Logique sur les mots

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris VII

Le calcul s´equentiel de B¨uchi

Jean-Eric Pin

LIAFA, CNRS et Universit´e Paris 7 [email protected]

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Le calcul s´equentiel de B¨uchi

A chaque lettrea∈A, on associe un symbole de relation unairea. On associe aussi `a chaque motu une structure de la formeMu= Dom(u),(a)a∈A o`u

Dom(u) ={0, . . . ,|u| −1}et

a={i∈Dom(u)|u(i) =a}

Par exemple, siu=abbaab, alors Dom(u) ={0,1, . . . ,5},a={0,3,4}et b={1,2,5}.

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Interpr´etation des variables

On utilisera deux autres symboles non logiques,<

etS, interpr´et´es comme l’ordre usuelet la relation successeursurDom(u):

S(x, y)ssiy=x+ 1 Langage de l’ordre lin´eaire:

L<={<} ∪ {a|a∈A}

Langage dusuccesseur:

LS={S} ∪ {a|a∈A}

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Logique sur les mots

Soitϕun ´enonc´e. On dit qu’un motusatisfaitϕsi Musatisfaitϕ. On pose alors

L(ϕ) ={u∈A⁺| usatisfaitϕ}

On noteF O(<),MSO(<), (resp.F O(S), MSO(S)) l’ensemble des formules dupremier ordre et dusecond ordre monadiquede signature

{<,(a)a∈A}(resp.{S,(a)a∈A}).

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S versus <

La relationSpeut ˆetre exprim´ee dansF O(<), et la relation<peut ˆetre exprim´ee dansMSO(S), mais pas dansF O(S).

PourS(i, j), on a la formule :

(i < j) ∧ ∀k ((i < k)→((j=k)∨(j < k)))

Pouri < j, on a la formule

∃X Xj∧ ¬Xi ∧[∀x∀y((Xx∧S(x, y))→Xy)]

En particulier,MSO(S) =MSO(<).

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Th´eor`eme de B¨uchi

Th´eor`eme (B¨uchi)

Un langage deA⁺est d´efinissable par un ´enonc´e de MSO(<)ssi il estrationnel.

(1)Des automates aux formules. On code un automate par une formule du second ordre.

(2)Des formules aux automates. On interpr`ete toutes les formules (pas seulement les ´enonc´es) et on proc`ede par r´ecurrence sur la construction des formules.

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Une structure pour toutes les formules

On fixe un ensemble finiV ={x1, . . . , xp}de variables. UneV-structureest un mot sur l’alphabet BV =A× P(V)

u= (a1, V1)(a2, V2). . .(an, Vn)

tel queV1, V2, . . . , Vnsoient des parties deV deux `a deux disjointes. Par exemple, siA={a, b}etp= 6,

(a,∅)(b,{x1, x₃})(a,{x2})(a,∅)

(b,{x4, x6})(b,∅)(a,{x5})

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Interpr´etation des formules

Soitϕ(x1, . . . , xr)une formule du premier ordre dont les variables libres sontx₁, . . . , xr.

On dira queusatisfaitϕ(x₁, . . . , xr)siusatisfait ϕ[ν]o`uνest la valuation d´efinie parν(xi) =jo`uj est l’unique position telle quexi∈Vj. Par exemple

(a,∅)(b,{x1, x3})(a,{x2})(a,∅)

(b,{x4, x₆})(b,∅)(a,{x5}) satisfaitϕ(x₁, . . . , x₆)ssiabaabbasatisfait ϕ(2,3,2,5,7,5)

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Premier ordre

Probl`eme

Quel est le pouvoir d’expression deF O(S)? de F O(<)?

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F O(<)

Th´eor`eme (McNaughton)

Un langageL est d´efinissable dansF O(<)ssi il est sans-´etoile.

La preuve utilise le r´esultat suivant

Proposition

Siu∼nvetu^′∼nv^′, alorsuu^′∼nvv^′

Le probl`eme de la d´ecision pour F O(<)

Peut-ond´ecidersi un langage rationnel donn´e est sans ´etoile ?

Un mono¨ıde finiM estap´eriodiquesi, pour tout x∈M, il existentel quexⁿ=xⁿ⁺¹.

Th´eor`eme (Sch¨utzenberger 1965)

Un langage estsans ´etoilessi son mono¨ıde syntactique estap´eriodique.

Preuve. Alg´ebrique, un chef d’œuvre !

F O(S ). Compteurs

Soitxetydeux entiers. On dit quexest congru `ay au seuiltet on note

x≡tyssimin(x, t) = min(y, t) Par exemple, les classes d’´equivalence de≡4sont {0},{1},{2},{3},{4,5,6,7, . . .}.

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Facteurs

Siuetxsont deux mots, on note_u

x

lenombre d’occurrencesdu facteurxdansu.

Par exemple,

abababa aba

= 3

puisqueabaposs`ede 3 occurrences distinctes dans abababa:abababa,abababa,abababa.

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Langages localement testables `a seuil

Pour tout entierk>0, posons

F(x, r) ={u∈A⁺| u

x

>r}

En particulier,F(x,1) =A^∗xA^∗. Un langage est localement testable `a seuils’il s’´ecrit comme combinaison bool´eenne de langages de la forme

xA^∗, A^∗x ou F(x, r) avecx∈A⁺etr>0.

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Une ´equivalence sur les mots

Pourk, t >0, soit≡k,tl’´equivalence surA⁺d´efinie par

u≡k,tvssi, pour|x|6k, u

x

≡ v

x

seuilt

Exempleabababab≡2,3abababa

Proposition

Pour toutk, t >0,≡k,test une ´equivalence d’indice fini surA⁺.

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Une congruence sur les mots

Pourk, t >0, etu, v∈A⁺on poseu∼k,tvssi, (1) uetvont les mˆemespr´efixesde longueur< k, (2) uetvont les mˆemessuffixesde longueur< k, (3) u≡k,tv.

Exempleababababa∼2,3abababa

Th´eor`eme

Pour toutk, t >0,∼k,test une congruenced’indice finisurA⁺.

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Une caract´erisation combinatoire

Proposition

Un langage estlocalement testable `a seuilssi il est union de∼k,t-classes pour un couple(k, t).

⇒

(1) xA^∗est union de∼|x|+1,1-classes : siu∈xA^∗ etu∼|x|+1,1v, alorsv∈xA^∗.

(2) A^∗xest union de∼|x|+1,1-classes.

(3) F(x, r)est union de∼|x|,r-classes : si u∈F(x, r)etu∼|x|,rv, alorsv∈F(x, r).

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Caract´erisation combinatoire (suite)

⇐

Siu∈A⁺, la∼k,t-classe deuest

pk−1(u)A^∗∩A^∗sk−1(u)∩ ( \

(x,r)∈E

F(x, r)\ [

(x,r)∈F

F(x, r))

o`u

E={(x, r)| |x|6k, r6tetu∈F(x, r)}

F={(x, r)| |x|6k, r6tetu /∈F(x, r)}

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Des langages aux formules

Proposition

Tout langagelocalement testable `a seuilest d´efinissable dansF O(S)et mˆeme dansBΣ2(S).

(1) minest d´efinissable dansΣ₂(S):

∀x¬S(x,min)

(2) xA^∗est d´efinissable dansΣ₂(S). Par exemple, abA^∗=L(ϕ) avec

ϕ=∃min ∃y(∀x¬S(x,min))

∧S(min, y)∧amin∧by

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Des langages aux formules (suite)

(3) A^∗xest d´efinissable dansΣ₂(S).

(4) F(x, r)est d´efinissable dansΣ₁(S). Par exemple,F(aba,2) =L(ϕ)avec

ϕ=∃x1∃x2∃x3 ∃y1∃y2 ∃y3

ax1∧bx2∧ax3∧ ay₁∧by₂∧ay₃∧ S(x₁, x₂)∧S(x₂, x₃)∧ S(y1, y2)∧S(y2, y3)∧

¬(x1=y1)

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Des langages aux formules (fin)

Proposition

Siϕest une formule deF O(S),L(ϕ)est localement testable `a seuil.

Id´ee de la preuve. Soitnle rang deϕet soit N = 3ⁿ. On montre que siu∼N,3N v, alorsII une strat´egie gagnantepour le jeuGn(u, v).

DoncL(ϕ)est union finie de∼N,3N-classes et est localement testable `a seuil.

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Jeux de Fra¨ıss´e-Ehrenfeucht

Soientuetvdeux mots. Le jeuGn(u, v)est un jeu

`a 2 joueurs,I etII. Chaque joueur poss`eden jetons. Les joueurs jouent alternativement pendant ncoups en appliquant`a chaque tourles r`egles suivantes :

(1) Le joueurI choisit l’un des mots (uouv) et pose un jeton sur l’une des lettres de ce mot.

(2) Le joueurII pose `a son tour un jeton sur l’une des lettres du mot restant.

Le gagnant

Soitik(resp.jk) la position marqu´ee suru(resp.v) au cours duk-i`eme tour. LejoueurII gagnesi, pour toutr, s6n,

(1) ir=is⇔jr=js

(2) S(ir, is)⇔S(jr, js) (3) air ⇔ajr

Sinon, c’est lejoueurI qui gagne.

On dit queII a unestrat´egie gagnantes’il peut toujours gagner, quels que soient les choix deI.

Une notation pour les facteurs

Siu=a1a2· · ·anest un mot, eti, j∈N, avec i6j, on pose

u[i, j]=



















ai· · ·aj si 16i6j6n a₁· · ·aj sii <16j6n ai· · ·an si 16i6n < j u sii <1 etn < j 1 dans les autres cas

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Une strat´egie gagnante

Proposition

Soitn>0etN= 3ⁿ. Siu∼N,3N v, alorsII une strat´egie gagnantepour le jeuGn(u, v).

L’id´ee intuitive est que la positionir (resp.jr) choisie suru(resp. surv) aur-i`eme coup doit d´eterminer le segmentu[ir−3^n−r, ir+ 3^n−r](resp.

v[jr−3^n−r, jr+ 3^n−r]).

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La strat´egie gagnante

Apr`esicoups, les jetonsz1, . . . ,ziont ´et´e jou´es sur chaque mot. Pour chaque positionmdeu(resp.v) ayant un jeton, consid´erons le facteur de longueur 2.3ⁿ⁻ⁱ centr´e enm.

u[m−3ⁿ⁻ⁱ+ 1, m+ 3ⁿ⁻ⁱ] Consid´erons l’union de tous ses intervalles : on obtient une union disjointe d’intervalles qui sont le support de facteurs de longueur>2.3ⁿ⁻ⁱ. On dira que ces facteurs disjoints sontles facteurs de niveau ideu. En particulier, pouri=n, ils sont de longueur>2.

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La strat´egie gagnante (suite)

Montrons par r´ecurrence suriqueII peut toujours appliquer lastrat´egie suivante: `a chaque touri,II joue de fa¸con `a ce que les facteurs associ´es au jeton zisoient les mˆemes suruet survet que la position relative des jetons dans l’un de ces facteurs soit aussi la mˆeme dansuet dansv.

Cette strat´egie estgagnante, puisque pouri=n, si u(resp.v) satisfait par exemplezp=zq+ 1, les jetonszpetzq seront plac´es dans le mˆeme facteur deu(puisqu’ils sont de longueur au moins 2) et l’autre mot satisfera la mˆeme formule.

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La strat´egie gagnante (suite)

Pour i= 0, il n’y a rien `a d´emontrer. Supposons le r´esultat acquis pouri. AlorsI pose son jetonz_i+1 sur l’un des mots, disonsu. Si le facteur

f=u[m−3ⁿ⁻ⁱ⁻¹+ 1, m+ 3ⁿ⁻ⁱ⁻¹] estenti`erement contenudans l’un des facteurs deu d´efinis au coupi, alorsII n’a plus qu’`a jouer dans la mˆeme position relative du facteur dev

correspondant et la condition exig´ee sera bien satisfaite au niveaui+ 1.

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La strat´egie gagnante (suite)

Si au contraire,f n’est pas enti`erement contenu dans l’un des facteurs deud´efinis au coupi, il est n´ecessairement disjoint de tous les facteurs associ´es aux jetonsz1, . . . ,zi.

Pour conclure, il suffit de montrer quevcontient un facteur ´egal `af et disjoint des facteurs de niveau 6idev, carII pourra alors jouer au centre de ce facteur.

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La strat´egie gagnante (fin)

Or lasomme des longueursdes facteurs de niveaui est62i.3ⁿ⁻ⁱ<3ⁿ⁺¹et doncf a moins de3ⁿ⁺¹ occurrences dans les facteurs de niveaui.

Commeu∼N,3Nvet comme les facteurs de niveau iont des positions similaires dans les deux mots, il y a bien au moins une occurrence def dansvqui est disjointe des facteurs de niveau6i.

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La logique F O(S)

Th´eor`eme (Thomas)

Pour un langageL, les conditions suivantes sont

´equivalentes :

(1) Lestlocalement testable `a seuil, (2) Lest d´efinissable dansBΣ2(S), (3) Lest d´efinissable dansF O(S).

Il reste `a savoir si on peutd´ecidersi un langage rationnel donn´e est localement testable `a seuil. . . La r´eponse est oui, mais fait appel `a la th´eorie des semigroupes.

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Les hi´erarchies Σ

(<) et BΣ

(<)

Peut-ond´ecidersi un langage rationnel donn´e est d´efinissable dansΣn(<)etBΣn(<)?

(1) Σ0(<)etΣ0(<)sont d´ecidables (assez facile) (2) BΣ1(<)est d´ecidable (I. Simon 1972) (3) Σ2(<)est d´ecidable (Pin-Weil 1995) (4) BΣ2(<)est d´ecidable pour un alphabet `a

deux lettres (Straubing 1988)

(5) Σ₃(<)est d´ecidable pour un alphabet `a deux lettres (Glasser-Schmidt 2001)

La d´ecidabilit´e deBΣ2(<)et au-del`a pour plus de deux lettres est un probl`eme ouvert. . .