PSB2 – P2016 Final partie 2 : 30 min

PSB2 – P2016 Final partie 2 : 30 min

Lundi 20 juin 2016 interdite - interdits

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Si besoin, les calculs sont à détailler au verso du sujet avec les justifications nécessaires. Reporter les réponses dans les cadres. Une réponse juste non justifiée pourra être comptée comme nulle. Seules les questions dont les réponses exactes apparaissent clairement dans les cadres seront corrigées.

I. M

OUVEMENT D

’

UN SATELLITE

On considère un satellite de masse m, tournant autour de la Terre de masse M. Le satellite est suffisamment haut pour que seule la force de gravitation universelle intervienne (frottements négligés). On raisonnera dans un référentiel géocentrique supposé galiléen. On supposera à priori que le mouvement du satellite se fait dans un plan fixe passant par le centre O de la Terre. La position du satellite sera donc repérée par ses coordonnées polaires

( )

^r,

^θ

associées à la base polaire

(

^ur,uθ

)

dont l’axe polaire a pour origine O. On rappelle les composantes de la vitesse et de l’accélération en coordonnées polaires :

v u r u et a r u 2 r u

On se propose de montrer que le mouvement du satellite peut être elliptique sous certaines conditions initiales.

1. Rappeler ce qu’est le référentiel géocentrique.

2. Compléter le schéma en faisant apparaitra la force exercée par la Terre sur le satellite, les coordonnées polaires et la base polaire.

3. Rappeler la loi vectorielle de la gravitation universelle donnant la force d’interaction exercée sur m par M (on notera G la constante de gravitation universelle) en utilisant les notations du schéma précédent.

4. En appliquant une des lois de Newton compléter les équations suivantes :

r 2 r

5. Expliquer comment on peut déduire de la question 4 que la quantité ² est une constante qu’on nommera pour la suite C. Quel est le nom traditionnellement donné à cette constante ?

6. En déduire qu’au cours du mouvement la fonction

^θ ( )

^t est monotone (c'est-à-dire : soit toujours croissante, soit toujours décroissante).

La fonction

^θ ( )

^t étant monotone, à tout angle θ correspond un instant t et un seul. La coordonnée ^{r t}

( )

qui dépend du temps peut donc aussi être vue comme une fonction de θ ^{: r}

( ) ^θ

. Pour la suite on ne raisonnera plus sur la variable r mais sur la variable 1

u=r. On peut donc voir u comme une fonction de t, soit ^{u t}

( )

^{, ou de θ, soit u}

( ) ^θ

^.

7. Exprimer en fonction de u et .

8. Exprimer en fonction de C, u et . Indication : utiliser la dérivation composée : et la question 5.

9. Exprimer le vecteur vitesse en fonction de u , u , C, u et .

10. On montre que le vecteur accélération s’écrit : a C²u² u u .

En déduire l’équation différentielle permettant de trouver u(θ). Mettre cette équation sous la forme : u A . Exprimer A en fonction de G , C et M.

La résolution (non demandée) de cette ED conduit à l’équation polaire de la trajectoire.