Exercice 1 - Applications en physique Un courant électrique circulant dans un bobinage circulaire de rayon

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JF FERRARIS – L1 – IUT1 – Fonctions réelles 1 – TD2. Etudes de fonctions.

ENONCES

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Exercice 1 - Applications en physique

Un courant électrique circulant dans un bobinage circulaire de rayon r exerce une force

( )

(

² ²

)

⁵²

f x kx

x r

= +

sur un petit aimant situé à une distance x du centre du bobinage. Déterminer, en fonction de r, la valeur de x pour laquelle la force f(x) est maximale.

Exercice 2 -

Étudier la fonction f x: ֏x⁵−5x+1 et en déduire que l’équation x⁵−5x+ =1 0 admet trois solu- tions réelles.

Exercice 3 -

Etudier les variations de la fonction sin

: x

f x֏ x sur l’intervalle

] ]

⁰^;^π , grâce à l’étude des variations du numérateur de sa dérivée.

Exercice 4 -

On considère la fonction f définie sur

[ ]

⁰^,^π ^par^{f x}

( )

⁼^e⁻^x^sin^x

1) Étudier les variations de f sur

[ ]

⁰^,^π : établir le tableau de variations, en indiquant les extrema, puis tracer la courbe représentative C de f sur l'intervalle

[ ]

⁰^,^π . Indication : on pourra prendre comme unités graphiques 5 cm sur l'axe des abscisses et 10 cm sur l'axe des ordonnées.

2) On considère maintenant C', (en vert ci-dessus), courbe représentative de la fonction g définie sur

[ ]

⁰^,^π ^par^{g x}

( )

⁼^e⁻^x. Montrer que C et C' contiennent toutes les deux le point A ;e ² 2

−π

π 

 

 

défini précédemment, et montrer que les deux courbes admettent la même tangente en ce point. Préciser la position relative des courbes C et C' sur l'intervalle

[ ]

⁰^,^π ^.

Exercice 5 - élasticité

Soit une fonction f d'une variable x, définie sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

. En considérant une variation ∆x de x, on s’in- téresse à la variation ∆f de f (x) qui en découle, et plus particulièrement lorsque ∆x est très faible.

Le rapport f

f xx

∆

∆ est la "sensibilité relative de la fonction f à la variation relative de sa variable x" ; par exemple, si une augmentation relative de 2% de x provoque une augmentation de f de 6%, alors cette sensibilité vaut 3.

On définit alors l’élasticité

ε

^{par :} ^lim₀

x

f f xx

ε

⁼_{∆ →} ^∆_∆ , à savoir : la sensibilité "locale", en un x donné et pour une variation infinitésimale de x.

1) Montrer que

( )

f x x f x

= × ′

ε

^.

2) Un produit nouvellement créé est à mettre sur le marché, au prix unitaire x (indéterminé, en €/kg).

Une étude statistique a montré que la demande potentielle dépendait de ce prix, selon l’expression :

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( )

¹⁰^x ¹⁰⁰₄

f x x

= + +

où ^{f x}

( )

est la demande potentielle, exprimée en milliers d'unités, et où x∈ [2 ; 10] (€/kg).

a. Exprimer, en fonction de x, l’élasticité de la demande pour ce produit.

b. Après avoir étudié les variations de cette élasticité sur l’intervalle [2 ; 10], dire pour quel prix unitaire x elle est minimale, donner sa valeur, ainsi que la demande potentielle.

c. Interpréter concrètement le résultat précédent, au regard de l’explication donnée avant la ques- tion 1.

Exercice 6 -

Soit la fonction ^{f x}^: ^֏^e^x ⁺^x

(

^ln^x^{− −}^{1 e}

)

, définie sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^.

1) a. Donner l'expression de la dérivée de cette fonction.

b. Donner l'expression, puis le signe sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

, de la dérivée seconde de cette fonction.

c. Quelles sont alors les variations de ^f^′

( )

^x ^?

2) a. Justifier que ^f^′

( )

¹ ⁼⁰ ; en déduire le signe de ^f^′

( )

^x ^sur

]

^{0 ;}^{+ ∞}

[

^.

b. Donner alors les variations de f ainsi que la valeur de son extremum.

3) a. Donner la limite de ^{f x}

( )

et celle de ^f^′

( )

^x lorsque x tend vers 0 par valeurs positives (on admettra que ^lim₀ ^ln

( )

⁰

x ₊x x

→ = ).

b. Donner alors l'allure de la courbe de la fonction f .

Exercice 7 - Gravitation

A la surface de la Terre, la norme su champ de gravitation g est : ₀ GM₂

g g

= = R où G est la constante de gravitation, M et R la masse et le rayon de la Terre, considérée sphérique.

A l’altitude z, on a :

( ) ( )

( )

g z g z GM

R z

= =

+ ² .

1) Soit la fonction f de variable u qui prend pour valeurs ^{f u}

( ) (

^{= +}¹ ^u

)

⁻²^.

Donner le développement limité à l’ordre 2 de f en zéro.

2) a. Vérifier que si on pose z

u=R, alors g z

( )

=g0× f u

( )

.

b. Justifier ainsi que pour z << R, une approximation de ^{g z}

( )

^est app

( )

z z

g z g

R R

 

=  − + 

 

2

0 1 2 3 2 .

3) Si le rapport z

u=R vaut 3%, calculer (et exprimer en pourcentages) : le rapport gapp

( )

z

g₀ , le rapport

( )

g z

g₀ , le rapport

( )

app

( )

g z

g z et le taux d’erreur de l’approximation :

( ) ( )

app

( )

err

g z g z

t g z

= − .

4) a. Exprimer (le plus simplement possible) le taux terr en fonction de z u=R.

b. Pour une certaine application, on considère comme acceptable un taux terr maximal de un pour dix mille. Donner un encadrement à 10^-3 près du rapport z / R correspondant.

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Exercice 8 - Balistique

Un canon lance un projectile avec une vitesse initiale V₀ fixée (dans [0 ; +∞[) et un angle α ajustable dans [0 ; π

2] (voir figure). Une fois lancé, ce projectile est en chute libre, c'est-à-dire soumis uniquement à l’action de la pesanteur (on néglige les forces de frottement de l’air, le projectile décrivant alors un arc de parabole).

On s’intéresse en particulier à la flèche H de sa trajectoire (hauteur du sommet) et à sa portée P (distance à laquelle il retombe sur le sol), sachant que, pour des raisons simplificatrices, l’origine de notre repère est placée à l’embout du canon.

1) On admettra que, dans ces conditions, l’équation de la trajectoire parabolique

( )

^T ^{est :}

( )

.tan cos

y gx x T

V α

α

= −₂ ²₂ + 2 0

où g est l'accélération de la pesanteur (constante)

a. Par une étude de cette forme du second degré (y fonction de x), dire pour quelle valeur de x la hauteur y est maximale ; exprimer alors la flèche H en fonction de V₀ et α.

b. Déterminer également en fonction de V₀ et α l’expression de la portée P.

2) Comment choisir α pour que la flèche soit maximale ? Combien vaut-elle alors (Hmax) ?

3) Comment choisir α pour que la portée soit maximale ? Combien vaut-elle alors (Pmax) ? Quelle sont les coordonnées du sommet de la parabole correspondante ?

4) On souhaite régler α de telle sorte que le projectile vise le point de coordonnées P^max,H^max 

 

 2 2 , c'est- à-dire que la parabole contienne ce point. Montrer que cette condition imposée revient à résoudre l’équation tan²α −4tanα+ =3 0 .

5) Résoudre cette équation et conclure concrètement (on pourra illustrer sa réponse par un schéma de principe).