Rappel : ondes
● Fonction du temps et de l'espace exemple : f(x,t) = A·sin(kx-wt)
● Principe de superposition f = f1 + f2 + f3 + …
● Principe de Huygens Tout point d'un front d'onde peut être
considéré come une source de petites ondelettes secondaires émises dans toutes les directions à la vitesse de propagation de l'onde initiale.
● Interférence Si on a des ondelettes provenant
initialement de la même source, leur superposition peut être constructive ou destructive selon la différence de phase (différence de longueur des chemins parcourus).
f
Université de Genève 2
Rappel: L'expérience à deux fentes (Young)
Soit une source d'onde cohérente et monochromaique, incidente sur deux fentes séparées par une distance d. Chaque fente agit comme une source d'ondelettes (principe de Huygens). La superposition des deux ondelettes circulaires produit des interférences constructives et destructives.
Démo
QCM
Dans quel cas les deux ondes subissent une interférence destructive ?
A B
C D
d2 – d1 = λ/2 d2 – d1 = λ/2
d2 – d1 = λ d2 – d1 = λ
Université de Genève 4
QCM (réponse)
Dans quel cas les deux ondes subissent une interférence destructive ?
A B
C D
d2 – d1 = λ/2 d2 – d1 = λ/2
d2 – d1 = λ d2 – d1 = λ
Pas la même source → ondes pas cohérentes !
Rappel : positions des franges d'intensité
Soit d la distance entre les fentes. On suppose que l'écran est à une distance >> d.
(a) Minimum d'intensité (interférence destructive) : d·sinθ = (m+1/2)·λ (m = 0, ±1, ±2, …)
(b) Maximum d'intensité (Interférence constructive) : d·sinθ = m·λ
d d
Université de Genève 6
Interférence après réflexion sur couche mince
● Couche dont l’épaisseur est plus petite que la longueur d’onde, L < λ :
● Couche dont l’épaisseur est plus grande que la longueur d’onde, L > λ : Premier rayon déphasé
dû à la réflexion : δ = π, interférence destructive (noir)
Second rayon déphasé dû à la différence de chemin ; déphasage total :
nb de longueurs d’onde dans le chemin additionnel Premier rayon déphasé dû à la réflexion
Constructive : δ = m·2π
Destructive : δ = (2m-1)·π
Iridescence biologique
Le chatoyement des couleurs ne provient pas des pigments, mais des interférences entre les rayons réfléchis.
Université de Genève 8
Interférences sur couches multiples
Papillons de la famille
“Morpho” peleides
Interféromètre de Michelson
La lumière émise par la source est séparée par une lame semi-réfléchissante en deux faisceaux d’amplitudes égales, qui sont réfléchis sur deux miroirs M1 et M2 pour être recombinés vers un détecteur. Si les distances parcourues vers M1 et M2 sont différentes, les faisceaux recombinés sont déphasés et donnent lieu à des figures d’interférence.
Si les ondes sur les chemins 1 et 2 sont en phase,
l’interférence est constructive et on observe un maximum.
Si les ondes sont déphasées de π, l’amplitude observée est nulle. En déplaçant M2 on peut ainsi mesurer la
longueur d’onde (entre 2 noeuds : λ/2).
Démo
Université de Genève 10
La découverte des ondes gravitationnelles
La diffraction
La diffraction est le comportement des ondes lorsqu’elles rencontrent un obstacle ou une ouverture. Par exemple, considérons une
ouverture carrée éclairée par un faisceau laser. En (a), (b) et (c) ci-contre, l’ouverture est grande et l’écran proche : la figure est compliquée
intérieurement mais la forme générale de l’ouverture est reconnaissable. Si on réduit
l’ouverture ou éloigne l’écran, la figure s’étale dans les directions perpendiculaires à ses côtés comme en (d), (e) et (f). En (f) on atteint la limite : l’onde incidente devient plane et la réduction du trou ne fait qu’agrandir la figure mais ne change pas sa forme.
L’optique géométrique ne peut pas expliquer ces observations. L’effet dépend de la taille relative de l’ouverture comparée à la distance à l’écran. Les images de (a) à (e) représentent une diffraction à distance finie ou diffraction de Fresnel, tandis que (f) correspond à une diffraction à l’infini ou diffraction de Fraunhofer – c’est le cas que nous considérerons par la suite.
Université de Genève 12
Diffraction et interférence
La diffraction et l’interférence sont le même phénomène, bien que nous tendions à parler d’eux séparément, parce que c’est ainsi que ces deux concepts se sont
développés historiquement.
Nous avons vu l’interférence produite lorsqu’une one
lumineuse passe à travers deux fentes : selon le principe de Huygens chaque fente se comporte comme une
source d’ondes. Ici nous considérons les effets
d’interférence dus au passage d’une onde lumineuse à travers une fente large : toujours selon Huygens, chaque partie infinitésimale de la fente se comporte comme une source d’ondes et l’interférence observée est due à
l’interférence des ondes émises par toutes ces sources.
Ce phénomène de diffraction a lieu pour tous les types d’onde et on le recontre non seulement quand la lumière passe par un trou (ou fente) mais aussi quand elle passe près des bords d’un objet. Une figure de diffraction apparaît autour de tout objet aux arêtes découpées éclairé par une source ponctuelle.
Interférence à deux fentes
Diffraction à une fente large
Diffraction et principe de Huygens
Selon le principe de Huygens : chaque partie de la fente est une source d’ondes secondaires sphériques. Cela a pour conséquence que les rayons lumineux issus d'une source ponctuelle sont déviés de leur trajectoire rectiligne lorsqu’ils rasent les bords d'un obstacle opaque (le bord d’un objet, une fente, un fil, un trou, un point, ...). Après l’objet il y a interférence entre les ondes secondaires.
La diffraction est d'autant plus forte que la dimension de l'ouverture ou de l’objet se rapproche de la longueur de l’onde incidente. Pour obtenir le
phénomène, on choisit donc une fente ou objet de dimension D similaire à la longueur d’onde λ.
Université de Genève 14
Diffraction par une fente unique (1)
Une lumière monochromatique passe à travers une fente de largeur D et on place un écran de visualisation à grande
distance. Les rayons lumineux parallèles (onde plane) incidents dont diffractés par cette fente. L’écran étant très loin, tous les rayons dirigés vers un point quelconque de l’écran sont considérés parallèles. Voyons comment ils peuvent interférer les uns avec les autres.
(a) Les rayons passent en ligne droite. Comme ils sont tous en phase, ils forment un point brillant au centre de l’écran.
(b) Les rayons sont dirigés selon un angle θ1 tels que la distance parcourue par le plus bas rayon de la fente est
exactement une longueur d’onde de plus que celle parcourue par le plus haut rayon de la fente. La distance parcourue par le rayon passant par le centre est supérieure de λ/2 à celle parcourue par le rayon provenant du haut de la fente : le déphasage de λ/2 donne lieu à une interférence destructive.
Diffraction par une fente unique (2)
(b) De même, un rayon juste au-dessous du plus haut rayon annule le rayon correspondant juste au-dessous du rayon central, etc.... Tous les rayons interfèrent donc
destructivement un à un et aucune lumière dirigée selon l’angle θ1 n’atteint l’écran.
L’angle θ1 est donné par : D·sin(θ1) = λ. La première paire de minima se produit donc pour :
sin(θ1) = ± λ/D.
(c) Quand l’angle augmente, on trouve un deuxième
minimum quand D·sin(θ2) = 2λ. Imaginons que l’ouverture est divisée en quatre quarts. Si θ2 est tel que les rayons de chaque quart sont en opposition de phase avec les rayons correspondant du quart suivant (ce qui arrive pour
1/4·D·sin(θ2) = λ/2) une interférence destructive se produit et il y a extinction de lumière.
Et ainsi de suite...
Université de Genève 16
Diffraction par une fente unique (3)
● En général, on a une intensité nulle (interférence destructive) si :
mais pas en m = 0 où se produit le maximum le plus fort.
● On a des maximas d’intesité si :
Diffraction par une fente unique – exemple
Une fente de largeur 1 μm est éclairée par une lumière de longueur d’onde λ = 750 nm.
● Si l’écran d’observation est à 20 cm, déterminer la largeur du pic central (définie comme la distance entre les centres des 2 premiers minima de part et d’autre du maximum central) (a) en degrés et (b) en centimètres.
(a) Les 2 minima de part et d’autre du maximum central correspondent à m = ±1. Alors :
et θ1 = 49º. L’angle entre les deux minima est le double, soit 90º.
(b) La largeur du pic central sur l’écran est 2x, où tan(θ1) = x/(20 cm). Donc : 2x = 2(20 cm)(tan(49º)) = 46 cm et une grande partie de l’écran est illuminée.
Université de Genève 18
QCM
Quel motif d’interférence obtient-on dans une expérience de Young avec deux fentes larges (largueurs comparables à la longueur d’onde) ?
A B
A
C D
QCM (réponse)
Quel motif d’interférence obtient-on dans une expérience de Young avec deux fentes larges (largueurs comparables à la longueur d’onde) ?
A B
A
C D
Une fente, D << λ
Une fente, D ~ λ
Deux fentes, d > λ
Deux fentes, D~λ et d > λ
Université de Genève 20
Réseau de diffraction (1)
L’analyse d’un réseau de diffraction est très semblable à celle de l’expérience de Young. On trouve à nouveau des
interférences constructives pour :
où m est l’ordre de la figure d’interférence.
Si λ > a, comme sin(θm) ≤ 1, seul le maximum central existe.
Un réseau est constitué par un très grand nombre de fentes N parallèles et équidistantes (a = distance entre les fentes). On a toujours une diffraction par chaque fente et dans la région commune aux pics centraux de toutes ces
fentes, on trouve des maxima aux mêmes positions que dans l’expérience de Young; mais ces maxima principaux sont plus étroits et les maxima
secondaires de faible intensité. Pour N grand, il ne reste plus que des maxima de brillance très nets et étroits.
Réseau de diffraction (2)
Figure de diffraction pour (a) 1 fente, (b) 2 fentes, (c) 3 fentes, (d) 4 fentes et (e) 5 fentes verticales,
identiques et équidistantes.
En pratique, on peut obtenir des réseaux de diffraction par transmission en gravant sur du verre des traits fins parallèles (plusieurs milliers par cm) en utilisant par exemple une pointe fine de diamant. Un réseau de
diffraction peut fonctionner par transmission ou par réflexion.
Université de Genève 22
Réseau de diffraction et spectre lumineux
La condition d’interférence constructive, a·sin(θm) = mλ, montre qu’un réseau est dispersif ; la position des maxima (liée à θm) dépend de la longueur d’onde λ.
Comme un prisme, un réseau permet donc de séparer les composantes spectrales de la lumière.
Ampoule placée derrière un réseau de diffraction
Démo
Réseau de diffraction : exemple
On illumine un réseau contenant 4000 traits/cm.
● Montrer que le violet (λv = 400nm) de 3ème ordre est observé sur l'écran à un angle plus petit que le rouge (λr = 750nm) de 2ème ordre.
L’espacement entre les fentes du réseau est de a = 1/(4000 cm-1)
= 2.5·10−6 m. Le violet du 3ème ordre se produit à un angle donné par a·sin(θv) = 3λv :
Le rouge du 2ème ordre se produit pour a·sin(θr) = 2λr :
ce qui correspond à un plus grand angle.
m = 0 m = 1 m = 0 m = -1
m = -2 m = -3 m = 2 m = 3
Université de Genève 24
Obstacles circulaires
La figure de diffraction produite par une ouverture circulaire (lentille, oeil humain...) apparaît comme un
disque lumineux, appelé tache (ou disque) d’Airy, entouré d’un système d’anneaux concentriques d’intensité de plus en plus faible.
On peut montrer qu’une ouverture circulaire de diamètre D suivie illuminée par une lumière de longueur d’onde λ engendre une tache d’Airy sur un écran lointain avec la position du premier minimum d’intensité donnée par :
Pour un petit angle, on a l’approximation sin(θa) ≈ θa :
Le facteur 1.22 résulte du fait que la largeur d’un trou n’est pas constante comme pour une fente rectangulaire.
Démo
Obstacles circulaires : pouvoir séparateur
Supposons qu’on observe 2 sources ponctuelles, incohérentes et de même intensité à l’aide d’un télescope. A cause de la diffraction, les images sont 2 taches circulaires. Le critère, pour que les 2 images soient juste séparables, est que la distance entre leurs centres soit au moins égale au rayon de leurs taches d’Airy. L’equation précédente précise donc la limite angulaire de
résolution. Le pouvoir de résolution (ou pouvoir séparateur) est défini comme l’inverse de θa, soit D/(1.22 λ).
En diminuant λ, on peut augmenter le pouvoir de résolution d’un
instrument. Les microscopes
travaillant en lumière ultraviolette peuvent voir des détails plus fins que les microscopes utilisant la lumière visible. Les microscopes à electrons qui utilisent des longueurs d’onde de 10−4 ou 10−5 fois celle de la lumière visible, peuvent
distinguer des points distants de 0.5 nm.
Université de Genève 26
Pouvoir de résolution : exemple
Supposons que la résolution de l’oeil humain soit déterminée seulement par la diffraction, et prenons le diamètre de la pupille égal à 2 mm et λ = 550 nm.
● Quelle est la distance entre 2 points qu’on peut juste séparer lorsqu’ils sont à 25 cm de l’oeil ?
La limite de résolution angulaire est donnée par :
Ou 1.9·10−2 degrés. À une distance s = 25 cm, cet angle correspond à un espacement de :
Rayons X
Les rayons X sont des radiations électromagnétiques dont les longueurs d’onde sont comprises entre 10−2 nm et 10 nm. En 1895, W.C. Roentgen découvrit que le bombardement d’une surface de verre (ou de métal) par des électrons accélérés par un haut potentiel électrique dans un tube à vide provoquait, à une certaine distance, la luminescence de minéraux
fluorescents. Roentgen attribua ce phénomène à un nouveau type de radiation. Il trouva que ces rayons pénétraient certains matériaux plus facilement que d’autres et présenta la première photographie aux rayons X de la main de sa femme !
Dans un tube moderne à rayons X, les électrons sont émis par un filament chauffé, puis ensuite accélérés dans le vide sous une différence de potentiel allant de 104 V à 106 V avant de venir frapper une anode métallique. La décélération des électrons dans la plaque provoque
l’émission de rayons X.
Université de Genève 28
Diffraction des rayons X (1)
Les recherches montrèrent que ces rayons n’étaient pas déviés par des
champs électriques et magnétiques ⟹ n’étaient pas des particules chargées.
On pensa qu’il pouvait s’agir d’une forme de lumière invisible, mais les réseaux ordinaires ne permettent pas de mettre en évidence la diffraction et
l’interférence des rayons X ( λ= 0.1 nm et a = 3000 nm ⟹ θ 0.002° pour le ∾ premier ordre).
Ceci s’explique par l’hypothèse que la longueur d’onde des rayons X (10−9 − 10−12 m) est beaucoup plus petite que l’espacement typique entre les fentes des réseaux courants.
M.V. Laue en 1912 suggéra que si, dans un cristal, la disposition des atomes espacés 10−1 nm était
effectivement régulière, on pourrait se servir des cristaux comme réseaux de diffraction.
Diffraction des rayons X (2)
La profusion de taches est liée à la variété des orientations des plans de réflexion définis par un réseau cristallin. Dans un cristal simple, comme NaCl, les atomes sont disposés régulièrement aux sommets de cubes adjacents, l’espacement entre les plans d’atomes étant d. L’interférence entre 2 rayons est constructive si leur différence de
parcours, soit 2d·sinθm, est un nombre entier de longueurs d’onde :
Ceci est l’équation de Bragg. Connaissant θm, on peut obtenir d. La diffraction des rayons X est devenue une technique courante pour étudier la structure des cristaux. Elle est devenue aussi un outil puissant d’étude des molécules, surtout dans le cas de grandes configurations répétitives
comme les protéines et l’ADN.
Université de Genève 30
Structure de l’ADN
Les constituants de l’ADN sont les nucléotides, eux-mêmes constitués d’une base azotée, d’un phosphate et d’un desoxyribose. Leur dimension est environ 3000 fois inférieure à la longueur
d’onde de la lumière visible, et ils ne peuvent donc pas la diffracter. Pour voir la structure de l’ADN, il faut utiliser une lumière dont la longueur d’onde est 3000 fois plus faible que la lumière visible : ce sont les rayons X. Ainsi c’est grâce aux rayons X que J.D. Watson et F.C. Crick purent déterminer en 1953 la structure en double hélice de l’ADN.
Le disque numérique au laser (1)
Un disque laser est un disque transparent mesurant 12 cm de diamètre et 2 μm
d’épaisseur. Une fois l’information
enregistrée, la surface inférieure du disque présente une suite de bosses sur une
surface plane disposée le long d’une ligne en forme de spirale; on enduit alors la
surface bossellée d’une couche métallique réfléchissante. Un substrat de 1.2 mm
d’épaisseur, fait de plastique transparent, protège le dessous du disque et lui donne sa rigidité.
Les bosses enregistrées sous le disque ont une épaisseur de 0.11 μm (¼ de la longueur d’onde de la lumière laser) et une largeur de 0.5 μm ; la longueur des bosses varie entre 0.833 μm et 3.054 μm selon l’information enregistrée ; et la spirale mesure 5 km de long.
Lors de la lecture, le faisceau laser suit la spirale et éclaire successivement les bosses créées lors de l’enregistrement.
Université de Genève 32
Le disque numérique au laser (2)
Un faisceau laser balaie le dessous du disque et la lumière de retour est
captée par une photodiode qui produit un signal électrique qui est amplifié et décodé avant d’être acheminé au haut-parleur. Quand le faisceau éclaire un creux de la piste, entre deux bosses, il est réfléchi et revient au détecteur avec presque la même intensité. Au contraire, quand il éclaire une bosse, il revient avec une intensité presque nulle.
En effet : quand le faisceau éclaire une bosse, une partie de la lumière est réfléchie sur la bosse et une autre partie par les surfaces situées de part et d’autre car le diamètre du faisceau (2 μm) est plus grand que la largeur de la bosse (0.5 μm). Comme l’épaisseur de la bosse est ¼λ, la lumière directement réfléchie sur ces 2 surfaces parcourt une ½ longueur d’onde supplémentaire. Il y a interférence des 2 faisceaux en opposition de phase, ce qui rend l’intensité résultante nulle.
