H139. Principe de précaution oblige
L’entreprise Enigmatix envisage de faire construire sur un vaste terrain k entrepôts (k <10) avec une voie de circulation directe entre chaque couple d’entrepôts. On suppose que trois entrepôts ne sont jamais alignés. Principe de précaution oblige, pour réduire les risques d’accident de circulation, trois voies ou plus ne se rencontrent jamais sauf si elles aboutissent au même entrepôt et le nombre de croisements des voies est le plus petit possible.
L’ingénieur en charge du projet fait remarquer que si les voies entre deux entrepôts ne sont pas rectilignes, on fait l’économie d’un seul croisement par rapport aux voies toutes
rectilignes.
Poussant ses calculs un peu plus loin, il constate qu’avec la construction d’un (k+1)ième entrepôt et de k+1 voies supplémentaires pour le relier aux autres, le nombre total de croisements est le même que les voies soient rectilignes ou non. Trouver k.
Pour les plus courageux : représenter graphiquement les réseaux routiers des k et k+1 entrepôts avec des voies rectilignes et non rectilignes.
Solution proposée par Paul Voyer
k=4 Le quadrilatère permet, s'il est convexe, l'économie d'un croisement unique en établissant un chemin extérieur pour relier deux points opposés.
Mais le nombre de croisements initial n'est pas le plus petit possible.
La construction d'un 5ème point E est réalisable comme indiqué par la fig. , le nombre de croisements est le même, que l'on permette ou non les chemins curvilignes.
(BD coupe soit AC soit CE, soit même AE en faisant le tour de A ou de E).
Au-delà, le gain apporté par le droit aux chemins curvilignes ne vaut 1 que pour k=8.
Il est possible de construire un réseau à 8 points avec 18 intersections, 19 si les chemins sont rectilignes, le réseau optimal à 9 points aura au minimum 36 intersections, tant avec des chemins rectilignes qu'avec des chemins quelconques.
k=8 est la solution. Il n'y en a pas d'autre.
Le nombre minimal de points de croisements est donné dans le tableau suivant :
nb de
points rectiligne libre
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 1 1
6 3 3
7 9 9
8 19 18
9 36 36
10 62 60
11 102 100
12 153 150
13 229 225
14 324 315
15 447 441
16 603 588
Sources : OEIS A014540 (rectiligne) et A000241 (libre) Représentation graphique
k=8 rectiligne :
source : http://mathworld.wolfram.com/RectilinearCrossingNumber.html
k=8 libre :
k=9 rectiligne :
k=10 rectiligne :
source : http://www.mathematica-
journal.com/issue/v11i2/contents/CrossingNumberGraphs/CrossingNumberGraphs.pdf
Ref. Conjectures de Zarankiewicz et de Guy. (l'un pour le rectiligne, l'autre pour le curviligne) Citation : (http://mathworld.wolfram.com/ZarankiewiczsConjecture.htm)
This is sometimes also known as the brick factory problem, since it was described by Turán (1977) as follows :
"We worked near Budapest, in a brick factory. There were some kilns where the bricks were made and some open storage yards where the bricks were stored. All the kilns were connected to all the storage yards. The bricks were carried on small wheeled trucks to the storage yards.
All we had to do was to put the bricks on the trucks at the kilns, push the trucks to the storage yards, and unload them there. We had a reasonable piece rate for the trucks, and the work itself was not difficult; the trouble was at the crossings. The trucks generally jumped the rails there, and the bricks fell out from them, in short this caused a lot of trouble and loss of time which was precious to all of us. We were all sweating and cursing at such occasions, I too ; but nolens volens the idea occurred to me that this loss of time could have been minimized if the number of crossings of the rails had been minimized. But what is the minimum number of crossings ? I realized after several days that the actual situation could have been improved, but the exact solution of the general problem with m kilns and n storage yards seemed to be very difficult. The problem occurred to me again at my first visit to Poland where I met Zarankiewicz."
