Exercices résolus de mathématiques.
TRI 41
EXTRI410-EXTRI419
http://www.matheux.c.la
Jacques Collot
Benoit Baudelet – Steve Tumson Jan Frans Broeckx – Nicole Berckmans
Fabienne Zoetard
Septembre 2015
EXTRI410 – EPL, UCL, LLN, juillet, 2015.
Le croquis ci-dessous représente un toit à quatre pans vu du haut. La base est rectangulaire et horizontale. On désigne par la longueur du côté et par la longueur du côté . Les pans et
ABCD
a AD b
AB ADE sont inclinés d'un angle par rapport à l'horizontale, tandis que les pans et le sont d'un angle .
1. Exprimez la superficie du pan en fonction de , , , . 2. Exprimez la superf
ADE
BCF ABFE CDEF
S ADE a b
2
icie du pan en fonction de , , , . 3. Calculez et an cm près pour les données suivante : 7 m,
10 m, 30 , 25
Pour les questions 1 et 2, donnez une expression aussi simple q
ABFE ADE ABFE
S ABFE a b
S S a
b
ue possible puis expliquez comment vous l'obtenez.
Solution proposée par Nicole Berckmans
2
1) sin
tan 3
2 sin 2) tan
/ 2
4) ' cos . cos . tan . tan .cot 4
2 sin 2
5) cos 5
2 2 cos
1 tan
Surface : . . . en vertu de 3
2 2 4 sin
Petite base du trapèze 2 ' 2
ADE
k h a
k h a
a a
ME h
a a
H H
a a
ADE S h
ABFE b ME b
2
a
2 2
. tan .cot en vertu de 4 2 tan .cot
Surface du trapèze : .
2 2 cos
Avec les données, on obtient : 11.4254 cm et 27.7015 cm
ABFE
ADE ABFE
b a a
S
S S
15 septembre 2015
EXTRI411 – EPL, UCL, LLN, septembre, 2015.
On considère le quadrilatère ABCD représenté à la figure ci-dessous.
On précise que :
Les côtés et sont de même longueur.
Les côtés et sont de même longueur (différente de celle des deux autres côtés).
La longueur de la diagonales est de 1 m La mesur
AB AD BC CD
AC
e de l'angle au sommet (soit ) est de 90°.
La mesure de l'angle au sommet (soit ) est de 150°.
1. Calculez la longueur du côté .
2. Calculez le rapport des longueurs des côtés et (soi
A BAD
C BCD
AD
AB BC t / ).
3. Calculez la longueur de la diagonales . Remarques :
Justifiez vos affirmations et préciser vos hypothèses.
Vos résultats de calcul peuvent se présenter sous la forme de fractions compo AB BC
BD
rtant éventuellement des radicaux (Veillez cependant à simplifier au maximum vos réponses.)
Solution proposée par Nicole Berckmans
1) Soit , on a : 1
sin 75 sin 60
1 2 3 2 2 1 3
Or sin 75 sin 30 45 . . .
2 2 2 2 2 2
2 1 3
sin 75 2 . 2 2 1 3 1 3 3 2 6
Dès lors : .
sin 60 3 3 2 6 6
2 sin 75 1 3
2) sin 45 2
3) 2 2
AD b b
b
AB b BC d BD b
1 3
. 2 3
3 3
3
15 septembre 2015
EXTRI412 – EPL, UCL, LLN, septembre, 2015.
1. Trouvez les valeurs de pour lesquelles l'égalité suivante est vérifiée : tan 3 tan 0
2. Parmi ces valeurs, représentez sur le cercle trigonométrique celles comprises entre 0 et 2
x x x
Solution proposée par Nicole Berckmans
3 2
CE : 6 3
2
tan 3 tan tan 3 tan Donc 3
4 4
3 5 7
0, , , , ,
4 4 4 4
x k
x k
x k
x x x x
x x k x k x k S
15 septembre 2015
EXTRI413 – EPL, UCL, LLN, septembre, 2015.
Cochez chaque fois l'unique affirmation vraie parmi les trois possibilités.
Réponse juste 1 point; autre réponse 0
L'aire d'un triangle ABC de côtés , et (opposés aux angles respectifs , , et a b c A B C
1
2 2 2 3
2
2 2 2 3
3
2 2 2 2
) est égale à
1 sin sin sin
2
1 sin sin sin
2
1 sin sin sin
2
Dans l'intervalle 0 , l'aquation cos tan 0 admet exactement 2
0 solution 1 solution 2 solution L'expression sin
1 cos
a b c A B C a b c A B C a b c A B C
x x x
s a
2 2 2
est identiquement égale à
sin cos tan
2 2 2
Dans un triangle non dégénéré, si sin sin sin , alors
30 45 90
a
a a a
ABC A B C
A A A
Solution proposée par Nicole Berckmans
2 2 2
2 2
2) Réponse 1 : pas de solution.
En effet, cos 0, tan 0 et cos tan 0
sin 1
3) Réponse 3 : Si 90 , tan 45
1 cos 1
4) Réponse 3 : Si 90
alors sin sin sin
1 sin cos (Pythagore)
x x x x
a a
a A
A B C
B B
15 septembre 2015
EXTRI414 – EPL, UCL, LLN, septembre, 2015.
La pipistrelle commune ( ) est une petite chauve-souris de nos régions capable d'écholocalisation : elle émet des ultrasons et écoute leur écho pour localiser les insectes dont ell
pipistellus pipistrellus
e se nourrit.
Considérons une pipistrelle immobile qui émet des ultrasons à partir d'un point situé au milieu du segment qui joint ces deux oreilles et . Les ultrasons sont réfléchis par un insec
P
GD G D
1 2 1
te également immobile. Un ultrason émis au temps zéro et réfléchi par l'insecte parvient à l'oreille au temps et à l'oreille au temps . Soit la vitesse du son,
la distance entre et I
G t D t t c
p P
, la distance entre et , et la mesure de l'angle . 1. Faites un croquis et indiquez-y les quantités mentionnées ci-dessus ainsi que les
variables que vous utiliserez dans vos calculs.
2. Dans
I a P G GPI
un premier cas, la pipistrelle a l'oreille bouchée mais il fait encore suffisamment clair pour qu'elle sache dans quelle direction se trouve l'insecte.
Exprimer la distance en fonction des données D
p disponibles.
3. Il fait maintenant un noir d'encre ( n'est donc plus disponible) et la pipistrelle a recouvré toutes ses facultés auditives. Exprimez en fonction des données disponibles.
4. Pour la ques
p
1
tion 2, calculez au mm près pour les données suivantes : 340 m/s, 1 cm, 20 , 12 ms.
Pour les questions 2 et 3, donnez une expression aussi simple que possible puis expliquez comment vous l'obte
p
c a t
nez.
Solution proposée par Nicole Berckmans
2 2 2
1
2 2 2
1
2 2 2
1 1
2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
2 1
2) 2 cos or
2 cos
En développant, on trouve : 204.5 cm.
2 cos
3)
2 cos 2 cos 2
ou bien 2
En développant, on
g p a ap g ct p
ct p p a ap
c t a p ct a
d p a ap
g p a ap
d g p a
ct p ct p p a
2 2 2 2
1 2
2 1
trouve : 2
2
c t t a
p t t
15 septembre 2015
EXTRI415 – Polytech, Umons, Mons, juillet 2015.
Résoudre l'équation trigonométrique suivante :
sin 3 1 cos 2 sin 0
Représenter les solutions sur le cercle trigonométrique.
x x x
2
2
sin 3 1 cos 2 sin 0
2 cos 2 sin cos 2 1 0 Simpson
2cos 2 sin 2 sin 0 Carnot
1) sin 0 2
2) Il reste : cos 2 sin 0
1 2 sin sin 0
sin 1
1 1 4 2 1
sin 1
4 sin
2
2.1) sin 1 2
2 2.2) sin 1
2
x x x
x x x
x x x
x x k
x x
x x
x x
x
x x k
x
7 2
6
11 2
6
x k
x k
Le 20 septembre 2015
EXTRI416 – Polytech, Umons, Mons, juillet 2015.
Soient le cercle de centre et de rayon , un diamètre de ce cercle et la tangente au point de ce cercle.
Par le point , on mène une sécante coupant le cercle au point et la tangente au point
O R AB
B
A M
, de telle sorte que 2 .
Discuter de la valeur de l'angle en fonction des valeurs relatives de et .
P AM MP k
BAM k R
2
2
2
2 2
2
Notons que : 2
Or : 2 cos et 2
cos
2 1 cos 1
2 2 cos
cos cos 2
On a alors l'équation : cos 1 cos 1 0 1 2
qui admet des solutions ssi 1. 4 0 16 0 4 4 0
4 Pa
AM MP AM MP
AM R MP R
R k
AM MP R k
R k
R
k k R k R k R
R
2
2
2
r conséquent, il faut , 4 4,
1) Si 4 , cos 2 cos 1 0 cos 1 0 0.
Autrement dit le point est alors en . 1 cos
2) Si . Ce qui ne peut se faire que si cos 0
cos Ou encore si
k R
k R
P B
k R
. Dans ce cas, le point est à l'infini.
2
Il nous reste à vérifier qu'au moins une racine de l'équation 1 est comprise entre 1,1 Le terme indépendant de l'équation 1 indique que les racines sont invers
P
es lui de l'autre et de même signe.
Si 0, alors 1 0, et donc la somme des deux racines est positive. Il y a donc une 2
racine comprise entre 0 et 1 et une racine 1.
Si 0, alors 1 0, et donc la s 2
k k
R k k
R
omme des deux racines est négative. Il y a donc une racine comprise entre -1 et 0 et une racine 1.
Le 20 septembre 2015
EXTRI417 – Polytech, Umons, Mons, juillet 2015.
Une caméra de surveillance, dont l'angle de vue vaut (compris entre 45° et 90°), doit être installé dans le coin d'un hall carré de côté . Exprimer la valeur de la surface surveillée en fonction de
c
l'angle formé par l'axe de la caméra et un des murs adjacents de la pièce, sous l'hypothèse d'une modélisation planaire du problème.
Déterminer la valeur de qui maximise la valeur de la surface surv
eillée, et calculer
cette dernière lorsque c20 m et 75 .
2
2
1) 0 Fig 1 La surface éclairée est : 1 tan
2 2
2) 45 Fig 2 La surface surveillée est : 1 tan
2 2 2
Elle est d'autant plus grande que est grand.
3) et 45 Fig 3 La surface sur
2 2
A c
A c
2 2
2
2
2 2
veillée est : où est la surface non-surveillée.
1 tan 90 2 cot
2 2 2 2
Elle est d'autant plus grande que est grand 4) et 45 Fig 4 La surface écl
2 2
A c A A
A c c c
2
1 2
1 2
2 2 2
2
airée est : où et sont les surfaces non-surveillées.
1 1
tan tan 90
2 2 2 2
2 tan cot 2
2 2 2
Pour déterminer la valeur de qui maximis
A c A A
A A
A c c c
c
2
2 2
2 2 2 2
e la surface surveillée, dérivons 2
1 1
' 2
cos sin
2 2
' sera nul si : sin cos cos 90 cos
2 2 2 2
1. cos 90 cos
2 A c
A
2
1.1. 90 45 Ce résultat était attendu.
2 2
1.2. 90 90 . A rejeter car n'est pas une variable mais
2 2
un paramètre qui n'est pas nécessairement égal à 90°
2. cos
90 cos cos 90 cos 180
2 2 2 2
2.1. 90 180 90 A rejeter.
2 2
2.2. 90 180 135 A rejeter car 0, 90
2 2
Il reste à calculer la valeur
2
de la surface surveillée pour 20 m, 75 et 45 ,
20 75 75
2 tan 45 cot 45 347.34 m
2 2 2
c A
Le 20 septembre 2015
EXTRI418 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet, 2015.
Résoudre dans
arccos 2 arccos
x x 3
arccos 2 arccos
3 CE:
1 1
1) arccos 2 1 1
2 2
2) arccos 1 1
3) arccos 2 arccos car est positif.
3
Comme la fonction arcos est décroissante sur son domaine on en déduit que
2 0
Finalement, on do
x x
x x x
x x
x x
x x x
2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
it avoir : 1, 0 2 On peut maintenant passer à la résolution :
arccos 2 arccos cos arccos 2 arccos cos
3 3
2 1 4 . 1 1 Rappel : cos arcsin 1
2
2 1 4 1 1 4 4 1 4 1 1 4
On développ
x
x x x x
x x x t t
x x x x x x
2 1 1
e et on obtient :
4 2
La valeur positive est à rejeter, donc finalement : 1
2
x x
x
16 février 2016
EXTRI419 – FACS, ULB, Bruxelles, juillet, 2015.
Un agriculteur désire connaître les dimensions de son champ de forme triangulaire.
Deux de ses côtés ont 100 m et 200 m de long et forment un angle de 22,5°.
En supposant plane la surface de ce champ, calculez la longueur du troisième côté ainsi que l'aire du champ.
Indication : N'évaluez les valeurs numériques qu'à la fin des développements analytiques et effectuez les calculs à 10% près.
2 2 2 2
2
On applique la formule des cosinus dans les triangles quelconques : 100 200 2 100 200 cos 22,5 100 5 4 cos 22,5 100 5 4 cos 22,5
Evaluons cos 22,5
2 1
2 2 cos 45 2 cos 22,5 1 cos 22,5 2
2 2
Finalement, a a
a
100 5 2 2 2 114.2 m
Solution proposée par Jan Frans Broeckx
16 février 2016. Modifié le 15 mars 2016 (Jan Frans Breockx)
