Feuille d’exercices n

1^{`ere</sup> ann´ee de Licence MAT128 Analyse ´el´ementaire 2<sup>`eme} semestre 2006/2007

Feuille d’exercices n

4

Exercice 1 : Int´egrer surRles ´equations lin´eaires homog`enes : y⁰(x) + 3y(x) = 0

y⁰(x)−(1 +x²)y(x) = 0

√1 +x²y⁰(x) +y(x) = 0

(1 +x²)y⁰(x)−(1 +x)y(x) = 0 y⁰(x) + sin²(x)y(x) = 0

y⁰(x) + th(x)y(x) = 0

Exercice 2 : Int´egrer surRles ´equations lin´eaires avec second membre : y⁰(x) +y(x) = 3x²+ 2x+ 1

y⁰(x) +y(x) = 2ch(x)

y⁰(x) +y(x) = 2 cos(x)

y⁰(x) +y(x) = x²+e^2x+xe^−x

Pour chacune de ces ´equations, pr´eciser ´egalement l’unique solution v´erifiant la condition initiale y(0) = 1.

Exercice 3 : En utilisant si n´ecessaire la m´ethode dite de “variation de la constante”, int´egrer surR les ´equations lin´eaires avec second membre :

y⁰(x)−2xy(x) = x

y⁰(x) + sin(x)y(x) = sin(2x)

(1 +x²)y⁰(x) + 2xy(x) = x+ 1

√1 +x²y⁰(x) +y(x) = 1

Exercice 4 : Int´egrer les ´equations diff´erentielles suivantes sur chacun des intervalles o`u le coef- ficient dey⁰(x) ne s’annule pas, puis ´etudier l’existence ´eventuelle de solutions d´efinies surRtout entier.

xy⁰(x)−3y(x) = 0 x²y⁰(x) +y(x) = 0 x³y⁰(x)−2y(x) = 0

x(x−1)y⁰(x) +y(x) = 0 x²y⁰(x) +x(x+ 2)y(x) =e^x xy⁰(x)−3y(x) = x²−3

Exercice 5 : Int´egrer surRles ´equations lin´eaires du second ordre : y⁰⁰(x)−y⁰(x)−2y(x) = 0

y⁰⁰(x)−2y⁰(x) +y(x) = 0 y⁰⁰(x) + 4y(x) = 0

y⁰⁰(x)−y⁰(x)−2y(x) = x²+ 1 + sin(x) +e^2x y⁰⁰(x)−2y⁰(x) +y(x) = xe^−x+ sin(x) +x y⁰⁰(x) + 4y(x) = x+e^x+ sin(2x)

1

Exercice 6 : On consid`ere l’´equation diff´erentielle lin´eaire avec second membre :

x²y⁰⁰(x)−3xy⁰(x) + 4y(x) = x³ . (1) 1. V´erifier que l’´equation homog`ene associ´ee `a (1) poss`ede une solution polynomiale y1(x).

2. Chercher une seconde solution de l’´equation homog`ene sous la formey2(x) =C(x)y1(x).

3. Trouver une solution particuli`ere de l’´equation avec second membre, et en d´eduire la forme g´en´erale de toutes les solutions de (1).

4. D´eterminer l’unique solution de (1) v´erifiant les conditions y(1) = 0, y⁰(1) = 1. Cette solution est-elle d´efinie surR tout entier ?

Exercice 7 : On consid`ere la chaˆıne de d´esint´egrations radioactives A −−→^k1 B −−→^k2 C ,

o`u k1, k2 sont des constantes strictement positives. En notant a(t), b(t), c(t) les quantit´es d’´el´e- ments A, B, C pr´esents dans la r´eaction au tempst, on obtient le syst`eme diff´erentiel

a⁰(t) = −k1a(t) , b⁰(t) = k1a(t)−k2b(t) , c⁰(t) = k2b(t) . (2) D´eterminer la solution du syst`eme (2) qui v´erifie les conditions intiales a(0) = 1, b(0) = 0, c(0) = 0. A quel instantt_∗>0 la quantit´e b(t) atteint-elle son maximum ?

Remarque : Les deux cask1 6=k2 et k1 =k2 pourront ˆetre trait´es s´epar´ement.

Exercice 8 : On consid`ere un oscillateur harmonique faiblement amorti et forc´e p´eriodiquement, d´ecrit par l’´equation diff´erentielle du second ordre

y⁰⁰(t) +γy⁰(t) +ω²y(t) = sin(Ωt) , (3) o`u 0< γ <2ω et Ω>0.

1. D´eterminer toutes les solutions de l’´equation homog`ene associ´ee `a (3). Ces solutions sont- elles p´eriodiques ?

2. Montrer que l’´equation (3) avec second membre poss`ede une solution p´eriodique unique de la forme

y(t) = Asin(Ωt+ϕ) ,

o`uA∈Retϕ∈[−π, π] sont des constantes que l’on d´eterminera en fonction des param`etres ω,Ω, γ.

3. Pour quelle valeur de la fr´equence d’excitation Ω l’amplitude de r´eponse Aatteint-elle son maximum ?

2