Exercice corrigé Chapitre 9 : exponentielle
Dans un hôpital, on étudie l’élimination des bactéries présentes sur les mains après utilisation d’un gel antiseptique. On considère que la désinfection est efficace lorsque le nombre de bactéries présentes après s’être frotté les mains est inférieur à 45.
Le nombre de bactéries présentes sur les mains après avoir utilisé le gel pendant x minutes vaut 15 000 × e – 0,5x.
On souhaite répondre à la problématique suivante :
Au bout de combien de temps peut-on considérer la désinfection comme satisfaisante ?
1) Soit la fonction f définie sur l’intervalle [1 ; 14] par f(x) = 15 000 × e – 0,5x. Calculer sa dérivée f ’.
f ’ (x) = 15 000 × (– 0,5) × e – 0,5x f ’ (x) = – 7 500 × e – 0,5x
2) Pourquoi peut-on dire que f ’(x) < 0 ?
e – 0,5x > 0 (une exponentielle est TOUJOURS positive) – 7 500 < 0
Le produit des 2 donne un résultat toujours négatif donc f ’(x) < 0.
3) Compléter le tableau de variation.
x 1 14 Signe de f ’(x)
–
Variation de f(x)
4) Représenter sur la calculatrice la fonction f sur l’intervalle [1 ; 14].
5) Comment trouver graphiquement la valeur de x pour laquelle f(x) = 45 ? Donner cette valeur.
On cherche sur la courbe la valeur de x qui correspond à y = 45.
Graphiquement, f(x) = 45 pour x ≈ 11,6
6) On cherche à résoudre la même équation par le calcul. Résoudre l’équation 15 000 × e – 0,5x = 45.
Arrondir à 2 chiffres après la virgule.
15 000 × e – 0,5x = 45
15 000 × e – 0,5x / 15 000 = 45 / 15 000
e – 0,5x = 45 / 15 000 e – 0,5x = 0,003
ln (e – 0,5x ) = ln 0,003 – 0,5x = ln 0,003
– 0,5x / (– 0,5) = ln 0,003 / (– 0,5)
x = ln 0,003 / (– 0,5) x = 11,62
7) Répondre à la problématique et donner votre avis sur la valeur trouvée.
On peut considérer la désinfection comme satisfaisante au bout de 11,62 min.
Ce temps est élevé. Il faut attendre assez longtemps avant d’avoir les mains désinfectées.
Formulaire : Propriété : ln ( e x ) = x
Dérivée :
Fonction f Dérivée f ’
e x e x
e ax a × e ax
