La Mélancholie de Dürer
Solution proposée par Pierre Renfer QUESTION 1
On considère les carrés magiques comme des matrices 4x4 Soit M
a i,j un carré magique de Dürer.Pour toute case a i,j, il existe une transformation de G qui applique la case a1,1 sur la case a i,j. Il existe autant de transformations de G appliquant a1,1 sur a i,j que de tansformations de G laissant fixe la case a1,1.
En effet si f est une tranformation particulière appliquant a1,1 sur a i,j, les autres sont les tranformations gfh, où hf1g est une transformation laissant a1,1 fixe.
L’ordre du groupe G est donc égal à 16 fois le nombre de transformations laissant a1,1 fixe.
Soit H le sous-groupe de G des transformations laissant a1,1 fixe.
H contient autant de transformations conservant les cases a1,4 et a4,1 que de tansformations échangeant les cases a1,4 et a4,1.
Parmi les premières, on dénombre l’identité et les trois involutions T, T’ et T'T. Le sous-groupe H est donc d’ordre 8 et le groupe G d’ordre 16x8128.
QUESTION 2
1) Linéarisation du problème
Soit
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1 U
Pour un carré magique de Dürer M, on définit : N2M17U
La matrice N est alors un carré magique de somme nulle, utilisant comme coefficients tous les entiers impairs compris entre 15 et 15 .
Et dans N les coefficients symétriques par rapport au centre du carré sont des nombres opposés.
Soit F l’ensemble de tous les carrés magiques 4x4, à coefficients réels non nécessairement entiers et non nécéssairement distincts, avec des coefficients symétriques opposés.
Alors F est un espace vectoriel sur R.
Soient A, B, C, D les quatre matrices de F suivantes :
1 1 0 0
1 1 0 0
0 0 1 1
0 0 1 1
A
0 0 1 1
0 0 1 1
1 1 0 0
1 1 0 0
B
0 0 0 0
1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
C
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0
0 1 1 0 D
On calcule la combinaison linéaire NaAbBcCdD :
a d
a d
b b
c a d c a d c b c b
c b d c b d c a c a
b d
b d
a a
N
Si cette combinaison linéaire est nulle, alors : abcd0 Les quatre vecteurs sont donc libres.
On va montrer qu’ils sont générateurs de F :
Soit matrice N
n i,j une matrice quelconque de F.On considère la matrice PNn1,1An4,1B
La matrice P est de la forme :
0 0
0 0
p
P i,j
Puis on considère la matrice QPp2,1Cp1,2D
La matrice Q est de la forme :
0 0 0 0
0 x x 0
0 x x 0
0 0 0 0
0 0 0 0
0 0
0 0
0 0 0 0
Q
La somme des coefficients de la troisième colonne est nulle. Donc x0 et Q0 La matrice N est donc bien combinaison linéaire des vecteurs A, B, C, D.
Pour la matrice de la « Mélancholie » de Dürer
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
13 2 3 16
M , on obtient par exemple :
D 4 C 8 B 9 A 15 15 11
13 9
7 3 5 1
1 5
3 7
9 13 11 15
U 17 M 2
N
2) Retour au problème
Soir M une matrice de Dürer utilisant les entiers de 1 à 16.
Pour N2M17U, on peut en appliquant une transformation de G se ramener à :
1 , 2 1 3,
3 , 1 2 , 1
1 , 4 4 , 1
1 , 1
n n
n n
n n
15 n
La matrice M est alors la seule matrice de sa classe à vérifier ces inégalités.
Si l’on écrit
a d
a d
b b
c a d c a d c b c b
c b d c b d c a c a
b d
b d
a a
N , ces conditions s’écrivent :
2 13 c b
2 17 d b
13 b 1
15 a
Par ailleurs c et d sont pairs et b est impairs et :
13 c 15 n
13 d b n
1 , 2
3 ,
1
On obtient donc les encadrements :
2 2 c
13 b
2 17 d b
13 b
L’encadrement de d implique
2 17 13 b
b , c’est-à-dire : b9
Il reste à chercher à la main ou à l’aide d’un petit programme informatique, les triplets (b, c, d) vérifiant les inégalités ci-dessus, tels que soit réalisée l’égalité ensembliste suivante :
ad , b-d ,b, 15d , 15cd , bc-d , bc
1,3,5,7,6,11,13
.On trouve trois triplets solutions et donc trois classes de carrés magiques de Dürer :
8 d
2 c
3 b
15 7
11 3
13 5 9 1
1 9
5 13
3 11 7 15 N
1 12 14 7
15 6 4 9
8 13 11 2
10 3 5 16 M
8 d
4 c
5 b
15 7
13 5
11 3 9 1
1 9
3 11
5 13 7 15 N
1 12 15 6
14 7 4 9
8 13 10 3
11 2 5 16 M
4 d
8 c
9 b
15 11
13 9
7 3 5 1
1 5
3 7
9 13 11 15
N
1 14 15 4
12 7 6 9
8 11 10 5
11 2 3 16 M
On reconnaît le carré de la « Mélancholie » comme représentant de la dernière classe.
