N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES
G. F OURET
Sur deux déterminants numériques
Nouvelles annales de mathématiques 3e série, tome 8 (1889), p. 82-85
<http://www.numdam.org/item?id=NAM_1889_3_8__82_1>
© Nouvelles annales de mathématiques, 1889, tous droits réservés.
L’accès aux archives de la revue « Nouvelles annales de mathématiques » implique l’accord avec les conditions générales d’utilisation (http://www.numdam.org/conditions).
Toute utilisation commerciale ou impression systématique est constitutive d’une infraction pénale. Toute copie ou impression de ce fichier doit contenir la présente men- tion de copyright.
Article numérisé dans le cadre du programme Numérisation de documents anciens mathématiques
http://www.numdam.org/
PAR M. G. FOUKET.
Certains déterminants numériques, d'une forme sim- ple, présentent, quel que soit leur ordre, des valeurs remarquables. En voici deux exemples, qu'il nous a paru intéressant de faire connaitie.
I. Le déterminant
i ' ' ' ••
i — i o i . . . i
I — i — i o . . . i
a, quel que soit son ordre /?, une valeur égale à Vu- nité.
( 83 )
Désignons par X„ ce déterminant. Nous n'altérons pas sa valeur en retranchant des éléments de la pre- mière colonne les éléments correspondants de la seconde.
On a par suite
II. Le determinant
l o
— i
I I
• I O
— i — i — i
x
—
c'est-à-dire
o
— i
o
o
— l I
o
— 1
— I 1
o
— l
- ' I 1
o
- 1 1 I
<>
— 1 . . . I
. . . 1
. . . i
. . . o
. . I
I
. . . o
c. o- F. D.
est nul ou égala l'unité, suivant que son ordre n est impair ou pair ( * ).
Désignons par Yn ce déterminant. En retranchant les éléments de la seconde colonne des éléments correspon-
(') On sait d'ailleurs, d'une manière générale, que tout détermi- nant symétrique gauche d'ordre impair est nul.
( 84 ) dan Is de la première, on a encore
\ —
ou bien, en développant ce déterminant par rapport aux éléments de la première colonne,
— l
— l ()
() 1
o - '
— I 1 1 . . .
o . . .
I I 1
I I I O
O n-i — 1 — I . . . O „ - i
c'est-à-dire, d'après les notations que nous avons adop- tées,
1 n — — * n— l "T~ Aw_ i
ou encore, en vertu du premier théorème,
Y Y i
O I
Mais on a
On eu conclut, d'après la relation de récurrence trou- vée,
Y3= o , Y4 = i , Yö= o , . . . . <:. Q . F . i).
Dans une ]\ote publiée en iSSG dans le Bulletin de la Société mathématique de France (t. XIV, p. 146), nous avons fait connaître la valeur de quelques autres déterminants numériques remarquables. Nous ajoute- rons que Ton trouve démontré, dans cette même Note, le second des deux théorèmes communiqués par M. J.
Moucliel aux lecteurs des Nouvelles Annales, en août dernier, théorèmes qui ne diHerent d'ailleurs entre eux
( 8 5 )
que par la forme de l'énoncé. Nous rappellerons enfin que, dès 1846, M. Catalan s'était occupé de questions du môme genre dans ses Recherches sur les déterminants ( Bulletin de VA endémie royale des Sciences, des Lettres et des Beaux-Arts de Belgique, t. XIII, 2e Partie,
P. 534).
