Feuille d’exercices n˚3

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB1−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Feuille d’exercices n˚3

Logique, ensembles et applications

Exercice 38 : Ecrire les n´´ egations de chacune des propositions suivantes.

1. ∃n∈N n >2ⁿ

2. ∃x∈R ∀y∈R (x < y) ou (x >−y) 3. ∀x∈R x∈[1,+∞[ =⇒ 3x−1∈[2,+∞[

Exercice 39 : Soitx∈R. On consid`ere l’implicationI(x) d´efinie par : I(x) : x∈]−2,2[ =⇒ x²<4.

Ecrire la n´´ egation N(x), la contrapos´ee C(x) et la r´eciproque R(x) de l’implication I(x).

Exercice 40 : D´emontrer que :

∀x∈R x²≥6x−11

Indication : On pourra consid´erer la forme canonique d’un certain trinˆome du second degr´e.

Exercice 41 : SoitP la proposition suivante.

∀a∈R⁺ ∀b∈R⁺

√

a+b=√ a+

√ b.

D´emontrer que la propositionP estfausse.

Exercice 42 : SoitP la proposition suivante.

∀x∈R x²= 100 =⇒x= 10.

D´emontrer que la propositionP estfausse.

Exercice 43 : D´emontrer la proposition suivante `a l’aide d’un raisonnement par contraposition.

∀a∈R⁺ ∀b∈R⁺ a+b= 0 =⇒(a= 0 etb= 0)

Exercice 44 : D´emontrer la proposition suivante `a l’aide d’un raisonnement par contraposition.

∀x∈R\ {1} ∀y∈R\ {1} x6=y=⇒ 1

x−1 6= 1 y−1

Exercice 45: Montrer par r´ecurrence les deux propri´et´es suivantes.

1. ∀n∈N n²+n+ 2 est un entier pair.

2. ∀n∈N n³−nest divisible par 6.

Exercice 46

1. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N^∗, 1²+ 2²+ 3²+. . .+n²=n(n+ 1)(2n+ 1)

6 .

2. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N^∗, 1³+ 2³+ 3³+. . .+n³=

n(n+ 1) 2

² .

1

Exercice 47: Soitx∈R⁺. D´emontrer par r´ecurrence que pour toutn∈N, (1 +x)ⁿ ≥1 +nx.

Exercice 48: Pour toutn∈N, on d´efinit l’assertionP(n) par : P(n) : n!≥2ⁿ. Montrer queP(n) est vraie `a partir d’un certain rang. Lequel ? Exercice 49

1. D´emontrer que [−13; 6]∩]−5; 9[=]−5; 6].

2. Soient A₁ =

(x;y)∈R²|2x+ 3y= 1 et A₂ =

(x;y)∈R²| −x+y=−2 . D´eterminer A₁∩A₂. Donner une interpr´etation g´eom´etrique du r´esultat.

3. Soient B₁ =

(x;y)∈R²|x²−2x+y²= 3 et B₂ =

(x;y)∈R²|x²+x+y²+ 6y= 0 . D´eterminer B₁∩B₂. Interpr´eter g´eom´etriquement le r´esultat.

Exercice 50: Soient AetB les parties deR²d´efinies par A=

(x;y)∈R²|3x−4y= 5 et B=

(x;y)∈R²

∃t∈R

x= 3 + 4t y= 1 + 3t

.

D´emontrer que A=B et donner une interpr´etation g´eom´etrique de cette ´egalit´e.

Exercice 51: SoitE l’ensemble fini{1,2,3,4,5,6}.

1. Combien y a-t-il d’´el´ements dans l’ensemble{(x;y)∈E²|x < y}? 2. Combien y a-t-il d’´el´ements dans l’ensemble{(x;y)∈E²|x≤y}? F Exercice 52: SoientA,B etC trois parties d’un ensembleE.

1. D´emontrer queA ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

2. D´eduire de (a) et des lois de Morgan queA ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Exercice 53: Soitf l’application d´efinie par :

f: [0,+∞[→R; x7→√ 7x+ 3.

Montrer que l’applicationf est injective, mais non surjective.

Exercice 54: Soitf l’application d´efinie par :

f:R→R⁺; x7→x²−8x+ 16.

Montrer que l’applicationf est surjective, mais non injective.Indication : On pourra commencer par factoriser le polynˆomex²−8x+ 16.

Exercice 55: Soitf l’application d´efinie par :

f: R→R; x7→3−2x.

1. Montrer quef est bijective et d´eterminer sa bijection r´eciproque f⁻¹.

2. SoitRun rep`ere du plan. SoitCf la courbe repr´esentative def, soitC_f−1 la courbe repr´esentative def⁻¹, soit ∆ la droite d’´equationy=x. TracerCf,C_f⁻¹ et ∆ sur un mˆeme graphique. Qu’observe-t-on ?

Exercice 56: Soitf l’application d´efinie par :

f:R\ {1} →R^∗; x7→ 1 x−1. Montrer quef est bijective et d´eterminer sa bijection r´eciproquef⁻¹.

2

Exercice 57: Soient f et g les applications d´efinies par :

f: R^+×→R^+×; x7→x+ 1 et g:R^+×→R^+×; x7→ 1 x. 1. Les applicationsf et gsont-elles injectives ? surjectives ? bijectives ?

2. D´eterminer les compos´ees f◦get g◦f. Ces deux applications sont-elles ´egales ? Exercice 58: On consid`ere l’applicationf d´efinie par :

f:R²→R; (x, y)7→x²+y². L’applicationf est-elle injective ? surjective ? bijective ?

F Exercice 59: Soitf l’application d´efinie par :

f:R²→R²; (x, y)7→(2x+y,3x+ 2y).

Montrer quef est bijective et d´eterminer sa bijection r´eciproquef⁻¹.

Exercice 60: Soitnun entier sup´erieur ou ´egal `a 4. Parmi ces expressions, d´eterminer lesquelles sont ´egales : A=

n

X

k=0

1 B=

n−1

X

k=0

1 C=

n

X

k=1

2k n

D=

n−1

X

k=0

2k

n−1 E=

n

X

k=1

k−

n−1

X

h=0

h F =

n

X

k=1

k−

n−1

X

h=2

h

G=

n−1

X

k=1

k−

n−2

X

h=2

h H=

n

X

k=n

1 I=

n

X

h=n

h

Exercice 61:

1. Soitx∈R. D´evelopper l’expression (1−x)⁴, `a l’aide de la formule du binˆome de Newton.

2. R´esoudre l’´equationx⁸−4x⁶+ 6x⁴−4x²+ 1 = 0 dansR. Exercice 62

1. Soitn∈N. Montrer que

n

X

k=0

(2k+ 1) = (n+ 1)²et que

n

X

k=0

C_n^k= 2ⁿ. 2. Soitn≥2 un entier. Calculer les sommesS1=

n

X

k=2

1

2^k et S2=

n

X

k=2

C_n^k5^k. 3. Soitn≥1 un entier. Calculer les sommesS₃=

n

X

k=0

(−1)^k et S₄=

n

X

k=0

(−1)^k C_n^k.

F Exercice 63 1. Soitn∈N^∗.

(a) Soitk∈J1, nK. Montrer quek C_n^k=n C_n−1^k−1. (b) Calculer la somme

n

X

k=0

k C_n^k. 2. Soitn∈N^≥2.

(a) Soitk∈J2, nK. Montrer quek(k−1)C_n^k=n(n−1)C_n−2^k−2. (b) Calculer la somme

n

X

k=0

k(k−1)C_n^k. 3. Calculer la somme

n

X

k=0

k²C_n^k pour toutn∈N^≥2.

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