Points de petite hauteur sur une sous-variété d un tore

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Preprint submitted on 10 Feb 2005 (v1), last revised 17 Oct 2009 (v2)

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Points de petite hauteur sur une sous-variété d’un tore

Francesco Amoroso, Sinnou David

To cite this version:

Francesco Amoroso, Sinnou David. Points de petite hauteur sur une sous-variété d’un tore. 2005.

�hal-00004206v1�

Points de petite hauteur sur une sous-vari´ et´ e d’un tore

Francesco Amoroso et Sinnou David

R´esum´e : nous obtenons une minoration quasi optimale pour le dernier des minimums dits

«g´eom´etriques» d’une sous-vari´et´eV d’un puissance du groupe multiplicatifGⁿm. Plus pr´ecis´ement, nous montrons que sixest un point de V(Q) n’appartenant pas `a un translat´e d’un sous-tore deGⁿm

contenu dansV, de hauteur major´ee par une fonction essentiellement lin´eaire en l’inverse du degr´e de V, alors x appartient `a un ensemble «exceptionnel» de cardinal fini. Ainsi, `a un «<sup>ε pr`es</sup>»<sup>, nous</sup> montrons les conjectures les plus pr´ecises que l’on peut formuler pour ce probl`eme. Les meilleurs r´esultats connus pr´ec´edemment, dues au second auteur etP. Philipponfournissaient des minorations monomiales inverses en le degr´e deV (confer[Da–Ph]).

Abstract: we prove an allmost optimal lower bound for the so called last “geometric” minimum for the height of a subvarietyV of a power of the multiplicative groupGⁿm. More precisely, one shows that if x is a point of V(Q) which does not belong to a translate of a sub-torus of Gⁿm lying in V, of height less than a function essentially linear in the inverse of the degree of V, thenxbelongs to a finite “exceptionnal” subset ofV. Thus, one proves “up to anε” the sharpest conjectures that can be formulated on this problem. Previously, the best known result in this direction was due to the second author andP. Philippon, who provided lower bounds which were inverse monomial in the degree ofV (confer[Da–Ph]).

1 Introduction

Dans un article r´ecent, (confer [Am-Da1]), nous avons montr´e une minoration presque optimale pour le«minimum essentiel»de la hauteur des points alg´ebriques d’une sous-vari´et´e alg´ebriqueV deGⁿ_md´efinie surQet g´eom´etriquement irr´eductible. Nous nous proposons ici de compl´eter ce travail en montrant qu’une minoration de mˆeme qualit´e est en fait valable pour le dernier des minima dits «g´eom´etriques» pour la hauteur des points de V. Commen¸cons par rappeler plus pr´ecis´ement ces diff´erentes notions.

Soitnun entier>1. Dans ce travail, nous nous restreindrons pour simplifier `a la compac- tification naturelleGⁿm ,→Pⁿ du tore¹. Soit V une sous-vari´et´e alg´ebrique de Gⁿm, d´efinie sur Q, et g´eom´etriquement irr´eductible; le degr´e de V sera celui de son adh´erence Zariskidans Pⁿ. De mˆeme, si α = (α1, . . . , αn) est un point de Gⁿ_m(Q) sa hauteur normalis´ee ˆh(α) sera la hauteur de Weil logarithmique et absolue du point (1 :α₁ :· · ·:α_n) ∈Pⁿ(Q). Soit θ un nombre r´eel strictement positif. On note

V(θ) : ={α∈V(Q) tel que ˆh(α)≤θ} .

1L’essentiel des probl´ematiques et une partie des r´esultats peuvent se formuler pour une compactification

´

equivariante du tore plus g´en´erale. Nous ne rentrerons pas dans ces consid´erations au cours de ce texte.

Le minimum essentielde V est alors : ˆ

µ^ess(V) : = infn

θ >0, V(θ) =Vo .

Rappelons que le minimum essentiel de V est nul si et seulement si V est un translat´e d’un sous-tore par un point de torsion : c’est un th´eor`eme de S. Zhang,confer[Zha1] pour les courbes et [Zha2] plus g´en´eralement (il s’agit de la variante torique du probl`eme dit de Bogomolov).

Rappelons enfin la notion d’indice d’obstruction; si V est une sous-vari´et´e de Gⁿm, son indice d’obstruction, not´e ω(V) est l’infimum des degr´es des hypersurfaces de Gⁿ_m contenant V. Nous pouvons maintenant rappeler le r´esultat principal de [Am-Da1] (th´eor`eme 1.4) : Th´eor`eme 1.1 Soit V une sous-vari´et´e² de Gⁿ_m, d´efinie sur Qet g´eom´etriquement irr´educ- tible. Alors, si V n’est pas contenue dans un translat´e d’un sous-tore strictB ( Gⁿm, on a, en notant k la codimension de V :

ˆ

µ^ess(V)>c(n)ω(V)⁻¹×(log(3ω(V)))^−λ(k) ,

o`u c(n) est un nombre r´eel strictement positif, effectivement calculable en fonction de la di- mension ambiante n, etλ(k) : = 9(3k)^(k+1)k

.

Ce th´eor`eme est optimal `a des facteurs logarithmiques pr`es : en effet, la conjecture la plus fine que l’on peut faire sur le comportement de ˆµ^ess(V) en fonction de l’indice d’obstruction est la suivante (conjecture 1.2 de op. cit.) :

Conjecture 1.2 Soit V une sous-vari´et´e de Gⁿm qui n’est pas un translat´e d’un sous-tore strict de Gⁿm. Notons B le plus petit translat´e d’un sous-tore de Gⁿm contenant V, alors :

ˆ

µ^ess(V)> c(n) ω(V, B) .

Iciω(V, W) est l’indice d’obstruction deV relatif`a la sous-vari´et´e W )V, introduit dans la d´efinition 1.1 de loc. cit.,i. e. la quantit´e

min

deg(Z) deg(W)

1/codimW(Z)

o`u Z parcourt l’ensemble des sous-vari´et´es deGⁿm tels que V ⊆Z (W. On a donc : ω(V, W)6deg(V)^1/codimW(V) .

De plus, il est facile de voir, en tenant compte d’un r´esultat deM. Chardinsur la fonction de Hilbertg´eom´etrique (confer[Cha], corollaire 2, chapitre 1, page 8 et exemple 1, page 9) que :

ω(V,Gⁿm)6ω(V)6nω(V,Gⁿm) .

L’indice d’obstruction relatif sert donc `a tenir compte du degr´e du groupe ambiant, pour obtenir des r´esultats (ou conjectures) plus fin(e)s.

2D’une mani`ere g´en´erale, toutes les sous-vari´et´es de Gⁿm consid´er´ees dans cet article seront suppos´ees alg´ebriques, d´efinies surQet g´eom´etriquement irr´eductibles.

Le meilleur r´esultat dans la direction de la conjecture 1.2 connu pr´ec´edemment ´etait dˆu au second auteur de ces notes et `aP. Philippon(confer[Da–Ph], th´eor`eme 1.2) :

ˆ

µ^ess(V)>2⁻⁴¹deg(V)⁻²log(deg(V) + 2)⁻² .

Enfin, les premiers r´esultats quantitatifs concernant le minimum essentiel (minoration et non pas seulement non nullit´e) sont dus d’une part `a E. Bombieri et U. Zannier (confer [Bo–Za]) et W. Schmidt (confer [Sch]) d’autre part qui ont obtenus des minorations pluri- exponentielles en le degr´e de V. Le lecteur pourra se reporter `a [Am] et `a [Da] pour plus de d´etails sur ces questions. Il convient de noter que toutes ces minorations ne d´ependent pas d’un corps de d´efinition deV, et ne sont fonctions que d’invariants g´eom´etriques.

Dans ce texte, nous nous int´eresserons plus particuli`erement `a des quantit´es plus fines que le minimum essentiel. Pour ceci, commen¸cons par introduire un ouvert naturel deV dans lequel ces quantit´es auront une chance de ne d´ependre que d’invariants de nature g´eom´etrique.

SuivantE. Bombieri–U. ZannieretW. Schmidt, pour tout sous-toreH non trivial de Gⁿm, notonsV^a(H) la r´eunion des translat´es de H contenus dans V. Notons ´egalement V^a la r´eunion desV^a(H), pour H parcourant l’ensemble des sous-tores deGⁿ_m de dimension>1, et V^◦ son compl´ementaire

V^◦: =V \V^a .

L’ensemble V^a est un ferm´e de Zariski; de plus, il existe un ensemble fini {H₁, . . . , Hm} de sous-tores de dimension>1 tels que

V^a=

m

[

i=1

V^a(Hi)

(voir[Sch], Theorem 1) et pour chaque sous-toreH l’ensembleV^a(H) est un ferm´e deZariski (voir [Sch], Theorem 2). Par contre, V^a(H) n’est pas en g´en´eral r´eunion d’un nombre fini de translat´es de sous-tores deGⁿ_m (conferle deuxi`eme exemple ci-dessous).

Dans [Da–Ph], les auteurs ont introduit une s´erie de«minima g´eom´etriques»not´ee ˆµ^◦_j(V) : nous rappelons ici ces d´efinitions. Notons pour³ j= 1, . . . ,dim(V)

ˆ

µ^◦_j(V) = sup

Y

inf

nˆh(α), α∈(V\Y)(Q) o

o`u le supremum est pris sur les ferm´es de ZariskiY deV de la formeY =Y<sub>1</sub>∪Y<sub>2</sub>, o`uY₁ est une r´eunion finie de sous-vari´et´es deV de codimension j dansV etY2 est une r´eunion finie⁴ de translat´es de sous-tores de Gⁿm contenus dans V et de codimension < j dansV.

On notera que cette suite diff`ere de la suite usuelle des minimums successifs pour la hauteur (comme introduite parS. Zhang dans [Zha2]) :

ˆ

µ_j(V) = sup

Y⊂V, codimV(Y)=j

infn

ˆh(α), α∈(V\Y)(Q)o

3Par convention l’infimum sur l’ensemble vide vaut +∞.

4En fait, la d´efinition des ˆµ^◦_j(V) de [Da–Ph] est l´eg`erement ambigu¨e. On pourrait la comprendre soit en prenant naturellementY2 comme ici, soit en prenant pourY2 la r´eunion des V<sup>a</sup>(H) o`u la codimension deH est< j. Les r´esultats d´emontr´es dans loc. cit. utilisent toutefois sur la mˆeme d´efinition qu’ici et permettent de lever l’ambigu¨ıt´e.

par le fait que l’on exclut aussi les translat´es de sous-tores au lieu de se placer simplement en codimensionj.

Par d´efinition (on notera que la premi`ere ´egalit´e n’est valable que lorsqueV n’est pas un translat´e d’un sous-tore),

ˆ

µ^ess(V) = ˆµ^◦₁(V)>µˆ^◦₂(V)>· · ·>µˆ^◦_dim(V)(V) .

Notons que l’ouvert V^◦ peut ˆetre vide: il suffit pour cela que le stabilisateur Stab(V) de V soit de dimension>1. Inversement, si Stab(V) est discret, V^◦ est non vide.

Ainsi, les ˆµ^◦_j(V) ne sont en fait pas tout `a fait les minimums successifs de la hauteur sur l’ouvert V^◦ (et ce, mˆeme si Stab(V) est discret : il suffit par exemple que l’un des ferm´es V^a(H) que l’on retire soit de dimension>dim(H)). Notons de plus que le minimum absolu de la hauteur surV^◦ peut ˆetre nul : il suffit que V^◦ contienne (un nombre fini) de points de torsion. Toutefois, ˆµ^◦_dim(V)(V) n’est pas nul et peut mˆeme ˆetre minor´e en fonction denet du degr´e deV (cela r´esulte des travaux deE. Bombieri–U. Zannieret deW. Schmidtconfer [Bo–Za], [Sch]).

Illustrons les notions pr´ec´edentes `a l’aide de quelques exemples : Exemples : si V = {α} ×G<sup>n−1</sup>m , o`u α ∈ Q

∗, alors ˆµ^ess(V) = ˆh(α). Par contre, V^◦ = ∅, et ˆ

µ^◦₁(V) =· · ·= ˆµ^◦_n−1(V) = +∞.

Si maintenant C est une courbe contenue dans G²_m, de stabilisateur discret, et si V = C ×Gm ⊂G³m, alors, on a encore ˆµ^ess(V) = ˆµ^ess(C) etV^◦=∅. Par contre,

ˆ

µ^◦₁(V) = ˆµ^ess(V) = ˆµ^ess(C) ,

puisque V n’est pas un translat´e d’un sous-tore mais ˆµ^◦₂(V) = ˆµ^ess(C) bien que V soit une r´eunion de translat´es de sous-groupes de codimension 1.

Ces consid´erations montrent que non seulement les ˆµ^◦_j(V) refl`etent assez bien le comporte- ment de la hauteur sur l’ouvert V^◦, mais ils prennent ´egalement en compte la variation de la hauteur surV tout entier, notamment lorsque son stabilisateur n’est pas discret.

Nous nous proposons d’´etudier le dernier de ces minima g´eom´etriques, ˆµ^◦_dim(V)(V) que nous noterons pour all´eger ˆµ^◦(V) dans la suite.

On peut aussi interpr´eter la quantit´e ˆµ^◦(V) comme un infimum des minimums essentiels des sous-vari´et´es deV; plus pr´ecis´ement, nous verrons au lemme 2.2,

ˆ

µ^◦(V) = inf

Z µˆ^ess(Z)

o`u le infimum est pris sur les sous-vari´et´esZ deV qui ne sont pas contenues dans un translat´e B d’un sous-tore deGⁿm tel queB ⊆V.

Avant d’´enoncer des conjectures pr´ecises sur le comportement de ˆµ^◦(V), introduisons en- core une notion : on appelle indice d’interpolation de V, not´e ˜ω(V), le plus petit entier δ pour lequel l’id´eal de d´efinition I(V) est engendr´e en degr´e 6 δ. Un indice d’interpolation relatif`a une vari´et´e W interm´ediaire est plus g´en´eralement introduit dans la d´efinition 1.8 de [Am-Da1]) : siV (W, le plus petit entierδ tel qu’il existe des sous-vari´et´esY₁, . . . , Y_tde W

de codimension 1 dansW et degr´e6δ telles queV =Y1∩ · · · ∩Ytest l’indice d’interpolation relatif ˜ω(V, W).

On peut alors conjecturer :

Conjecture 1.3 Soit V une sous-vari´et´e de Gⁿ_m et B le plus petit translat´e d’un sous-tore contenant V. Alors, l’ensemble des points x deV^◦(Q) de hauteur

ˆh(x)6 c(n) deg(B)

˜ ω(V, B)

est de cardinal fini, major´e par

c2(n)˜ω(V, B)^b deg(B)^b−1 , o`u b est la codimension deB.

Remarques : en particulier, cette conjecture affirme que ˆ

µ^◦(V)> c(n) deg(B)

˜

ω(V, B) .

Il est int´eressant de noter qu’en tout ´etat de cause, ˜ω(V) est major´e par deg(V). De plus, on voit facilement que ˜ω(V, B)6deg(B)˜ω(V). Ainsi, la conjecture 1.3 entraˆıne en particulier :

ˆ

µ^◦(V)> c(n) deg(V) .

Enfin, il ne semble pas possible de conjecturer une minoration d´ependant d’un invariant comme l’indice d’obstruction, comme le montre l’exemple ci-dessous. La conjecture 1.3 semble donc ˆetre essentiellement optimale quand au comportement de ˆµ^◦(V) en fonction du degr´e de V.

Exemple : soit m un entier > 1; consid´erons la sous-vari´et´e V de G⁴m d´efinie par les

´

equations :

F(x, y, z, t) : =x^m+y^m−1 = 0 , G(x, y, z, t) : =x²+x³−z−t= 0 .

On v´erifie facilement queV^◦ =V, et queV n’est contenue dans aucun translat´e de sous-tore strict de Gⁿ_m. Enfin, on voit aussi que ω(V) 63 (en fait ω(V) = 3). Soit C la courbe ⊂G²_m d´efinie parF = 0 (vu comme polynˆome de deux variables) et soit enfin (αn, βn) une suite de points deC(Q) telle que ˆh(α_n, β_n) converge vers ˆµ^ess(C)∼ _m¹. On pose

Pn: = (αn, βn, α_n², α³_n) .

Les points Pn sont donc tous dans V^◦, leur hauteur v´erifie ˆh(Pn)612ˆh(αn, βn). Ainsi, on a exhib´e une suite de points de V^◦ de hauteur 6 c/m ce qui montre bien que ˆµ^◦(V) 6 c/m.

Pour m assez grand, ceci contredirait l’in´egalit´e ˆµ^◦(V)>c/ω(V).

Toutefois, il n’est pas exclu que l’on puisse se contenter d’unindice de quasi interpolation d´efini comme suit.

D´efinition 1.4 Si V (W, l’indice dequasi interpolation de V relativement `a W est le plus petit enier δ pour lequel il existe des sous-vari´et´es Y₁, . . . , Y_t de W, de degr´e 6 δ telles que V soit une composante isol´ee de Y₁∩ · · · ∩Y_t. On le notera δ(V, W), et simplement δ(V) si W =Pn.

Bien entendu, on dispose des in´egalit´es :

ω(V)6δ(V)6ω(V˜ )6deg(V) . (1)

De plus,δ(V) = ˜ω(V) si V est une intersection compl`ete.

Dans la direction de la conjecture 1.3, nous obtenons le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 1.5 Soit V une sous-vari´et´e de Gⁿ_m. On a :

ˆ

µ^◦(V)> c⁰(n)⁻¹δ(V)⁻¹×

log(3δ(V))−λ(n−1)

, o`u c⁰(n) est un nombre r´eel strictement positif, et λ(k) = 9(3k)^(k+1)k

est la fonction de k introduite au th´eor`eme 1.1. Il existe donc un nombre fini de translat´es de sous-tores B₁, . . . , B_m contenus dans V tels que

ˆh(α)>c⁰(n)⁻¹δ(V)⁻¹×

log(3δ(V))−λ(n−1)

, pour tout

α∈V\

m

[

j=1

Bj .

Remarque : ce r´esultat semble indiquer qu’au moins pour les compactifications naturelles du groupe multiplicatif Gⁿ_m, on puisse conjecturer que le bon invariant pour ce probl`eme est bienδ(V).

Le th´eor`eme 1.5 ´etabli `a une puissance du logarithme du degr´e pr`es la minoration conjec- tur´ee pour le dernier des minimums g´eom´etriques, tout au moins lorsque le degr´e du groupe ambiant est n´eglig´e (comparer avec la conjecture 1.3 avecB =Gⁿm).

Si la minoration de ˆµ^◦(V) dans le th´eor`eme 1.5 est assez satisfaisante (`a l’exception peut- ˆ

etre des valeurs dec(n) et λ(n−1)), on devrait pouvoir borner la quantit´e D: =

m

X

j=1

degBj

en fonction du param`etre ˜ω(V) ; il semble raisonnable de conjecturer queDest en fait major´e par (il s’agirait de renforcer la conjecture 1.3 pour inclure dans les exceptions les translat´es par des sous-tores non triviaux) :

D6 c⁰⁰(n)˜ω(V, B)^b deg(B)^b−1 ,

o`uc⁰⁰(n) est un nombre r´eel>0, en reprenant les notations de la conjecture 1.3. De plus, par exemple lorsqueB =Gⁿm, une borne du type

D6c⁰⁰(n)δ(V)ⁿ

log(3δ(V)) κ(n)

,

est peut-ˆetre accessible `a l’aide des techniques actuelles. En dehors de son intˆeret propre, un tel r´esultat aurait notamment comme cons´equence l’´enonc´e suivant. Soient Γ ⊂ Gⁿm(Q) un sous-groupe de rang6r, et aun nombre r´eel positif. Alors, pour toutε >0, il existe au plus

c(n, ε)a^rω(V˜ )^r(n+1)+ε

points de (V^◦ ∩Γ)(Q) de hauteur 6 a, une am´elioration substantielle du th´eor`eme 1.4 de [Da–Ph]. Il est int´eressant de noter qu’en fait (conferproposition 5.6 de loc. cit.) une borne polynˆomiale en le degr´e deV est connue pourD(essentiellement de l’ordre de deg(V)^7dim(V)).

En effet, une des applications d’´enonc´es comme le th´eor`eme 1.5 est une estimation pour le nombre de points de hauteur born´ee de V^◦ se trouvant dans un sous-groupe de rang fini.

On pourra se reporter en particulier aux travaux de J.-H. Evertse et H.-P. Schlikewei (confer[Ev-Sc]) et de G. R´emond (confer[Re]) pour plus de d´etails.

Rappelons que la meilleure minoration connue pr´ec´edemment ´etait due au second auteur et `a P. Philippon(confer[Da–Ph], th´eor`eme 1.3) et affirmait que si

q(V) :=

2^g+4d+22deg(V)(log(deg(V) + 1))^2/37^dim(V)

,

alors, l’ensemble des points de V^◦(Q) de hauteur ˆh(x)6 1

q(V)^3/4

est fini, de cardinal au plus q(V), soit une minoration de ˆµ^◦(V) essentiellement du type deg(V)^−7dim(V), `a comparer `a δ(V)^−1−ε dans le theor`eme 1.5. Les r´esultats ant´erieurs (confer E. Bombieri–U. Zannier et W. Schmidt) ´etaient quand `a eux pluri-exponentiels en le degr´e deV.

La preuve du th´eor`eme 1.5 occupera le paragraphe 3. Ce dernier s’obtient `a partir d’une variante quantitative du th´eor`eme 1.1 (le th´eor`eme 2.1), `a l’aide d’une r´ecurrence sur la dimen- sion qui est assez proche de l’argument que l’on trouvera dans notre texte [Am-Da2] qui traitait pour sa part du «dernier minimum arithm´etique». Il est `a noter que la r´ecurrence est tr`es diff´erente de celle employ´ee dans [Da–Ph] (arguments d’intersection, et th´eor`emes deB´ezout) qui est elle tr`es coˆuteuse en terme de qualit´e des bornes. La preuve du th´eor`eme 2.1 occupe pour sa part le paragraphe 2. Comme cette derni`ere est tr`es proche de celle du th´eor`eme 1.1, nous avons, pour garder `a ce texte une longueur raisonnable et ´eviter trop de redites, fait appel tr`es souvent aux arguments de [Am-Da1]. Il est donc conseill´e au lecteur de garder cette r´ef´erence `a leur port´ee pour suivre les d´emonstrations. Que les lecteurs pr´ef´erant un texte plus auto-explicite veuillent bien nous en excuser.

2 R´ esultats auxiliaires

Nous pr´ecisons dans ce paragraphe, le th´eor`eme 1.1 : dans [Am-Da1], nous avonssuppos´e que V n’est contenue dans aucun translat´e d’un sous-tore propre de Gⁿ_m, pour minorer son minimum essentiel en fonction de ω(V). Toutefois, comme c’est souvent le cas en g´eom´etrie

diophantienne on peut, dans le cas d´eg´en´er´e, obtenir une information quantitative pr´ecise.

Ici, cela reviendrait `a proposer l’alternative suivante : ou bien le minimum essentiel deV est assez grand, ou bien V est contenue dans un translat´e B d’un sous-tore strict de G<sup>n</sup><sub>m</sub> dont le degr´e est contrˆol´e pr´ecisement en fonction des donn´ees du probl`eme (ici, ω(V), la dimension du groupe ambiant et la dimension de V). C’est tr`es pr´ecis´ement ce qui se produit :

Th´eor`eme 2.1 Pour tout entier n > 1, il existe un nombre r´eel strictement positif c⁰(n), effectivement calculable, tel que la propri´et´e suivante soit vraie. Soit V une sous-vari´et´e de Gⁿm de codimension k. Alors, ou bien il existe un translat´e d’un sous-tore B ( Gⁿm contenant V, tel que :

(deg(B)1/codim(B)

6c(n)ω(V)×

log(3ω(V)) λ(k)

,

ou bien :

ˆ

µ^ess(V)>c(n)⁻¹ω(V)⁻¹×

log(3ω(V))−λ(k)

;

comme dans le th´eor`eme 1.1, la nombre λ(k) est explicitement connu et vaut : λ(k) : =

9(3k)^(k+1) k

.

D´emonstration : on suit la preuve du th´eor`eme 1.4 de [Am-Da1] dont nous conservons les notations; nous indiquons simplement les passages o`u il convient d’ˆetre plus pr´ecis.

Soit V une sous-vari´et´e propre etQ-irr´eductible deGⁿ_m de codimensionkdont on suppose qu’elle a un petit minimum essentiel :

ˆ

µ^ess(V)< c(n) ω(V)×

log(3ω(V)) −λ(k)

.

Nous pouvons alors appliquer la proposition 5.5 deop. cit.⁵ : en particulier, on est assur´e de l’existence de deux sous-vari´et´es propres etQ-irr´eductiblesWi−1 etW_i deGⁿm, de la mˆeme dimension, et de l’existence de certains entiers l₁, . . . , l_i ∈N^∗ qui v´erifient :

dim(Wi−1) = dim(Wi) , [li]Wi−1⊆Wi , [l1. . . li−1]V ⊆Wi . De plus,li est premier avec

Stab(Wi−1) : Stab(Wi−1)⁰

. SiWi n’est pas un translat´e d’un sous-tore propre de Gⁿm, alors la suite de la preuve du th´eor`eme 1.4 de [Am-Da1] conduit `a une contradiction. On peut donc supposer que W_i est un translat´e d’un sous-tore propre; il s’ensuit que

B˜ : = [l1. . . li−1]⁻¹Wi

est une r´eunion de translat´es d’un sous-tore propre et contientV (carWicontient [l1. . . li−1]V).

Choisissons une composante, que nous noterons B, de ˜B contenant V. Pour d´emontrer le th´eor`eme 2.1, il suffit de majorer le degr´e deB.

En appliquant les relations (ii)de la d´efinition 5.3 et la scolie 5.4 de op. cit., on en tire : (deg(W_i)1/codim(Wi)

6(P_i+1. . . P_k)²ω([l₁. . . l_i]V)6(P₁. . . P_k)(P_i+1. . . P_k)ω(V) ,

5L’hypoth`ese que V n’est contenue dans aucun translat´e de sous-tore propre de G<sup>n</sup>m, qui apparaˆıt dans l’´enonc´e de cette proposition, n’est en fait pas utilis´e dans sa preuve. Cette derni`ere n’apparait qu’`a une ´etape ult´erieure de la d´emonstration, au paragraphe 5.3.

d’o`u (rappelons queWi est un translat´e d’un sous-tore propre deGⁿm) (deg(B)1/codim(B)

= (deg(Wi)1/codim(Wi)

6(P1. . . P_k)²ω(V) .

Par ailleurs, (P1. . . Pk)² = (C₀²log(3ω(V)))^u, o`u (confer les choix des param`etres Pi et l’in´egalit´e (5.2) dansop. cit.) :

u: = 4(3k)^k+1(ρ1+· · ·+ρk)68(3k)^k+1ρ1< 9(3k)^(k+1)k

=λ(k) . On a donc :

(deg(B)1/codim(B)

6ω(V)(C₀²log(3ω(V)))^λ(k) . Le th´eor`eme 2.1 est donc enti`erement ´etabli.

On se propose, au paragraphe 3 de d´eduire le th´eor`eme 1.5 du r´esultat pr´ec´edent, au moyen d’une r´ecurrence sur la dimension du groupe ambiant, analogue `a celle utilis´ee dans la preuve du th´eor`eme 1.4 de [Am-Da2]. Pour ce faire, nous avons d’abord besoin d’exprimer ˆµ^◦(V) en fonction du minimum essentiel de certaines sous-vari´et´es deV :

Lemme 2.2 Soit V une sous-vari´et´e de Gⁿm. On a alors : ˆ

µ^◦(V) = inf

Z

µˆ^ess(Z) ,

o`u l’infimum est pris sur les sous-vari´et´esZ deV, qui ne sont pas contenues dans un translat´e B ⊆V d’un sous-tore de Gⁿm.

D´emonstration : nous commen¸cons par montrer que inf_Z ˆ

µ^ess(Z) > µˆ^◦(V); soit donc θ un nombre r´eel strictement sup´erieur `a inf_Z

ˆ

µ^ess(Z) . Par d´efinition, il existe donc une sous-vari´et´eZ de V, qui n’est pas contenue dans un translat´e B d’un sous-tore deGⁿ_m tel queB ⊆V et telle queZ(θ) estZariski-dense dansZ. Supposons queV(θ) soit contenu dans une r´eunion finie Σ de translat´es de sous-tores contenus dansV. On a alors : Z(θ)⊆Σ et donc Z ⊆Σ par densit´e. On en d´eduit queZ est contenu dans une composante irr´eductible de Σ, i. e. dans un translat´e B ⊆V d’un sous-tore (car Z est irr´eductible); c’est une contradiction.

En conclusion, V(θ) n’est pas contenu dans une r´eunion finie de translat´es de sous-tores contenus dans V, d’o`u, par d´efinition de ˆµ^◦(V),

θ>µˆ^◦(V) . Montrons maintenant que inf_Z

ˆ

µ^ess(Z) 6 µˆ^◦(V). Pour cela, soit θ un r´eel, θ > µˆ^◦(V);

l’ensemble V(θ) n’est donc pas contenu dans une r´eunion finie de translat´es de sous-tores contenus dans V. On en d´eduit l’existence d’une composante irr´eductible Z de la clˆoture de Zariski de V(θ) qui n’est pas contenue dans un translat´e B ⊆V d’un sous-tore de Gⁿm. Remarquons que V(θ)∩Z estZariski-dense dansZ. Donc ˆµ^ess(Z)6θ. Ce qui donne :

infZ

µˆ^ess(Z) 6θ . Le lemme 2.2 est donc ´etabli.

3 D´ emonstration du th´ eor` eme 1.5

Nous pouvons maintenant d´emontrer le th´eor`eme 1.5. Nous allons proc´eder par r´ecurrence surn. Dans le principe, nous suivons la d´emarche introduite pour la preuve du th´eor`eme 1.4 de [Am-Da2] : si une sous-vari´et´e Z de V a un trop petit minimum essentiel, alors, elle est contenue dans un translat´e d’un sous-groupe, dont nous contrˆolons le degr´e par le th´eor`eme 2.1.

On peut alors utiliser une bonne param´etrisation de ce sous-groupe pour se ramener `a une situation en dimension ambiante plus petite.

Grˆace au lemme 2.2, il suffit de montrer que pour toutn∈N, pour toute sous-vari´et´eV de Gⁿ_m, et pour pour toute sous-vari´et´e Z de V qui n’est pas contenue dans un translat´e B⊆V d’un sous-tore, on a :

ˆ

µ^ess(Z)> c⁰(n)⁻¹δ(V)⁻¹×(log(3δ(V))^−λ(n−1) , pour un certain nombre r´eel c⁰(n)>0.

Si n= 1, le th´eor`eme est vrai (V est un point, donc un translat´e d’un sous-tore contenu dans celui-ci). Supposons donc le th´eor`eme vrai pour un certain entiern−1>1 et supposons par l’absurde qu’il soit faux pourn. SoitC₀(n) un nombre r´eel assez grand (que l’on pourrait calculer effectivement `a partir de la constante c(n) du th´eor`eme 2.1). Il existe alors un entier δ > 1, une sous-vari´et´e alg´ebrique Q-irr´eductible V de Gⁿm telle que δ(V) 6 δ et une sous- vari´et´e Z ⊆V, qui n’est pas contenue dans un translat´e B ⊆V d’un sous-tore et telle que

ˆ

µ^ess(Z)< C₀(n)⁻¹δ⁻¹×(log(3δ))^−λ(n−1) .

Remarquons que ω(Z) 6 δ (puisque Z ⊆ V, par d´efinition ω(Z) 6 ω(V) 6 δ(V)) : le th´eor`eme 2.1 nous assure donc que Z est contenue dans un certain translat´e α·H d’un sous-toreH ( Gⁿ_m, et que le degr´e deH v´erifie l’in´egalit´e :

(deg(H)1/codim(H)

6c(n)δ×(log(3δ))^λ(k) . (2) De plus, il n’y a pas de restriction `a supposer queα∈Z et est tel que ˆh(α)62ˆµ^ess(Z); on a alors :

ˆ

µ^ess(α⁻¹·Z)6ˆh(α⁻¹) + ˆµ^ess(Z)6nˆh(α) + ˆµ^ess(Z)63nˆµ^ess(Z) . (3) Soit Λ le sous-module de Zⁿ des relations de H :

Λ : = n

λ∈Zⁿ, tel que ∀x∈H, x^λ= 1o .

On sait que le volume de Λ (par rapport `a la m´etrique euclidienne usuelle) est ´egal au degr´e deH; le th´eor`eme deMinkowskinous fournit alors un ´el´ement non nulλ∈Λ tel que :

D: = max

16i6n

|λ_i| 6(degH)^1/codim(H) . (4)

On peut supposer que λ1, . . . , λn sont globalement premiers entre eux (car H est connexe);

quitte `a renum´eroter les variables et `a changer les signes, on peut ´egalement supposerλ_n=D.

Le sous-toreH⁰ d’´equation

x^λ= 1

contient doncH, il est de degr´e au plusnDet on dispose de la param´etrisationϕ: Gⁿ⁻¹m H⁰ d´efinie par :

ϕ(x) : =

x^λ₁ⁿ, . . . , x^λ_n−1ⁿ , x^−λ₁ ¹. . . x^−λ_n−1ⁿ⁻¹

. SoitZ⁰une composante irr´eductible deϕ⁻¹ α⁻¹·Z

et notonsV⁰une composante irr´educ- tible deϕ⁻¹(α⁻¹·V) contenantZ⁰. On a alors :

(a) la sous-vari´et´eV⁰deGⁿ⁻¹_m est une composante irr´eductible du lieu des z´eros de polynˆomes dont le degr´e satisfait l’in´egalit´e :

6max{λ_n,|λ₁+· · ·+λn−1|}δ 6nDδ ; en particulier,δ(V⁰)6nDδ;

(b) par construction,Z⁰ ⊆V⁰etZ⁰n’est contenue dans aucun translat´e d’un sous-tore inclus dans V⁰. En effet, si Z⁰ ⊆ B⁰ pour un certain translat´e d’un sous-tore B⁰ ⊆ V⁰, alors on aurait⁶ Z =α·ϕ(Z⁰)⊆ B avec B: =α·ϕ(B⁰) ⊆Vtranslat´e d’un sous-tore, ce qui contredit lechoix de Z.

(c) les minima essentiels deZ etZ⁰ sont li´es par l’in´egalit´e (conferla relation (3)) : 3nˆµ^ess(Z)>µˆ^ess(α⁻¹·Z) = ˆµ^ess(ϕ(Z⁰))>λnµˆ^ess(Z⁰) =Dµˆ^ess(Z⁰) . Par hypoth`ese de r´ecurrence, il existe une constantec⁰(n−1)>0 telle que

3nD⁻¹µˆ^ess(Z)>µˆ^ess(Z⁰)> c⁰(n−1)⁻¹(nDδ)⁻¹

log>(3nDδ)−λ(n−2)

,

d’o`u, compte tenu de la majoration (4), ˆ

µ^ess(Z)>c⁰(n−1)⁻¹(3n)⁻¹δ⁻¹

log(3ndeg(H)δ)−λ(n−2)

.

L’in´egalit´e (2) majorant le degr´e de H, on voit pour finir quel’on peut choisir la constante C₀(n) assez grande de telle sorte que :

3n²c⁰(n−1)

log(3ndeg(B)δ)λ(n−2)

6C₀(n)

log(3δ)−λ(n−2)

.

Pour un tel choix de C₀(n) on a n´ecessairement : ˆ

µ^ess(Z)> C0(n)⁻¹δ⁻¹(log 3δ)^−λ(n−2)

> C0(n)⁻¹δ⁻¹(log 3δ)^−λ(n−1) . Contradiction. D’o`u le th´eor`eme 1.5.

6Rappelons que commeZ⊆α·H, on a n´ecessairementα·ϕ(Z⁰) =Z.

R´ ef´ erences

[Am] F. Amoroso. « Small points on subvarieties of algebraic tori : results and methods». Rivista di matematica dell’ Universit`a di Parma, `a paraˆıtre.

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Math. subject classification : 11 G 10, 11 J 81, 14 G 40.

FrancescoAmoroso, SinnouDavid

U. m. r.(C. n. r. s.), U. m. r.(C. n. r. s.)–U. f. r., Nicolas Oresme Th´eorie des nombres

D´epartement de Math´ematiques, Institut de math´ematiques deJussieu, Universit´e deCaen, Universit´e Pierre et MarieCurie, Campus II, BP . , PlaceJussieu,

F–Caen C´edex Paris, adresse ´electronique : adresse ´electronique : [email protected] [email protected]