http://alexandre.boisseau.free.fr/Prive/WWW/MathsPCet/td_ev.pdf
TD 4 : Révisions et compléments sur les espaces vectoriels
Équations linéaires
Exercice 1(Oral CCP, PC, 2015, Exercice secondaire).
(1) Déterminer les suites (vn) telles que :∀n∈N,vn+2−4vn+1+3vn=0.
(2) Cherchertn=kntel quetn+2−4tn+1+3tn=12.
(3) Quelles sont les solutions devn+2−4vn+1+3vn=12 ?
Exercice 2 (Oral CCP, PC, 2017). Soitn Ê1. Pour tout polynômeP deR[X], on pose f(P) = P(X+1)−P(X). PourP ∈Rn[X], on pose fn(P)=P(X+1)−P(X). On admet que f etfnsont des endomorphismes deR[X] etRn[X] respectivement.
(1) Donner la matrice def3relativement à la base canonique deR3[X].
(2) SoitP∈Kerf. Montrer queP−P(0) admet une infinité de racines. En déduire Kerf. (3) Déterminer le noyau et l’image defn.
(4) Prouver quef est surjectif.
(5) Trouver tous les polynômesPtels queP(X+1)−P(X)=X2. (6) En déduire une expression simple de
n
X
k=0
k2.
Exercice 3(Oral Polytechnique,PC,2011). Trouver lesA∈Mn(C) telles que :A+tr(A)A>= 2 nIn.
Sous-espaces supplémentaires
Exercice 4.Soitf ∈L(E) telle quef2−4 idE=0.
(a) Démontrer queF=Ker(f−2 id) etG=Ker(f +2 id) sont deux sous-espaces supplémentaires deEstables parf.
(b) Soitple projecteur surFparallèlement àG. Exprimerpet id−pen fonction def.
Exercice 5(Oral Mines-Ponts, PSI, 2009). SoientE etF deux espaces vectoriels,u∈L(E,F) et v∈L(F,E). On suppose quev◦u=idE. Montrer que Ker(v)⊕Im(u)=F.
Exercice 6(Oral CCP, PC, 2011). SoitEunC-espace vectoriel de dimension finie et soient f,g∈ L(E). On suppose queE=Ker(f)+Ker(g) etE=Im(f)+Im(g). Montrer que Ker(f) et Ker(g) sont supplémentaires, ainsi que Im(f) et Im(g).
Réponse. On sait déjà queE=Kerf +Kerg=Imf +Img. Pour montrer que les sous-espaces sont supplémentaires, il suffit d’établir que les sommes sont directes. D’après le cours :
Kerf +Kergest directe ≺===Â dim(Kerf+Kerg)=dim Kerf+dim Kerg Imf +Imgest directe ≺===Â dim(Imf+Img)=dim Imf+dim Img or par hypothèse, dim(Kerf+Kerg)=dim(Imf+Img)=dimE. Ainsi :
Kerf +Kergest directe ≺===Â dimE=dim Kerf +dim Kerg Imf+Imgest directe ≺===Â dimE=rgf+rgg
De plus, on sait déjà que :
n=dimE=dim(Kerf +Kerg)Édim Kerf +dim Kerg n=dimE=dim(Imf +Img)Érgf +rgg
et il ne reste donc plus qu’à établir que dim Kerf+dim KergÉnet rgf+rggÉn. Or, avec le théorème du rang :
rgf +rgg=n−dim Kerf+n−dim Kerg=2n−(dim Kerf +dim Kerg)É2n−n=n dim Kerf+dim Kerg=n−rgf+n−rgg=2n−(rgf +rgg)É2n−n=n
Par doubles inégalités, on a donc bien dimE=dim Kerf +dim Kerg=rgf +rggdonc les sommes Kerf+Kerget Imf +Imgsont directes et ainsiE=Imf⊕Img=Kerf⊕Kerg.
Exercice 7(Oral CCP, PC, 2017, Exercice secondaire). SoientEunC-espace vectoriel de dimensionn etf un endomorphisme deEtel quef◦f 6=0 et rg(f)=1.
(1) Montrer que Kerf et Imf sont supplémentaires dansE. (2) Montrer qu’il existeλ∈Ctel que f◦f =λf.
Matrices semblables
Exercice 8.Démontrer que les matricesA=
0 −1 1
0 0 −1
0 0 0
etB=
0 1 0 0 0 1 0 0 0
sont semblables.
Exercice 9.
(a) SoitA∈Mn(K) telle que rg(A)=1. On poset=tr(A). Démontrer queAest semblable à une matrice de la forme :
M=
0 · · · 0 ?
... ... ...
0 · · · 0 ? 0 · · · 0 t
Applications :
(b) SoitA∈Mn(R) telle que rg(A)=1. Démontrer queA2=tr(A)A.
(c) Soit (A,B)∈Mn(R)2tel que rg(AB−B A)=1. Montrer que (AB−B A)2=0.
Réponse.
(a) On poset=tr(A). On considère l’endomorphisme f deKn canoniquement associé àAde sorte que rg(f)=1 et tr(f)=t. La rédaction par analyse synthèse n’est pas nécessaire ici mais on va quand même le rédiger ainsi.Analyse :on suppose qu’il existeB=(e1, . . . ,en) base de Kntelle que MatB(f) est de la forme :
MatB(f)=
0 · · · 0 ?
... ... ...
0 · · · 0 ? 0 · · · 0 t
On a alorse1, . . . ,en−1∈Kerf. On dispose par contre de peu d’hypothèses suren.Synthèse : d’après le théorème du rang, dim Kerf =dimKn−rgf =n−1. On considère donc (e1, . . . ,en−1) base de Kerf que l’on complète enB=(e1, . . . ,en) base deKn. Il existe alorsa1, . . . ,antels que :
MatB(f)=
0 · · · 0 a1
... ... ...
0 · · · 0 an−1
0 · · · 0 an
De plus, la trace de cette matrice est égale àanet à tr(f) doncan=t. On en déduit queAest semblable à la matrice :
MatB(f)=
0 · · · 0 a1
... ... ...
0 · · · 0 an−1 0 · · · 0 t
(b) SoitA∈Mn(R) telle que rg(A)=1. D’après la question précédente,Aest semblable à la matrice Mdonc il existeP∈GLn(R) telle queA=P−1M P. On calcule facilementM2=t M, ainsi :
A2=(P−1M P)2=P−1M2P=P−1t M P=t P−1M P=t A=tr(A)A
(c) On a rg(AB−B A)=1 donc d’après la question précédente (AB−B A)2=t(AB−B A) avec t=tr(AB−B A). Avec les propriétés de la trace, tr(AB−B A)=tr(AB)−tr(B A)=0 donc (AB− B A)2=0.
Rang d’un endomorphisme
Exercice 10(Oral CCP, PC, 2013). Soientf ∈L(R2,R3),g∈L(R3,R2) eth∈L(R3). On suppose que rg(h)=2 eth=f◦g. Montrer que rg(g)=rg(f)=2.
Exercice 11(Oral Polytechnique, PC, 2011). SoientE,F,Gtrois espaces vectoriels de dimension finie,u∈L(E,F) etv∈L(F,G). Montrer que rg(v◦u)=rgusi, et seulement si, Imu∩Kerv={0}.
Réponse. SoitHun supplémentaire de KerudansE, on noter =dimH, d’après le théorème du rang,r=rgu. On note (e1, . . . ,er) une base deHet (er+1, . . . ,en) une base de Keru. PuisqueHet Keru sont supplémentaires, par concaténation des bases,Best une base deE. On sait alors que Imuest engendrée par les images parudes éléments deB:
Imu=Vect(u(e1), . . . ,u(en))=Vect(u(e1), . . . ,u(er))
puisqueu(er+1)= · · · =u(en)=0. Ainsi la famille (u(e1), . . . ,u(er)) est génératrice de Imuet comme elle est de cardinalr=dim Imu, c’est une base de Imu. Alors :
Im(v◦u)=Vect(v(u(e1)), . . . ,v(u(er)) et ainsi :
rg(v◦u)=rgu ≺===Â dim Vect(v(u(e1)), . . . ,v(u(er)))=r
≺===Â (v(u(e1)), . . . ,v(u(er)) est libre
Supposonsrg(v◦u)=rgu.D’après ce qui précède, la famille (v(u(e1)), . . . ,v(u(er))) est libre. Consi- déronsx∈Imu∩Kerv. Commex∈Imu, il existeλ1, . . . ,λr∈Ktels que :
x=λ1u(e1)+ · · · +λru(er) en appliquantv, on obtient (puisquev(x)=0 ) :
0=λ1v(u(e1))+ · · · +λrv(u(er))
La famille (v(u(e1)), . . . ,v(u(er))) est libre doncλ1= · · · =λr=0 etx=0. Ainsi, Imu∩Keru={0}.
Réciproquement, supposonsImu∩Keru={0}.On considèreλ1, . . . ,λr∈Ktels que : λ1v(u(e1))+ · · · +λrv(u(er))=0
On obtient alors :
λ1u(e1)+ · · · +λru(er)∈Imu∩Kerv
doncλ1u(e1)+ · · · +λru(er)=0. Comme (u(e1), . . . ,u(er)) est libre, on a λ1 = · · · =λr =0 donc (v(u(e1)), . . . ,v(u(er))) est libre et ainsi rg(v◦u)=rg(u).
L’équivalence est démontrée.
Exercice 12(Oral CCP, PC, 2016, Exercice secondaire).
(a) Soitf un projecteur d’un espace vectoriel de dimension finieE. Établir une relation entre le rang et la trace def.
(b) Soitf un endomorphisme deEtel que rgf =trf =1. Montrer quef est un projecteur.
Réponse.
(a) Ce résultat a été démontré dans le cours.
(b) On noten=dimE. On suppose rg(f)=1 et tr(f)=1. Pour utiliser les hypothèse sur le rang et la trace de f, on va déterminer la matrice def dans une base bien choisie. D’après le théorème du rang, dim Kerf =dimE−rgf =n−1. On considère (e1, . . . ,en−1) base de Kerf que l’on complète enB=(e1, . . . ,en) base deE. On a alorsf(e1)= · · · =f(en−1)=0. On décompose le vecteurf(en) dans la baseB: il existea1, . . . ,an∈Ktels que
f(en)=a1e1+ · · · +anen
On a alors :
A=MatB(f)=
0 · · · 0 a1
... ... ...
0 · · · 0 an−1 0 · · · 0 an
On a ainsian=tr(f)=1. On calcule maintenantA2:
A2=
0 · · · 0 a1
... ... ...
0 · · · 0 an−1 0 · · · 0 1
0 · · · 0 a1
... ... ...
0 · · · 0 an−1 0 · · · 0 1
=
0 · · · 0 a1
... ... ...
0 · · · 0 an−1 0 · · · 0 1
=A
On en déduit que f2=f, doncf est un projecteur deE.
Polynômes et puissances
Exercice 13.SoientE unK-espace vectoriel,pun projecteur deE et f =id+p. Démontrer que f2−3f +2 id=0 puis démontrer que pour tout entiern∈N, il existe des réelsanetbn que l’on déterminera tels quefn=anf+bnid.
Exercice 14(Oral Mines Télécom, PC, 2017). On considère la matriceU=
1 0 1
1 0 1
1 1 1
.
(1) Montrer que (U,U2) est une famille libre.
(2) TrouveraetbdansRtels queU3=aU2+bU.
(3) Montrer que pour tout entiernÊ3, il existe (αn,βn)∈R2tel queUn=αnU2+βnU. (4) Exprimerαn+2en fonction deαn+1etαn.
(5) En déduire une expression deαnen fonction den.
Exercice 15.SoientEunK-espace vectoriel de dimension finie etf ∈L(E). On suppose qu’il existe p∈N∗tel que fp=0 et fp−16=0.
(a) On considèrex0∉Ker(fp−1). Démontrer que la famille (x0,f(x0), . . . ,fp−1(x0)) est libre.
(b) Démontrer quepÉn. Que peut-on dire defn? (c) On suppose ici quep=n. Déterminer rg(f).
Sous-espaces stables
Exercice 16.SoientA=
1 2 0
1 0 0
1 1 3
,F=
x y z
∈R3|x+y+z=0
etG=Vect
0 0 1
.
On note f l’endomorphisme deR3canoniquement associé à A. Démontrer queF etGsont des sous-espaces vectoriels deR3, stables parf et supplémentaires. Donner la forme de la matrice def dans une base adaptée à la décompositionR3=F⊕G.
Exercice 17.SoientE unK-espace vectoriel de dimensionn,p,f ∈L(E) avecpun projecteur.
Démontrer l’équivalence :f ◦p=p◦f ≺=ÂKerpet Impsont stables parf.
TD 4 : Révisions et compléments sur les espaces vectoriels
Indications
Ex 1. (1) Type de suite connu. (2) Remplacer dans l’équation et déterminerk. (3) Utiliser le fait que l’équation est linéaire.
Ex 2. (1) Méthode usuelle. (2) Justifier queP(n)−P(0)=0 pour toutn∈N. (3) Justifier que Imfn⊂ Rn−1[X] et utiliser le théorème du rang. (4) ConsidérerP∈R[X], il existe alorsn∈Ntel queP∈ Rn−1[X]. Établir quePadmet un antécédant par f. (5) Équation linéaire. (6) Utiliser le polynômeP obtenu à la question précédente.
Ex 3. Considérer une solutionA, appliquer la fonction tr et raisonner suivant les valeurs possibles pour tr(A).
Ex 4. On peut procéder par analyse et synthèse.
Ex 5. On peut procéder par analyse et synthèse.
Ex 6. On peut utiliser les dimensions.
Ex 7. On peut utiliser la dimension.
Ex 8. Procéder par analyse et synthèse.
Ex 9. (a) On peut procéder par analyse et synthèse. (b) CalculerM2. (c) Calculer tr(AB−B A).
Ex 10. Utiliser le théorème du rang. Établir des relations entre Imhet Imf et entre Kerhet Kerg.
Ex 12. Deuxième question : considérer la matrice de f dans une base deEobtenue à partir d’une base de Kerf.
Ex 13. Première question : faire le calcul. Deuxième question : récurrence (il y a d’autres méthodes).
Ex 14. (1) Méthode usuelle. (2) Faire le calcul. (3) et (4) Récurrence. (5) Reconnaitre un type de suite usuel.
Ex 15. (a) Combinaison linéaire nulle puis considérer le premier coefficient non nul et appliquerfk aveckbien choisi. (b) Que sait-on du cardinal d’une famille libre. (c) Utiliser la matrice def dans une base bien choisie (il y a d’autres méthodes).
Ex 16. Méthodes du cours.
Ex 17. Double implication. Pour la réciproque : montrer que p f(x) et f p(x) sont égaux lorsque x∈Kerpoux∈Impet utiliser le fait que Kerpet Impsont supplémentaires.
