INTUMESCENCES
SOCIÉTÉ HYDROTECHNIQUE DE FRANCE 1 5 juin 1 9 6 1
Étude numérique
et expérimentale d'intumescences à forte courbure du front
A numerical and expérimental study of steep-fronted solitary waves
PAR
J. F A U B E ET K N A H A S
INGÉNIEURS AU LABORATOIRE NATIONAL D'HYDRAULIQUE DE CHATOU
Résolution, sur ordinateur électronique, de la propagation d'une onde présentant un front à forte courbure sur fond sec ou non sec, propa- gation qui est régie par deux séries d'équa- tions : les équations dites de Saint-Venant et les équations de l'onde de choc ou du front d'onde.
Cas, le plus général, d'une vallée rectangulaire à largeur constante (fond aval sec ou humide, pente et frottement), et cas d'une vallée pris- matique ou rectangulaire quelconque avec fond aval humide.
Comparaison avec des résultats expérimentaux.
The use of an electronic ordinator to résolve the propagation of a steep-fronted wave on a dry or wet bed, which is governed both bij Saint-Venant's équations and the shock wave (or wave front) équations.
Considération of the most gênerai case of a rectangular valley of constant width (dry or wet downstream bed, gradient and friction), and of the case of any prismatic or rectangular valley with a wet downstream bed.
Comparison between theoretical and expérimen- tal results.
I. — INTRODUCTION ET NOTATIONS Celte communication présente, p a r m i les pro-
blèmes étudiés sur ordinateur électronique, au Laboratoire National d'Hydraulique de Chatou, un problème de mouvement non p e r m a n e n t pro- grammé initialement sur ordinateur IBM 704 et réassemblé sur IBM 7090.
Ce problème concerne la propagation d'intu- mescence à front à forte courbure créé par une variation brusque de débit.
Les conditions initiales de l'écoulement étudié sont représentées p a r la figure 1, (l'indice zéro représente l'état à l'amont, et l'indice un, à Laval) avec u0, ul9 Zx pouvant prendre des va- leurs égales ou différentes de zéro.
Les notations utilisées dans la suite sont les stavantes ;
u. vitesse des tranches liquides parallèlement à l'axe du canal;
z profondeur;
Article published by SHF and available athttp://www.shf-lhb.orgorhttp://dx.doi.org/10.1051/lhb/1961044
OCTOBRE 1 9 0 1 - N ° 5 J. F A U R E ET N . N A H A S 577 L largeur au miroir;
x abscisse suivant l'axe moyen du canal;
A section mouillée;
g accélération de la pesanteur (9,81 m / s2) ; A
h profondeur moyenne h = - y - ;
a vitesse élémentaire de l'onde a = u - j - V # S ;
(J vitesse élémentaire de Tonde p = u — \/gh;
i t e m p s ;
p périmètre mouillé;
R rayon h y d r a u l i q u e ; Q débit;
il pente de îa ligne d'eau fictive tracée avec une section mouillée constante;
qe débit latéral.
II. — ÉQUATIONS GÉNÉRALES Le problème envisagé est régi par deux séries
d'équations :
— les équations dites de Saint-Venant, lorsque l'écoulement peut être considéré comme gra- duellement variable (Cf. IL 1 ) ;
— les équations d'onde de choc, lorsque le front de Tonde présente une courbure importante (Cf. H.5.2.).
L'ensemble de ces deux équations raccor- dées convenablement permet de traiter un pro- blème complet de mouvement non p e r m a n e n t (Cf. [6] et [7]).
par voie analytique; aussi nous nous proposons, en p a r t a n t des équations (1) et (2) de déterminer les équations différentielles des caractéristiques (propagation d'une perturbation dans le conti- nuum espace-temps) et de procéder ensuite à leur intégration par des méthodes aux différences finies.
On peut représenter les surfaces intégrales z (x, t) et u (x, t) solutions du système, en por- t a n t sur le plan horizontal (x, t) z et u; si les courbes limites se composent d'une série de frag-
Zou U
II. 1. Equations de Saint-Venant :
Avec les notations indiquées, elles s'écrivent : dA
dt L
+ A du dx dA
dx
+
du dx dA dx+
0
du f
( 1 )
Q (2)
Elles supposent l'écoulement graduellement variable, c'est-à-dire que :
— la courbure des différentes trajectoires est supposée négligeable;
— l'inclinaison mutuelle des différents filets est faible;
— l'accélération de chaque particule n'a pas de composante sensible n o r m a l e m e n t au cou- r a n t ;
— l'écoulement se fait par tranches.
On suppose que Ton peut, avec une approxi- mation suffisante, remplacer toutes les vitesses individuelles des filets par leur vitesse moyenne de débit.
Le système d'équations aux dérivées partiel- les (1) (2), dit quasi-linéaire, n'est pas intégrable
FIG. 2
ments analytiques, chacun de ces fragments donne une surface intégrale. Les différentes sur- faces se coupent entre elles suivant des courbes caractéristiques qui représentent la propagation des discontinuités existant dans les courbes limi- tes (fig. 2).
II.2. Equations des caractéristiques :
Les caractéristiques engendrées par les discon- tinuités des courbes polygonales se définissent
5 7 8 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCTOBRE 1 9 0 1
par la propriété que les dérivées partielles y sont indéterminées.
Dans le système suivant : dA , . du . dA
— + A — \~ u ——
dt dx dx
g dt g dx 1 L
dA dx du
dA
du . du ,
^ f d t + ^ d x
3 A M + J£_ d x
dt dx
= (n — f , ) 02)
( 3 )
( 4 )
les deux premières équations sont les équa- tions de Saint-Venant, les deux autres sont des relations générales qui lient les différentielles totales aux dérivées partielles. L'équation des caractéristiques s'obtiendra en recherchant à quelles conditions le système ( 1 ) , ( 2 ) , ( 3 ) , ( 4 ) en
dA dt
dA dx
du dt
du dx
est indéterminé. Un problème analogue a été p r o g r a m m é sur ordinateur I B M 650 [ 4 ] .
I I . 2 . 1 . INDÉTERMINATION OU IMPOSSIBILITÉ :
On est dans ce cas lorsque le déterminant principal du système des 4 équations précéden- tes est nul :
soit
1 L 0 dx
(5)
0 1 A
1 0 u
0
<7 9
dt 0 dx
0 dt 0
dx I Â "
I L 2 . 2 . INDÉTERMINATION :
On est dans ce cas lorsque le déterminant obtenu en remplaçant une colonne quelconque de A par le second membre du système ( 1 ) , ( 2 ) ,
V3 ) , ( 4 ) est n u l ; on a q u a t r e déterminants (déter- m i n a n t principal à q u a t r e colonnes) mais en
tenant compte de la relation (5), on ramène ces quatre déterminants à un seul :
0 1 — <h u
(1) S =
JL 9
0 1
L
dt 0 du 0
02) 0 dt dA dx
La résolution de ce déterminant permet d'a- boutir à la relation (6) :
du dt (6)
D'où les équations des caractéristiques sui- vantes :
dx dt
du + J-jL- dA = [(,- i,, g-^y/g I - ] dt \
\l
g 1 7(7)
dx dt
du ~ \ f i t d A = (x — Ug + ^ s J g x (8) dt
dx dt
I I . 2 . 3 . CANAL CYLINDRIQUE :
Dans le canal d'un canal cylindrique, les équa- tions des caractéristiques s'écrivent :
avec A = Lh ;
h la h a u t e u r moyenne;
71 — z0 la pente du fond.
u + VgF
du
+sJir
dz==[
(i» - ^ * ~ f - yj-f]
(9) dt
<Z« IjL L
V
hdX \r—JT
— = u-Vgh
du ~ s/~irdz = [ — i r ) 9 + En posant [3]
(10) dt
dh dz dh
OCTOBRE 1 9 6 1 - N ° 5 J. F A U R E ET N . N A H A S 5 7 9
avec
dz
dh S ( V p ) on obtient
M = f S( V p ) d(vjh) = M(gh)
d'où la nouvelle forme des équations ( 9 ) et ( 1 0 ) : dx
dt
d{-f + M
i [ > - « ' ~ £ \ / - f dt
a n
dx
2 "'" J 2 si l'on pose
( 1 0 0
dt
F + = M + JL F - = M - - f -
Les équations ( 9 0 et ( 1 0 0 s'écrivent sous leur forme définitive ( 1 1 ) et ( 1 2 ) :
dx — (u + \/~gE) dt dF+ + a+ dt = 0
d.r = (u ~~~ Vg^fi) d£
dF~ + a - df = 0
( 1 1 )
( 1 2 )
I I . 2 . 4 . CANAL A BERGES VERTICALES ET ÉLARGISSEMENT PROGRESSIF :
C'est le cas d'un canal dont les berges sont verticales dans la zone de variation de niveau, et dont la largeur au miroir est fonction de l'abscisse x (dans la zone de variation de niveau).
Dans ces conditions : avec A = L (x) h
les équations (7) et (8) peuvent donc s'écrire : dx
dt du
u + \/gh
S( 1 3 )
dx
dt — u — ^fgh~
!
(14) dt
L' *-h + i„
Avec dx = (u ± Vgfi) dt, les équations (13) et (14) conduisent aux équations (14') et (15).
dx
dt u
+
Vgh~d<K-f + ^W
i (140 - i [ » * - « - v / f ( - î - + J ! T i dt
dx
dt u
—
\Jgh(15) g(ir — i0) — v -L-g ( qc . /?ti Ux
en j)osant : F+ = ^ _ + VflTT F - = V P - -ff
_1_
2 J _
2
> * - ' » » + v / i ( l + ' ' i î -
_ ! , , _ , , ) + v / Z ( t + ^
les équations ( 1 4 0 et ( 1 5 ) peuvent encore s'écrire :
dx = (u -f~ V#7ô dF + + a + d f = 0 rf,r = (H — \/~gE) dt d F ~ + a - df = 0
( 1 6 )
(17)
580 L A H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCTOBRE 1 9 6 1
II.3. Intégration par différences finies : Supposons connu j u s q u ' à u n certain moment le réseau des caractéristiques, c'est-à-dire leur projection sur le plan (x,t) et les valeurs aux nœuds de ce réseau des fonctions
F±, a± et a = u + y / g h9 $ = u — \/gh
E t a n t donné une maille PAOG (fig. 3), suppo- sons P , A, O, connus ainsi que :
F±p F *A F - o
«p Pp * A PA A0 PO t
G
P
I •
O X FIG. 3
La détermination des coordonnées du point G inconnu, ainsi que les valeurs de F +G, F ~G, <xG et PG en ce point est fournie p a r les systèmes (11) (12) ou (16) et (17) écrits sous forme de dif- férences finies :
z<* — Xa = * A ( ' G — * A )
F +G — F +A + a +A«G— *A) = 0
( F -G — F -0) + a-o (tG — f0) = 0 d'où les valeurs de xG, tG
F + c = X + M
cl ( n )G et Z profondeur au point G.
II.4. Conditions initiales :
Les conditions initiales sont définies p a r l'état du canal à l'instant 0 — s (l'instant 0 correspon- dant à l'origine de la manœuvre) (fig. 1).
Si le régime dans le canal n'est pas uniforme, ou à vitesse nulle, le calcul de l'état initial se ramène au calcul d'une courbe de remous qui peut être effectué p a r le même principe que le calcul des mouvements non p e r m a n e n t s [ 5 ] . On se donne la vitesse u0, yfgE et la valeur de la fonction M0 à l'aval d'un bief (fig. 4) et on fait partir vers l'amont u n e onde d'amplitude nulle.
t
FIG. 4
Au point 0, on a :
F -0 = M 0 - - | L
Po = — \ / gh0
L'équation kx = (30, M donne le temps d'arri- vée de l'onde au point A d'abscisse x0 + Ax.
La valeur de F ~ est donnée p a r l'équation : A F - + a -0 M: = 0
d'où F ~ ! .
L'état p e r m a n e n t au point 1 est donné p a r la résolution du système (18), (19) [5] :
F " ! = M ~- (18)
Q = uLh = Cte (19)
(régime p e r m a n e n t ) Le calcul se fait de proche en proche en diffé- rents points 0, 1, 2, 3 n du canal.
II.5. Variation brusque d e débit :
L'écoulement qui fait suite à u n e variation b r u s q u e de débit est régi p a r les équations de Saint-Venant [2] qui ne donne pas de rensei- gnements sur le front d'onde; on joint aux équations de Saint-Venant l'équation du front
OCTOBRE 1 9 6 1 - N ° 5 J. F A U R E ET N . N A H A S 5 8 1
d'onde ou de l'onde de choc suivant que l'aval est sec ou mouillé.
Le principe de calcul basé sur la résolution numérique des équations de Saint-Venant reste valable pour une variation brusque de débit.
Néanmoins, pour que le problème soit entière- ment défini, il reste à préciser les conditions à la limite (au départ de l'onde) ainsi que la loi de propagation du front ou de Tonde de c h o c II.6. Conditions à la limite :
Si l'on prend t = 0 l'instant de la m a n œ u v r e de variation brusque de débit, à l'instant + s (très faible) les forces d'inertie sont encore négligeables; on a donc :
F+ = ^ + M(z) = - ^ + MOz0) = Cte (21)
II. 7. Loi de propagation du front d'onde ou de l'onde de choc :
F R O N T D'ONDE
La loi de propagation du front d'onde sur fond sec donnée par W h i t h a m [8] est basée sur la méthode Polhausen relative à la couche limite.
Son principe est donné ci-après.
L'auteur suppose négligeable la perte de charge dans l'écoulement supérieur au front d'onde appelé écoulement sain et admet par conséquent la solution de Ritter [2] :
ho ( 1
3 u 2 Vglio
u
1 i
2 Vgh0
(23) (24)
F - M(z)- u
~2 (22)
avec l'indice zéro désignant l'état p e r m a n e n t à l'instant •— s.
Du point x — 0, £ = 0 dans le plan (x, t), il part une infinité de caractéristiques F - centrées à l'origine (ce point étant un point singulier) définie par la profondeur Z , la vitesse correspon- dante u ; ces caractéristiques se dirigent vers l'amont dans le cas où il y a de l'eau à l'aval et vers l'amont et l'aval au départ pour s'incurver ensuite vers l'amont, si l'aval est sec (fig. 5).
FIG. 5
Les limites de variations de Z et u sont défi- nies p a r : Z0 ^ Z ^ 0 si l'aval est sec, avec Z0 le t i r a n t d'eau initial, par Z0 ^ Z ^ Zc s'il y a de l'eau à l'aval, avec Zc la h a u t e u r de Tonde de choc.
La masse de la région frontale est donnée par l'expression :
M = o f t0 V f f / i o
2 Vghu
Le théorème des quantités de mouvement écrit pour la région frontale donne l'expression :
M ~ = ~~ a gW — oIu/2 (a — x) (26)
avec x la célérité de l'écoulement sain, a (t) la célérité du front d'onde.
En a d m e t t a n t que la vitesse n de l'écoulement sain est égale à (da/dt) et en remplaçant x, h et M tirés des équations (-23), (24) et (25) dans (26), on obtient l'équation différentielle de propaga- tion du front d'onde.
La résolution de cette équation p a r la méthode de développement en série de Taylor donne :
= 0,02431 + 0,01496
da
d a
\ da
+ 0,02163 d a V + 0,00941 (
+ 0,00563 F - ~ -j- 0,00186 ( ~ ^ PN
0,00327 d a V Va
avec
V
h0 Kt5 8 2 LA H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCTOBRE 1961
avec K u n coefficient de perte de charge
et
K avec k le coefficient de Strickler k2
da r—j— / o ^a
A partir de ces éléments, on peut calculer x, t et (da/dt) relatifs au front d'onde.
ONDE DE CHOC
La loi de Fonde de choc dans le cas d'une val- lée à section rectangulaire est [1] :
w _ u0 + s — y / 2
g ( . y2 — y( )2 ) v/ . v s u — u() = V Vn
avec W la célérité du front d'onde y=y/gh;
u la vitesse;'
e = ± 1 suivant qu'il s'agit d'une onde de choc descendant ou r e m o n t a n t le courant.
Dans le cas d'une vallée prismatique, on a W
A partir du front d'onde ou de l'onde de choc, on fait p a r t i r des caractéristiques de F ~ mon- tantes décalées dans le temps et dans l'espace, et qui rencontrent les caractéristiques descen- dantes F + ; la figure 6 représente la configura- tion générale des caractéristiques dans le plan (x, t).
III. _ PROGRAMMATION III. 1. Marche du calcul sur ordinateur élec-
tronique :
On suppose connues les conditions initiales, à la limite x = 0 et la loi de propagation du front d'onde ou de Tonde de choc (fig. 6). On fait par- tir de l'origine x = 0, t = 0, une caractéristique F ~ définie p a r les relations 21, 22; elle rencon- tre les caractéristiques F + venant de a. b, c, d, etc. (état initial) en A, B, C, D, etc.; de x = 0, t = 0, on fait partir une deuxième caractéris- tique définie par 21, 22; elle rencontre successi- vement les caractéristiques venant de A, B, C, D, etc. en A', B', C, Dy. La dernière caractéristique p a r t a n t de l'origine x = 0, t = 0 est celle qui correspond z — 0 si l'aval est sec, Z = Zc pour le cas où il y a de l'eau à l'aval, Zc étant la cote où se produit la scission du mouvement d'eau ou plus simplement la h a u t e u r de Tonde de choc se propageant vers l'aval. Les carac- téristiques F ~ suivantes numérotées sur la figure 5 pour 1, 2, 3, 4 partent du front d'onde ou de Tonde de choc et, décalé dans le temps et l'espace, le calcul se poursuit de la même façon.
I I L 2 . D o n n é e s d'un calcul : CONSTANTES :
Z0 le tirant d'eau initial a m o n t ; Zx le t i r a n t d'eau initial aval;
i0 la pente du fond;
K le coefficient de Strickler;
h0 la vitesse initiale a m o n t ;
« i la vitesse initiale aval.
TABLES :
— M (z) fonction qui dépend de la forme de la section (50 points au m a x i m u m ) ;
— h(z)la h a u t e u r moyenne en fonction de la profondeur Z (50 points au m a x i m u m ) ;
— L (z) ou L (x) la largeur au miroir en fonc- tion de la profondeur Z (section p r i s m a t i - que) ou en fonction de l'abscisse x (section à berges verticales et élargissement pro- gressif (50 points au m a x i m u m ) ;
OCTOBRE 1961 -N° 5 J . F A U R E ET N . N A H A S 5 8 3
— p (z) ou p' — L (x) + 2 Z le périmètre mouillé en fonction de la profondeur Z ou de l'abscisse x (50 points au m a x i m u m ) ;
— lignes d'eau à l'aval.
INTERVALLES :
Axj a l'amont (200 au m a x i m u m ) ; Ax2 à l'aval;
AZ 200 au m a x i m u m avec Zc ou 0 < Z < Z0,
I I I . 3 . Ordinateurs IBM 7 0 4 et 7 0 9 0 :
Le 704 qui équipait le centre de calcul scien- tifique IBM avait des possibilités qui peuvent être définies p a r trois caractéristiques principa- les :
— une mémoire à tores magnétiques de 8 000 mots avec u n cycle de base de 12 microse- condes (temps nécessaire pour accéder à Fun quelconque des mots) ;
— u n e unité arithmétique et logique capable d'effectuer 40 000 opérations à la seconde;
— des bandes magnétiques dont les vitesses de lecture et d'écriture dépassent 2 500 mots p a r seconde.
Le nouvel ordinateur 7090 apporte de très importantes améliorations pour chacune de ces caractéristiques :
— une mémoire à ferrites de 32 000 mots avec u n temps d'accès réduit de 2,1 microsecon- des;
— une unité arithmétique et logique pouvant effectuer plus de 200 000 opérations à la seconde;
— des bandes magnétiques rapides capables de lire ou écrire plus de 10 000 mots p a r seconde.
Le 7090 peut effectuer j u s q u ' à huit opérations indépendantes de lecture-écriture pendant le cal- cul. Autrement dit, il est capable d'effectuer u n calcul simultanément avec deux opérations dis- tinctes d'entrée-sortie.
I V . — ÉTUDE EXPÉRIMENTALE
I V . 1. Etude de variation brusque de débit en canal [ 9 - 1 0 ] :
Cette étude, à caractère plutôt expérimental, constitue u n recueil d'essais d a n s lequel sont analysés les divers p a r a m è t r e s qui interviennent dans l'écoulement. La comparaison théorique se limite à la solution analytique sans perte de charge.
Le dispositif expérimental est constitué par un canal vitré de section rectangulaire :
— longueur : 40,6 m,
— largeur : 0,25 m,
— h a u t e u r utilisable : 0,25 m ;
— une vanne (à levée verticale) placée au milieu du canal permet d'effectuer des levées rapi- des et variables de 7 / 1 0 0e s à une seconde;
— u n système photographique p e r m e t t a n t la mesure des profondeurs instantanées de l'écoulement p a r des clichés superposés des profondeurs des deux parois latérales et de la surface libre de l'écoulement.
Les p a r a m è t r e s étudiés sont :
— la rugosité (deux rugosités) ;
— le r a p p o r t des t i r a n t s d'eau amont et aval (Z./Zo) (Cf. fig. 1).
La pente est constante et égale à 1,2 X 1 0 ~4. Les vitesses u(i et ux (Cf. fig. 1) sont prises égales à zéro.
P o u r chaque essai, le dépouillement des résul- tats a permis d'obtenir :
— les profils i n s t a n t a n é s de l'onde;
— les vitesses moyennes spatiales instantanées en chaque section (10 sections) définies par :
l l = W , +A f — W , avec
W le volume d'eau situé en aval de la section de mesure,
S la section mouillée, A/ la variation de t e m p s ;
— les vitesses de surface.
Les conclusions sont les suivantes :
— les e r r e u r s de mesure de profondeur sont inférieures à 2 % en moyenne;
— la fidélité de l'écoulement est satisfaisante;
— les résultats d'essais sont en bonne concor- dance avec ceux obtenus d a n s les mêmes conditions p a r R. F . Dressler [ 1 1 ] ;
584 LA H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCTOBRE 1 9 6 1
2 Tirant d1 eau en cm Tiranr a \0
d'eau en cm
• X = - 11,80
X - 0, 22
O Points calculés
• — Relevé expérimental
t en s
X = 6 , 1 0 m X = 3 J 0 m
Points calcules Relevé expérimental
t en s -H •
FIG. 8
V a r i a t i o n du t i r a n t d'eau en fonction du t e m p s a u x abscisses
X _ 3,10 X = 6,10
FIG. 7
V a r i a t i o n du t i r a n t d'eau en l'onction d u t e m p s a u x abscisses
X = — 11,80 X = 0,22
la théorie sans perte de charge est d'autant plus valable que la profondeur initiale aval est plus i m p o r t a n t e ;
il se produit localement en aval de la vanne une surélévation moyenne de l'onde positive aval. Cette surélévation est liée au système de manœuvre de débit;
des ondes secondaires accompagnent le front positif aval; leur amplitude et longueur d'onde sont telles que l'on doit les considé- rer comme des ondes secondaires classiques étudiées p a r H. Favre [ 1 2 ] .
IV.2. Comparaison d e s résultats théoriques et expérimentaux d e l'écoulement :
Le calcul sur ordinateur d'un essai en canal [ 1 0 ] a permis de comparer les résultats théori- ques et expérimentaux.
T en
k - 2b
k - 62,6
o • Points calculés
— Relevé expérimentai
5 10 15 FIG. 9
Loi de p r o p a g a t i o n du front d'onde.
OCTOBRE 1 9 6 1 - N ° 5 J. F A U R E ET N . N A H A S 5 8 5
Les conditions d'essais sont les suivantes ;
— aval sec;
— tirant d'eau amont Z0 = 0,23 m ;
— vitesse à l'amont u0 = 0;
— pente z = 1,2 X 1 0 ~4;
— coefficient de Strickler k = 28.
Pour le calcul, il faut ajouter aux données précédentes, le calcul du front d'onde déduit par la méthode W h i t h a m (Cf. § II.7). Les figures 7 et 8 représentent les relevés des enregistrements
du t i r a n t d'eau en fonction du temps, ainsi que les points calculés dans les sections d'abs- cisses x — — 11,8 m, x = 0,22 m, x — 3,10 m et x = 6,10 m, (l'abscisse x est comptée positive- ment dans le sens de l'écoulement avec comme origine la section de la vanne).
On constate un écart compris entre 0 et 10 % par excès des tirants d'eau calculés; cet écart systématique pourrait être attribué à la perte de charge calculée par la formule de Strickler établie en mouvement permanent. Ce résultat est annoncé p a r R.F. Dressler [11] sous certaines réserves, étant donné que ses solutions théori-
t en s
- 2 0 - 10 O 10
FIG. 10
Projection des courbes c a r a c t é r i s t i q u e s d a n s le plan (x, /).
5 8 6 LA H O U I L L E B L A N C H E N ° 5 - OCTOBRE 1 9 6 1
ques ne sont qu'approximatives. Cependant il affirme que la probabilité est grande pour que cette conclusion soit considérée comme bonne.
L a figure 9 représente les lois expérimentales de propagation du front d'onde ainsi que les points calculés pour deux rugosités k = 28 et k = 62,6, les autres conditions d'essais étant celles annoncées précédemment. On constate une concordance entre les résultats théoriques et expérimentaux d'autant meilleure que le coef- ficient de Strickler est plus élevé; ceci s'expli- que p a r le fait que le calcul de W h i t h a m [8]
néglige la perte de charge de l'écoulement qui précède le front d'onde, ce qui est parfaitement légitime pour un écoulement naturel qui serait plus proche du coefficient de Strickler 62 que de 28 pour un tirant d'eau initial H0 = 0,23.
IV. 3. Projection des courbes caractéristiques dans le plan (x, t) :
La figure 10 représente la projection des cour- bes caractéristiques calculées dans le plan O, f) pour une variation brusque de débit effectuée dans les conditions citées au p a r a g r a p h e IV.2.
Les courbes caractéristiques F ~ qui partent du front pour 0 ^ x ^ 6 présentent u n maxi- mum, qui dénote l'avancement de la h a u t e u r critique, localisé à l'instant zéro au droit de la section de manoeuvre. Pour x > 6 m, les courbes caractéristiques se dirigent vers l'amont; le maximum, ce qui équivaut à îa h a u t e u r critique, est alors localisé au droit du front.
V. — CONCLUSIONS
Le p r o g r a m m e établi permet de calculer l'écou- lement qui fait suite à une variation brusque de débit :
— dans le cas d'une vallée à section rectangu- laire prismatique avec fond aval sec ou mouillé, pente et frottement;
— dans le cas de vallées prismatiques ou rec- tangulaires quelconques avec fond aval mouillé seulement. Pour le cas du fond aval
sec, il reste à définir les lois de propagation du front d'onde, qui sont actuellement en cours d'étude, théorique et expérimentale.
La comparaison entre les résultats de calcul et les résultats expérimentaux fait apparaître des écarts compris entre 0 et 10 % qui pourraient être attribués au calcul des pertes de charge, cal- culées par des formules établies en mouvement permanent.
VI. — BIBLIOGRAPHIE
[ 1 ] CRAYA A . — Calcul g r a p h i q u e des régimes v a r i a b l e s dans les c a n a u x . La Houille Blanche, n o v e m b r e 1945-mars 1 9 4 6 .
[2] DRESSLER R . F . — H y d r a u l i c résistance effect u p o n t h e d a m - b r e a k functions. Journal of Research of the NBS, vol. 4 9 , n° 3 ( s e p t e m b r e 1 9 5 2 ) .
[ 3 ] Doc. Ing. GUERRINI P . — Sopre il calcolo délie onde di t r a s l a z i o n e nei c a n a l i p r i s m a t i c i . Energia Elet- trica, n° 2 ( 1 9 5 8 ) .
[ 4 ] GUYOT M. T., NOUGARO J . et THIRRIOT Q. — C o n t r i - b u t i o n à l ' é t u d e n u m é r i q u e des régimes t r a n s i - toires d a n s les c a n a u x . SM.F., r é u n i o n du 1 8 - 1 1 - 1 9 6 0 ; La Houille Blanche, n° B ( 1 9 6 0 ) .
[ 5 ] L.N.H. - T 1 6 4 B . — Méthode de calcul des écoule- m e n t s g r a d u e l l e m e n t variés. 3 0 - 4 - 1 9 5 8 .
[ 6 ] L . N . H . - T 2 1 8 B . — Mouvement n o n p e r m a n e n t d a n s les c a n a u x à section p r i s m a t i q u e et v a r i a b l e q u e l c o n q u e . 1 7 - 4 - 1 9 5 9 .
[7] L.N.H. - T 400 B, — Calcul sur o r d i n a t e u r électro- n i q u e : m o u v e m e n t n o n p e r m a n e n t d a n s les ca- n a u x , onde de crue. 30-4-1961.
[8] WHITHAM G. B. — T h e effects of h y d r a u l i c r é s i s t a n c e in t h e d a m - b r e a k p r o b l e m . Proceedings of the Royal Society, n° 1170 (20 j a n v i e r 1955).
[9] L.N.H. - T 220 B. — Intumescence consécutive à u n e v a r i a t i o n b r u s q u e de débit. R a p p o r t p a r t i e l n° 1 (16-4-1959).
[10] L.N.H. - T 359 B. — Intumescence consécutive à u n e v a r i a t i o n b r u s q u e de débit. R a p p o r t p a r t i e l n" 2 (20-3-1961).
[11] DRESSLER R. F . — Comparison of t h e t h é o r i e s and e x p e r i m e n t s for t h e h y d r a u l i c s d a m - b r e a k wave.
P u b l i c a t i o n n° 38 de VAssociation Internationale d'Hydrologie.
[12] FAVRE H. — Les ondes de t r a n s l a t i o n d a n s les ca- n a u x découverts. Dunod, 1935.
OCTOBRE 1 9 6 1 - NU 5 J. F A U R E ET N . N A H A S 587
D I S C U S S I O N Président : M. CHAPOUTHIER
M. le P r é s i d e n t remercie M. NAHAS de son t r è s inté- r e s s a n t exposé et l u i d e m a n d e selon quelle règle il a été conduit à se référer à R i t t e r ou à Craya.
M. NAHAS r é p o n d que d a n s le cas de la p r o p a g a t i o n sur fond sec, l'évolution d u front dépend de l'écou- l e m e n t p o s t é r i e u r a u front. Le calcul d e W h i t h a m per- met de d é t e r m i n e r la loi de p r o p a g a t i o n du front en p r e n a n t pour état p o s t é r i e u r a u front la solution a n a - l y t i q u e des é q u a t i o n s de S a i n t - V e n a n t sans t e r m e d'inertie, q u i c o n s t i t u e la solution de R i t t e r .
M. le P r é s i d e n t d e m a n d e alors la différence qui existe e n t r e le r a i s o n n e m e n t de R i t t e r et celui de Craya.
M. NAHAS explique q u e la solution de Ritter est la solution a n a l y t i q u e des é q u a t i o n s de S a i n t - V e n a n t sans t e r m e d'inertie, d a n s le cas du fond aval sec.
Dans ce cas, il n'y a p a s d e front d'onde m a i s u n r a c c o r d e m e n t à t a n g e n t e h o r i z o n t a l e . Le r a i s o n n e m e n t de M. CRAYA s'applique à la p r o p a g a t i o n sur fond m o u i l l é , c'est-à-dire à la loi de p r o p a g a t i o n d e l'onde de choc.
La différence e n t r e l'écoulement sur fond sec et sur fond mouillé est q u e d a n s le p r e m i e r cas la loi de p r o p a g a t i o n d u front d'onde dépend de l'écoulement p o s t é r i e u r a u front t a n d i s q u e d a n s le second elle est i n d é p e n d a n t e de l'écoulement p o s t é r i e u r .
La différence e n t r e les r é s u l t a t s t h é o r i q u e s et expé- r i m e n t a u x est expliquée p a r M, NAHAS p a r le peu de connaissance des p e r t e s de charge en régime t r a n s i - toire : M. NOUGARO d e m a n d e si des études, d a n s ce sens, o n t été e n t r e p r i s e s p a r M. NAHAS.
M. NAHAS r é p o n d n é g a t i v e m e n t et M. REMENIERAS donne à ce sujet les r e n s e i g n e m e n t s s u i v a n t s :
Des m e s u r e s de p e r t e de charge d a n s u n élément de t u y a u p a r c o u r u p a r u n c o u r a n t d'eau sous-pression en régime n o n p e r m a n e n t , ont été faites a u l a b o r a t o i r e du M.I.T. (1) ; elles o n t m o n t r é , que, m ê m e p o u r des accélérations et des décélérations i m p o r t a n t e s , les pertes de charge n ' é t a i e n t p a s significativement diffé- r e n t e s de celles m e s u r é e s en régime p e r m a n e n t ; il est vrai que l'élément du t u y a u s e r v a n t a u x essais était r e l a t i v e m e n t court. Certains essais relatifs à la t r a î - née d a n s l'eau de projectiles en m o u v e m e n t accéléré ou r e t a r d é , c o n d u i s e n t à confirmer, semble-t-il, cette conclu- sion.
M. THÏRRIOT dit q u e des essais n u m é r i q u e s o n t été effectués, à Toulouse, t e n a n t compte d ' u n e loi p a r t i - culière en front d'onde et d a n s le d é r o u l e m e n t d u cal- cul, on p o u v a i t observer u n « d é p a s s e m e n t » du front d'onde p a r les ondes superficielles situées derrière l u i . Ge p h é n o m è n e , q u i correspond tout à fait à la r é a l i t é physique, est très g ê n a n t au p o i n t de vue n u m é r i q u e car le schéma de calcul a u t o m a t i q u e n'est alors p l u s valable. Cependant, c o m m e ce p h é n o m è n e dépend essentiellement du p a s , le choix d'un p a s p l u s large p e r m e t d'éviter l'inconvénient.
M. le P r é s i d e n t d e m a n d e s'il n ' y a p a s un p a r a d o x e dans le fait que le front d'ondes n'a pas la m ê m e célérité q u e les ondes a m o n t .
M. THÏRRIOT précise qu'il s'agit d'une d i s c o n t i n u i t é et d e m a n d e e n s u i t e la d u r é e du calcul.
M. NAHAS répond qu'il faut environ 10 à 15/100 d'heure sur I.B.M. 704 p o u r faire ce calcul.
M. REMENIERAS dit q u e d ' u n e m a n i è r e générale t o u t e s
(1) DAILY (J. W.) et DEEMER (K. C ) . — M.T.T. Hvdrod. report n° 9, juillet 1952, 49 p., 21 fig.
les m é t h o d e s t h é o r i q u e s d o n n e n t des niveaux p l u s éle- vés que l'expérience. L'écart peut provenir en p a r t i e des e r r e u r s sur les célérités, q u i ne se compensent pas a u t o m a t i q u e m e n t , tout a u m o i n s d a n s les m é t h o d e s g r a p h i q u e s .
M. NAHAS précise, sur la d e m a n d e de M. le P r é s i d e n t , qu'il a utilisé un canal r e c t a n g u l a i r e dans le cas de la p r o p a g a t i o n sur fond sec aval car la solution de W h i t h a m est donnée u n i q u e m e n t d a n s ce cas-là.
M. THÏRRIOT ajoute qu'il a é t u d i é des intumescences d a n s des c a n a u x non p r i s m a t i q u e s , en p a r t i c u l i e r des r é c u p é r a t e u r s d'énergie q u i se t r o u v e n t à la sortie des galeries de fuite. Il y a eu de gros problèmes de convergence parce que les t e r m e s c o m p l é m e n t a i r e s d e - v i e n n e n t p r é p o n d é r a n t s et l'on a r r i v e à des r é s u l t a t s a b s u r d e s , si l'on u t i l i s e u n p r o g r a m m e sans revoir la définition d u p a s (ou l o n g u e u r des t r o n ç o n s choisie p o u r le calcul).
M. NAHAS explique, s u r u n e r e m a r q u e de M. le P r é - sident, que les ondes secondaires o n t u n e a m p l i t u d e très i m p o r t a n t e ; elles a c c o m p a g n e n t les f r o n t s d'ondes mais sont localisées. F a v r e a fait u n e étude à ce sujet en 1930, Cette étude a p e r m i s de caractériser les ondes secondaires p a r leurs l o n g u e u r s d'onde et leur a m p l i - t u d e . Les essais o n t été faits en canal r e c t a n g u l a i r e et à la suite de v a r i a t i o n s b r u s q u e s du débit p a r l'in- t e r m é d i a i r e d'une v a n n e . La distance à laquelle se p r o - d u i s e n t les ondes secondaires p a r r a p p o r t au t i r a n t d'eau i n i t i a l est d'environ 400.
Les c a r a c t é r i s t i q u e s des ondes secondaires vues p a r M. NAHAS c o r r e s p o n d e n t à celles de F a v r e . Sur front sec on n'en a pas constaté.
M. NOUGARO dit q u ' à la suite des essais de réception de l'usine de P a l a m i n y , M. THÏRRIOT et l u i - m ê m e ont des e n r e g i s t r e m e n t s d'ondes secondaires et q u ' i l s vont e n t r e p r e n d r e u n e étude assez s y s t é m a t i q u e de ces ondes.
M. BOURGUIGNON précise qu'il a vérifié à Kembs s u r le Rhin q u e les ondes secondaires c o r r e s p o n d e n t à peu près a u x lois de F a v r e d a n s u n e g a m m e u n peu éloi- gnée de son g r a p h i q u e et a u x faibles v a l e u r s de Ji/H.
M. REMENIERAS signale que d a n s c e r t a i n s essais effec- tués en canal lisse en 1942 au L a b o r a t o i r e de Beauvert de la S.H.F., on o b t e n a i t des ondes secondaires d o n t la h a u t e u r a t t e i g n a i t p l u s i e u r s fois celle d u corps de l'in- tumescence d a n s le cas p a r t i c u l i e r où le t i r a n t d'eau initial d a n s le canal é t a i t très faible p a r r a p p o r t à cette d e r n i è r e h a u t e u r . Il r a p p e l l e q u e Bazin a été le p r e m i e r à d o n n e r u n e e s t i m a t i o n q u a n t i t a t i v e de la h a u t e u r de « l'onde i n i t i a l e » en fonction d e la h a u - teur d u corps de l'intumescence, t a n d i s q u e Boussinesq a expliqué la s t a b i l i t é du front de Ponde et la r é d u c - tion de la célérité des t r a n c h e s s u p é r i e u r e s d e celle-ci par l'effet des c o u r b u r e s négatives de la surface de l'eau.
M. THÏRRIOT i n d i q u e qu'il y a q u e l q u e s années, M. SERRE a publié u n a r t i c l e f a i s a n t u n e analogie e n t r e les ondes secondaires et le r e s s a u t ondulé.
M. REMENIERAS a j o u t e que c'est u n e question q u i reste à étudier n o t a m m e n t a u p o i n t de vue s i m i l i t u d e , dans le cas du modèle d i s t o r d u . Alors q u e l'on d é m o n - tre a i s é m e n t que le corps de l'onde est r e p r o d u i t cor- rectement, un doute subsiste q u a n t à la s i m i l i t u d e suf- fisante des « oscillations secondaires ».
M. le Président remercie MM. NAHAS et FAURR p o u r leur c o m m u n i c a t i o n .
