A213 Combien de polyglottes dans la salle ?
Solution
Soient :
- A,B et C les nombres respectifs de francophones, germanophones et anglophones, - x,y,z les nombres respectifs de ceux qui parlent le français et l’allemand, le français et
l’anglais, l’anglais et l’allemand.
D’après les observations du statisticien, on a les inégalités suivantes :
5xA3y 7zB8x 13yC19z
On ne peut pas avoir simultanément 5x=3y, 7z=8x et 13y=19z.
La recherche du nombre de participants minimal est donc à faire parmi les trois systèmes d’équations :
5x=3y-1, 7z=8x et 13y=19z. x=91, y=152 et z=104 5x=3y, 7z=8x-1 et 13y=19z. x=57, y=95 et z=65
5x=3y, 7z=8x et 13y=19z-1. x=21, y=35 et z=24
C’est donc le dernier système d’équations qui donne les plus petites valeurs de x, y et z et par conséquent celles de A, B et C :
x=21, y=35 et z=24 A=105, B=168 et C=455
Soit p le nombre de polyglottes parlant les trois langues. Il est facile de vérifier à l’aide d’un diagramme de Venn que l’effectif global de l’amphithéâtre est N= 648 +p
N se décompose de la manière suivante :
49 + p qui sont exclusivement francophones,
123 + p qui sont exclusivement germanophones,
396 + p qui sont exclusivement anglophones,
21 – p qui sont exclusivement francophones et germanophones,
35 - p qui sont exclusivement francophones et anglophones,
24 – p qui sont exclusivement anglophones et germanophones,
p qui parlent les trois langues.
La valeur de p qui minimise N est p=0. Il n’y a donc pas de polyglottes parlant les trois langues dans l’amphithéâtre et N=648.
