§6.6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dansR2 représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent
dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sontco-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dansR3 représente levolume signédu parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encoreliés.
libres⇐⇒volume6=0⇐⇒ det6=0. liés⇐⇒ volume=0 ⇐⇒det=0.
Une base{~a1,· · ·, ~an}est dite base directe si det(~a1,· · ·, ~an)>0, etbase indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1, ~e2, ~e3} et {~e1, ~e3, ~e2}.
§6.6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dansR2 représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien
dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sontco-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dansR3 représente levolume signédu parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encoreliés.
libres⇐⇒volume6=0⇐⇒ det6=0. liés⇐⇒ volume=0 ⇐⇒det=0.
Une base{~a1,· · ·, ~an}est dite base directe si det(~a1,· · ·, ~an)>0, etbase indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1, ~e2, ~e3} et {~e1, ~e3, ~e2}.
§6.6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dansR2 représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme
ssi ces deux vecteurs sontco-linéairs (liés). On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dansR3 représente levolume signédu parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encoreliés.
libres⇐⇒volume6=0⇐⇒ det6=0. liés⇐⇒ volume=0 ⇐⇒det=0.
Une base{~a1,· · ·, ~an}est dite base directe si det(~a1,· · ·, ~an)>0, etbase indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1, ~e2, ~e3} et {~e1, ~e3, ~e2}.
§6.6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dansR2 représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sontco-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dansR3 représente levolume signédu parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encoreliés.
libres⇐⇒volume6=0⇐⇒ det6=0. liés⇐⇒ volume=0 ⇐⇒det=0.
Une base{~a1,· · ·, ~an}est dite base directe si det(~a1,· · ·, ~an)>0, etbase indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1, ~e2, ~e3} et {~e1, ~e3, ~e2}.
§6.6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dansR2 représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sontco-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dansR3 représente levolume signédu parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encoreliés.
libres⇐⇒volume6=0⇐⇒ det6=0. liés⇐⇒ volume=0 ⇐⇒det=0.
Une base{~a1,· · ·, ~an}est dite base directe si det(~a1,· · ·, ~an)>0, etbase indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1, ~e2, ~e3} et {~e1, ~e3, ~e2}.
§6.6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dansR2 représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sontco-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dansR3 représente
levolume signédu parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encoreliés.
libres⇐⇒volume6=0⇐⇒ det6=0. liés⇐⇒ volume=0 ⇐⇒det=0.
Une base{~a1,· · ·, ~an}est dite base directe si det(~a1,· · ·, ~an)>0, etbase indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1, ~e2, ~e3} et {~e1, ~e3, ~e2}.
§6.6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dansR2 représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sontco-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dansR3 représente levolume signédu parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont
co-planaires, ou encoreliés. libres⇐⇒volume6=0⇐⇒ det6=0. liés⇐⇒ volume=0 ⇐⇒det=0.
Une base{~a1,· · ·, ~an}est dite base directe si det(~a1,· · ·, ~an)>0, etbase indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1, ~e2, ~e3} et {~e1, ~e3, ~e2}.
§6.6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dansR2 représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sontco-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dansR3 représente levolume signédu parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encore
liés. libres⇐⇒volume6=0⇐⇒ det6=0. liés⇐⇒ volume=0 ⇐⇒det=0.
Une base{~a1,· · ·, ~an}est dite base directe si det(~a1,· · ·, ~an)>0, etbase indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1, ~e2, ~e3} et {~e1, ~e3, ~e2}.
§6.6 Sens géométrique du déterminant
Le déterminant de deux vecteurs dansR2 représentel’aire signé du parallélogramme engendré. Il est nul ssi ces deux vecteurs pointent dans la même direction ou bien dans les directions opposées, en somme ssi ces deux vecteurs sontco-linéairs (liés).
On peux faire une preuve dans le premier quadrant.
Le déterminant de trois vecteurs dansR3 représente levolume signédu parallélépipède engendré. Il est nul ssi ces trois vecteurs sont co-planaires, ou encoreliés.
libres⇐⇒volume6=0 ⇐⇒det6=0.
liés⇐⇒volume =0 ⇐⇒det=0.
Une base{~a1,· · ·, ~an}est dite base directe si det(~a1,· · ·, ~an)>0, etbase indirecte sinon. Tester cette notion sur {~e1, ~e2, ~e3} et {~e1, ~e3, ~e2}.
Produit scalaire de deux vecteurs
u1
... un
.
v1
... vn
=u1v1+u2v2+· · ·unvn, et~u·~v=0 ssi orthogonal.
Opérateur chapeau dansR2 :[ x y
= −y
x
. Il est conçu pour transformer déterminant en produit scalaire :
det(~u, ~v) =
u1 v1 u2 v2
=u1v2−u2v1 = −u2
u1
· v1
v2
=~bu·~v . Produit vectoriel dansR3 :~u×~v jour le même rôle :
det(~u, ~v, ~w) =~u×~v·w~ . Preuve. Développer suivant la dernière colonne...
Est-ce que~bu est orthogonal à~u dans R2? Que peut-on dire sur~u×~v dansR3?
{~u, ~v, ~u×~v}forme-t-ilbase directe ou indirecte?
Produit scalaire de deux vecteurs
u1
... un
.
v1
... vn
=u1v1+u2v2+· · ·unvn, et~u·~v=0 ssi orthogonal.
Opérateur chapeau dansR2 :[ x y
= −y
x
. Il est conçu pour transformer déterminant en produit scalaire :
det(~u, ~v) =
u1 v1 u2 v2
=u1v2−u2v1 = −u2
u1
· v1
v2
=~bu·~v . Produit vectoriel dansR3 :~u×~v jour le même rôle :
det(~u, ~v, ~w) =~u×~v·w~ . Preuve. Développer suivant la dernière colonne...
Est-ce que~bu est orthogonal à~u dansR2? Que peut-on dire sur~u×~v dansR3?
{~u, ~v, ~u×~v}forme-t-ilbase directe ou indirecte?
§7. Diagonalisation
Objective : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonale 2) Appendre a rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.
§7.1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples ? Addition, multiplication, puissance, polynôme.
déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre, rang, résolution d’un système etc.
Multiplication à droite par une matrice diagonale : (~v1,· · · , ~vn)
λ1 · · · 0 ... . .. ...
0 · · · λn
=
λ1~v1,· · ·,λn~vn
Exemple.
1 0 0
−1 2 1
3 1 0
3 0 0
0 −1 0
0 0 π
=
3 0 0
−3 −2 π
9 −1 0
.
§7. Diagonalisation
Objective : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonale 2) Appendre a rendre une matrice non diagonale en une diagonale 3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.
§7.1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples ? Addition, multiplication, puissance, polynôme.
déterminant, inversion (si possible), images et noyau, lié ou libre, rang, résolution d’un système etc.
Multiplication à droite par une matrice diagonale : (~v1,· · · , ~vn)
λ1 · · · 0 ... . .. ...
0 · · · λn
=
λ1~v1,· · ·,λn~vn
Exemple.
1 0 0
−1 2 1
3 1 0
3 0 0
0 −1 0
0 0 π
=
3 0 0
−3 −2 π
9 −1 0
.
§7.2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M
On dit queAest semblableàM si As’écrit
A=PMP−1, ou bienP−1AP =M , avecP une matrice inversible.
Exemple.A=
3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b
=P a 0
0 b
P−1 avec P =
1 2 1 3
.
Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplacera paran et b parbn!
Preuve.
A2 = (PMP−1)2 = (PMP−1)(PMP−1) =PM(P−1P)MP−1 = PM2P−1 =P
a2 0 0 b2
P−1=
3a2−2b2 −2a2+2b2 3a2−3b2 −2a2+3b2
· · · .
§7.2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M
On dit queAest semblableàM si As’écrit
A=PMP−1, ou bienP−1AP =M , avecP une matrice inversible.
Exemple.A=
3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b
=P a 0
0 b
P−1 avec P =
1 2 1 3
.
Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplacera paran et b parbn!
Preuve.
A2 = (PMP−1)2 = (PMP−1)(PMP−1) =PM(P−1P)MP−1 = PM2P−1 =P
a2 0 0 b2
P−1=
3a2−2b2 −2a2+2b2 3a2−3b2 −2a2+3b2
· · · .
§7.3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c’est de trouver une matrice inversible P et une matrice diagonaleM telle que
A=PMP−1, ou bien, AP =PM. Ce n’est pas toujours possible. Certaines matrices ne sont pas diagonalisables.
Etant donnéA, comment trouver P = (~v1,· · · , ~vn)et M =
λ1 · · · 0 ... . .. ... 0 · · · λn
tels queAP =PM? Rappelons que
PM = (~v1,· · ·, ~vn)
λ1 · · · 0 ... . .. ... 0 · · · λn
=
λ1~v1,· · ·,λn~vn
etAP = (A~v1,· · · ,A~vn).
DoncAP =PM ⇐⇒ A~v1=λ1~v1,· · ·,A~vn=λn~vn .
§7.3 Diagonalisation
Diagonaliserune matriceA, c’est de trouver une matrice inversible P et une matrice diagonaleM telle que A=PMP−1, ou bien, AP =PM. Ce n’est pas toujours possible. Certaines matrices ne sont pas diagonalisables.
Etant donnéA, comment trouver P = (~v1,· · · , ~vn)et M =
λ1 · · · 0 ... . .. ...
0 · · · λn
tels queAP =PM? Rappelons que
PM = (~v1,· · ·, ~vn)
λ1 · · · 0 ... . .. ...
0 · · · λn
=
λ1~v1,· · ·,λn~vn
etAP = (A~v1,· · · ,A~vn).
DoncAP =PM ⇐⇒ A~v1=λ1~v1,· · ·,A~vn=λn~vn .
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre deAsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.
Reprenons notre exemple Exemple.
A=
3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b
=P a 0
0 b
P−1 avecP = 1 2
1 3
. DoncAP =P
a 0 0 b
, et A 1
1
=a 1
1
,A 2
3
=b 2
3
. 1
1
est un vecteur propre, de valeur propre associée
a; 2
3
est un vecteur propre, de valeur propre associée b. Nous venons de démontrer :
Théorème de diagonalisation. Une matrice carréen×n est diagonalisable ssi elle possèden vecteurs propres formant une base (ou bien formant une matrice inversible).
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre deAsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.
Reprenons notre exemple Exemple.
A=
3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b
=P a 0
0 b
P−1 avecP = 1 2
1 3
. DoncAP =P
a 0 0 b
, et A 1
1
=a 1
1
,A 2
3
=b 2
3
. 1
1
est un vecteur propre, de valeur propre associéea; 2
3
est un vecteur propre, de valeur propre associée b. Nous venons de démontrer :
Théorème de diagonalisation. Une matrice carréen×n est diagonalisable ssi elle possèden vecteurs propres formant une base (ou bien formant une matrice inversible).
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre deAsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.
Reprenons notre exemple Exemple.
A=
3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b
=P a 0
0 b
P−1 avecP = 1 2
1 3
. DoncAP =P
a 0 0 b
, et A 1
1
=a 1
1
,A 2
3
=b 2
3
. 1
1
est un vecteur propre, de valeur propre associéea; 2
3
est un vecteur propre, de valeur propre associée b.
Nous venons de démontrer :
Théorème de diagonalisation. Une matrice carréen×n est diagonalisable ssi elle possèden vecteurs propres formant une base (ou bien formant une matrice inversible).
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre deAsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.
Reprenons notre exemple Exemple.
A=
3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b
=P a 0
0 b
P−1 avecP = 1 2
1 3
. DoncAP =P
a 0 0 b
, et A 1
1
=a 1
1
,A 2
3
=b 2
3
. 1
1
est un vecteur propre, de valeur propre associéea; 2
3
est un vecteur propre, de valeur propre associée b.
Nous venons de démontrer :
Théorème de diagonalisation. Une matrice carréen×n est diagonalisable ssi elle possèden vecteurs propres formant une base (ou bien formant une matrice inversible).
Valeurs propres et vecteurs propres
Définition.On dit qu’un vecteur~v non nul est unvecteur propre deAsiA~v est proportionnel à~v, c’est-à-dire qu’il existe une valeur λtelle que A~v=λ~v. On dit que λest la valeur propredeA associée à~v.
Reprenons notre exemple Exemple.
A=
3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b
=P a 0
0 b
P−1 avecP = 1 2
1 3
. DoncAP =P
a 0 0 b
, et A 1
1
=a 1
1
,A 2
3
=b 2
3
. 1
1
est un vecteur propre, de valeur propre associéea; 2
3
est un vecteur propre, de valeur propre associée b.
Nous venons de démontrer :
Théorème de diagonalisation. Une matrice carréen×n est diagonalisable ssi elle possèden vecteurs propres formant une base (ou bien formant une matrice inversible).
Un autre exemple :Aest une matrice 2×2 telle que A
1 1
= 2
2
etA 1
−1
= 1
−1
. Alors Aest diagonalisable : A
1 1 1 −1
=
2 1
1
,1 1
−1
=
1 1 1 −1
2 0 0 1
, avecP =??,M =?? etA=?? .
Réponse : A= 1 2
3 1 1 3
.
Un autre exemple :Aest une matrice 2×2 telle que A
1 1
= 2
2
etA 1
−1
= 1
−1
. Alors Aest diagonalisable : A
1 1 1 −1
=
2 1
1
,1 1
−1
=
1 1 1 −1
2 0 0 1
, avecP =??,M =?? etA=?? . Réponse : A= 1
2 3 1
1 3
.
