où on a notéMono(T_xM,T_yN)l’espace vectoriel des

monomorphismes (=applications linéaires injectives) deTxM dans T_yN.

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Relations différentielles, h-principe

Exemple 4.– SoitX = Λ^pT^∗M^m −→M^m.La condition de fermeture desp-formes différentiellesα∈Ω^p(M^m)

dα=0

définit naturellement une relation différentielleR ⊂X⁽¹⁾.

Notation.– SoitX −→M^mun fibré, on noteΓ^r(X)l’espace des sectionC^r deX.Sif ∈Γ¹(X),on noteJ : Γ¹(X)−→Γ⁰(X⁽¹⁾) l’application qui àf ∈Γ¹(X)associe son 1-jetj¹f.

Définition.– Tout élémentσ∈Γ(R)est appelésolution formelledeR.

On dit qu’une solution formelleσestholonomes’il existef ∈Γ¹(X) telle queσ=j¹f.Une telle sectionf est ditesolution de la relation différentielleR.On noteSol(R)l’espace des solutions deR.

Les espacesSol(R)etΓ(R)sont munis de la topologie des

compacts-ouverts, autrement dit, de la topologie de la convergence uniforme des sections et de leurs dérivées sur les compacts deM^m. Définition. – Une relation différentielleRsatisfait auh-principesi pour toute sectionσ∈Γ(R),il existe une homotopie de sections σt ∈Γ(R)telle queσ₀=σetσ₁∈J(Sol(R))(i. e. il existef :M →N telle quej¹f =σ₁∈Γ(R)).

Cette définition équivaut à demander que l’applicationJ induise une surjection au niveau duπ0:π0(J) :π0(Sol(R))π0(Γ(R)).

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Relations différentielles, h-principe

Définition. – Une relation différentielleRsatisfait auh-principe 1-paramétriquesiRsatisfait auh-principe et si pour toute famille de sectionsσ_t ∈Γ(R)telle queσ₀=j¹f₀etσ₁=j¹f₁,il existe une homotopieH : [0,1]²→Γ(R)telle que :

H(0,t) =σ_t, H(s,0) =σ₀, H(s,1) =σ₁, etH(1,t) =j¹f_t.

Deux exemples oùRne satisfait pas au h-principe 1-paramétrique.

Définition.– Une applicationf : (X,x)−→(Y,y)entre deux espaces topologiques est uneéquivalence d’homotopie faiblesi elle induit un isomorphisme au niveau de tous les groupes d’homotopie i. e.

∀k ∈N, π_k(f) :π_k(X,x)'π_k(Y,y).

Sik =0,il faut comprendre quef induit une bijection entre lesπ₀. Définition. – Une relation différentielleRsatisfait auh-principe paramétriquesiJ :Sol(R)→Γ(R)est une équivalence d’homotopie faible.

La relationRsatisfait au h-principe paramétrique.

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Exemples de h-principe - Le théorème de Hirsch

Théorème.–La relation différentielle des immersions du cercle dans Rⁿ, n≥2, satisfait au h-principe paramétrique.

Le théorème de Smale suggère que la relation différentielle des immersions de la sphèreS²dansR³satisfait auh-principe

1-paramétrique. Cette intuition est confirmée et généralisée par le théorème suivant.

Théorème de Hirsch, 1959 (avec le point de vue Gromov, 1971). – Soient M^m et Nⁿdeux variétés. On suppose que m<n ou, si m=n, que M est ouverte. Alors, la relation différentielle des immersionsI satisfait au h-principe paramétrique.

Rappel.– Une variété est diteferméesi elle est compacte sans bord, elle est diteouvertesi aucune de ses composantes connexes n’est fermée. Une variété connexe dont le bord est non vide est ouverte.

Le théorème de Hirsch implique le théorème de Smale :

Théorème de Smale, 1957 (rappel).–L’espace I(S²,R³)est connexe par arcs.

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Exemples de h-principe - Le théorème de Hirsch

En effet, puisqueI satisfait auh-principe,

J :I(S²,R³)−→Γ(I) =Mono(TS²,TR³) induit une bijection au niveau duπ0.On montre ensuite que

π₀Mono(TS²,TR³)≈π₂Gl₊(3,R)

au moyen d’un calcul homotopique qui est techniquement un peu délicat car l’espace tangentTS²n’est pas trivial. On ne le fera donc pas ici. Le groupeGl+(3,R)se rétracte surSO(3)(Gram-Schmidt) doncπ₂Gl₊(3,R) =π₂SO(3).PuisqueS³est le revêtement universel deSO(3)on en déduitπ2SO(3) ={0}.Ainsi, l’espaceI(S²,R³)ne possède qu’une composante connexe et deux immersions

quelconques sont donc toujours régulièrement homotopes.

Une applicationf : (M^m,g) ^C

1

−→E^q = (R^q,h., .i)est diteisométriquesi f^∗h., .i=g.

Pour une telle application

Long(f ◦γ) =Long(γ)

pour toutγ :I−→^C1 M^m.On noteI_iso la relation différentielle des immersions isométriques deM^mdansE^q :

I_iso ={(x,y,Lx,y)∈J¹(M^m,E^q)|Lx,y ∈Mono_iso((TxM,gx);E^q)}.

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Exemples de h-principe - Le théorème de Nash-Kuiper

Théorème (Nash-Kuiper 54-55, Gromov 86). –Soient(M^m,g)une variété riemannienne quelconque etE^q = (R^q,h., .i)un espace

euclidien tel que q >m.Alors, la relation différentielle des immersions isométriquesI_iso de M^m dansE^qsatisfait au h-principe paramétrique.

De plus, si f₀: (Mⁿ,g)−→E^qest un plongement strictement court (i. e. f^∗h., .i<g) alors pour tout:M^m−→R^∗+il existe un plongement C¹isométrique f : (Mⁿ,g)−→E^qtel que

∀x ∈M^m, kf(x)−f₀(x)k ≤(x).

Cette dernière propriété s’appelle laC⁰-densité. Notons au passage que toute immersion est régulièrement homotope à une immersion courte.

Corollaire 1.–SoitΛun réseau deE². Il existe un plongement isométrique C¹du tore platE²/ΛdansE³.

Rappelons qu’unréseauΛdeRⁿ est un sous-groupe discret deRⁿ pour l’addition, tel que le sous-espace vectoriel engendré parΛsoit égal àRⁿ. Il existe alors une famille de vecteurs(e₁, ...,e_n)deRⁿtel queΛ =Ze₁+...+Ze_n.On appelletore plattout quotientE²/ΛoùΛ est un réseau deR².

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Exemples de h-principe - Le théorème de Nash-Kuiper

Démonstration du corollaire 1.– NotonsT²=E²/Λ.PuisqueI_iso satisfait auh-principe paramétrique, l’inclusion

J :I_iso(T²,E³)−→Γ(I_iso) =Mono_iso(TT²,TE³) induit une bijection au niveau duπ₀.Il suffit donc de montrer que Γ(I_iso)n’est pas vide. Le toreT²est évidemment parallélisable et donc

I_iso =T²×R³×Mono_iso(E²,E³) =T²×R³×V_2,3^o.n.

oùV_2,3^o.n.≈SO(3)est la variété de Stiefel des 2-repères orthonormés E³.En effet, si(v₁,v₂)est une base orthonormée globale deTT²alors la flèche

Mono_iso(E²,E³) −→ V_2,3^o.n.

L 7−→ (L(v₁),L(v₂)) permet d’identifier les deux espaces. En particulier

Γ(I_iso) =C⁰(T²,R³×SO(3))

Exemples de h-principe - Le théorème de Nash-Kuiper

Corollaire 2.–On peut retourner la sphèreS²parmi les immersions isométriques C¹.

paramétrique, l’inclusion

J :I_iso(S²,E³)−→Γ(I_iso) =Mono_iso(TS²,TE³)

induit une bijection au niveau duπ₀.Un calcul homotopique analogue à celui des immersions de la sphère montre que

π₀Mono_iso(TS²,TE³)≈π₂SO(3) ={0}.

Ainsi l’espaceI_iso(S²,E³)ne possède qu’une composante connexe et deux immersions isométriques quelconques sont donc toujours

régulièrement homotopes parmi les immersions isométriques.

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Exemples de h-principe - Le théorème de Nash-Kuiper

Corollaire 2.–On peut retourner la sphèreS²parmi les immersions isométriques C¹.

Démonstration du corollaire 2.– PuisqueI_iso satisfait auh-principe paramétrique, l’inclusion

J :I_iso(S²,E³)−→Γ(I_iso) =Mono_iso(TS²,TE³)

induit une bijection au niveau duπ₀.Un calcul homotopique analogue à celui des immersions de la sphère montre que

π0Mono_iso(TS²,TE³)≈π2SO(3) ={0}.

Ainsi l’espaceI_iso(S²,E³)ne possède qu’une composante connexe et deux immersions isométriques quelconques sont donc toujours

régulièrement homotopes parmi les immersions isométriques.

Exemples de h-principe - Le théorème de Nash-Kuiper

Corollaire 3.–Il existe un plongement C¹-isométrique de la sphère unité deR³dans une boule de rayon arbitrairement petit.

résultat deC⁰-densité du théorème de Nash-Kuiper. Soit 0<r <1 le rayon de la boule à l’arrivée, l’application

f₀: S²(1) −→ B³(r)

p 7−→ r

3p

est un plongement court. Donc, il existe un plongementC¹isométrique f :S²(1)−→E³tel quekf −f₀k ≤ ₃^r ce qui implique que

f(S²(1))⊂B³(r).

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Exemples de h-principe - Le théorème de Nash-Kuiper

Corollaire 3.–Il existe un plongement C¹-isométrique de la sphère unité deR³dans une boule de rayon arbitrairement petit.

Démonstration du corollaire 3.– Il s’agit d’une application du résultat deC⁰-densité du théorème de Nash-Kuiper. Soit 0<r <1 le rayon de la boule à l’arrivée, l’application

f₀: S²(1) −→ B³(r)

p 7−→ r

3p

est un plongement court. Donc, il existe un plongementC¹isométrique f :S²(1)−→E³tel quekf −f₀k ≤ ^r₃ ce qui implique que

f(S²(1))⊂B³(r).

symplectique

Définition.– Une 2-formeβ ∈Ω²(M²ⁿ)est ditenon dégénéréesi, en tout pointx ∈M²ⁿ,on aβ_xⁿ6=0.Elle est ditesymplectique si de plus dβ =0.

SoientE =T^∗MetR₀la relation différentielle définie sur l’espace des 1-jets du fibréE :

R₀={κ∈E⁽¹⁾|(dκ)ⁿ6=0}.

Ainsi, toute solutionα∈Ω¹(M) = Γ(T^∗M)deR₀fournit une 2-forme ω =dαqui est non dégénérée et qui vérifiedω=0 par construction, c’est donc une forme symplectique.

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Exemples de h-principe - Existence d’une forme symplectique

Théorème (Gromov 1969).–Si M²ⁿest une variété ouverte, alors la relation différentielleR₀⊂E⁽¹⁾ satisfait au h-principe paramétrique.

Corollaire. –Soit M²ⁿune variété ouverte. Alors, elle admet une forme symplectique si et seulement si elle admet une 2-forme non dégénérée.

symplectique

Démonstration du corollaire.Ici, il serait naturel de choisir X ={(x, β)∈Λ²T^∗M|β ∈Λ²T_x^∗M βⁿ 6=0}

le fibré des formes bilinéaires antisymétriques non dégénérées, et R={κ∈X⁽¹⁾ |dκ=0}.

Pourtant leh-principe porte sur la relation

R₀={κ∈E⁽¹⁾|(dκ)ⁿ 6=0}...

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Exemples de h-principe - Existence d’une forme symplectique

Le lien entreE⁽¹⁾etΛ²T^∗M est le suivant. Siα:=Pm

k=1a_idx_i est une 1-forme, ici écrite en coordonnées, alors son 1-jet en un pointx ∈M²ⁿ s’identifie à la donnée du pointx et dem²+mnombres :

j¹α(x) = (x,a₁, ...,am,a₁₁, ...,amm) oùa_ij = ^∂a_∂aⁱ

j etm=2n.La différentielle extérieure deαest une application linéaire sur ces nombres :

dαx =X

i<j

(a_ij −a_ji)dx_i∧dx_j.

symplectique

Par conséquent, la différentielle extérieure induit une application d : E⁽¹⁾ −→ Λ²T^∗M

κ 7−→ dκ

et qui s’écrit en coordonnées

κ= (x, κ₁, ..., κ_m, κ₁₁, ..., κ_mm)−→dκ= (x,X

i<j

(κ_ij−κ_ji)dx_i∧dx_j).

Cette application est surjective, c’est en fait une fibration (affine) avec d⁻¹(x,X

i<j

b_ijdx_i∧dx_j) ={(x, κ_i, κ_ij)|κ_ij −κ_ji =b_ij}.

En particulier, les espacesE⁽¹⁾etΛ²T^∗Msont homotopiquement équivalents.

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Exemples de h-principe - Existence d’une forme symplectique

Notons queR₀=d⁻¹(X)et qued :R₀−→X est la restriction au dessus deX de la fibrationd :E⁽¹⁾−→Λ²T^∗M.

AinsiR₀etX sont homotopiquement équivalents et il en est de même deΓ(R₀)etΓ(X).

OrΓ(X)est non vide si et seulement siM²ⁿ admet une 2-forme non dégénérée. PuisqueR₀satisfait auh-principe,Sol(R₀)est non vide si et seulement siM²ⁿadmet une 2-forme non dégénérée.

symplectique

Observations.– 1) Il existe des versions plus élaborées où l’on impose la classe de cohomologie de la forme symplectique.

2) Il existe aussi des versions en géométrie de contact.

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Exemples de h-principe -Théorème de Lohkamp

Soientα∈RetMⁿest une variété compacteC^∞.On noteM(Mⁿ) l’espace des métriques surMⁿ, puisRicci^<α(Mⁿ)(resp.Scal^<α(Mⁿ)) le sous-espace des métriques dont la courbure de RicciRicci(g)(resp.

la courbure scalaireScal(g)) est en tout point plus strictement petite queα.

Théorème de Lohkamp (1995).–Soientα ∈R,(Mⁿ,g₀)une variété riemannienne compacte de dimension n ≥3, alors g₀est homotope à une métrique g telle que Ricci(g)< α.En fait, les relations

différentielles

Ricci(g)< α et Scal(g)< α

sur l’espace des 2-jets des métriques satisfont au h-principe

paramétrique. De plus, Ricci^<α(Mⁿ)et Scal^<α(Mⁿ)sont C⁰-denses dansM(Mⁿ).

•En particulier, sin≥3, la contrainteRicci(g)<0 n’imposerien sur la topologie de la variété...

•La dernière phrase du théorème signifie que toute métrique sur Mⁿcompacte,n≥3,peut être approchéeC⁰(mais pasC¹) par des métriques à courbure de Ricci négative ; par exemple la métrique usuelle deSⁿ...

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