Module de Physique Statistique 1 – S5 -

(1)

(2)

UNIVERSITE CHOUAIB DOUKKALI Faculté des Sciences

Département de Physique

Laboratoire de la matière condensée Equipe de physique théorique

Module de Physique Statistique 1 – S5 -

Prof : Mohamed El Bouziani Corrigé Des Travaux Dirigés De Physique Statistique 1

- Aux étudiants de licence de la filière SMP –

***********************************

- Complément de mécanique analytique - Rappel sur les Probabilité

- Distribution micro-canonique

- Distribution canonique

(3)

Complément de mécanique analytique.

1

un corps en mouvement est repéré par les coordonnées 𝑞𝑞₁ ;𝑞𝑞₂ ;𝑞𝑞₃… …𝑞𝑞_𝑆𝑆 sont énergie cinétique est T et son énergie potentielle est notée U . On définit deux fonctions

énergétiques de la manière suivante :

𝑯𝑯 = 𝑻𝑻 + 𝑼𝑼 c’est l’énergie totale ou Hamiltonien et 𝑳𝑳= 𝑻𝑻 – 𝑼𝑼 qui définit la fonction de Lagrange ou lagrangien. On admet qu’à chaque coordonnée généralisée 𝑞𝑞_𝑗𝑗 , on associe un moment conjugué ou encore son impulsion généralisé 𝑝𝑝_𝑗𝑗 par :

𝑝𝑝

_𝑗𝑗

=

_{𝜕𝜕𝑞𝑞̇}^{𝜕𝜕𝜕𝜕}

𝑗𝑗

avec

𝑞𝑞̇

_𝑗𝑗

=

^{𝜕𝜕𝑞𝑞}_{𝜕𝜕𝜕𝜕}^𝑗𝑗

a) Appliquer cette définition aux exemples suivants :

( pour chaque exemple , on déterminera : le nombre de degrés de liberté S , les coordonnées généralisées 𝒒𝒒𝒊𝒊, le lagrangien 𝑳𝑳 ,les impulsion généralisées 𝒑𝒑𝒊𝒊 et l’Hamiltonien 𝑯𝑯 )

** Une seule particule libre dans l’espace.

** Une molécule (𝑨𝑨𝑨𝑨) libre dont on néglige le poids.

** Un oscillateur harmonique à une, deux et trois dimensions.

** Un pendule simple de masse 𝒎𝒎 et de longueur .

b) Le principe de moindre action (l’équivalent mécanique du principe de Fermat en optique)

stipule qu’entre deux instants (initial et final), la trajectoire réelle du système est telle que :

δ(∫

_t^t_i^f

L dt ) = 0

En déduire les équations du mouvement de Lagrange ^𝒅𝒅

𝒅𝒅𝒅𝒅

𝝏𝝏𝑳𝑳

𝝏𝝏𝒒𝒒̇_𝒊𝒊

−

_{𝝏𝝏𝒒𝒒}^{𝝏𝝏𝑳𝑳}

𝒊𝒊

= 𝟎𝟎

Appliquer ces équations aux exemples cités en (a)

c) Dans le cas d’un oscillateur harmonique (1D) , vérifier que l’intégrale suivante est invariante au cours du temps : (théorème de Liouville )

Γ

_t

= ∫ . . . ∫ dq

₁

(t) dq

₂

(t) . . . dq

_s

(t) dp

₁

(t)dp

₂

(t) … dp

_s

(t) Indications :

**

Détermination de s

**

expression temporelle de q et p à un instant 𝒅𝒅 et à (𝒅𝒅+𝚫𝚫), ∀∆

**

On montre que 𝚪𝚪_𝐭𝐭 =𝚪𝚪_𝐭𝐭+∆

d) Un système de particules a s degrés de libertés, est caractérisé par son Hamiltonien H et son lagrangien L. le passage de l’un vers l’autre est possible grâce à un changement de variables :

𝑳𝑳(𝑞𝑞₁,𝑞𝑞2, … ,𝑞𝑞𝑠𝑠,𝑞𝑞̇1,𝑞𝑞2̇ , … ,𝑞𝑞𝑠𝑠̇) → 𝑯𝑯(𝑞𝑞₁,𝑞𝑞2, … ,𝑞𝑞𝑠𝑠,𝑝𝑝1,𝑝𝑝2, … ,𝑝𝑝𝑠𝑠) Avec toujours : p_j =_∂q̇^∂L

j Déduire l’expression de H en fonction de L .

(4)

Probabilités et rappels.

2

un récipient de volume 𝑽𝑽 contient un gaz de 𝑵𝑵 molécules indépendantes (gaz

parfait) .on suppose que la probabilité de trouver une molécule est la même en tout point du récipient.

* Ecrire la probabilité pour qu’une molécule déterminée se trouve dans un petit domaine de volume 𝑽𝑽 .

* Calculer la probabilité 𝑷𝑷(𝒏𝒏) pour qu’il y ait exactement n molécules dans ce domaine ; en déduire le nombre moyen 𝒏𝒏� de molécules contenues dans 𝑽𝑽.

*Montrer si 𝑣𝑣 <<𝑉𝑉 , on peut écrire 𝑷𝑷(𝒏𝒏) sous la forme d’une distribution de poisson : 𝐏𝐏(𝐧𝐧) =𝐧𝐧�^𝐧𝐧

𝐧𝐧!𝐞𝐞^{−𝐧𝐧�}

calculer dans ce cas l’écart quadratique moyen

∆𝐧𝐧

3

On considère un ensemble de 𝑵𝑵 particules (fixées aux nœuds d’un réseau cristallin) de spin ¹₂ et de moment magnétique 𝜇𝜇, indépendantes les unes des autres. On choisit un axe

𝑶𝑶𝑶𝑶 ; chaque particule a deux états possibles : son moment magnétique peut pointer selon

𝑶𝑶𝑶𝑶 ou dans la direction opposée.

* on suppose d’abord que ces deux états ont même probabilité. Quelle est la valeur

moyenne du moment magnétique de l’ensemble et quel est son écart quadratique moyen ?

*En appliquant un champ magnétique 𝑨𝑨��⃗ suivant OZ, on modifie les probabilités des deux états, qui deviennent 𝒑𝒑+ et 𝒑𝒑₋= 𝟏𝟏 − 𝒑𝒑+ .Calculer à nouveau la valeur moyenne et l’écart quadratique moyen du moment magnétique total.

4

Un ensemble statistique présente 𝒎𝒎 variables aléatoires {𝑥𝑥₁,𝑥𝑥2, …𝑥𝑥𝑛𝑛} dont la distribution de probabilités est {𝑃𝑃_𝑖𝑖}_{𝑖𝑖=1,…,𝑚𝑚}.Soit une grandeur physique définie par

= −𝒌𝒌 ∑^𝒎𝒎_{𝒋𝒋=𝟏𝟏}𝒑𝒑_𝒋𝒋𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒑𝒑_𝒋𝒋 , déterminer la distribution des probabilités qui rend 𝑮𝑮 maximale. On utilisera la méthode des multiplicateurs de Lagrange.

Réf.(B .Diu …,P135)

Réf.(B .Diu …,P137)

(5)

.

Distribution microcanonique de Gibbs

5

Calculer l’intégrale𝑰𝑰(𝜶𝜶) =∫ 𝒆𝒆_−∞^+∞ ^{−𝜶𝜶𝒙𝒙}^𝟐𝟐𝒅𝒅𝒙𝒙

.

Onutilisera la procédure suivante :

d’abord, on calcule 𝑱𝑱(𝜶𝜶) =∫ ∫ 𝒆𝒆_−∞^+∞ _−∞^+∞ ^{−𝜶𝜶(𝒙𝒙}^𝟐𝟐^+𝒚𝒚^𝟐𝟐⁾𝒅𝒅𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚 ≡ 𝑰𝑰^𝟐𝟐(𝜶𝜶), ensuite on déduit l’intégrale cherchée .

*Calculer le volume

𝚪𝚪

_𝐧𝐧 d’une sphère dans un espace à

n

dimensions .pour cela , on commence par définir :

𝜞𝜞

_𝒏𝒏

= ∫ … ∫

_𝒙𝒙

𝒅𝒅𝒙𝒙

_𝟏𝟏

𝒅𝒅𝒙𝒙

_𝟐𝟐

… 𝒅𝒅𝒙𝒙

_𝒏𝒏

𝟏𝟏𝟐𝟐+𝒙𝒙_{𝟐𝟐𝟐𝟐}…..+𝒙𝒙_𝒏𝒏^𝟐𝟐≤𝑹𝑹^𝟐𝟐

, R

désigne le rayon de la sphère .dans le cas général , le volume est relie au rayon par la relation simple dépendante de la dimension de la sphère

: 𝜞𝜞

_𝒏𝒏

= 𝑪𝑪

_𝒏𝒏

𝑹𝑹

^𝒏𝒏

.

le calcule du volume revient à évaluer la constante 𝐶𝐶𝑛𝑛 en utilisant une autre intégrale plus simple à calculer soit

𝑰𝑰^𝒏𝒏= � … . .

+∞

−∞

� 𝒆𝒆^{−𝜶𝜶�}^𝒙𝒙^{𝟏𝟏𝟐𝟐}^+𝒙𝒙^{𝟐𝟐𝟐𝟐}^{…..+𝒙𝒙}^𝒏𝒏^𝟐𝟐�

𝒅𝒅𝒙𝒙

𝟏𝟏

𝒅𝒅𝒙𝒙

𝟐𝟐

… 𝒅𝒅𝒙𝒙

𝒏𝒏 +∞

−∞

6a

Un gaz parfait monoatomique est constitué de 𝑵𝑵 ≫ 𝟏𝟏 atomes et occupe un volume V.

l'énergie d'un atome aura l'Expression _2m^p^��⃗² ou m est la masse d'un atome et p son impulsion.

On suppose les atomes gaz sont identiques et on traite le problème par la statistique classique.

* Ecrire l'intégrale donnant le nombre d'états accessibles Φ(𝐸𝐸0 ) dans l’approximation semi-classique.

* Montrer que Φ(𝐸𝐸₀) =𝐴𝐴(𝑉𝑉).𝐸𝐸0 3𝑁𝑁

2, ou A(V) est une fonction ne dépendant que du volume du gaz.

* Déduire l'entropie et la condition d'équilibre du gaz.

6b

Un gaz moléculaire diatomique parfait dont la molécule est constituée de deux atomes différents (𝑨𝑨𝑨𝑨) est en équilibre à la température 𝑻𝑻, la pression 𝑷𝑷 et le volume 𝑽𝑽.

Pour une seule molécule :

* Représenter les degrés de liberté de translation et de rotation

* Ecrire le lagrangien de la molécule et calculer les impulsions généralisées.

* Déduire l'Hamiltonien de translation et de rotation de la molécule.

Pour un gaz de N>>1 molécules

* Ecrire l'Hamiltonien total du gaz

* Rappeler la. Valeur moyenne de l'énergie de translation totale

* Calculer𝚽𝚽(𝑬𝑬_𝟎𝟎)associée au mouvement de rotation, déduire 𝛀𝛀(𝑬𝑬_𝟎𝟎)^.

* Déterminer la valeur moyenne de 1'énergie totale de rotation du gaz.

* Calculer la pression et déduire l'équation d'état du gaz diatomique.

* Conclure

(6)

7

Deux corps (𝐴𝐴₁) et (𝐴𝐴₂) d'énergies totales respectives (𝐸𝐸₁) et (𝐸𝐸₂) se trouvent en équilibre statistique, l’ensemble étant suppose être ferme.

- Montrer en général qu’à l'équilibre statistique, l'entropie totale S est maximale pour un système fermé (cours)

- A volume constant : la variable aléatoire est l'énergie 𝐸𝐸₁ou 𝐸𝐸₂. Montrer que la température est homogène.

A énergie constante: la variable aléatoire est e volume 𝑉𝑉1ou 𝑉𝑉2 . Déduire l'homogénéité de pression.

8

Un système est constitué de 𝑁𝑁 ≫1 particules indépendants de spin

½

et de moment magnétique 𝜇𝜇₀ chacune .Un champ magnétique est appliqué à l’ensemble donnant lieu à une énergie d’interaction totale𝑬𝑬 . On désigne par 𝒏𝒏 le nombre de moments magnétiques se trouvant dans l’état quantique |+> .

* Ecrire l'expression de l'énergie d'interaction totale en fonction de la variable 𝒏𝒏, déduire nombre d'états accessibles du système 𝚽𝚽(𝑬𝑬_𝟎𝟎) dont l'énergie est inferieure ou égale a une valeur 𝑬𝑬𝟎𝟎 .

* Pour une fluctuation𝜹𝜹𝑬𝑬 ≪ 𝑬𝑬, calculer le nombre d'états accessibles 𝛀𝛀(𝐄𝐄) du système pour que l'énergie totale soit comprise entre 𝑬𝑬 et (𝑬𝑬+𝜹𝜹𝑬𝑬). Déduire l'expression de l'entropie du système en fonction de l'énergie.

* A l'équilibre du système calculer la valeur de la variable 𝒏𝒏.

* Déterminer l'équation d'état du système, c'est-a-dire, la relation existante entre la valeur du champ externe, le moment magnétique totale et la température d'équilibre. Discuter du résultat obtenu.

* Le système envisage n 'est pas ferme, l'utilisation de la distribution microcanonique est elle justifiée?

* L'énergie magnétique totale des spins est bornée. Quelles conséquences aura -t- on sur les variables physiques de l'équilibre ?

(7)

9

On considère une assemblée de N>>1 oscillateurs harmoniques a une dimension et indépendants, dont les propriétés en mécanique classique peuvent être décrites par la fonction D’Hamilton suivante:

𝑯𝑯 = ∑

^𝑵𝑵_{𝒊𝒊=𝟏𝟏}

(

^𝒑𝒑_{𝟐𝟐𝒎𝒎}^𝒊𝒊^𝟐𝟐

+

^𝟏𝟏_𝟐𝟐

𝒌𝒌𝒙𝒙

_𝒊𝒊^𝟐𝟐

)

^{ou (x}i, P_i) désigne l'état classique (position et impulsion) d'un oscillateur harmonique unidimensionnel, 𝒎𝒎 est sa masse et𝒌𝒌une constante caractéristique de l’oscillateur.

* Calculer le nombre d'états accessibles pour que l'énergie totale du système soit comprise entre𝑬𝑬𝟎𝟎 et + 𝜹𝜹𝑬𝑬𝜹𝜹^.

* Déduire l'entropie de ce système ainsi que l'énergie totale moyenne en fonction de la température.

* En général, les oscillateurs auront une énergie quantifiée dont l'expression peut s'écrire a I ‘aide d'un nombre quantique 𝒏𝒏_𝒊𝒊 , pour chaque oscillateur. L'énergie totale aura la forme:

𝑬𝑬 = ∑ ℏ𝝎𝝎(𝒏𝒏

_𝒊𝒊 𝒊𝒊

+

^𝟏𝟏_𝟐𝟐

)

ou w représente la pulsation d'un oscillateur.

* Calculer la quantité 𝛀𝛀(𝐄𝐄_𝟎𝟎) ,c'est-à-dire, le nombre d'états accessibles du système pour que l'énergie totale soit comprise entre 𝑬𝑬_𝟎𝟎 et 𝑬𝑬_𝟎𝟎+𝜹𝜹𝑬𝑬_𝟎𝟎 (𝜹𝜹𝑬𝑬_𝟎𝟎 ≪ 𝑬𝑬_𝟎𝟎).

Afin de simplifier les calculs, on définit le paramètre

𝝀𝝀 = ∑ 𝒏𝒏

^𝑵𝑵_𝒊𝒊 _𝒊𝒊 .A chaque valeur l’énergie correspondra une seule valeur de ce paramètre et la recherche du nombre d’états

accessibles revient à trouver le nombre de configurations des nombres quantiques laissant ce paramètre constant.

* Déduire la nouvelle expression de l'entropie ainsi que l'énergie moyenne du système en fonction température d'équilibre.

* Retrouver résultats classiques par passage à la limite des hautes températures.

* Généraliser les résultats obtenus aux cas bi et tridimensionnel.

* Comparer le résultat obtenu dans cas (3D) a celui du gaz parfait. Généraliser au cas des systèmes physiques décrits par une fonction d'Hamilton quadratique des coordonnées et des impulsions.

********************************************************

(8)

Physique statistique smp5 Page 1

Correction

Complément de mécanique analytique.

1 a) définitions :

** 1 seule particule libre : ∎ nombre de degrés de liberté

s=3 ; l’espace de configuration a six dimensions : {𝑥𝑥; 𝑦𝑦; 𝑧𝑧; 𝑥𝑥̇; 𝑦𝑦̇; 𝑧𝑧̇}

𝑞𝑞

₁

= 𝑥𝑥 𝑞𝑞

₂

= 𝑦𝑦 𝑞𝑞

₃

= 𝑧𝑧

∎ Lagrangien :

𝐿𝐿 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 ≡ 𝑇𝑇 ; 𝑈𝑈 = 0 Car particule est libre ⇒ 𝐿𝐿 =

¹₂

𝑚𝑚(𝑥𝑥̇

²

+ 𝑦𝑦̇

²

+ 𝑧𝑧̇

²

) ∎ Impulsion généralisées:

𝑝𝑝

_𝑖𝑖

=

_{𝜕𝜕𝑞𝑞̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

𝑖𝑖

⇒ 𝑝𝑝

_𝑥𝑥

=

_{𝜕𝜕𝑥𝑥̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ; 𝑝𝑝

_𝑦𝑦

= 𝑚𝑚𝑦𝑦̇ ; 𝑝𝑝

_𝑍𝑍

= 𝑚𝑚𝑧𝑧̇ ⇒ 𝑝𝑝⃗ = 𝑚𝑚𝑟𝑟̇⃗

∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 ≡ 𝑇𝑇 𝐻𝐻 =

¹₂

𝑚𝑚𝑟𝑟̇⃗

²

⇒ 𝐻𝐻 =

_2𝑚𝑚^{𝑃𝑃�⃗}²

Conclusion

𝐿𝐿(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑥𝑥̇, 𝑦𝑦̇, 𝑧𝑧̇) 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐻𝐻�𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑝𝑝

_𝑥𝑥

, 𝑝𝑝

_𝑦𝑦

, 𝑝𝑝

_𝑧𝑧

�

** Molécule AB :

∎ nombre de degrés de liberté

deux point matériels ont 6 dll et une seule liaison ��𝐴𝐴𝐴𝐴��⃗�� =𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒��⃗� donc 𝑺𝑺=𝟓𝟓 le choix des coordonnées sera :

𝑞𝑞

₁

= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞

₂

= 𝑦𝑦 , 𝑞𝑞

₃

= 𝑧𝑧 , 𝑞𝑞

₄

= 𝜃𝜃 , 𝑞𝑞

₅

= 𝜑𝜑 suivant le schéma ci-dessous

Le référentiel (OXYZ ) est absolu, le mouvement de translation de la molécule est complètement

déterminé par le vecteur 𝑂𝑂𝑂𝑂��⃗.

A et B sont deux atomes différents. G est le centre de masse de la molécule. Le référentiel ( Gxyz ) est lié à la molécule ou elle effectué uniquement des mouvements de rotation. On suppose que la molécule est rigide (pas de vibrations) 𝜃𝜃

G

O 𝜑𝜑

(9)

∎ Le Lagrangien et toutes les énergies se décomposent : 𝐿𝐿 = 𝐿𝐿

_{𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡}

+ 𝐿𝐿

_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒}

𝐿𝐿

_{𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡} = 1

2𝑚𝑚(𝑥𝑥

̇

𝑂𝑂2 +𝑦𝑦

̇

_𝑂𝑂²+ 𝑧𝑧

̇

𝑂𝑂2) ≡ 𝑇𝑇_{𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡}

𝐿𝐿

_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒} = ¹₂m_AV

��⃗

_A² +¹₂m_BV

��⃗

_B² dans le référentiel lié à G on doit alors exprimer V��⃗_A²et V��⃗_B²en fonction des vitesses et coordonnées généralisées .

L’atome B est repéré dans (Gxyz) :

𝑉𝑉��⃗𝐴𝐴² = 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝜽𝜽+𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝝋𝝋̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽 − 𝟐𝟐𝒍𝒍𝑩𝑩𝜽𝜽̇𝒍𝒍𝑩𝑩𝝋𝝋̇ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽+ 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝜽𝜽+𝒍𝒍𝑩𝑩 𝟐𝟐𝝋𝝋̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽+𝟐𝟐𝒍𝒍𝑩𝑩𝜽𝜽̇𝒍𝒍𝑩𝑩𝝋𝝋̇ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽+

𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽

𝑉𝑉��⃗_𝐴𝐴² = 𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝜽𝜽+𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝜽𝜽 +𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐𝝋𝝋̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽 +𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐𝝋𝝋̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽+ 𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽

𝑉𝑉��⃗𝐴𝐴² = 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝜽𝜽( 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝝋𝝋 + 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝝋𝝋 ) +𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐𝝋𝝋̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽 (𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝝋𝝋 + 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝝋𝝋) + 𝒍𝒍𝑩𝑩𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽 𝑉𝑉_𝐴𝐴

��⃗²= 𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄^𝟐𝟐𝜽𝜽 + 𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐 𝜽𝜽̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽 +𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐𝝋𝝋̇^𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽= 𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐𝜽𝜽̇^𝟐𝟐+𝒍𝒍_𝑩𝑩^𝟐𝟐𝝋𝝋̇^𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽

𝟏𝟏

𝟐𝟐

𝒎𝒎𝑽𝑽 ��⃗

_𝑩𝑩^𝟐𝟐

=

^𝑰𝑰_𝟐𝟐^𝑩𝑩

�𝜽𝜽̇

^𝟐𝟐

+ 𝝋𝝋̇

^𝟐𝟐

𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔

^𝟐𝟐

𝜽𝜽 �

Pour calculer la contribution de l’atome A ; il suffit de changer 𝑙𝑙_𝐴𝐴 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑙𝑙_𝐴𝐴 ; 𝜃𝜃 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟(−𝜃𝜃) ; 𝜑𝜑 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟 (−𝜑𝜑)

𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒎𝒎𝑽𝑽 ��⃗

^𝑨𝑨^𝟐𝟐

= 𝑰𝑰

_𝑨𝑨

𝟐𝟐 �𝜽𝜽 ̇

^𝟐𝟐

+ 𝝋𝝋̇

^𝟐𝟐

𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔

^𝟐𝟐

𝜽𝜽 �

𝒙𝒙 𝒙𝒙=𝒍𝒍_𝑩𝑩 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽 B 𝒚𝒚 𝒚𝒚= 𝒍𝒍𝑩𝑩 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽 𝒛𝒛 𝒛𝒛=𝒍𝒍𝑩𝑩 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽 𝑮𝑮𝑨𝑨=𝒍𝒍_𝑨𝑨 ; 𝑮𝑮𝑩𝑩= 𝒍𝒍_𝑩𝑩

𝒍𝒍_𝑩𝑩 𝜽𝜽̇ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽 − 𝒍𝒍_𝑩𝑩 𝝋𝝋̇ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽 𝑽𝑽_𝑩𝑩

��⃗ 𝒍𝒍_𝑩𝑩 𝜽𝜽̇ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝜽𝜽+𝒍𝒍_𝑩𝑩 𝝋𝝋̇ 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝝋𝝋 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽 − 𝒍𝒍_𝑩𝑩 𝜽𝜽̇ 𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔𝜽𝜽

𝟏𝟏

𝟐𝟐 𝒎𝒎𝑽𝑽��⃗^𝑩𝑩^𝟐𝟐= 𝟏𝟏

𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒍𝒍^𝑩𝑩^𝟐𝟐𝜽𝜽̇^𝟐𝟐+𝟏𝟏

𝟐𝟐 𝒎𝒎𝒍𝒍^𝑩𝑩^𝟐𝟐𝝋𝝋̇^𝟐𝟐𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔^𝟐𝟐𝜽𝜽 𝐿𝐿𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑑𝑑’𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑰𝑰_𝑩𝑩 =

𝒎𝒎𝒍𝒍

_𝑩𝑩^𝟐𝟐

(10)

Physique statistique smp5 Page 3 On pose

𝑰𝑰

_𝑮𝑮 =

𝑰𝑰

_𝑨𝑨 +

𝑰𝑰

_𝑩𝑩 le moment d’inertie de /𝑂𝑂 .

𝑳𝑳

𝒓𝒓𝒄𝒄𝒓𝒓 =

𝑰𝑰

𝑮𝑮

𝟐𝟐

^�

𝜽𝜽

^̇^𝟐𝟐

+ 𝝋𝝋

^̇^𝟐𝟐

𝒄𝒄𝒔𝒔𝒔𝒔

^𝟐𝟐

𝜽𝜽

^�

∎ Les impulsions généralisées :

𝑥𝑥_𝑂𝑂 → 𝑝𝑝_𝑥𝑥 ; 𝑦𝑦_𝑂𝑂 → 𝑝𝑝_𝑦𝑦 ; 𝑧𝑧_𝑂𝑂 → 𝑝𝑝_𝑧𝑧 ; 𝜃𝜃 → 𝑝𝑝_𝜃𝜃 ; 𝜑𝜑 → 𝑝𝑝_𝜑𝜑

𝑝𝑝

_𝑖𝑖

=

_{𝜕𝜕𝑞𝑞̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

𝑖𝑖

⇒ 𝑝𝑝

_𝑥𝑥

=

_{𝜕𝜕𝑥𝑥̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ; 𝑝𝑝

_𝑦𝑦

= 𝑚𝑚𝑦𝑦̇ ; 𝑝𝑝

_𝑍𝑍

= 𝑚𝑚𝑧𝑧̇

𝑝𝑝

_𝜃𝜃

=

_{𝜕𝜕𝜃𝜃̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

= 𝐼𝐼

_𝑂𝑂

𝜃𝜃̇ 𝑝𝑝

_𝜑𝜑

=

_{𝜕𝜕𝜑𝜑̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

= 𝐼𝐼

_𝑂𝑂

𝜑𝜑̇

sin²θ

∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝐻𝐻

_{𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡}

+ 𝐻𝐻

_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒}

𝐻𝐻

2m

�

x

̇

G2+ y

̇

_G² +𝑧𝑧

̇

𝑂𝑂2

�

= (𝑝𝑝_𝑥𝑥² +𝑝𝑝_𝑦𝑦²+𝑝𝑝_𝑧𝑧²) 2𝑚𝑚

𝐻𝐻

_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒} = L_rot = P_θ²

2I_G + P_φ² 2 I_G sin²θ on a négligé l’énergie potentiel de la molécule

𝑼𝑼

= 𝐦𝐦_𝐀𝐀𝐠𝐠𝐙𝐙_𝐀𝐀 + 𝐦𝐦_𝐁𝐁𝐠𝐠𝐙𝐙_𝐁𝐁

𝐔𝐔

= 𝐦𝐦_𝐁𝐁𝐠𝐠𝒍𝒍_𝑩𝑩𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 − 𝐦𝐦_𝐀𝐀𝐠𝐠𝒍𝒍_𝑨𝑨𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜𝐜 ce qui donne :

𝐿𝐿 =1

2𝑚𝑚�𝑥𝑥̇_𝑂𝑂² +𝑦𝑦̇_𝑂𝑂²+𝑧𝑧̇_𝑂𝑂²�+𝐼𝐼_𝑂𝑂

2 �𝜃𝜃̇² +𝜑𝜑̇²𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡²𝜃𝜃 �– (𝑚𝑚_𝐴𝐴𝑙𝑙_𝐴𝐴− 𝑚𝑚_𝐴𝐴𝑔𝑔𝑙𝑙_𝐴𝐴)𝑔𝑔𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝜃𝜃 𝐻𝐻 =(𝑝𝑝𝑥𝑥2 +𝑝𝑝𝑦𝑦2 +𝑝𝑝𝑧𝑧2)

2𝑚𝑚 +𝑃𝑃_𝜃𝜃²

2𝐼𝐼_𝑂𝑂 + 𝑃𝑃_𝜑𝜑²

2 𝐼𝐼_𝑂𝑂 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡²𝜃𝜃+ (𝑚𝑚_𝐴𝐴𝑙𝑙_𝐴𝐴 − 𝑚𝑚_𝐴𝐴𝑔𝑔𝑙𝑙_𝐴𝐴)𝑔𝑔𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝜃𝜃

** oscillateur harmonique :

pour un oscillateur harmonique 1D

∎ nombre de degrés de liberté

s = 1

𝑞𝑞

₁

= 𝑥𝑥 l’espace de configuration : {𝑥𝑥, 𝑥𝑥̇}

∎ Lagrangien :

𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 = 1

2

^{𝑚𝑚𝑥𝑥}

̇

² −1 2𝑘𝑘𝑥𝑥²

∎ Les impulsions généralisées :

𝑥𝑥

_𝑂𝑂

→ 𝑝𝑝

_𝑥𝑥

(11)

𝑝𝑝

_𝑖𝑖

=

_{𝜕𝜕𝑞𝑞̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

𝑖𝑖

⇒ 𝑝𝑝

_𝑥𝑥

=

_{𝜕𝜕𝑥𝑥̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇

∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 en fonction de 𝑥𝑥 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃

_𝑥𝑥

𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 = 𝑃𝑃

_𝑥𝑥²

2𝑚𝑚

⁺

1 2𝑘𝑘𝑥𝑥²

pour un oscillateur harmonique 2D

∎ Nombre de degrés de liberté

s = 2

𝑞𝑞

₁

= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞

₂

= 𝑦𝑦 l’espace de configuration : {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑥𝑥̇, 𝑦𝑦̇}

∎ Lagrangien :

𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 = 1

2

^𝑚𝑚

�

𝑥𝑥

̇

²+𝑦𝑦

̇

²

�

− 1

2𝑘𝑘

(

𝑥𝑥² +𝑦𝑦²

)

∎ Les impulsions généralisées :

𝑥𝑥

_𝑂𝑂

→ 𝑝𝑝

_𝑥𝑥

; 𝑦𝑦

_𝑂𝑂

→ 𝑝𝑝

_𝑦𝑦

𝑝𝑝

_𝑖𝑖

=

_{𝜕𝜕𝑞𝑞̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

𝑖𝑖

⇒ 𝑝𝑝

_𝑥𝑥

=

_{𝜕𝜕𝑥𝑥̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ; 𝑝𝑝

_𝑦𝑦

= 𝑚𝑚𝑦𝑦̇

∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 en fonction de 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑃𝑃

_𝑥𝑥

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃

_𝑦𝑦

𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 = 𝑃𝑃

_𝑥𝑥²

+ 𝑃𝑃

_𝑦𝑦²

2𝑚𝑚

⁺

1

2𝑘𝑘

(

𝑥𝑥² +𝑦𝑦²

)

pour un oscillateur harmonique 3D

∎ Nombre de degrés de liberté

s = 3

𝑞𝑞

₁

= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞

₂

= 𝑦𝑦 , 𝑞𝑞

₃

= 𝑧𝑧 l’espace de configuration : {𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑥𝑥̇, 𝑦𝑦̇, 𝑧𝑧̇}

∎ Lagrangien :

𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 = 1

2

^𝑚𝑚

�

𝑥𝑥

̇

² +𝑦𝑦

̇

² +𝑧𝑧

̇

²

�

− 1

2𝑘𝑘

(

𝑥𝑥² +𝑦𝑦² +𝑧𝑧²

)

∎ Les impulsions généralisées :

𝑥𝑥

_𝑂𝑂

→ 𝑝𝑝

_𝑥𝑥

; 𝑦𝑦

_𝑂𝑂

→ 𝑝𝑝

_𝑦𝑦

; 𝑧𝑧

_𝑂𝑂

→ 𝑝𝑝

_𝑧𝑧

𝑝𝑝

_𝑖𝑖

=

_{𝜕𝜕𝑞𝑞̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

𝑖𝑖

⇒ 𝑝𝑝

_𝑥𝑥

=

_{𝜕𝜕𝑥𝑥̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

= 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ; 𝑝𝑝

_𝑦𝑦

= 𝑚𝑚𝑦𝑦̇ ; 𝑝𝑝

_𝑧𝑧

= 𝑚𝑚𝑧𝑧̇

∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 en fonction de 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 , 𝑧𝑧, 𝑃𝑃

_𝑥𝑥

, 𝑃𝑃

_𝑦𝑦

𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑃𝑃

_𝑍𝑍

𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 = 𝑃𝑃

_𝑥𝑥²

+ 𝑃𝑃

_𝑦𝑦²

+ 𝑃𝑃

_𝑧𝑧²

2𝑚𝑚

⁺

1

2𝑘𝑘

(

𝑥𝑥²+𝑦𝑦² +𝑧𝑧²

)

(12)

** Pendule simple :

∎ nombre de degrés de liberté :

le point 𝑚𝑚 aura trois coordonnées cartésiennes x, y, z le nombre totale de liaisons est l = 2 , la première vient du fait que le point de suspension est fixe :Z = 0 est l’autre liaison provient de la constante de la longueur du fil de suspension soit d(o, m) = c^te

𝑡𝑡 = 1 , On choisit l’angle 𝜃𝜃

𝑥𝑥 = 𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃 , 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙 sin 𝜃𝜃 , 𝑞𝑞

₁

= 𝜃𝜃 , 𝑃𝑃

_𝜃𝜃

=

_{𝜕𝜕𝜃𝜃̇}^{𝜕𝜕𝐿𝐿}

L’espace de configuration �𝜃𝜃, 𝜃𝜃̇�

∎ Lagrangien : 𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈

𝑇𝑇 =

¹₂

𝑚𝑚(𝑥𝑥̇

²

+ 𝑦𝑦̇

²

)=

¹₂

𝑚𝑚𝑙𝑙

²

𝜃𝜃̇

²

𝑈𝑈 = 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑦𝑦 = −𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃

𝑳𝑳 = 𝑇𝑇 − 𝑈𝑈 =

¹₂

𝑚𝑚𝑙𝑙

²

𝜃𝜃̇

²

+ 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃 ≡ 𝐿𝐿(𝜃𝜃, 𝜃𝜃̇)

∎ Les impulsions généralisées :

𝜃𝜃 → 𝑃𝑃𝜃𝜃

𝑝𝑝

_𝜃𝜃

= 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝜃𝜃̇ = 𝑚𝑚𝑙𝑙

²

𝜃𝜃̇

∎ Hamiltonien : 𝐻𝐻 (𝜃𝜃, 𝑃𝑃

_𝜃𝜃

)

𝐻𝐻 = 𝑇𝑇 + 𝑈𝑈 = 𝑃𝑃

_𝜃𝜃²

2𝑚𝑚𝑙𝑙

²

− 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃 ≡ 𝐻𝐻 (𝜃𝜃, 𝑃𝑃

_𝜃𝜃

)

𝑋𝑋⃗

𝑌𝑌�⃗

𝜃𝜃

𝒍𝒍

(13)

b) principe de moindre action :

𝛿𝛿 � 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝑒𝑒_𝑓𝑓

𝑒𝑒𝑖𝑖

= 0 ; 𝐿𝐿(𝑞𝑞

₁

, 𝑞𝑞̇

₁

)

𝛿𝛿𝐿𝐿 = � 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

𝛿𝛿𝑞𝑞

_𝑖𝑖

+

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

� 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

̇ 𝛿𝛿𝑞𝑞̇

^𝑖𝑖

; 𝛿𝛿𝑞𝑞̇

_𝑖𝑖

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

= 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝛿𝛿𝑞𝑞

^𝑖𝑖

𝛿𝛿𝐿𝐿 = �( 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

𝛿𝛿𝑞𝑞

_𝑖𝑖

+ 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

̇

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝛿𝛿𝑞𝑞

^𝑖𝑖

)

𝛿𝛿 � 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝑒𝑒_𝑓𝑓

𝑒𝑒_𝑖𝑖

= � � 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

𝛿𝛿𝑞𝑞

_𝑖𝑖

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1 𝑒𝑒_𝑓𝑓

𝑒𝑒_𝑖𝑖

+ � � 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

̇ 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝛿𝛿𝑞𝑞

^𝑖𝑖

𝑒𝑒_𝑖𝑖

��

𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑔𝑔𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟 𝑝𝑝𝑡𝑡𝑟𝑟𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒

𝛿𝛿 � 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝑒𝑒_𝑓𝑓

𝑒𝑒_𝑖𝑖

= � � 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

𝛿𝛿𝑞𝑞

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑒𝑒

𝑒𝑒_𝑖𝑖

+ �� 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

̇ 𝛿𝛿𝑞𝑞

^𝑖𝑖

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

�

𝑒𝑒𝑖𝑖 𝑒𝑒_𝑓𝑓

− � � 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

̇ 𝛿𝛿𝑞𝑞

^𝑖𝑖

𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑒𝑒

𝛿𝛿𝑞𝑞

_𝑖𝑖

(𝑒𝑒

_𝑖𝑖

) = 𝛿𝛿𝑞𝑞

_𝑖𝑖

�𝑒𝑒

_𝑓𝑓

� = 0 L’état initial et final.

𝛿𝛿 � 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝑒𝑒_𝑓𝑓

𝑒𝑒_𝑖𝑖

= � �( 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

− 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞̇

_𝑖𝑖

)

𝑖𝑖

𝛿𝛿𝑞𝑞

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑒𝑒 = 0 ∀𝛿𝛿𝑞𝑞

_𝑖𝑖

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞̇

_𝑖𝑖

− 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞

_𝑖𝑖

= 0 ∀ 𝑖𝑖 ∈ {1,2, … . . , 𝑡𝑡}

On applique les équations différentielles obtenues aux exemples cités en (a) : 𝐿𝐿 =

¹₂

𝑚𝑚(𝑥𝑥̇

²

+ 𝑦𝑦̇

²

+ 𝑧𝑧̇

²

) ; 𝑞𝑞

₁

= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞

₂

= 𝑦𝑦 , 𝑞𝑞

₃

= 𝑧𝑧

On obtient 3 équations différentielles : 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑥𝑥̇ −

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ = 0 ⇒ 𝑥𝑥̇ = 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒

(14)

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑦𝑦̇ −

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑦𝑦̈ = 0 ⇒ 𝑦𝑦̇ = 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑧𝑧̇ −

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑧𝑧 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑧𝑧̈ = 0 ⇒ 𝑧𝑧̇ = 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 C'est-à-dire : 𝑉𝑉�⃗ = 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 ��⃗ le mouvement est rectiligne uniforme .

** Molécule AB : 𝐿𝐿

2𝑚𝑚

�

𝑥𝑥

̇

𝑂𝑂2 +𝑦𝑦

̇

_𝑂𝑂²+𝑧𝑧

̇

𝑂𝑂2

� ; 𝐿𝐿

_{𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒} =

𝐼𝐼

_𝑂𝑂

2 �𝜃𝜃̇

²

+ 𝜑𝜑̇

²

𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡

²

𝜃𝜃 � 𝑞𝑞

₁

= 𝑥𝑥 , 𝑞𝑞

₂

= 𝑦𝑦 , 𝑞𝑞

₃

= 𝑧𝑧

��

𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑙𝑙𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡

, 𝑞𝑞 ��

₄

= 𝜃𝜃 , 𝑞𝑞

₅

= 𝜑𝜑

𝑟𝑟𝑟𝑟𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡

Dans ce cas on a un système de 5 équations différentielles ( 3 translation ;2 rotation ) les équations différentielles de translation sont similaire à la particule libre :

𝑚𝑚𝑥𝑥̈

_𝑂𝑂

= 0 ; 𝑚𝑚𝑦𝑦̈

_𝑂𝑂

= 0 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑚𝑚𝑧𝑧̈

_𝑂𝑂

= 0 ⇒ 𝑉𝑉 ��⃗

_𝑂𝑂

= 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 ��⃗

Le centre de masse a un mouvement rectiligne uniforme Pour la rotation ; deux équations différentielles :

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝜃𝜃̇ − 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝐼𝐼

_𝑂𝑂

𝜃𝜃̈ − 𝐼𝐼

_𝑂𝑂

2 𝜑𝜑̇

²

cos 𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝜃𝜃̈ − 1

2 𝜑𝜑̇

²

cos 𝜃𝜃 = 0 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝜑𝜑̇ −

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝜑𝜑 = 0 ⇒ 𝐼𝐼

_𝑂𝑂

𝜑𝜑̈ sin

²

𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝜑𝜑̈ sin

²

𝜃𝜃 = 0

** oscillateur harmonique : on prend le cas de (3D) 𝐿𝐿 = 1

2

^𝑚𝑚

�

𝑥𝑥

̇

² +𝑦𝑦

̇

²+ 𝑧𝑧

̇

²

�

−1

2𝑘𝑘

(

𝑥𝑥² +𝑦𝑦² +𝑧𝑧²

) On trouve 3 équations différentielles :

𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑥𝑥̇ −

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑦𝑦̇ −

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑦𝑦̈ + 𝑘𝑘𝑦𝑦 = 0 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑧𝑧̇ −

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑧𝑧 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑧𝑧̈ + 𝑘𝑘𝑧𝑧 = 0

(15)

** Pendule simple : 𝐿𝐿 =

¹₂

𝑚𝑚𝑙𝑙

²

𝜃𝜃̇

²

+ 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 cos 𝜃𝜃

Une seule équation différentielle : 𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝜃𝜃̇ − 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝑚𝑚𝑙𝑙

²

𝜃𝜃̈ + 𝑚𝑚𝑔𝑔𝑙𝑙 sin 𝜃𝜃 = 0 ⇒ 𝜃𝜃̈ + 𝑔𝑔

𝑙𝑙 sin 𝜃𝜃 = 0 c) théorème de Liouville: (OH 1D)

On vient de montrer que 𝑚𝑚𝑥𝑥̈ + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0 ;cherchons l’autre équation par l’impulsion :

avec 𝑝𝑝 = 𝑚𝑚𝑥𝑥̇

on pose 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

₀

cos 𝑤𝑤𝑒𝑒 ⇒ 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝

₀

sin 𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑝𝑝 = 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑥𝑥̇ = 𝑚𝑚𝑥𝑥̇ ⇒ 𝑝𝑝̇ = 𝑚𝑚𝑥𝑥̈

𝑑𝑑

𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝 − 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑝𝑝̇ + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0

𝑝𝑝̇ + 𝑘𝑘𝑥𝑥 = 0 ⇒ 𝑝𝑝̈ + 𝑘𝑘

𝑚𝑚 𝑝𝑝 = 0

𝑥𝑥̈ + 𝑤𝑤

²

𝑥𝑥 = 0 𝑝𝑝̈ + 𝑤𝑤

²

𝑝𝑝 = 0

(𝐼𝐼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑒𝑒)

𝑥𝑥 = 𝑥𝑥

₀

cos 𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝

₀

sin 𝑤𝑤𝑒𝑒

Évolution

(𝑥𝑥, 𝑝𝑝) (𝑥𝑥′, 𝑝𝑝′)

𝛤𝛤

_𝑒𝑒

= � 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝 Volume de phase à

l’ instant t

𝛤𝛤

_𝑒𝑒+Δ

= � 𝑑𝑑𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑝𝑝′

𝑉𝑉𝑟𝑟𝑙𝑙𝑉𝑉𝑚𝑚𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝ℎ𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 à 𝑙𝑙’ 𝑖𝑖𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 (𝑒𝑒 + Δ)

(𝐼𝐼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑒𝑒+∆)

𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥

₀

cos 𝑤𝑤(𝑒𝑒 + ∆)

𝑝𝑝′ = 𝑝𝑝

₀

sin 𝑤𝑤(𝑒𝑒 + ∆)

(16)

avec 𝑥𝑥

^′

= 𝑥𝑥′(𝑥𝑥, 𝑝𝑝) et 𝑝𝑝′ = 𝑝𝑝′(𝑥𝑥, 𝑝𝑝)

D’autre part : ∬ 𝑑𝑑𝑥𝑥𝑑𝑑𝑝𝑝 = ∬ |𝕁𝕁|𝑑𝑑𝑥𝑥′𝑑𝑑𝑝𝑝′

Ou 𝕁𝕁 est le Jakoubien de la transformation (𝑒𝑒) → (𝑒𝑒 + ∆)

𝕁𝕁 = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒 �

𝜕𝜕𝑥𝑥′

𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑥𝑥′

𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥′

𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑝𝑝′

𝜕𝜕𝑝𝑝

� 𝑖𝑖𝑙𝑙 𝑓𝑓𝑡𝑡𝑉𝑉𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑙𝑙𝑟𝑟𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑡𝑡𝑙𝑙𝑐𝑐𝑉𝑉𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟 𝑥𝑥’𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝’𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑓𝑓𝑟𝑟𝑡𝑡𝑐𝑐𝑒𝑒𝑖𝑖𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑥𝑥𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑝𝑝 En effet :

𝕁𝕁 = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒 ��

𝜕𝜕𝑥𝑥 ′

𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑥𝑥 ′

𝜕𝜕𝑥𝑥 ′ 𝜕𝜕𝑝𝑝

𝜕𝜕𝑥𝑥

𝜕𝜕𝑝𝑝 ′

𝜕𝜕𝑝𝑝

�� = 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑒𝑒 �

𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ − 𝑥𝑥

₀

𝑝𝑝

₀

𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆

𝑝𝑝

₀

𝑥𝑥

₀

𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆ 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ � = 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡

²

𝑤𝑤∆ + 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡

²

𝑤𝑤∆= 1

|𝕁𝕁| = 1 ⇒ 𝛤𝛤

_𝑒𝑒

= 𝛤𝛤

_𝑒𝑒+Δ

Au cours du mouvement; le volume de phases se conserve.

𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥

₀

𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ − 𝑥𝑥

₀

𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆

𝑝𝑝′ = 𝑝𝑝

₀

sin 𝑤𝑤𝑒𝑒 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ + 𝑝𝑝

₀

𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆ 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒

𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 ��

₀

𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒

𝑥𝑥

𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ − 𝑥𝑥

₀

𝑝𝑝

₀

𝑝𝑝 ��

₀

𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒

𝑝𝑝

𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆

𝑝𝑝′ = 𝑝𝑝 ��

₀

sin 𝑤𝑤𝑒𝑒

𝑝𝑝

𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ + 𝑝𝑝

₀

𝑥𝑥

₀

𝑥𝑥 ��

₀

𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤𝑒𝑒

𝑥𝑥

𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆

𝑥𝑥′ = 𝒙𝒙 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ − 𝑥𝑥

₀

𝑝𝑝

₀

𝒑𝒑 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆

𝑝𝑝′ = 𝒑𝒑 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑤𝑤∆ + 𝑝𝑝

₀

𝑥𝑥

₀

𝒙𝒙 𝑡𝑡𝑖𝑖𝑡𝑡𝑤𝑤∆

(17)

d) Hamiltonien:

𝑳𝑳(𝑞𝑞₁,𝑞𝑞₂, … ,𝑞𝑞_𝑡𝑡,𝑞𝑞̇₁,𝑞𝑞₂̇ , … ,𝑞𝑞_𝑡𝑡̇) → 𝑯𝑯(𝑞𝑞₁,𝑞𝑞₂, … ,𝑞𝑞_𝑡𝑡,𝑝𝑝₁,𝑝𝑝₂, … ,𝑝𝑝_𝑡𝑡) 𝑑𝑑𝐿𝐿=�

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

�𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞𝑖𝑖+ 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞̇𝑖𝑖𝑑𝑑𝑞𝑞̇𝑖𝑖� On exprime 𝑑𝑑𝑞𝑞̇_𝑖𝑖 en fonction de 𝑑𝑑𝑞𝑞_𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑝𝑝_𝑖𝑖 .

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞_𝑖𝑖 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑒𝑒

𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞̇_𝑖𝑖 = 𝑝𝑝̇_𝑖𝑖 ; 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑞𝑞̇_𝑖𝑖 =𝑝𝑝_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝐿𝐿 = �

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

�𝑝𝑝̇

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑞𝑞

_𝑖𝑖

+ 𝑝𝑝 ��

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑞𝑞̇

_𝑖𝑖

𝒅𝒅(𝒑𝒑_𝒔𝒔𝒒𝒒̇_𝒔𝒔)−𝒒𝒒̇_𝒔𝒔𝒅𝒅𝒑𝒑_𝒔𝒔

� 𝑑𝑑𝐿𝐿 = �

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

(𝑝𝑝̇

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑞𝑞

_𝑖𝑖

− 𝑞𝑞̇

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑝𝑝

_𝑖𝑖

) + 𝑑𝑑 � 𝑝𝑝

𝑖𝑖

𝑞𝑞̇

_𝑖𝑖

𝑡𝑡

𝑖𝑖=1

𝑑𝑑 �� 𝑝𝑝

_𝑖𝑖

𝑞𝑞̇

_𝑖𝑖

− 𝐿𝐿

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

��

𝐻𝐻

= �

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

(𝑞𝑞̇

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑝𝑝

_𝑖𝑖

− 𝑝𝑝̇

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑞𝑞

_𝑖𝑖

)

𝑑𝑑𝐻𝐻 = �

𝑡𝑡 𝑖𝑖=1

(𝑞𝑞̇

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑝𝑝

_𝑖𝑖

− 𝑝𝑝̇

_𝑖𝑖

𝑑𝑑𝑞𝑞

_𝑖𝑖

)

Les équations canoniques d’Hamilton.

d) particule relativiste libre: (𝐸𝐸𝑥𝑥𝑡𝑡𝑚𝑚𝑒𝑒𝑡𝑡)

Une particule de masse 𝑚𝑚 , de vitesse 𝑣𝑣⃗ et dont la fonction de Lagrange est donnée par :

𝐿𝐿=−𝛼𝛼 �1−𝑣𝑣²

𝑐𝑐² ; 𝛼𝛼 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑐𝑐 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑑𝑑𝑒𝑒𝑡𝑡 𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒𝑡𝑡.

∎ 𝑡𝑡 = 3 ;

𝜀𝜀

_{𝑐𝑐𝑟𝑟𝑡𝑡𝑓𝑓}

= �𝑥𝑥; 𝑦𝑦, 𝑧𝑧, 𝑣𝑣

_𝑥𝑥

, 𝑣𝑣

_𝑦𝑦

, 𝑣𝑣

_𝑧𝑧

� ≡ {𝑟𝑟⃗, 𝑣𝑣⃗}.

𝜕𝜕𝐻𝐻

𝜕𝜕

𝑞𝑞

_𝑖𝑖⁼

−𝑝𝑝

^̇_𝑖𝑖

𝜕𝜕𝐻𝐻

𝜕𝜕

𝑝𝑝

_𝑖𝑖⁼

𝑞𝑞

^̇_𝑖𝑖

(18)

∎

Calcul de 𝛼𝛼 : on sait que ; lorsque

^𝑣𝑣_𝑐𝑐

→ 0 ; la particule devient classique de lagrangien.

𝐿𝐿

𝑐𝑐𝑙𝑙𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑖𝑖𝑞𝑞𝑉𝑉𝑒𝑒

= 1

2 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗

²

⇒ lim

_𝑣𝑣

𝑐𝑐→0

𝐿𝐿 = 1

2 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗

²

𝑣𝑣

lim

𝑐𝑐→0

𝐿𝐿 ≈

−𝛼𝛼

�

1−1

2 𝑉𝑉²

𝐶𝐶²

�

≡ −𝛼𝛼+𝛼𝛼 2

𝑉𝑉² 𝐶𝐶² Or 𝐿𝐿 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝐿𝐿+𝛼𝛼 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑞𝑞𝑉𝑉𝑖𝑖𝑣𝑣𝑡𝑡𝑙𝑙𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒𝑡𝑡

𝑣𝑣

lim

𝑐𝑐→0

𝐿𝐿 ≅

^𝛼𝛼

2 𝑉𝑉² 𝐶𝐶² =

1 2 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗

²

⇒

𝛼𝛼 = 𝑚𝑚𝑐𝑐²

𝑳𝑳= −𝒎𝒎𝒄𝒄^𝟐𝟐�𝟏𝟏 − 𝒗𝒗𝒄𝒄^𝟐𝟐^𝟐𝟐

𝑝𝑝⃗ = 𝜕𝜕𝐿𝐿

𝜕𝜕𝑉𝑉�⃗= 𝑚𝑚𝑣𝑣⃗

�𝟏𝟏 − 𝒗𝒗𝒄𝒄^𝟐𝟐^𝟐𝟐

𝑙𝑙

^′

ℎ𝑡𝑡𝑚𝑚𝑖𝑖𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡𝑖𝑖𝑒𝑒𝑡𝑡 ∶ 𝐻𝐻

²

= (𝑝𝑝⃗𝑣𝑣⃗ − 𝐿𝐿)

²

= 𝑝𝑝⃗

²

𝑐𝑐

²

+ 𝑚𝑚

²

𝑐𝑐

⁴

𝑆𝑆𝑖𝑖 𝑚𝑚𝑐𝑐

²

≪ 𝑝𝑝𝑐𝑐 ⇒ 𝐻𝐻 ≅ 𝑝𝑝. 𝑐𝑐 𝑉𝑉𝑙𝑙𝑒𝑒𝑟𝑟𝑡𝑡 − 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑙𝑙𝑡𝑡𝑒𝑒𝑖𝑖𝑣𝑣𝑖𝑖𝑡𝑡𝑒𝑒𝑒𝑒

(19)

Probabilités et rappels.

2 puisque la probabilité est la même en tout point, alors la densité de probabilités est la une constante.

𝜌𝜌 = 𝑑𝑑𝒫𝒫

𝑑𝑑𝑉𝑉 = 𝑝𝑝

𝑣𝑣 ⇒ 𝑝𝑝 = 𝑣𝑣 𝑉𝑉

n molécule se trouvent dans le volume , (𝑡𝑡𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒 𝑝𝑝^𝑡𝑡 ) et le reste (N-n) sont a l’extérieur de 𝑣𝑣 𝑡𝑡𝑟𝑟𝑖𝑖𝑒𝑒 (1− 𝑝𝑝)^𝑡𝑡

nous avons deux événements à réaliser ;il reste à définir les n molécule parmi N : 𝐶𝐶_𝑁𝑁^𝑡𝑡 = 𝑁𝑁!

𝑡𝑡! (𝑁𝑁 − 𝑡𝑡)!

𝒫𝒫 (n) = 𝑁𝑁!

𝑡𝑡! (𝑁𝑁 − 𝑡𝑡)! 𝑝𝑝

^𝑡𝑡

(1 − 𝑝𝑝)

^{𝑁𝑁−𝑡𝑡}

𝑞𝑞𝑉𝑉𝑖𝑖 𝑒𝑒𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑙𝑙𝑟𝑟𝑖𝑖 𝑏𝑏𝑖𝑖𝑡𝑡𝑟𝑟𝑚𝑚𝑖𝑖𝑡𝑡𝑙𝑙𝑒𝑒 On montre que 〈𝑡𝑡〉 = 𝑁𝑁𝑝𝑝

𝑡𝑡� = � 𝑡𝑡𝒫𝒫(n) =

𝑁𝑁 𝑡𝑡=0

� 𝑡𝑡 𝑁𝑁!

𝑡𝑡! (𝑁𝑁 − 𝑡𝑡)! 𝑝𝑝

^𝑡𝑡

(1 − 𝑝𝑝)

𝑁𝑁

𝑡𝑡=0

𝑡𝑡� = � 𝑁𝑁!

(𝑡𝑡 − 1)! (𝑁𝑁 − 𝑡𝑡)! 𝑝𝑝

^𝑡𝑡

(1 − 𝑝𝑝)

𝑁𝑁 𝑡𝑡=1

, 𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑚𝑚 = 𝑡𝑡 − 1 𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑡𝑡 = 𝑚𝑚 + 1

𝑡𝑡� = � 𝑁𝑁!

𝑚𝑚! (𝑁𝑁 − 1 − 𝑚𝑚)! 𝑝𝑝

^(𝑚𝑚+1)

(1 − 𝑝𝑝)

^{(𝑁𝑁−1−𝑚𝑚}⁾

𝑁𝑁−1 𝑚𝑚=0

, 𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑁𝑁

^′

= 𝑁𝑁 − 1

𝑡𝑡�= 𝑁𝑁𝑝𝑝 � (𝑁𝑁 −1)!

𝑚𝑚! (𝑁𝑁 −1− 𝑚𝑚)!𝑝𝑝^𝑚𝑚(1− 𝑝𝑝)^{(𝑁𝑁−1−𝑚𝑚}⁾

𝑁𝑁−1 𝑚𝑚=0

=𝑁𝑁𝑝𝑝 � 𝑁𝑁^′!

𝑚𝑚! (𝑁𝑁^′ − 𝑚𝑚)!𝑝𝑝^𝑚𝑚(1− 𝑝𝑝)^�𝑁𝑁^′^{−𝑚𝑚�}

𝑁𝑁^′

𝑚𝑚=0��

(𝑝𝑝+1−𝑃𝑃)^𝑁𝑁′

〈𝑡𝑡〉 = 𝑁𝑁𝑝𝑝 la fluctuation statistique de n :

𝛿𝛿𝑡𝑡 =�𝑡𝑡�� − 𝑡𝑡�² ²�¹^�² 𝑡𝑡²

��= �

𝑡𝑡

²

𝑁𝑁!

𝑡𝑡!

⁽

𝑁𝑁 − 𝑡𝑡

⁾

! 𝑝𝑝

^𝑡𝑡�

1 − 𝑝𝑝

�^{𝑁𝑁−𝑡𝑡} 𝑁𝑁

𝑡𝑡=0

=

�

𝑡𝑡 𝑁𝑁!

�

𝑡𝑡 − 1

�

!

⁽

𝑁𝑁 − 𝑡𝑡

⁾

! 𝑝𝑝

^𝑡𝑡�

1 − 𝑝𝑝

�^{𝑁𝑁−𝑡𝑡} 𝑁𝑁

𝑡𝑡=1

𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑝𝑝𝑟𝑟𝑡𝑡𝑒𝑒 𝑚𝑚= 𝑡𝑡 −1 ,𝑡𝑡= 𝑚𝑚+ 1