Exercices : 04 - Ondes, diﬀusion

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Exercices : 04 - Ondes, diffusion

A. G´ en´ eralit´ es

1. Caract´erisation d’une onde plane

Une onde mécanique monochromatique de fréquence f = 5 Hz est représentée en un point M de l’espace par l’expression complexeψ(~r, t) =Aexpi(ωt−φ(~r)),~rétant le vecteur position situantM dans un repèreOxyz.

1. Quelle est sa surface d’onde lorsqueφ(~r) = 3x+ 4y+ 5z?

2. Déterminer la célérité de propagation de cette onde ainsi que sa longueur d’onde.

3. Donner l’expression de cette mˆeme onde lorsqu’elle se propage dans une direction normale `a l’axeOyen faisant un angle de 30^◦avec l’axeOz.

2. Vitesse de phase et vitesse de groupe

On étudie une onde plane progressive monochromatique représentée par la notation complexe :f =f0expi(ωt−

~k·~r) dans laquelle la pulsation et le vecteur d’onde v´erifient l’´equation de dispersion :k²= ω²−ω₀²

c² o`ucest la vitesse de la lumi`ere dans le vide etω0une certaine constante positive.

1. D´eterminer la vitesse de phase et la vitesse de groupe.

2. Vérifier la conformité avec la théorie de la relativité restreinte d’Einstein.

3. Tracer les courbes donnant ces deux vitesses en fonction de la pulsationω.

3. Onde de Sine-Gordon

Un système physique est caractérisé par une fonction sans dimensionψ(x, t), des variables espacexet tempst, qui satisfait à l’équation différentielle suivante appelée équation de Sine-Gordon :

∂²ψ

∂x² − 1 c²

∂²ψ

∂t² = sinψ λ²

où c et λ sont des constantes ; le soliton est la réalité décrite par la solution de cette équation différentielle.

Un soliton est une onde particulière qui profite des non-linéarités du milieu dans lequel il se propage pour ne pas être affecté par exemple d’un amortissement. Ce phénomène relativement rare a toutefois été observé dès le 19^`êmesiècle.

1. Quelles sont les dimensions physiques decet λ?

2. Chercher une solution approchée de l’équation précédente de la forme : ψ(x, t) = ǫcos(ωt−kx) avec ǫ≪1. En déduire la relation entrek etω.

3. Repr´esenter les ´evolutions de la vitesse de phase et de la vitesse de groupe en fonction de la pulsationω.

B. Ondes ´ electromagn´ etiques

4. Ondes dans une ligne électrique, impédance caractéristique

b bb

u(x, t) u(x+dx, t)

b b

dL

bb

dC Une ligne électrique à constantes réparties est modélisée comme sur la figure

ci-contre, un élément de longueur dxde ligne comportant une inductance propre dL= Λdxet une capacité dC= Γdx. L’ensemble est parcouru par des courants harmoniques de pulsationω. On notei(x, t) eti(x+dx, t) les intensités dans la ligne aux abscisses respectivesxet x+dx. L’impédance totale de la ligne situéeau-delàde l’abscissex, vue depuis le point d’abscisse x, sera doncZl(x) = u(x)

i(x). On notera encorec= 1

√ΛΓ etZ0= rΛ

Γ.

1. ´Ecrire les relations diff´erentielles entreuet i.

2. ´Etablir l’´equation de propagation.

3. Vérifier que les solutions de l’équation de propagation peuvent être mises sous la forme suivante : i=i0expi(ωt−kx) +i1expi(ωt+kx) et u=ρi0expi(ωt−kx)−ρi1expi(ωt+kx) Calculer ρ et la vitesse de propagation des signaux dans la ligne. Que représentent chacun des deux termes présents dans les expressions deiet u?

(2)

4. L’extrémité de la ligne de longueurdest fermée sur une impédanceZ. Calculeri(x, t) etu(x, t) en fonction dei0,ρ,Z,ω,ket d.

5. Calculer Zl(x). Pour quelle valeur particulière de Z, appelée impédance caractéristique, Zl(x) est-elle indépendante dex? Dans ce cas, que peut-on observer dans les expressions dei(x, t) etu(x, t) ?

Correcteurs : GC13

5. Etude d’une ligne ´´ electrique, un autre point de vue

b bb

b b

dL

bb

dC Une ligne électrique à constantes réparties est modélisée comme sur la figure ci-contre,

un élément de longueur dx de ligne comportant une inductance propre dL = Λdx et une capacité dC = Γdx. L’ensemble est parcouru par des courants harmoniques de pulsation ω; on notera en particulier u(x) exp (jωt) la tension aux bornes de la ligne, et i(x) exp (jωt) le courant dans celle-ci, à l’abscissex. L’impédance totale de la ligne situéeau-delàde l’abscissex, vue depuis le point d’abscissex, sera doncZl(x) =u(x)

i(x). On notera encorec= 1

√ΛΓ etZ0= rΛ

Γ.

1. Établir l’équation différentielle (E1) du premier ordre vérifiée parZl(x). À quelle conditionZl(x) est-elle indépendante dex? Commenter.

2. Sans nécessairement résoudre (E1), établir, en considérant par exemple un diviseur de tension, une

équation différentielle (E2) du second ordre vérifiée paru(x). Résoudre, commenter.

Correcteurs : GC13

6. Transmission de l’influx nerveux

Cette transmission est associée à la propagation d’une onde électrique le long de l’axone qui est modélisé par un cylindre infini de rayonadont une portion infinitésimale dxest représentée par le schéma de la figure 1.

I(x, t)

V(x, t)

b b

dR

I(x+ dx, t)

bb

dC

bbbb bbbb

V(x+ dx, t)

E_Na^◦ dGNa

E_K^◦ dGK

Figure1 – Mod`ele d’un axone La r´esistance axiale est dR= 1

κ dx

πa² oùκest la conductivité électrique de l’axone. En première approximation, l’impédance transmembranaire se compose d’une capacité dC =γ2πadxoù γ est la capacité surfacique de la membrane, placée en parallèle avec un ensemble de canaux ioniques. Chaque canal ionique est caractérisé par sa conductance dGNA =gNa2πadxet dGK=gK2πadxainsi que par la force électromotriceE_Na^◦ etE_K^◦ de la pile qui modélise son potentiel transmembranaire en l’absence de courant. On pose g=gNa+gK. On suppose que l’axone occupe l’espacex∈[0,+∞].

1. Établir l’équation différentielle :

λ² τ

∂²v

∂x² = ∂v

∂t +v τ o`u on a pos´eλ =

raκ

2g et τ = γ

g, v la diff´erence de potentiel transmembranaire telle que v = V + gNaE_Na^◦ +gKE_K^◦

gNa+gK

. Expliquer physiquement la forme de l’´equation d´efinissantv en fonction deV.

2. Supposons qu’enx= 0, l’axone subit une excitation électrique permanente de la formev0(t) =A0cosωt avecA0>0. On recherche alors une solution particulière de l’équation différentielle sous forme complexe v=Aexpi(kx−ωt). Tester cette forme de solution et en déduire une relation liantketω.

(3)

3. Exprimerk(ω) dans les deux casτ ω ≪1 etτ ω≫1.

4. On posek=k^′+ik^′′. Préciser la conséquence de l’existence dek^′′. Discuter le signe dek^′′. Quelle est la conséquence sur la transmission de l’influx nerveux sur de longues distances ?

Il s’avère que le modèle linéaire précédent ne rend pas bien compte de la propagation de l’influx nerveux.

En considérant certaines spécificités du comportement électriques des canaux ioniques, et notamment du fait que la conductance des canaux à sodium dépend du potentiel auquel elle est soumise, l’équation différentielle vérifiée par le potentiel transmembranaire devient :

λ² τ

∂²v

∂x² = ∂v

∂t +H(v)

τ et H(v) =v(v a−1)(v

b −1) o`uaet bsont des constantes positives.

5. Préciser la dimension deaetb. À Quelle condition retrouve-t-on l’équation de la partie précédente ? 6. On souhaite déterminer si l’équation admet des solutions propagatives de la formev(x, t) =F(Y) avec

Y =αx−βt. Pour des raisons d’ordre dimensionnel, nous nous proposons d’adopterα= 1/λetβ = 1/τ. Etablir l’´equation diff´erentielle dont´ F est solution.

7. On pose enfinw =F/b et s=b/a. Établir finalement que l’équation différentielle dontw est solution s’écrit :

d²w dY² +dw

dY =sw³−(1 +s)w²+w 8. `A quelle condition portant surset Kla fonction :

w(Y) = 1 1 + expKY

est-elle solution de l’équation différentielle précédente ? Déterminer alorsK ets.

9. Repr´esenter graphiquement la fonctionw=w(Y) en supposantK >0.

10. Tracer, sur un même graphe la variation spatiale de la différence de potentiel v(x, t) pour trois dates fixéest1< t2< t3. Commenter.

Correcteurs : GC12

7. Quelques consid´erations sur les vagues

On jette un objet ponctuel dans l’eau à un instant pris comme origine du temps. Cela engendre un ensemble d’ondes de vecteur d’onde de valeur k variant de 0 à l’infini. Pour une valeur de k donnée à dk près, l’onde correspond à une variation dδk de la hauteur de la surface de la forme :

dδk(r, t) =a(k) cosϕkdk o`u ϕk(r, t) =k r−ω(k)t

en notantrla distance au point de chute. La relation de dispersion donneω(k) eta(k) est l’amplitude du mode kque l’on n’aura jamais à déterminer (sa dépendance avecrn’est pas analysée). Les ondes sont toutes en phase

à l’origine : la phase ϕk est prise nulle pour r = 0 et t = 0 (moment et lieu de l’impact). On suppose que l’équation d’ondes à la surface de l’eau est linéaire.

1. Justifier que la hauteur de la surfaceδ(r, t) ne dépend spatialement que der. Écrire explicitementδ(r, t) sous forme intégrale.

2. Le théorème de la phase stationnaire (donné ici sous une forme très simplifiée) s’énonce comme suit : quand on somme un grand nombre de sinuso¨ıdes dont la phase dépend d’un paramètre, alors ne contri- buent quasiment dans cette somme que les termes de phase stationnaire. Interpréter qualitativement ce résultat. En déduire qu’à une distanceret après un tempstdonnés, les ondes correspondant aux diverses valeurs de k interfèrent destructivement sauf au voisinage d’une seule valeur de vecteur d’onde k(r, t) définie parr=vg(k)t.

3. Quelle est la seule forme envisageable pour la relation de dispersion sachant que les seules grandeurs physiques intervenant sontk,ω,ρ(masse volumique de l’eau) etg(accélération de la pesanteur), l’eau étant assez profonde pour négliger le rôle de sa profondeur ? On admet que le facteur numérique adimensionné

´eventuel est l’unit´e (correct en ordre de grandeur). Calculer la vitesse de groupe.

4. Représenter qualitativement la perturbation de la surface à un instanttdonné.

5. Montrer qu’on peut alors définir sans ambigu¨ıté en chaque point et à chaque instant une phase de l’onde Φ(r, t). Montrer explicitement que Φ(r, t) =−g t²/(4r).

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6. Montrer que les crˆetes observables v´erifient Φ(r, t) = cte et donner les valeurs possibles de cette constante.

En déduire que les crêtes se propagent selon un mouvement uniformément accéléré.

7. Calculer la longueur d’ondeλ(r, t) observable en (r, t). On poseλ(r+ ∆r, t) =λ(r, t) + ∆λ la longueur d’onde observable en (r+ ∆r, t). En comparant ∆ret ∆λ, définir un rayon critiquerc(t) au-delà duquel les crêtes de l’onde ne sont plus perceptibles.

Correcteurs : GC08

C. Cordes vibrantes

8. Corde de clavecin

Une corde de clavecin représentée sur la figure 2 de masse liné¨ıqueµ est tendue avec une force T entre deux points distants dea. On caractérise les petits mouvements transversaux de la corde par la fonction y(x, t), y

étant l’élongation à la date t de l’élément de corde d’abscisse x. Le mouvement de la corde est régi par une

´equation diff´erentielle de la forme :

∂²y

∂x² − 1 v²

∂²y

∂t² = 0 v=T^αµ^β

x y

Figure 2 – Corde de clavecin 1. D´eterminerαetβ.

2. On cherche des solutions de la formey(x, t) =X(x)T(t). Donner l’expression générale de ces solutions et décrire les mouvements correspondants.

3. La corde est abandonn´ee sans vitesse initiale ; on aura donc ∂y

∂t(x, t= 0) = 0 et y(x,0) =f(x) oùf est une fonction connue. Montrer qu’une solution possible de l’équation différentielle est :

y(x, t) =

∞

X

n=1

αnsin nπx

a cos

nπvt

a

o`u on exprimera lesαn en fonction def(x).

4. La corde (de clavecin) est initialement pincée en son milieu d’une hauteurh; combien y a-t-il d’harmoniques dont l’amplitude est supérieure à 1% de l’amplitude du fondamental ?

5. Établir l’équation du mouvement pour le déplacement y(x, t) de l’élément de corde d’abscisse x. On négligera le poids, et on fera l’hypothèse que les déplacements transversaux de la corde sont faibles. On montrera dans un premier temps que la relation de la dynamique appliquée à un élément de corde compris entre les abscissesxet x+dxpeut s’écrire :

µdx ∂²x

∂t²~ex+∂²y

∂t²~ey

=T~(x+dx)−T~(x) puis que la projection de cette relation sur l’axeOy donne :

µdx∂²y

∂t² =T(sinα(x+dx)−sinα(x))

o`uα(x) est l’angle que fait la corde avec l’axeOx `a l’abscissex. On conclura en utilisant le fait que les angles sont petits et en justifiant que sinα(x)≈

∂y

∂x

x

.

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x y

x x+ dx ^b

b

T(x+ dx, t)

T(x, t)

α(x, t)

Figure3 – Corde vibrante Correcteurs : GC14

9. Ondes transverses dans une corde vibrante

On étudie (fig. 3) les oscillations transverses d’une corde élastique tendue, de masse linéiqueλ. Au repos, cette corde est confondue avec l’axe (Ox). On étudie des oscillations dans le plan (Oxy) en négligeant le poids. À l’instantt, on noteT(x, t) la tension de la corde à l’abscissexetα(x, t) l’angle fait par la corde avec l’axe (Ox).

On supposera|α(x, t)| ≪π. Les oscillations d’un brin de corde d’abscissexsont d´ecrites pary(x, t).

1. Relierα(x, t) et une d´eriv´ee dey(x, t).

Par projection du principe fondamental de la dynamique, montrer queT(x, t) ne dépend pas dex. Cette force est donc égale à la tensionT0imposée à la corde à ses deux extrémités ; on la supposera indépendante du temps dans la suite.

2. Quelles sont l’unit´e de mesure et l’interpr´etation physique de la grandeurf(x, t) =−T0

∂y

∂x? Mˆemes questions pour la grandeurp(x, t) =−T0

∂y

∂x

∂y

∂t. 3. Montrer l’´equation de propagation∂²y

∂t² =c²∂²y

∂x² et établir l’expression decen fonction deλetT0. Quelle est la forme générale des solutions de cette équation ?

4. On noteǫc(x, t) = 1 2λ

∂y

∂t 2

etǫp(x, t) =1 2T0

∂y

∂x 2

. Dans quelles unit´es se mesurent ces grandeurs ? Montrer une relation simple entre ∂p

∂x, ∂ǫc

∂t et ∂ǫp

∂t . Proposer une interpr´etation physique.

5. On consid`ere une onde transverse de repr´esentation complexey(x, t) =y0exp [i(ωt−kx)], aveck >0.

Exprimerket les valeurs moyenneshpi,hǫciethǫpi. En déduire une expression de la vitesse de transport de l’énergie mécanique le long de la corde ; commenter.

Correcteurs : GC03

10. Propagation en présence d’une force extérieure magnétique

On étudie les petits mouvements dans la direction ascendante~ez d’une corde métallique de longueurL, fixée en ses deux extrémités d’abscisses x = 0 et x = L. On néglige la pesanteur. La corde est parcourue par un courant d’intensitéI =I0cosωt (orienté dans le sens des xcroissants) et plongée dans un champ magnétique B~ =B0sin (πx/L)~ey. On note F la tension de la corde etµsa masse linéique.

1. Montrer que le déplacementz(x, t) d’un point de la corde est solution de l’équation aux dérivées partielles :

∂²z

∂t² −c² ∂²z

∂x² =Asin (πx/L) cosωt oùcetA sont à préciser.

2. En régime sinuso¨ıdal forcé, on cherche une solution de la formez(x, t) =Csin (πx/L) cosωt. Déterminer C pourω6=πc/L. Que se passe-t-il lorsqueω tend versπc/L?

3. En réalité, le champ magnétique est créé par un aimant en U dont l’entrefer a une largeure < Let peut être modélisé par un champ magnétique uniforme B~ = B0~ey pour (L−e)/2 < x < (L+e)/2 et un champ magnétique nul en dehors. On constate alors que le phénomène étudié à la question précédente se produit pour toutes les pulsationsωn=nπc/L. Interpréter brièvement sans calculs.

Correcteurs : GC07

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D. Ondes acoustiques

11. Tuyau sonore

On considère un tuyau sonore, constitué par un cylindre homogène, ouvert à ses deux extrémités. On donne l’expression de la vitesse des ondes sonores dans un gaz considéré comme parfait :

c= rγRT

M

oùγ=cp/cV etM est la masse molaire du gaz dans lequel se propage le son. La fréquence du son que le tuyau peut émettre dans l’air diminue si :

Proposition de r´eponses :

a) On remplace l’air par de l’h´elium.

b) On augmente la temp´erature de la pi`ece.

c) On bouche l’une des extr´emit´es du tuyau.

d) On perce le tuyau `a sa moiti´e.

12. Ondes sonores dans un pavillon acoustique

On consid`ere un pavillon d’ondes acoustiques, d’axe de r´evolution Ox et de section circulaire variableS(x).

La pression dans le fluide a pour expression : p(x, t) =p0− 1 χS(x)

∂(Sψ)

∂x où p0 est la pression moyenne etχ le coefficient de compressibilité isentropique. L’équation différentielle à laquelle satisfait le déplacementψ(x, t) d’une tranche de fluide, comprise entre xet x+dx est : ∂

∂x 1

S

∂(Sψ)

∂x

= 1 v²

∂²ψ

∂t² o`u v² = 1/ρχ, ρ´etant la masse volumique de l’air. La sectionS(x) varie selon :S(x) =S0expαx. Voir la figure 4.

x

bO x x+dx

S(x)

Figure4 – Cor d’harmonie et la mod´elisation de son pavillon acoustique

1. Par une analyse dimensionnelle portant sur le produitρχ, justifier l’expression de la céléritév des ondes acoustiques.

2. Chercher des solutions de la forme complexe :ψ(x, t) =Aexpi(ωt−kx).

3. Montrer qu’il existe une pulsation de coupureωcen de¸c`a de laquelle il n’y a pas de propagation. Exprimer ωc en fonction de vet α.

4. Un cor d’harmonie comporte notamment un tuyau, appelé pavillon, de diamètre minimaldmin= 12 mm et qui s’évase jusqu’à un diamètre de sortiedmax= 31 mm. Sans pavillon, le cor n’émet pas grand chose de bien audible dans les basses fréquences ; c’est ce pavillon qui améliore l’émission et on peut choisir de le calibrer pour qu’il permette le rayonnement des ondes de fréquences supérieures à νp = 120 Hz.

D´eterminer la longueur du tuyau du pavillon du cor d’harmonie.

Correcteurs : GC06

13. Ondes acoustiques dans un cristal, influence des types d’atomes

On décrit un modèle de cristal cubique comme un alignement d’atomes le long d’un axe (Ox). Les atomes sont, au repos, disposés régulièrement aux abscisses x⁰_p = pa (p ∈ Z) ; on étudie ici des ondes mécaniques longitudinales au cours desquelles l’atome d’ordrepacquiert une positionxp(t) =x⁰_p+up(t).

On notemla masse commune à tous les atomes ; de plus, l’atome numérokest soumis à une interaction poten- tielle avec le reste du réseau cristallin qu’on décrit par l’énergie potentielleUk=Uk1+Uk2 formée de la somme de deux termes, l’un d’interaction avec les deux plus proches voisins,Uk1 =mω0²

[uk−uk+1]²+ [uk−uk−1]² 2

tandis que l’autre d´ecrit l’interaction avec le reste du r´eseau cristallin,Uk2=mω²1

2 u²_k.

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1. Par application du principe fondamental de la dynamique, d´eterminer d²uk

dt² = ¨uk en fonction de uk, uk+1,uk−1et de ω0et ω1 : c’est l’´equation (E).

2. Pour cette question seulement, on néglige le terme enω1, mais on ne fait aucune hypothèse particulière relative à la grandeura. On cherche des solutions de (E) sous la formeuk =u0exp [i(ωt−kϕ)].

(a) Montrer une relation entreω,ω0etϕ. Quel est l’intervalle de fr´equence permis pour ce type d’ondes ? (b) Quelle est la signification de la grandeurK=ϕ/a? Mˆeme question pourV =ω/K.

(c) La relation qui donne ω = ω(K) est périodique. Montrer qu’on peut, sans perte de généralité, se restreindre à l’étude d’une demi-période de cette fonction, c’est-à-dire à l’intervalleK∈[0, Kmax].

(d) On consid`ere une onde de compression telle queK∼Kmax. Quelle est la relation entre les mouvements de deux atomes adjacents ? De quel type d’onde s’agit-il ?

(e) On considère au contraire une onde de compression telle que K ≪ Kmax. Quelle est la vitesse de propagation de l’onde ? Quelle est la vitesse de propagation de l’énergie associée à l’onde ?

3. Pour cette question et la suivante, on ne néglige plus le terme enω1, mais on suppose quea≪λoùλ désigne la longueur d’onde de l’onde de compression étudiée. Cette hypothèse permet de considérer que les déplacementsuk des divers atomes sont bien décrits par un modèle continu,u(x, t), avecuk(t) =u(ka, t).

(a) Exprimeruk+1 etuk−1 en fonction de uk, aet d’une d´eriv´ee deu(x, t).

(b) Montrer l’existence d’une ´equation de propagation reliant ∂²u

∂x², ∂²u

∂t² etu(x, t). On poserac=aω0. (c) On ´etudie `a quelle condition une onde plane progressive peut se propager dans cette file atomique.

Montrer l’existence d’une fr´equence de coupure basse. Pourquoi n’y a-t-il pas de coupure haute ? (d) D´eterminer, pour une onde plane progressive de pulsation ω, la vitesse de phasevϕ(ω) et la vitesse

de groupevg(ω).

4. On étudie maintenant une file atomique constituée de trois matériaux différents :

— pourx <0 et pourx > L, l’´equation de propagation s’´ecrit ∂²u

∂t² =c²∂²u

∂x²;

— pour 0< x < L, elle s’´ecrit ∂²u

∂t² +ω²₁u(x, t) =c²∂²u

∂x²;

— enfin, enx= 0 etx=L, on doit imposer la continuité deu(x, t) et de ses dérivées ∂u

∂t et ∂u

∂x. On envoie depuis la partiex <0 une onde incidente de la formeui=u0exp [i(ωt−kx)] avecω < ω1. (a) Expliquer pourquoi, siLest assez grand, il n’y aura aucune onde transmise.

(b) En fait, L n’est pas très grand et on doit supposer l’existence d’une onde réfléchie (pour x < 0), ur = ρu0exp [i(ωt+kx)] et d’une onde transmise (pour x > L), ut = τ u0exp [i(ωt−k(x−L))].

Pour déterminer les propriétés de ces ondes, un logiciel de calcul formel permet de résoudre le système d’équations :

1 +ρ=α+β

−ik(1−ρ) =γ(α−β) ,

αexp (γL) +βexp (−γL) =τ γ(αexp (γL)−βexp (−γL)) =−ikτ

pour les quatre inconnuesρ, τ, α, β; on obtient alors pour solutions les expressions :

τ = 4ikγ

(γ+ik)²exp (γL)−(γ−ik)²exp (−γL) et ρ= (k²+γ²) [exp (γL)−exp (−γL)]

(γ+ik)²exp (γL)−(γ−ik)²exp (−γL). Donner une expression approch´ee des coefficients de transmissionτ et de r´eflexionρlorsque les deux conditionsLω≪cet Lp

ω₁²−ω²≫c sont satisfaites.

Correcteurs : GC04

14. Ondes acoustiques dans un gaz

On étudie un tuyau de section constantesempli d’un gaz parfait. Au repos, celui-ci est à la températureT0, à la pressionp0 et à la masse volumiqueρ0, avec l’équation d’étatp0M =ρ0RT0, oùM est la masse molaire du gaz etRla constante des gaz parfaits. On note aussiγle rapport, constant, des capacités thermiques à pression et volume constant :γ=cp/cv.

Lors du passage d’une onde sonore dans le gaz, chacune des grandeurs thermodynamiques qui caractérisent le gaz subit de petites variations autour de la valeur à l’équilibre :T(x, t) =T0+δT(x, t),p(x, t) =p0+δp(x, t), ρ(x, t) =ρ0+δρ(x, t). La vitesse du gaz au même pointxet au même instanttvautδv(x, t). Les oscillations du gaz liées au passage de l’onde seront supposées d’amplitude assez faible pour être assimilées à des transformations adiabatiques et réversibles. Dans tout ce qui suit, on ne conservera que les termes du premier ordre enδT,δp, δρetδv; enfin, on négligera le poids.

1. Relierδp,δρ,γ,ρ0et p0; c’est l’´equation (1).

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2. ´Ecrire le principe fondamental pour une tranche de gaz comprise entre les abscisses x et x+ dx; en d´eduire la relation (2),ρ0

∂δv

∂t +∂δp

∂x = 0.

3. Lors de son déplacement, la masse du gaz qui se trouvait contenue dans la tranche de longueur dxreste constante. En déduire l’équation (3), ∂δρ

∂t +ρ0

∂δv

∂x = 0.

4. Montrer que les grandeurs δp et δv vérifient la même équation de propagation, dont on exprimera la vitessecde propagation en fonction de γ,R,T0 et M.

Application numérique :R= 8,314 J·K⁻¹·mol⁻¹; calculerc pour de l’air (γ= 1,39) à la température T0= 273 K avec M = 29 g·mol⁻¹.

5. L’hypothèse de compressibilité adiabatique réversible, et donc l’équation (1), ne sont en fait pas conformes

`

a l’expérience. On admet qu’on doit alors remplacer l’équation (1) par l’équation (1^′), décrivant untemps de retard à la compression :δρ+τ∂δρ

∂t =ρ0χ0δp.

(a) Sachant que, pour des phénomènes très lents, on doit retrouver l’équation (1), exprimerχ0. Quel est le nom de cette grandeur ?

(b) On cherche alors des solutions des ´equations (1^′), (2) et (3) sous la forme d’ondes planes progressives, δp=δp0exp [i(ωt−kx)]. Exprimer l’´equation (4) satisfaite parken fonction deω. Quel est le nom de cette relation ?

(c) On s’intéresse à des ondes de basse fréquence,ωτ ≪1. Quel est, à l’ordre le plus bas, la solution de (4) ? Si on pousse le développement un ordre plus loin, montrer qu’on peut en déduire une distance ℓ, caractéristique de l’atténuation de l’onde acoustique dans ce gaz.

E. Ph´ enom` enes de diffusion

15. Diffusion radioactive dans un barreau de grande longueur

Un barreau de grande longueur, parallèle à l’axe (Ox) peut comporter des marqueurs radioactifs. On étudie ici la diffusion de ces marqueurs dans le matériau qui constitue le barreau, à partir d’une situation initiale où ces marqueurs sont introduits au centre x= 0 du barreau. On note n(x, t) la densité particulaire des marqueurs radioactifs (nombre de particules par unité de volume) etsla section droite, constante, du barreau.

On admet que le transport des marqueurs dans le volume du barreau est régi par la loi deFick: le nombre de marqueurs qui, à l’instantt, franchit la section droitesd’abscissexdans le sens de l’axe (Ox) pendant la durée dt est donné par−Ds∂n

∂xdt, o`u le coefficientD est une constante qui porte le nom de coefficient de diffusion.

1. Quelle est l’unité de mesure deD? On suppose de plus que la constante radioactive des marqueurs est très longue, c’est-à-dire qu’on néglige le nombre de ceux qui disparaissent par désintégration radioactive au cours de l’expérience. Montrer la loi (E) de conservation de la matière, ∂n

∂t =D∂²n

∂x².

2. On cherche des solutions de (E) sous la formen(x, t) =f(x)×g(t). Déterminer les équations différentielles vérifiées parf et gséparément ; on introduira une constantekhomogène à l’inverse d’une longueur.

3. On admet que la solution générale de (E) s’écritn(x, t) = Z ^∞

−∞

A(k) exp ikx−k²Dt

dk. On note aussi n0(x) =n(x, t= 0) la r´epartition initiale du nombre de marqueurs radioactifs. Enfin, on rappelle que si Ω(ω) =

Z ^∞

−∞

u(t) exp (−iωt) dtalorsu(t) = 1 2π

Z ^∞

−∞

Ω(ω) exp (iωt) dω.

En d´eduire l’expression den(x, t) sous forme d’une int´egrale.

4. À l’instant initial, les marqueurs radioactifs sont concentrés dans le planx= 0, ce qu’on notera sous la formen0(x) =N⁰δ(x) où la distribution deDiracδvérifie

Z ^∞

−∞

δ(x)f(x)dx=f(0) pour toute fonction f. Montrer quen(x, t) = N⁰

2√

πDtexp

− x² 4Dt

; représenter l’allure de cette distributionn(x, t) à deux instantst1ett2> t1. Peut-on définir une vitesse du transport des marqueurs radioactifs dans ce barreau ? On donne

Z ^∞

−∞

exp jαu−βu² du=

rπ βexp

−α² 4β

.

(9)

16. Electrisation d’un jet liquide´

b b

dR

bb

dC

b bb

u(x, t) u(x+ dx, t) i(x+ dx, t) Dans une imprimante à jet d’encre, le liquide éjecté par les buses d’im-

pression est assimilé à un long cylindre, de longueur L; un élément de longueur dxde cylindre est (cf. ci-contre) assimilé à une résistance (en sé- rie) dR =ρdx et à un condensateur (en parallèle) dC =γdx; la tension aux bornes de l’ensemble est notée u(x, t) à l’instantt en un point du jet liquide d’abscissex(06x6L).

Initialement (t <0), l’ensemble est d´echarg´e etu(x, t) = 0 pour toutx.

A partir de l’instant` t= 0, on électrise le jet pour permettre ensuite sa déflexion par un champ électrique adapté afin de diriger le jet vers la position adaptée du papier. Pour cela, on admet qu’un dispositif adapté impose u(x= 0, t) =E0>0 pour toutt>0 tandis queu(x, t= 0) reste nul pourx6= 0.

1. Établir l’équation différentielle (E), ∂u

∂t = D∂²u

∂x² et d´eterminer l’expression et l’unit´e de mesure du coefficient de diffusionD.

2. On pose θ(x, t) = u(x, t)−E0. Montrer que θ(x, t) vérifie l’équation différentielle (E) et déterminer θ(x= 0, t) ainsi que θ(x6= 0, t= 0).

3. Montrer que (E) pr´esente des solutions (S) de la formeθ(x, t) = (Acoskx+Bsinkx) exp

−t τ

, sous r´eserve d’une relation que l’on ´etablira entreketτ.

4. Le jet de liquide arrive sur le papier considéré comme un isolant. On en déduit quei(x=L, t) = 0 à tout instantt. À l’aide des conditions aux limites, préciser la forme de (S).

5. V´erifier que les solutions (C), prenant en compte les conditions (C), ne peuvent pas satisfaire aux conditions initiales pourt= 0.

6. On cherche maintenant la solution de (E) sous la forme θ(x, t) =

∞

X

n=0

Bnsin(2n+ 1)πx 2Lexp

− t τn

. Déterminer lesτn et un pour que cette tension vérifie l’ensemble des conditions, aux limites et initiales, imposées àθ(x, t).

7. Donner l’expression deu(x, t). En déduire, en fonction deLet Dseulement, un ordre de grandeur de la durée nécessaire à l’électrisation complète du jet cylindrique. Commenter.

Correcteurs : GC09