Modes de vibration

1 Introduction

Nous utiliserons ici un système masses-ressorts pour mettre en évidence le phénomène de modes normaux. En eet, on verra que ce système présente un nombre ni de façons de vibrer avec grande amplitude. Le terme mode normal signie que si on excite le système dans un mode propre, l'excitation ne pourra pas exciter un autre mode. Les fréquences de ces modes normaux dépendent des masses et des ressorts utilisés de même que des conditions aux limites.

Nous verrons aussi que lorsque le système est excité à une fréquence correspondant à un de ses modes propres, ce dernier entrera en résonance avec la source d'excitation. C'est par cette observation qu'il sera possible de déterminer les modes normaux du système. Une fois les fréquences des modes propres déterminées, nous pourrons tracer la relation de dispersion du système étudié. En utilisant des masses identiques ou des masses alternées le long de la chaine, nous mettrons en évidence le concept de branches acoustique et optique dans la relation de dispersion.

Bien que relativement simple, ce système décrit très bien ce qui se passe dans la nature, où l'on peut faire l'approximation que les atomes sont reliés entre eux par des ressorts. La spectroscopie infrarouge, la diusion Raman et la diusion des neutrons sont les techniques expérimentales permettant de déterminer les constantes de force entre les atomes (aussi bien pour les gaz, les liquides et les solides).

2 Théorie

2.1 La chaine linéaire homogène

M

X_n+3 X_n+2

X_n+1 X

a

n-1 X_n

M M M M

Figure 1: Chaine linéaire homogène.

Soient :

Xn : la coordonnée de la n^ième masseM

a: la distance entre les masses à l'équilibre (paramètre du réseau) Un : le déplacement de la n^ième masse par rapport à sa position d'équilibre

C : la constante de rappel des ressorts On a donc :

Xn−1 = (n−1)a+Un−1

X_n = na+U_n

X_n+1 = (n+ 1)a+U_n+1

L'équation du mouvement s'écrit : Md²X_n

d²t =C[(X_n+1−X_n)−(X_n−Xn−1)]

Md²Un

d²t =C[Un+1+Un−1−2Un] (1) qui a comme solution pour un mode donné :

Un(t) =U_k h

e^ikna−e^−ikna i

e^{−i(ωkt+φ)} (2) Reportant dans (1) on obtient :

ω= 2 rC

M sin ka

2

(3)

Les conditions de frontières UN+1 =U0 = 0 impliquent quek(N+ 1)a=mπ, avec : m= 1,2, 3, ... N : le mode de vibration observé

N : nombre de masses dans la chaine (N=5) L= (N + 1)a: la longueur de la chaine

L'expression (3) s'appelle la relation de dispersion .

a L π

π

k (m )

(r ad /s ) ω

m=1

0

modes propres observables relation de dispersion

m=2

m=3

m=4

m=5

Figure 2: Relation de dispersion d'une chaîne linéaire homogène de 5 masses égales reliées par des ressorts identiques.

LesU_kcorrespondent à l'amplitude de vibration associée au mode correspondant au vecteur d'ondek. Remarquer que le fait d'attacher les masses ensemble nous fait passer d'un système de 5 masses indépendantes ayant toutes la même fréquence naturelle de vibration à un système possédant un spectre de cinq fréquences diérentes.

La relation (2) donne pour chaque valeur dek (chaque valeur dem correspond à un mode) l'amplitude relative du mouvement des diérentes masses. Représentons quelques modes :

m=1 m=2

m=3

L

Figure 3: Trois premiers modes de vibration d'une chaîne de 5 masses identiques.

2.2 La chaine linéaire inhomogène (masses alternées)

M

d

V₀ V₁

1 U₁

1 1

U₂ 2

U₃ V₂

2

V₃

M M M M

Figure 4: Chaine linéaire inhomogène.

Soient :

U_n : le déplacement de la n^ième masseM₁ par rapport à sa position d'équilibre.

V_n : le déplacement de la n^ième masseM₂ par rapport à sa position d'équilibre.

d: paramètre du réseau (distance à l'équilibre entre deux masses identiques),d= 2a.

De la même façon que précédemment, on montre que les équations du mouvement sont : M₁d²U_n

d²t =C[V_n+Vn−1−2U_n] (4) M₂d²V_n

d²t =C[U_n+1+U_n−2V_n] (5) On pose les solutions oscillantes :

Un(t) =Uk

h

e^iknd−e^−iknd i

e^−iωkt (6)

Vn(t) =V_k h

e^iknd−e^−iknd i

e^−iωkt (7)

Portant dans (6) et (7) dans (4) et (5), on trouve :

−M₁ω²U_k =Ch

V_k+V_ke^−ikd−2U_ki

(8)

−M₂ω²V_k=Ch

U_k+U_ke^+ikd−2V_ki

(9)

avec les contraintes : V0 =VN+1 = 0, on a quekL=mπ où m= 1, 2, ..., mmax (mmax est le nombre de mailles = L/d).

An qu'une solution aux deux dernières équations existe, le déterminant suivant doit être nul. "

−M1ω²

C + 2 −1−e^−ikd

−1−e^{ikd −M}_C^2ω2 + 2

#

= 0 (10)

Donc :

M1M2ω⁴

C² − 2 (M1+M2)ω²

C + 4 sin² kd

2

= 0 (11)

d'où on tire la relation de dispersion :

ω²= C(M₁+M₂) M1M2

±C

"

M₁+M₂ M1M2

2

− 4 M1M2

sin² kd

2 #1/2

(12)

On constate ici que pour chaque valeur dek permise par les conditions de frontières sur les solutions (6) et (7) correspondent deux fréquences de résonance (puisqu'il y a deux masses dans une cellule unité de dimension d. La fréquence la plus basse correspond au cas où les masses M₁ etM₂ se déplacent en phase dans la cellule unité, la fréquence la plus élevée, en antiphase.

Pour une chaine de 5 masses →k=mπ/L m= 1, 2, 3.

(m )1

k ⁻

(rad/s)ω

0 π L π d

m=1 m=1

m=2 m=2

m=3 m=3 modes propres observables

relation de dispersion

branche acoustique branche optique

Figure 5: Relation de dispersion pour une chaine inhomogène de 5 masses alternant deux masses M₁ etM₂ et des ressorts identiques.

On nomme la branche supérieure branche optique par analogie avec un système d'atomes + - + - + - excité par le champ électrique d'une onde électromagnétique (les atomes de signe opposé oscillent en contre-phase). La branche inférieure se nomme branche acoustique par analogie aux systèmes ayant des vibrations acoustiques de grande longueur d'onde. Dans la limiteM₁ =M₂ =M, la relation de dispersion (12) devient :

ω²= 2C M

1±cos

kd 2

(13) Cette dernière nous donne le graphique suivant :

π

ω

d

π k

d

2 π

d

Figure 6: Relation de dispersion pour des masses identiques.

On voit que la branche supérieure est la projection symétrique de la partie comprise entre π/det2π/ddans la première zone de Brillouin (−π/d≤k≤π/d).

Note : Pour une chaine discrète d'oscillateurs, les congurations des masses dans les modesk₁etk₁+2π/dsont identiques (voir illustrations dans French).

Comparant les gures 5 et 6, on remarque qu'en k = π/d, un gap s'ouvre dans le cas des masses alternées, contrairement au cas des masses identiques.

Question : Que signie ce gap ? Que se passe-t-il si on tente d'exciter le système à une fréquence située dans le gap ?

3 Partie expérimentale

Partie I : Mesures préliminaires

Note : Faire attention de ne pas trop étirer les ressorts. Cela risquerait des les endommager de façon permanente.

1. Mesurer C, la constante de rappel des ressorts par une méthode statique et aussi par une méthode dynamique. Quelle méthode devrait être la plus précise ? Utiliser le résultat de l'annexe A pour obtenir la bonne valeur selon la méthode dynamique de la constante de rappel et comparer avec la valeur du fournisseur qui est de 6.8 N/m.

2. Mesurer la masse des charriots et le paramètre du réseau.

Partie II : 5 masses identiques

Note : Il y a deux façons de produire des oscillations linéaires au laboratoire : utiliser une table traçante avec un générateur de fonctions ou utiliser un moteur linéaire utilisant le signal amplié d'un générateur de fonctions.

Dans le second cas, on ne doit pas dépasser une tension de 0.6 V pour ne pas endommager le moteur de façon permanente.

générateur Instek 2120MA

diodes zener 6.5 V

moteur linéaire

bobine aimant néodyme

roulement à billes sortie (max 0.6 V)

sortie amplifiée (max 6.5V)

Figure 7: Utilisation d'un moteur linéaire à induction.

1. Mesurer la fréquence de résonance des diérents modes.

2. Comparer aux fréquences calculées.

3. Tracer la relation de dispersionω vs k.

Partie III : 5 Masses alternées (2 petites et 3 grosses) 1. Refaire les étapes 1 à 3 de la partie II.

2. Expliquer le mouvement des charriots dans les diérents modes par un schéma ap- proprié.

3. Que se passe-t-il si on utilise 3 petites masses et deux grosses masses ?

Calcul d'erreur : Présenter tous vos résultats avec leurs marges d'incertitude et évaluer l'erreur sur les résultats découlant de calculs.

Références

[1] French A.P. Vibrations and waves. 1971.

[2] Kittel C. Introduction to Solid State Physics. Wiley, 2005.

[3] Runk R.B. Stullo J.L. Anderson L. A laboratory linear analog for lattice dynamics. American Journal of Physics, 31 :915, 1963.

[4] Crawford F. S. Ondes (Berkeley vol. 3). Dunod, 1999.

décembre 2017

Annexe A : Eet de la masse du ressort sur sa constante de rappel

La masse eective d'un ressort idéal dans un système masse ressort vaut 1/3 de la masse du ressort. On peut prouver cela en étudiant l'énergie cinétique du ressort. Il faut additionner toutes les contributions étendues sur la longueur du ressort en eectuant l'intégrale suivante :

T = ˆ

m

1 2u²dm u : vitesse de l'élément de masse dm

Comme le ressort est uniforme, dm= dy

L

moù L est la longueur du ressort. Donc :

T = ˆ _L

0

1 2u²

dy L

m

= 1 2

m L

ˆ _L

0

u²dy

La vitesse d'un élément de masse du ressort est proportionnel à sa position (y), c'est-à-dire : u= ^vy_L, ce qui mène à :

T = 1 2

m L

ˆ _L

0

vy L

2

dy

= 1 2

m L³v²

ˆ _L

0

y²dy

= 1 2

m L³v²

y³ 3

L

0

= 1 2

m 3v²

En comparant ce résultat avec l'énergie cinétique attendue : ¹₂mv², on conclut que la masse eective du ressort est bien m/3. Regardons maintenant les forces en jeu :

Force de rappel du ressort :−kx

Force de gravité sur le ressort :−^mg₂ (en étirant le ressort d'une distancex, son centre de gravité s'est déplacé de x/2 donc son énergie potentielle estmgx/2)

Force de gravité sur la masse au bout du ressort :−M g

L'équation du mouvement peut donc s'écrire : m

3 +M

¨

x=−kx−mg 2 −M g

Le point d'équilibre est donné par l'endroit où l'accélération est nulle : xeq =−1

k mg

2 +M g

On dénit x¯=x−x_eq et l'équation du mouvement prend la forme : m

3 +M

x¨¯=−k¯x

On reconnait ici l'équation d'un oscillateur harmonique de masse ^m₃ +M

. La période d'oscillation sera donnée par :

τ = 2π

M+m/3 k

1/2