TD4 - Intégrales curvilignes - Formule de Green

Université Paul Sabatier - Toulouse 3 Licence 2^e année Chimie, Physique, Physique-Chimie

Outils Mathématiques 1^er semestre 2019-2020

TD4 - Intégrales curvilignes - Formule de Green

Exercice 1. On pose F(x, y) = −y³e1 + 2e2 = P(x, y)e1+Q(x, y)e2. On note C₁ le cercle d’équation x²+y² = 4orienté dans le sens direct, etC₂le cercle d’équationx²+y² = 1orienté dans le sens rétrograde.

1. Calculer Z

C1

F·dret Z

C2

F·dr.

2. On noteR la région du plan comprise entreC₁ etC₂. Calculer Z Z

R

∂Q

∂x −∂P

∂y

dx dy.

Exercice 2. 1. Vérifier que le champ de vecteursF(x, y) =y²e₁+ (2xy+z)e₂+ (y+ 3)e₃ est conservatif dansR³. Déterminer φtelle queF =∇φ.

2. Vérifier que le champ de vecteurs F(x, y) = (y −3x²)e₁ + (x + sin(y))e₂ est conservatif dans R². Déterminer φtelle queF =∇φ.

Exercice 3. Dans les cas suivants, calculer Z

C

F·dr, puis retrouver le résultat obtenu en appliquant la formule de Green.

(i) C= (r(t))_π6t63π, avec r(t) = sin(t)e1−cos(t)e2. F(x, y) =y²e1−3xe2.

(ii) C= (r(t))_06t62π, avecr(t) = 4 cos(t)e1+ 3 sin(t)e2. F(x, y) = (y−x)e₁+ (x−3y)e₂.

(iii) C est la ligne polygonale fermée(A, B, C, A) avec A: (π/4,0), B : (0, π/4), C : (0,0).

F(x, y) = cos(y)e₁+ sin(x)e₂.

Université Paul Sabatier - Toulouse 3 Licence 2^e année Chimie, Physique, Physique-Chimie

Outils Mathématiques 1^er semestre 2019-2020

TD5 - Intégrales de surface - Formule de Stokes

Exercice 1. 1. On noteSla sphère d’équationx²+y²+z²= 1, etV l’intérieur deS. On poseF(x, y, z) = 3xe1+ 3ye2+ 3ze3. Calculer

Z Z Z

V

div(F)dx dy dz et Z Z

S

F·ndS.

2. Reprendre la question précédente dans le cas où V est le cube V = (]−1,1[)³ etF(x, y, z) = 2x²e1− y²e₂+ze₃.

Exercice 2. Dans les questions suivantes, on noteR une région du plan, f une fonction définie dans R et S la surface S = {(x, y) ∈ R | z =f(x, y)}. On note n la normale unitaire à S, orientée dans le sens z >0. On note Cle bord de S orienté dans le sens direct par rapport àn. EtFest un champ vectoriel de R³. Calculer

Z

C

F·dr et Z Z

S

rotF·ndS.

(i) F(x, y, z) =z³e₁−xye₂+xze₃, R={(x, y)| |x|<2, |y|<1}, f(x, y) = 2x−y.

(ii) F(x, y, z) = 2ye₁+ (x+y)e₂+yze₃, R={(x, y)|x²+y² <1}, f(x, y) = (1−x²−y²).

(iii) F(x, y, z) =−x²e1+xze2+yxe3, R={(x, y)| −2< x <3, 0< y <2}, f(x, y) = 4x−8y+ 30.

(iv) F(x, y, z) =−(y−z)e1−(x+y)e2+ 2xe3, R={(x, y)|x²+y² <4}, f(x, y) = 2x−2y+ 10.