Moment d’inertie / axe
≠
inertie équivalente ramenée sur un axe
Déterminer les équations du mouvement
-
Dimensionner un actionneur
Théorème de l’énergie cinétique
Energie cinétique
Ensemble Ede n solides Si
=
/ / /
1
c S R 2 S R S R
E
/ /
1 i
n
c E R c S R
i
E E
=
=
Rotation autour d’un axe Solides S indéformable
=
( , ) fixe dansO x R
Translation
Les deux torseurs doivent être exprimés
au même point !
( )
/ / / , / /
1
c S R 2 c S R A S R A S R S R
E = R V +
Puissance d’une action mécanique extérieure
/ /
AM S R AM S S R
P → = →
=
Les deux torseurs doivent être exprimés
au même point !
/ / , /
AM S R AM S A S R A AM S S R
P → =R → V +M →
Puissance motrice
/ 0
AM S R
P →
Moteur, vérin, charge entraînante, ressort précontraint…
Puissance réceptrice
/ 0
AM S R
P →
Frein, génératrice, charge entraînée…
Liaison parfaite
/ 0
k i R
P → =
2 /
1 2 e
c E R J q
E =
k !
ssi S est fixe dans R
Liaison avec roulement sans glissement*
* Le RSG implique :
- prise en compte de l’adhérence ; - vitesse de glissement nulle.
Puissance des inter-efforts
/
i j i j j i
P = →
=
Torseurs au même
point !
/ , /
i j i j A j i A i j j i
P =R→ V +M →
Attention à l’ordre des indices
dans le calcul du comoment : i→ j et j /i
Liaison parfaite
i j 0 P =
Liaison avec RSG*
Rendement d’un mécanisme
s e
P
= P
⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯⎯→
=
= / + = −
1
( 1)
liaisons liaisons
n
d E i R i j e
i j i
P P P P
Estimation des pertes de
puissance dues aux
frottements dans les liaisons intérieures et avecl’extérieur
1 n
i i
=
=
TRANSMETTEUR
1
Pe P1
d1
P
P2 d2
P
TRANSMETTEUR
3 LIAISONS
2 Ps
d3
P
• Une seule et unique équation non indépendante des équations issues duPFD
• En général rapide à appliquer
• Permet de s’affranchirdu choix de l’isolement en imposant une règle unique : l’isolement de l’ensemble des solides en mouvement.
• Réellement bien adapté que pour les mécanismes ayant un seul degré de mobilité : solide seul guidé en translation ou en rotation directement par rapport au bâti ; dispositif de transformation de mouvement...
/
inter-effort /
c E R
E E R
d E P P
dt = → +
/ /
1 n
E i R E E R
i
P → P →
=
=
Puissanceactions mécaniques extérieuresgaliléenne des à Eagissant surEinter-effort i j
j i
P P
=
Puissance des inter-efforts entre les solides de ETEC appliqué à Edans son mouvement par rapport à R 1
P
Puissance en entrée fournie par l’actionneur
Puissance en sortie : - transmise à l’effecteur ; - de l’action de la pesant. ; - ….
Puissance dissipée dans les liaisons
MECANISME
0
Pe Ps 0
d0 P
Chaîne fermée (ou chaîne ouverte d’un
seul solide)
Inertie équivalente
'
Inertie équivalente ramenée sur l axe tournant à la vitesse
/ ( , ) 2
1 ( )
c S R 2 O x
E = I S
/ / 2
1
c S R 2 P S R
E = mV
0 pour un solide isolé seul
=
* :
R référentie galiléen
l
*fixe OU trans rect uniforme. . / terre
! ssi Sk
est fixe dans R
/ 0
k i R
P → =
i j 0 P =
Puissances calculées fréquemment
x y
z G
g
O
x A
0 m 1/0 0 m 1 1/0
P ⎯⎯→ = ⎯⎯→
Moteur
0
⎯⎯→
= 1/0
( , )
0 1/0
0
0
m
m P A x
P
x
P C x
⎯⎯→ = 1/0
0 m 1/0 Cm 0
P
Pesanteur
/ /
pes S R pes S S R
P → = →
→
−
= /
( , ) /
/ 0
S R G S R
P G z G
pes S R
m g z P V
(
)
→ / = − G S R/ pes S R m g V z P
x A
0 f 1/0 0 f 1 1/0
P ⎯⎯→ = ⎯⎯→
Frein
0
⎯⎯→
= 1/0
( , )
0 1/0
0
0
f
f P A x
P
x
P C x
⎯⎯→ = 1/0
0 f 1/0 Cf 0
P
1 1
Ressort
x y
O
0
y
z O
A
0 1
Sollicité en traction-compression :
1 ressort 2 1 ressort 2 2/1
P ⎯⎯⎯→ = ⎯⎯⎯→
⎯⎯⎯→
− −
= 0
( , )
1 2
( ) 0
0
ressort
P A x P
k x
P x
⎯⎯⎯→ = − − 0
1 ressort 2 k( )
P
Sollicité en torsion :
⎯⎯⎯→
−
=
( , )
1 2
0
0
ressort
P P A x
x
P C x
⎯⎯⎯→ = −
1 ressort 2 C
P
1 1
raideur en traction : ( en N m ) raideur en torsion : ( en N m rad )
k C
−
−
→
⊥ G S R/ pes S R/ =0
si g V P
Détermination de l’énergie cinétique d’un ensemble de solides
Quelle est la nature du mouvement considéré ?
Simple Complexe
On décompose le système de solides E en solides élémentaires Si : / /
1 i
n
c E R c S R
i
E E
=
=
En A , un point à S et fixe dans R
(O,x)
(G, x )
En G centre de gravité de S
En B quelconque
= ( 2
/ , )
1 ( )
2 O x
c S R
E I S
= 2 + 2
/ / ( , )
1 1
( )
2 2
c S R G S R G x
E m V I S
Translation par rapport à R
= 2
/ /
1
c S R 2 P S R
E m V
( )
=
/ / /
1 ( )
2
c S R S R A S R
E I S
( )
= 2 +
/ / / /
1 1
( )
2 2 G
c S R G S R S R S R
E m V I S
= +
/ / / , / /
1 1
2 2
c S R c S R B S R B S R S R
E R V
Non Oui
Où est donnée la matrice d’inertie ?
S’agit-il d’un solide assimilé à une masse ponctuelle en P ?
2
/ /
1
c S R 2 P S R
E = m V
Rotation autour d’un axe fixe (O,x) de R
Moment d’inertie donné par rapport à ?
