COMBINATOIRE 1 Triangle de Pascal

UNIVERSITÉ GRENOBLE ALPES Année 2015-2016

L. Coquille, E. Herscovich, S. Kobeissi Licence 2 – MAT243

PROBABILITÉS – Feuille d’exercices 1

COMBINATOIRE 1 Triangle de Pascal

Le coefficient binomial ⁿ_k

est défini par ⁿ_k

= _k!(n−k)!^n! . Montrer que n

k

+ n

k+ 1

=

n+ 1 k

En commençant à 0, la ligne numérondu triangle de Pascaldonne les valeurs de ⁿ₀ , ⁿ₁

, . . . , ⁿ_n . 1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1

1 6 15 20 15 6 1

· · · ·

2 Principe des tiroirs

Si nchaussettes occupent m tiroirs, et sin > m, alors au moins un tiroir doit contenir strictement plus d’une chaussette.Montrer cela rigoureusement.

Généralisation. Soient A₁, A₂,· · · , A_r des ensembles finis deux à deux disjoints. Supposons qu’il existe k∈Ntel que |A₁∪A2∪ · · · ∪Ar|> rk. Montrer qu’il existe 1≤i≤r tel que |A_i|> k.

Application. Montrer qu’il y a à Paris au moins deux personnes ayant le même nombre de cheveux.

(Paris compte plus de 10 millions d’habitants, et une tête a environ 150’000 cheveux.)

3 Injection, surjection, bijection

Soient X etY deux ensembles etf une application deX dans Y.

Rappel : Si A est une partie de X,f(A) est un sous ensemble deY défini par : f(A) ={f(x) :x∈A}

SiB est une partie de Y,f⁻¹(B) est la partie deX définie par : f⁻¹(B) ={x∈X:f(x)∈B}

1. SoitX un ensemble fini. Montrer que|f(X)| ≤ |X|.

2. SoitX un ensemble fini. Montrer quef est injective si et seulement si|f(X)|=|X|.

3. SoientX etY des ensembles finis. Montrer que f est surjective si et seulement si|f(X)|=|Y|.

4. SoientX etY des ensembles finis tels que|X|=|Y|. Montrer l’équivalence suivante : f injective⇐⇒f surjective⇐⇒f bijective

4 Des chiffres et des lettres

1. Combien de mots de passe de 8 symboles peut-on créer avec 26 caractères ?

2. Si, dans un pays, les voitures ont des plaques avec 2 lettres de l’alphabet latin (26 lettres) et ensuite 3 chiffres, combien de plaques possibles y a-t-il ?

5 Billes

De combien de façons peut-on aligner 5 billes rouges, 2 billes jaunes et 3 billes bleues, les billes d’une même couleur étant indiscernables ?

6 Un problème d’occupation

On dispose de nboîtes numérotées de1à net dek balles indiscernables. On range les balles dans les boîtes et on se demande quel est le nombre de façons possibles de le faire. Notons poura_i le nombre de balles dans la boitei. On cherche donc le cardinal de{(a₁,· · ·, an)∈Nⁿ/ a1+· · ·+an=k}.

Montrer que

|{(a₁,· · · , a_n)∈Nⁿ/ a₁+· · ·+a_n=k}|=

n+k−1 k

.

7 Permis de conduire

12 personnes doivent effectuer au même moment un trajet, et disposent pour cela de 3 voitures, comportant respectivement 6, 4 et 2 places. De combien de façons peut-on les répartir dans ces voi- tures...

a) ...si toutes ont le permis de conduire ? b) ... si 4 seulement ont le permis de conduire ?

8 Table

Lors d’une soirée au château de Moulinsart, Nestor doit placer n >5 convives autour d’une table ronde. Quel est le nombre de façons de les placer ? (Deux dispositions sont identiques si elles coincident à une rotation près.)

Combien de façon a-t-il de les placer de façon à ce que les Dupond-Dupont soient côte à côte mais que Haddock et la Castafiore ne le soient pas ?

9 Écrire 2

Montrer que 2ⁿ=

n

X

k=0

n k

. Que représente ce nombre ?

10 Égalité

Montrer que 2n

n

=

n

X

k=0

n k

2

.

(On dénombrera de deux façons différentes le nombre de parties ànéléments d’un ensemble comportant nboules rouges etnboules noires).

11 Dé

On jette successivement 12 fois un dé. Combien y a-t-il de façon que chaque face impaire du dé apparaisse exactement une fois ? que chaque face impaire apparaisse au moins une fois ?

12 k-uplets ordonnés

Quel le cardinal de {(x₁,· · ·, xk)∈N^k/1≤x1 <· · ·< xk≤n}où k≤n?

13 Formule du crible

Soient AetB des ensembles finis. Montrer que

|A∪B|=|A|+|B| − |A∩B|.

Généralisation. Soient A₁, . . . , A_n des ensembles finis. Montrer par récurrence sur nque

n

[

i=1

Ai

=

n

X

i=1

|A_i| − X (i, j) :

1≤i<j≤n

|A_i∩Aj|+ X (i, j, k) :

1≤i<j<k≤n

|A_i∩Aj∩A_k| −. . . + (−1)ⁿ⁻¹|A₁∩. . .∩An|

Cette formule peut aussi s’écrire de façon plus condensée

n

[

i=1

Ai

=

n

X

k=1



(−1)^k+1 X

1≤i1<i2<...<ik≤n

|A_i1 ∩Ai2 ∩. . .∩Aik|



.

14 Problème des chapeaux

On appelle dérangement d’un ensemble A toute permutation des éléments de A telle qu’aucun élément n’est envoyé sur lui-même.

1. En utilisant la formule du crible, montrer que le nombre de dérangements de l’ensemble{1, . . . , n}

(n ≥ 1) est égal à [n!/e], où [x] représente l’entier le plus proche de x. La fonction [n!/e] est appellée sous-factorielle den et notée!n.

Indication : Considérer l’ensembleP de toutes les permutations de{1, . . . , n}, et les ensembles A_i, i= 1, . . . , n, de toutes les permutations laissant i fixe. Montrer que le nombre de dérange- ments est égal à|P| − |S

iA_i|.

2. Voici l’illustration classique du résultat précédent : le problème des chapeaux. Le responsable du vestiaire de l’opéra reçoit un soir 100chapeaux à garder. À la fin du spectacle, il décide de redistribuer les chapeaux au hasard (càd avec la distribution uniforme) lorsque ces100personnes viennent les lui réclamer. Quelle est la probabilité qu’aucune d’entre elles ne reparte avec son chapeau ?

15 Chemins et nombres de Catalan

On considère N×N et le réseau passant par les points de coordonnées entières. On imagine une personne se déplaçant sur ce réseau seulement dans les directions Nord ou Est, c’est à dire que si la personne est au point de coordonnées(x, y), elle va soit en (x+ 1, y) soit en(x, y+ 1).

Voici à gauche un exemple de chemin de(0,0)à (23,17).

1. Quel est le nombre de chemins allant de (0,0)à(p, q)?

2. Quel est le nombre de chemins allant de (a, b) à(p, q) où 0≤a≤p et0≤b≤q?

3. Quel est le nombre de chemins de(0,0)à(n, n) qui restent en dessous de la diagonale (ils sont autorisés à la toucher) ?

Pour répondre à cette question, suivez les étapes ci-dessous :

(a) Vu la première question, observer qu’il suffit de calculer le nombre de chemins allant de(0,0) à (n, n) en intersectant la droite d’équationy =x+ 1(en pointillé sur l’image de droite).

(b) Montrer que l’ensemble des chemins allant de(0,0)à(n, n) en touchant la droitey=x+ 1 est en bijection avec l’ensemble des chemins allant de (0,0)à(n−1, n+ 1). S’inspirer de la figure de droite.

(c) Conclure en utilisant à nouveau la première question. On doit trouver 1

n+ 1 2n

n

Ce nombre est appelé n^ième nombre de Catalan. Cette astuce de comptage fut trouvée par Désiré André en 1887 et est appelée principe de symétrie.

16 Formule de Stirling

On veut démontrer ici la formule de Stirling n!∼nⁿe⁻ⁿ√

2πn. Plus précisément,

n→∞lim

n!

nⁿe⁻ⁿ√

2πn = 1 Pour cela on considère la suite :

an= log 2 + log 3 +· · ·+ log(n−1) +1 2logn

1. On note Ak le trapèze reliant les points (k,0),(k,logk),(k+ 1,log(k+ 1)) et(k+ 1,0) etBk

le trapèze de base k−¹₂ < x < k+¹₂, de cotés verticaux et de coté supérieur la tangente à la courbe y = logx au point (k,logk). Montrer que a_n est égale à la somme des aires des A_k et quean−¹₂lognest égale à la somme des aires desBk. En déduire que :

Z n

3 2

logx dx≤an≤ Z n

1

logx dx.

2. On pose δn = logn!− n+¹₂

logn+n. Montrer que δn tend vers une limite logc telle que

3

2 1−log³₂

≤logc≤1.

3. En admettant que c=√

2π, conclure.