N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
L ÉON B ENOIT
A UGUSTE H ERBÉ
Solution de la question 194
Nouvelles annales de mathématiques 1
resérie, tome 9
(1850), p. 172-174<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1850_1_9__172_0>
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SOLUTION DE LA QUESTION 194
( v o i r t. V i l , p . 3 6 8 ) ,
PAR MM. BENOIT (LÉON) ET HERBE (AUGUSTE), Élèves de mathématiques supérieures au lycée de Reims
(classe de M. Sornin).
1. On distingue trois sortes de polygones plans : i° les polygones convexes: 2° les polygones à angles rentrants;
3° les polygones étoiles.
2. PROBLÈME. Dans un quadrilatère plan, ayant deux angles opposés droits, étant donnés deux côtés con- sécutifs et Vangle compris entre ces côtés, trouver Vaire du quadrilatère en f onction des données.
Solution. Un tel quadrilatère est nécessairement convexe.
Ier cas. Quadrilatère non étoile. Soient O? A , O', A' les sommets du quadrilatère ; A, A' deux angles opposés droits 5 O A = a, OA' = a1 \ angle AOA' = a : on obtient facilement
A'O' sin a = a — a' cos a, AO' = a' — a ros a.
Désignant par S Taire du quadrilatère, on a [a — a! cos a) (a' — a cos a)
2.S =zaaf sin a + v ^ *
sina
2S sin z = 2. rui'— (rt2-f-tf'-)cosa~4rttf'cos2-a — (a -ha')2 cos a.
Autrement. Prolongeons AO' et OA' jusqu'à ce qu'ils vse rencontrent en I , on a
—O'IA'),
OU
a1 sur'a (a — «'cos a}
2A0l=r. AO . g :
sinacosa sinacosa d'où
2 S sina = 2 an! — (a- -f- a'2) cos a, comme ci-dessus.
2e cas. Quadrilatère étoile. Le point d'intersection I est sur les côtés ACV, À'O non prolongés, alors l'expres-
2<7a'— (a- -{- a'2) casa. . ,
sion : est toujours la diilerence des
2sm« J
aires des triangles AIO et O'IA'$ et c'est seulement de cette différence dont on a besoin dans la question 194 qui suit.
3. PROBLÈME. Connaissant en grandeur et en direc- tion les perpendiculaires abaissées d'un point O sur les côtés d'un polygone plan, trouver l'aire du polygone en Jonction des données.
Solution, Soit n le nombre des côtés du polygone et aussi le nombre des perpendiculaires abaissées du point O sur ces côtés : on formera ainsi n quadrilatères ayant chacun deux angles opposés droits. Désignons les côtés successifs par les nombres i, i , 3 , . . . , n \ et de même les perpendiculaires par px, p2, / ? 3 v 5 P« î Pn Pr+i étant deux perpendiculaires consécutives, l'aire du quadrila- tère correspondant sera (§§ 2 et 3)
iprfr^ — (ƒ?? H-/?? + .) COS{ Pr,Pr+y) ^ 2sin(/;r, /WiJ
et Taire du polygone est égale à la somme de n expressions de cette forme. Il n'y a de difficultés que pour les signes : on les détermine ainsi. Du point O comme centre, et d'un rayon quelconque, on décrit une circonférence : allant d'une perpendiculaire à la suivante, toutes les fois qu'on marche dans le même sens, de i à 2, on prend Texpression
(
'74
)telle qu'elle est, et quand on marche dans le s^ns inverse, on prend l'expression avec le signe opposé ; car le signe d'une des perpendiculaires devient négatif, et a se change dans 2? — a. Il suffit de faire une figure pour se convaincre de la justesse de cette détermination de signes.
