Fractales et Interpolation
Florian Lavigne 24 mars 2018
On appellefractale un objet géométrique qui en zoomant sur une (des) partie(s), on obtient la même que celle de l’objet initiale.
On retrouve ce genre d’objet dans la vie quotidienne : fougère, chou-fleur de Romanesco ;
réseaux hydrographiques, massifs géographiques.
L’intérêt de ce modèle est de pouvoir avoir des informations pour chaque échelle, de façon économique (faible nombre de paramètres), et il nous permet d’avoir des propriétés sur l’objet naturel qu’on considère.
1 Compacités et distance de Haussdorff
Rappel. On considère un espace global X qui est un rectangle (représentant l’écran de l’ordi- nateur). Donc X est compact dans R2. Ainsi les compacts de X sont des fermés bornés.
Proposition 1. Soit A un compact de X. Alors :
x∈A⇔d(x, A) = 0, avec d(x, A) = inf
y∈Ad(y, x).
Démonstration. Montrons d’abord le sens direct. On a d(x, x) = 0, car x∈A. Donc : 0≤ inf
y∈Ad(x, y)≤d(x, x), donned(x, A) = 0.
Montrons maintenant le sens réciproque. Posonsφ l’application continue suivante : φ :A →R
y 7→d(x, y)
CommeA est compact et que l’application φ est continue, elle est bornée et atteint ses bornes. Il existe alorsy∈A tel que :
d(x, y) = inf
z∈Aφ(z) =d(x, A) = 0.
Par propriété de la distance, on a donc x=y ∈A.
Définition. On pose K l’ensemble des compacts de X. On appelle fonction de Haussdorff l’application :
dH :K×K→R+ (A, B)7→max
sup
x∈A
d(x, B), sup
y∈B
d(y, A)
1
2 1 COMPACITÉS ET DISTANCE DE HAUSSDORFF
Proposition 2. dH est une distance sur K, qu’on appellera donc par la suite distance de Haussdorff.
Démonstration. On a clairement que pour tout(A, B)∈K2, dH(A, B) = dH(B, A).
Soit A, B ∈K avecdH(A, B) = 0. Alors pour toutx∈A, on a : 0≤d(x, B)≤dH(A, B)≤0.
Ainsi d(x, B) = 0. Or B est compact. Par la proposition 1, x ∈ B. Donc A ⊂ B. Par symétrie de la fonction, on a donc que B ⊂A, ce qui veut dire que A=B.
Remarquons aussi que d(A, A) = 0.
Il ne reste plus qu’à démontrer l’inégalité triangulaire.
Pour cela, on considère A, B, C ∈K. Soit (x, y, z)∈A×B×C. Alors : d(x, B)≤d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y).
Prenons la borne inférieure des y∈B dans cette inégalité.
Cela donne d(x, B) ≤ d(x, z) +d(z, B) ≤ d(x, z) +dH(C, B). Prenons alors la borne inférieure sur les z ∈C, ce qui est équivalent à dire que :
d(x, B)≤d(x, C) +dH(B, C)≤dH(A, C) +dH(C, B).
De même, on ad(y, A)≤dH(B, C) +dH(C, A). Ainsi : dH(A, B) = max
sup
x∈A
d(x, B), sup
y∈B
d(y, A)
≤dH(A, C) +dH(C, B).
Proposition 3. (K, dH) est un espace métrique complet.
Démonstration. On considère une suite (Kn)n∈KN de Cauchy pour la distance de Hausdorff.
Soit n, p ∈N. On a alors dH(Kn, Kn+p) = kd(·, Kn)−d(·, Kn+p)k∞.
Donc la suite dn = d(·, Kn) est de Cauchy. Ainsi (dn)n converge uniformément vers une fonction qu’on note φ. Comme il s’agit d’une limite uniforme de fonctions continues, φ est continue. Posons K = φ−1(0) qui est alors fermé et borné, car K ⊂ X, avec X un rectangle.
Donc K est un compact.
Soit xn ∈ Kn. La suite ainsi créée est bornée, et donc converge, à extraction près. Soit x= limxn. On a ainsi :
φ(x) = limd(x, Kn) = limd(xn, Kn) = 0, car (dn)n converge uniformément vers φ. Ainsi x∈K. Donc K ∈K.
Soit x∈K. On peut construire par définition de φ, une suite (xn)n avec : ∀n, xn∈Kn;
xn→x.
Soit y ∈ E. Alors d(y, Kn) ≤ d(xn, y). Par passage à la limite, on a donc φ(y) ≤ d(x, y). Or la distance à un compact est bornée et atteint ses bornes. Ainsi pour tout n, il existe zn∈Kn avecd(y, Kn) = d(zn, y). La suite ainsi créée est bornée. Donc elle converge (à extraction près) vers z qui vérifie doncφ(y) =d(z, y). Donc :
φ(y) = inf
z∈Kd(z, y) =d(y, K).
Donc φ=d(·, K)et K = limKn.
3
Remarque. Cette norme n’est malheureusement pas adaptée aux opérations sur les ensembles (∩ et∪), comme l’application (A, B)7→A∆B.
Cependant, elle est simple à calculer numériquement. De plus, cette application est une distance qui complète K. Son intérêt est similaire à une convergence uniforme. On peut ainsi comparer des objets via d’autres outils vivant dans un autre ensemble. Cette technique est assez générique en analyse. Par exemple, les coefficients de Fourier nous permettent de dire si deux fonctions sont égales ou non. Le but est de se ramener ainsi à un ensemble dénombrable pour comparer des fonctions. Ici, on compare des ensembles par un réel.
2 SFI et algorithme du lancer de pièce
2.1 Construction d’objet fractal
Définition. Un Système de Fonctions Itérées (qu’on abrégera en SFI) est la donnée d’un couple(Y, (ωn)1≤n≤N)avecY un espace métrique complet et pour touti∈J1, NK, l’application ωi :Y →Y étant contractante.
Définition. Soit (Y, (ωn)1≤n≤N) un SFI. On définit alors la fonction :
W :Y →Y A7→
N
[
n=1
ωn(A)
Remarque. On a vu que (K, dH) est un espace métrique complet. On se contentera donc dans la suite de traiter le cas de SFI avec l’ensemble associé étant K.
Définition. Un ensembleF ∈K tel que W(F) = F est appelé un attracteur du SFI.
Théorème 4. Soit (K, (ωn)1≤n≤N) un SFI. Alors le SFI admet un unique attracteur. De plus, pour toutA∈K, la suite Wk(A)converge vers E dansK au sens de la distance de Haussdorff.
Démonstration. On notera rn le coefficient de contraction de l’application ωn pour tout n.
Montrons queW est contractante.
Soit (A, B)∈K. Etudions ΓW(A)W(B)= supx∈W(A)d(x, W(B)).
Soit x∈ W(A). Il existe alors n(x) ∈J1, NK tel que x∈ωn(x)(A). Ainsi il existe z ∈ A avecx=ωn(x)(z). Soit y∈B. Posons y0 =ωn(x)(y). Alors :
d(x, y0) =d(ωn(x)(z), ωn(x)(y))≤rn(x)d(z, y).
PosonsM = max{rn, n∈J1, NK}. Alors d(x, y0)≤M d(z, y).
Alors d(x, W(B)) ≤ d(x, y0) ≤ M d(z, y), puis d(x, W(B)) ≤ M d(z, B) ≤ MΓAB. Enfin :
ΓWW(A)(B) ≤MΓAB≤M dH(B, A).
De même, on aΓWW(B)(A) ≤M dH(A, B). Ainsi : dH(W(A), W(B)) = max
ΓWW(A)(B), ΓWW(B)(A)
≤M dH(A, B).
Or pour tout n, on a rn<1. Comme M est un maximum, on a M <1.
DoncW est bien contractante.
4 2 SFI ET ALGORITHME DU LANCER DE PIÈCE
Kest un espace métrique complet. L’existence et l’unicité du point fixe de W est assuré par contraction de celle-ci. Cela nous donne donc le résultat. Le résultat sur la suite de compacts est un corollaire du théorème de point fixe utilisé.
Remarque. L’égalité E =∪Nn=1ωn(E) signifie que E est un objet fractal.
Exemple. Le triangle de Sierpinski est l’attracteur du SFI avecX = [−1,1]2, N = 3 et leswi
sont définies comme wi(x) = M x+bi avec : M =
0.5 0 0 0.5
, b1 = 0
0.5
, b2 =
−0.5
−0.5
, b3 =
0.5
−0.5
.
X
ω2(X) ω3(X) ω1(X)
2.2 Méthodes numériques - Algorithme du lancer de pièce
Remarque. On peut prendre un ensemble quelconqueApuis itérerW. On obtiendraE ≈Wn(A) pour n assez grand, l’approximation étant au sens de Haussdorff. Il existe un algorithme plus efficace, qu’on va développer dans la suite. On l’appelle algorithme du lancer de pièce.
Algorithme
On considère N probabilités (p1, . . . , pN). On prend un point x1 de E : on peut prendre par exemple un point fixe d’un des ωi.
On tire aléatoirement un ωn1 avec probabilité pn1 et on pose x2 =ωn1(x1). Puis on réitère.
On obtient ainsi une suite (xi)i. On pose F l’ensemble de ces points.
Remarque. F ⊂E.
Remarque. On peut montrer que la suite des Fn ={x1, . . . , xn} converge dans un certain sens vers l’attracteur E :
∀ε >0, lim
n→∞P(dH(Fn, E)> ε) = 0.
Schéma de l’algorithme
xi ∈E tirage ni ∈J1, NK xi+1 =ωi(xi)
2.3 Exemples
Triangle de Sierpinski
Nous avons déjà défini le SFI lié à cet attracteur. Grâce à l’algorithme du lancer de pièce, on obtient le dessin suivant :
2.3 Exemples 5
Figure1 – Méthode du lancer de pièce pour le triangle de Sierpinski avec les pi = 1/3.
Carré de Sierpinski
L’attracteur sera du même genre que le précédent. Cependant, au lieu d’avoir un graphisme triangulaire qui se répète, ce sera un carré. Le SFI qu’on considère est donc défini :
X = [−1, 1]2; N = 8;
lesωi sont définis par ωi(x) = M x+bi avec : M =
1/3 0 0 1/3
; b1 =
−0.5 0.5
; b2 = 0
0.5
; b3 =
0.5 0.5
; b4 =
−0.5 0
; b5 = 0.5
0
; b6 =
−0.5
−0.5
; b7 = 0
−0.5
; b8 =
0.5
−0.5
.
Fougère
Pour le dernier exemple, nous considérons le SFI dont les contractions sont les applications ωi(x) =Mix+bi avec :
M1 =
0 0 0 0.16
; M2 =
0.85 0.04
−0.04 0.85
; M3 =
0.2 −0.26 0.26 0.24
; M4 =
−0.15 0.28 0.26 0.24
; b1 =
0 0
; b2 = 0
1.6
et b3 =b4 = 0
0.44
.
6 2 SFI ET ALGORITHME DU LANCER DE PIÈCE
Figure 2 – Méthode du lancer de pièce pour le carré de Sierpinski avec lespi = 1/8.
Figure 3 – Méthode du lancer de pièce pour la fougère avec les probabilités p1 = 0.5%, p2 = 0.8, et p3 =p4 = 9.75%.
7
Remarque. La convergence ne dépend pas des pi. Cependant, si on modifie les pi, on aura plus de chance d’aller dans une direction, et ainsi le dessin ne sera pas fiable. Pour avoir un dessin correct, il vaut donc mieux considérer des probabilités équiréparties.
3 Interpolation fractale
Le but de cette partie est d’interpoler un graphe par une droite fractale. Cela nous sera utile si on sait que le graphe est déjà une fractale. Cela arrive lors de la paramétrisation d’un trait génotypique sur une coquille, une fougère, etc, ou encore lors de la représentation de cours d’eau.
On retrouve aussi ce genre de fonctions dans l’analyse : fonctions de Weierstrass ou encore x7→sin(1/x).
On cherche donc un SFI d’attracteur le graphe de la fonction f, pour pouvoir appliquée la théorie de la partie précédente.
On considère donc une subdivision (x0, . . . , xN)etyi =f(xi), avecx0 <· · ·< xN. On pose I = [x0, xn] le segment sur lequel on va interpoler la fonction.
Posons, pour n ∈J1, NK, le segment In = [xn−1, xn] et l’application affine : Ln :I →In
x7→anx+en avec les paramètres an et en fixés par les relations suivantes :
Ln(x0) =xn−1 ; Ln(xN) =xn.
Le but de cette application est de "zoomer" sur l’axe des abscisses. Il faut donc maintenant définir l’opération qui a lieu lors du zoom sur les ordonnées.
On définit l’ensemble C ={f ∈ C0(I), f(x0) = y0, f(xN) =yN} muni de la norme k · k∞. Posons les applications :
Fn : R2 → R
(x, y) 7→ cnx+dny+fn
avec Fn(x0, y0) =yn−1 etFn(xN, yN) =yn et les dn étant des paramètres libres dans ]−1, 1[.
Enfin on définit l’opérateur :
T :C →C f 7→T f définit pour x∈In par T f(x) = Fn(L−1n (x), f◦L−1n (x)).
Remarque. Vérifions que T(C) ⊂ C. Soit f ∈ C. Par composition de fonctions de classe C0, pour tout n, T f ∈C0(
◦
In).
Soit 1≤i≤N −1. Voyons alors queT f(xi) est bien définie. On a : Fi+1(L−1i+1(xi), f ◦L−1i+1(xi)) =Fi+1(x0, f(x0)) =yi
Fi(L−1i (xi), f◦L−1i (xi)) =Fi(xN, f(xN)) =yi
DoncT f ∈C0(I). De plus, on vérifie queT f(x0) = y0 etT f(xN) = yN. DoncT est bien défini.
8 3 INTERPOLATION FRACTALE
Proposition 5. L’opérateur T est contractant.
Démonstration. Soit f, g∈ C et x∈ I\ {xi}1≤i≤N−1. Il existe n tel que x∈ In. Si x est de la forme xi, on choisit n=i. Alors :
T f(x)−T g(x) =dn[f ◦L−1n (x)−g ◦L−1n (x)].
Ainsi|T f(x)−T g(x)| ≤maxn|dn| · kf −gk∞. D’où : kT f −T gk∞≤
maxn |dn|
kf −gk∞.
Or dn ∈]−1, 1[, pour tout n. Donc max|dn|<1. Ainsi T est contractant.
Corollaire 6. T admet un unique point fixe f ∈C avec f(Ln(x)) =Fn(x, f(x)).
Proposition 7. Le graphe de f est l’attracteur du SFI (I×R, (ωn)1≤N) (s’il existe) avec : ωn(x, y) =
an 0 cn dn
x y
+
en
fn
=
Ln(x) Fn(x, y)
.
Démonstration. On note G(f). On suppose que l’attracteur existe. On a alors :
N
[
n=1
{ωn(x, y), (x, y)∈ G(f)}=
N
[
n=1
{(Ln(x), Fn(x, f(x))), x∈I}
=
N
[
n=1
{(Ln(x), f(Ln(x))), x∈I}
=
N
[
n=1
{(v, f(v)), v ∈In}=G(f)
Par unicité de l’attracteur, nous avons le résultat.
Remarque. Leωn sont contractantes pour la norme k(x, y)kδ =|x|+δ|y| pour unδ bien choisi.
Formules des coefficients
an = xxn−1−xn
0−xN ; en = xnx0x−xn−1xN
0−xN
cn= yn−1−yxn−dn(y0−yN)
0−xN ; fn = ynx0−yn−1xNx+dn(y0xN−x0yN)
0−xN
Proposition 8. Si les |dn| ≈0, alors l’interpolation ressemble à une droite brisée.
Démonstration. Si dn= 0, alorsT f(x) = anL−1n (x) +fn, pour x∈In. Ainsi : f(Ln(x)) =T f(x) =anx+fn.
Donc f est affine par morceaux.
Remarque. Les dn permettent de modifier la "fractalisation" de la courbe.
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Figure 4 – Interpolations fractales pour les points(0,0), (0.5,1) et(1,0.25).
Figure 5 – Interpolations fractales pour les points (0,0), (0.25,1), (0.5,1), (0.75,−0.1) et (1,0.25).
10 4 BILAN
4 Bilan
On a donc réussi à tracer des fractales, grâce à des fonctions contractantes définies sur l’ensemble des compacts. On a vu par la même occasion que cet ensemble est complet pour la distance de Haussdorff dH.
Grâce à ces objets mathématiques, on obtient des graphes fractales, qui peuvent permettre d’approximer des fonctions qui sont définies sur un ensemble fractale (génotype d’une feuille de fougère) ou encore qui ont des propriétés fractales, comme la fonction de Weierstrass.
