Analyse et optimisation des chambres réverbérantes à l'aide du concept de cavité chaotique ouverte

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Kamardine Selemani

To cite this version:

Kamardine Selemani. Analyse et optimisation des chambres réverbérantes à l’aide du concept de

cavité chaotique ouverte. Analyse numérique [cs.NA]. Université Paris-Est, 2014. Français. �NNT :

2014PEST1043�. �tel-01146063�

UNIVERSIT´ E PARIS-EST ECOLE DOCTORALE MSTIC

TH` ESE

pour obtenir le grade de

Docteur de l’ Universit´ e Paris Est Marne-la-Vall´ ee

Sp´ ecialit´ e : Electronique, Optronique et Syst` ´ emes Arrˆ et´ e minist´ eriel : 7 aoˆ ut 2006

pr´ esent´ ee par

Kamardine SELEMANI

Th` ese dirig´ ee par Elodie RICHALOT et codirig´ ee par Olivier LEGRAND pr´ epar´ ee au sein de l’ESYCOM et LPMC dans le cadre de l’ Ecole Doctorale : MSTIC ´

Analyse et optimisation des chambres r´ everb´ erantes ` a l’aide du concept de cavit´ e chaotique

Analysis and optimization of reverberation chambers using the concept of chaotic cavity

Soutenue publiquement le 6 f´ evrier 2013 devant le jury compos´ e de :

M. Philippe Besnier

Directeur de Recherche ` a l’INSA de Rennes, (Rapporteur) M. Alain Reinex

Directeur de Recherche ` a l’Universit´ e de Limoges, (Rapporteur) Mme. Odile Picon

Professeur ` a l’UPEM, (Examinateur) M. Julien de Rosny

Charg´ e de Recherche ` a l’Institut Langevin - ESPCI, (Examinateur) Mme. Elodie Richalot

Professeur ` a l’UPEM, (Directeur de th` ese) M. Olivier Legrand

Professeur ` a l’UNS, (Codirecteur de th` ese)

Table des mati`eres

Remerciement vi

R´ esum´ e xi

Abstract xii

Introduction g´ en´ erale xiii

1 Cavit´ es r´ esonnantes, de rectangulaire ` a chaotique 1

1.1 Cavit´ e parall´ el´ epip´ edique . . . . 2

1.1.1 Expression du champ dans la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique . . . . 2

1.1.2 Fr´ equences de r´ esonance de la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique . . . . 4

1.1.3 Cartographie du champ . . . . 5

1.1.4 Modes et d´ ecomposition en ondes planes . . . . 5

1.1.5 Densit´ e de modes cumul´ ee . . . . 7

1.2 Cavit´ e rectangulaire munie d’un brasseur . . . . 8

1.2.1 Fonctionnement des CRBM . . . . 9

1.2.2 Homog´ en´ eit´ e et isotropie . . . . 11

1.2.3 Lois de probabilit´ e requises dans les CRBM . . . . 12

1.3 Cavit´ es chaotiques . . . . 16

1.3.1 Etat de l’art sur les cavit´ ´ es chaotiques ondulatoires . . . . 16

1.3.2 Pr´ edictions th´ eoriques sur les cavit´ es . . . . 18

1.3.3 Modes particuliers . . . . 21

1.4 Conclusion . . . . 22

2 Mesures en cavit´ es plates 25 2.1 Technique de mesure . . . . 26

2.1.1 Th´ eorie perturbative . . . . 26

2.1.2 Perturbation de la fr´ equence de r´ esonance par l’insertion d’un cylindre 29 2.1.3 Dispositif de mesure . . . . 30

2.2 Mesures en cavit´ es 2D . . . . 31

2.2.1 Cavit´ e rectangulaire 2D . . . . 32

iii

2.2.2 Mesures et simulations en cavit´ es chaotiques 2D . . . . 35

2.2.3 Distribution du champ . . . . 38

2.2.4 Coefficients de qualit´ e dans les cavit´ es 2D . . . . 41

2.2.5 Mesures et fr´ equence de r´ esonance . . . . 43

2.2.6 Mesure en pr´ esence de diffuseurs di´ electriques . . . . 46

2.2.7 D´ ecrochage de la r´ esonance ` a la fr´ equence de mesure . . . . 49

2.3 CONCLUSION . . . . 51

3 Etude de chambres r´ ´ everb´ erantes de g´ eom´ etries inspir´ ees des cavit´ es chao- tiques 53 3.1 G´ eom´ etries de chambre . . . . 54

3.2 Distributions du champ . . . . 54

3.2.1 Loi de probabilit´ e des composantes du champ ´ electrique . . . . 58

3.2.2 Test KS global / homog´ en´ eit´ e statistique . . . . 61

3.2.3 Isotropie du champ . . . . 63

3.2.4 Isotropie et changement de base . . . . 64

3.2.5 Coefficients d’isotropie, d’homog´ en´ eit´ e . . . . 69

3.2.6 Homog´ en´ eit´ e et isotropie du champ total . . . . 73

3.3 Comptage de modes et distribution des ´ ecarts fr´ equentiels . . . . 80

3.3.1 Fonction de comptage et densit´ e de niveaux . . . . 81

3.3.2 Lois de probabilit´ e des ´ ecarts fr´ equentiels . . . . 85

3.4 Localisation du champ ou zone de surintensit´ e . . . . 87

3.5 Evaluation des pertes dans une chambre r´ ´ everb´ erante 3D . . . . 93

3.5.1 M´ ethodes d’´ evaluation du coefficient de qualit´ e . . . . 94

3.5.2 Simulations . . . . 97

3.5.3 Comportement du champ et densit´ e modale . . . . 102

3.6 Conclusion . . . . 106

4 Chambres r´ everb´ erante et chaotique ` a brassage m´ ecanique de modes 109 4.1 Etude des 15 modes au-dessus de 600MHz . . . . ´ 110

4.1.1 Test KS sur les composantes . . . . 110

4.1.2 Ergodicit´ e et isotropie du champ . . . . 111

4.1.3 Puissances modales . . . . 111

4.1.4 Crit` eres normalis´ es appliqu´ es aux modes . . . . 115

4.2 Etude des 12 modes au-dessus de 700 MHz ´ . . . . 120

4.2.1 Test KS sur les composantes. . . . 120

4.2.2 Nombre de positions ind´ ependantes. . . . 121

4.2.3 Ergodicit´ e et isotropie du champ . . . . 122

4.2.4 Homog´ en´ eit´ e et isotropie du champ . . . . 123

4.2.5 Zones de surintensit´ e du champ. . . . . 124

4.3 Etude des 6 modes au-dessus de 1.2 GHz ´ . . . . 126

4.3.1 R´ esultats du KS test global . . . . 127

4.3.2 Localisation du champ . . . . 128

4.4 Perturbation des fr´ equences de r´ esonance . . . . 129

TABLE DES MATI ` ERES v

4.4.1 Distribution des ´ ecarts fr´ equentiels . . . . 131

4.5 Conclusion . . . . 135

Conclusion g´ en´ erale 137 A Application des crit` eres statistiques ` a la cavit´ e rectangulaire sans pertes 141 A.1 Param` etres statistiques des composantes . . . . 142

A.2 Crit` ere de marginalisation . . . . 143

A.3 Tests d’ajustement ` a une loi de probabilit´ e . . . . 144

A.3.1 Puissance d’un test d’ajustement . . . . 144

A.3.2 Test de Kolmogorov-Smirnov (KS) . . . . 145

A.3.3 R´ esultats du test de Kolmogorov-Smirnov (KS) . . . . 146

A.3.4 Test KS global ou homog´ en´ eit´ e statistique . . . . 147

A.3.5 Modes ergodiques et isotropie du champ . . . . 148

A.4 Isotropie et rotations de la base initiale . . . . 149

A.5 Coefficients d’isotropie, d’homog´ en´ eit´ e et d’uniformit´ e . . . . 150

A.6 Distribution des fr´ equences de r´ esonance . . . . 152

A.6.1 Distribution des ´ ecarts fr´ equentiels . . . . 153

A.7 Crit` eres statistiques appliqu´ ees ` a la cavit´ e rectangulaire avec pertes . . . . . 155

A.7.1 Statistiques du champ . . . . 155

A.8 Conclusion . . . . 157

Bibiographie 173

Publications personnelles 175

Remerciement

A ma famille, mes PARENTS, fr` eres et sœurs

vii

Remerciement

Ce travail a ´ et´ e r´ ealis´ e ` a l’Universit´ e Paris-Est Marne-la-Vall´ ee dans le cadre d’une collaboration entre le laboratoire ESYCOM ( Equipe ´ SYst` eme de COmmunications et Microsyst` emes) et le laboratoire LPMC (Laboratoire de Physique de la Mati` ere Condens´ ee).

Je prie Madame le Professeur Elodie RICHALOT, professeur ` a l’Universit´ e Paris-Est Marne-la-Vall´ ee et directeur de th` ese, de bien vouloir trouver ici l’expression de mon plus PROFOND respect pour m’avoir fait confiance en m’acceptant en tant que doctorant, d’ˆ etre mon directeur de th` ese, de diriger mes travaux de th` ese, de sa pr´ esence surtout dans les moments difficiles ! et enfin de la libert´ e qu’elle m’a donn´ ee durant les activit´ es de recherche.

Je prie monsieur le Professeur Olivier LEGRAND, professeur ` a l’Universit´ e de Nice So- phia Antipolis et Codirecteur de th` ese, de bien vouloir trouver ici l’expression de mon plus PROFOND respect pour m’avoir fait confiance en m’acceptant, d’ˆ etre mon codirecteur de th` ese, de diriger mes travaux de th` ese.

Je tiens ` a remercier, Odile PICON, professeur ` a l’Universit´ e Paris-Est et directeur du laboratoire ESYCOM et ` a Fabrisse MOTESSAGNE, professeur ` a l’Universit´ e de Nice Sophia Antipolis et directeur du laboratoire LPMC de l’accueil qu’ils m’ont fait dans leurs labora- toires respectifs ; des moyens humains, mat´ eriels et financiers qu’ils ont mis ` a ma disposition en accord avec mes directeurs de th` ese.

Je remercie le Centre de Ressources Informatiques de l’Universit´ e Paris-Est Marne-la- Vall´ ee et celui du laboratoire LPMC, et plus particuli` erement Patrice H´ erault. Des remercie- ments particuliers vont ` a l’ensemble (ESYCOM) de professeurs, ing´ enieurs qui m’ont toujours ouvert leurs portes et aux personnels administratifs pour leurs aides durant ces travaux.

Je tiens ` a remercier Gregory SAUDER, Ing´ enieur d’´ etudes au laboratoire LPMC de l’aide et des conseils qu’il m’a toujours donn´ es sur le dispositifs de mesure, et sans qui les mesures effectu´ ees au LPMC ne peuvent pas se faire du moins simplement.

Des remerciements incommensurables vont aux quatre professeurs Elodie RICHALOT, Olivier LEGRAND, Odile PICON et Fabrisse MOTESSAGNE pour leurs pr´ esences, les

ix

moyens intellectuels, humains, mat´ eriels, financiers et leurs sympathies qu’ils ont mis ` a dis- position pour la r´ ealisation de ces travaux.

Que Messieurs BESNIER Philippe, Directeur de Recherche et HDR ` a l’INSA Rennes, et REINEIX Alain, Directeur de Recherche et HDR ` a l’Universit´ e de Limoges, re¸ coivent ici l’ex- pression de mes remerciements pour l’honneur qu’ils m’ont fait de juger ce travail et d’avoir assur´ e la tˆ ache de rapporteur.

Des remerciements particuliers vont ` a Odile PICON, Professeur ` a l’Universit´ e Paris-Est,

HDR et directeur du laboratoire ESYCOM, et DE ROSNY Julien, charg´ e de Recherche et

HDR ` a l’Institut Langevin-ESPCI. Qu’ils re¸ coivent ici l’expression de mes remerciements

pour l’honneur qu’ils m’ont fait d’examiner de travail.

TABLE DES MATI ` ERES xi

R´ esum´ e

Ce travail porte sur l’optimisation de la g´ eom´ etrie de chambre r´ everb´ erante en s’inspi- rant du concept de cavit´ e chaotique. Les chambres r´ everb´ erantes (RC) sont de plus en plus utilis´ ees comme moyen de test de compatibilit´ e ´ electromagn´ etique. Elles sont utilis´ ees au- del` a d’une fr´ equence minimale ` a parti de laquelle les champs sont, dans le volume central de la cavit´ e, statistiquement homog` enes et isotropes ; l’obtention de ces propri´ et´ es statistiques n´ ecessite l’utilisation d’un m´ ecanisme de brassage, pouvant ˆ etre m´ ecanique ou ´ electronique.

Or, dans les cavit´ es chaotiques, la plupart des modes sont associ´ es ` a des champs statisti- quement homog` enes et isotropes, et ceci sans avoir recours ` a aucun brassage. C’est pourquoi un rapprochement entre chambres r´ everb´ erantes et cavit´ es chaotiques a ´ et´ e fait dans ce travail.

En premier lieu, nous nous int´ eressons ` a des cavit´ es chaotiques 2D obtenues par des mo- difications successives d’une cavit´ e rectangulaire. Les mesures effectu´ ees dans ces cavit´ es ` a l’aide d’une th´ eorie perturbative, valid´ ees par des r´ esultats de simulation, montrent qu’un champ ´ electrique homog` ene est obtenu. Les principes retenus pour modifier la g´ eom´ etrie de la cavit´ e rectangulaire seront repris dans les cavit´ es 3D.

Les propri´ et´ es de trois cavit´ es 3D obtenues en modifiant une cavit´ e parall´ el´ epip´ edique sont ´ etudi´ ees et compar´ ees ` a celles d’une chambre r´ everb´ erante classique munie d’un brasseur de modes. Les modes propres et fr´ equences de r´ esonance sont d´ etermin´ es pour ces quatre ca- vit´ es ` a l’aide du logiciel HFSS d’Ansoft, tout d’abord en consid´ erant des cavit´ es de g´ eom´ etrie fig´ ee, puis en y incluant un brassage m´ ecanique. L’´ etude de l’homog´ en´ eit´ e et de l’isotropie des modes propres montre clairement que les meilleures performances sont obtenues pour une des cavit´ es chaotiques propos´ ees, et ceci quels que soient les crit` eres utilis´ es.

Par ailleurs, il est montr´ e que, dans la chambre r´ everb´ erante classique, un grand nombre de modes pr´ esente une forte localisation spatiale de l’´ energie ´ electrique, alors que ce ph´ eno- m` ene ne se produit pas dans la cavit´ e chaotique retenue. Ce ph´ enom` ene, non d´ etectable par les mesures classiquement effectu´ ees en chambre r´ everb´ erante, est dommageable ` a l’obtention des propri´ et´ es d’homog´ en´ eit´ e et d’isotropie requises dans le volume de travail.

Enfin, l’´ etude de la distribution des ´ ecarts entre fr´ equences de r´ esonance montre, comme pr´ edit par la Th´ eorie des Matrices Al´ eatoire, une concordance entre le suivi de la loi asymp- totique pr´ evue dans une cavit´ e chaotique et les propri´ et´ es d’homog´ en´ eit´ e et d’isotropie des champs. Ceci ouvre la voie vers l’utilisation de crit` eres de caract´ erisation bas´ es sur les fr´ e- quences de r´ esonance et non plus uniquement sur les distributions des champs.

Mots cl´ es : Chambre r´ everb´ erante, cavit´ e chaotique, propri´ et´ es statistiques des champs,

Th´ eorie des Matrices Al´ eatoires, homog´ en´ eit´ e et isotropie des champs, modes propres, ´ ecarts

fr´ equentiels, th´ eorie perturbative, brassage de modes.

Abstract

This work deals with the optimization of the geometry of a reverberation chamber, dra- wing inspiration from the concept of chaotic cavity. Reverberation chambers, widely used for electromagnetic compatibility tests, are used above a minimal frequency from which the fields are statistically isotropic and uniform ; however to respect these properties, a mode stirring process is necessary, that can be mechanical or electronic. As, in chaotic cavities, most modes are isotropic and uniform without the help of any stirring process, we take advantage of the knowledge gained from the studies of chaotic cavities to optimize reverberation chamber be- havior.

We firstly consider 2D chaotic cavities obtained by modifying a rectangular cavity. Mea- surements besed on a perturbative approch, and validated by simulations, show uniformly distributed electric fields. Similar geometrical modifications are then proposed in 3D.

Three 3D different geometries of cavities obtained from a 3D rectangular cavity are then studied, and their properties are compared with those of a classical reverberation chamber equipped witdh a mode stirrer. Eigenmodes and resonant frequencies are determined nu- merically using Ansoft HFSS software, first by considering fixed cavity geometries, then by moving the stirrer. Electric field uniformity and isotropy are studied using several criteria ; all of them clearly show that the best performances are attained within one of the proposed chaotic cavities.

Moreover, a strong energy localization effect appears for numerous modes in the classical reverberation chamber, whereas it is not observed in the proposed 3D chaotic cavity. This effect, never reported in reverberation chamber studies, affects the field uniformity and iso- tropy within the working volume.

The cavities properties are also compared width respect to their eigenfrequency spacing distributions. As predicted by the Random matrix Theory, the best agrement width the asymptotic law associated to chaotic cavities corresponds to the best field properties in terms of uniformity and isotropy. It leads to the proposal of reverberation chamber characterization criteria based on resonant frequencies instead of field distributions.

Index terms : Reverberation chambers, chaotic cavities, field statistical properties, Ran-

dom Matric Theory, field uniformity and isotropy, eigenmodes, frequency spacings, perturba-

tive approch, mode stirring.

Introduction g´en´erale

Les syst` emes ´ electroniques sont aujourd’hui int´ egr´ es ` a des dispositifs de plus en plus vari´ es, y compris quand la s´ ecurit´ e des personnes est en jeu (fonctions vitales). Ceci demande une grande fiabilit´ e des appareils ´ electroniques. Or, la fr´ equence des syst` emes de communication augmente avec la demande de d´ ebits plus importants ; or, les effets du couplage inductif sont proportionnels ` a la d´ eriv´ ee temporelle du courant et ceux du couplage capacitif ` a la d´ eriv´ ee temporelle de la tension, de sorte que l’augmentation fr´ equentielle des signaux transmis rend ceux-ci plus perturbateurs (en raison de variations temporelles des grandeurs physiques plus rapides). Par ailleurs, pour limiter la consommation ´ energ´ etique et augmenter l’autonomie des syst` emes nomades, on diminue l’´ energie des signaux transmis ; ces signaux deviennent alors plus sensibles aux perturbations.

La Compatibilit´ e ´ ElectroMagn´ etique (CEM) est la discipline qui ´ etudie la cohabitation de tous les syst` emes utilisant l’´ energie ´ electrique. Elle consiste en l’´ etude de l’aptitude d’un

´ equipement ` a fonctionner de mani` ere satisfaisante dans son environnement (immunit´ e) et sans induire des perturbations intol´ erables pour les autres ´ equipements (´ emission). Cela n´ e- cessite la mise en œuvre de tests permettant de v´ erifier la conformit´ e des ´ equipements avec les normes CEM.

De nos jours, les ondes ´ electromagn´ etiques (EM) utilis´ ees comme moyen de communication sont omnipr´ esentes. C’est pourquoi il est n´ ecessaire de contrˆ oler les interactions avec les appareils ´ electriques des ondes EM provenant d’autres appareils ou associ´ ees aux moyens de communication (susceptibilit´ e ´ electromagn´ etique), ainsi que le rayonnement EM des appareils potentiellement perturbateurs (´ emissivit´ e). Les principes g´ en´ eraux d’essai en immunit´ e et en

´ emission rayonn´ ees sont les suivants :

1. Envoyer une perturbation ´ electromagn´ etique via une antenne d’´ emission sur un appa- reil ´ electronique en fonctionnement pour v´ erifier si ce dernier fonctionne normalement en pr´ esence de cette perturbation.

2. Mesurer le champ ´ electromagn´ etique rayonn´ e (` a l’aide d’une antenne de r´ eception) par un appareil ´ electronique en fonctionnement pour s’assurer qu’il n’engendre pas un rayonnement ´ electromagn´ etique trop important.

L’amplitude de la perturbation ´ electromagn´ etique utilis´ ee dans les tests d’immunit´ e ainsi que

xiii

le niveau de perturbation rayonn´ e tol´ erable en ´ emission sont fix´ es par les normes.

Parmi les moyens d’essai utilis´ es aujourd’hui on trouve :

• Les sites ouverts : les essais sont faits en espace libre. Les avantages sont le faible coˆ ut de l’installation, et le volume d’essai non limit´ e. Mais les tests ne sont pas prot´ eg´ es de l’environnement ´ electromagn´ etique ext´ erieur, et d´ ependent des conditions ext´ erieures et du sol

.

• Les cellules stripline : ces tests sont peu coˆ uteux, le volume de test est important, mais l’objet sous test est expos´ e ` a une onde plane de polarisation verticale (champ non isotrope). Ces tests sont non prot´ eg´ es de l’environnement ´ electromagn´ etique ext´ erieur, d´ ependent des conditions ext´ erieures, et sont limit´ es en fr´ equence. Ces cellules sont utilis´ ees pour des tests en immunit´ e uniquement.

• Les cellules TEM et GTEM (Giga TEM) : celles-ci sont aussi peu coˆ uteuses.

L’objet sous test est prot´ eg´ e de l’environnement ext´ erieur, mais il est expos´ e ` a une onde plane de polarisation verticale (champ non isotrope). Le volume de test est faible, le dispositif est limit´ e en fr´ equence et ces cellules sont utilis´ ees pour des tests en im- munit´ e uniquement.

• La chambre an´ echo¨ıque : c’est une enceinte blind´ ee

dont toutes les parois sont recouvertes de mat´ eriaux absorbants pour limiter les r´ eflexions et se rapprocher du comportement en espace libre. Ses principaux inconv´ enients sont ses coˆ uts ´ elev´ es et la dur´ ee d’essai importante, en raison de la n´ ecessit´ e de faire tourner l’objet sous test pour ´ eclairer toutes les faces.

• La chambre r´ everb´ erante ` a brassage de modes : enceinte blind´ ee g´ en´ eralement de forme parall´ el´ epip´ edique, dans laquelle l’objet sous test est expos´ e ` a un champ suppos´ e statistiquement homog` ene et isotrope. Le spectre fr´ equentiel d’une cavit´ e r´ esonante est discontinu, l’amplitude du champ est maximale aux fr´ equences de r´ eso- nance, et le champ, stationnaire, pr´ esente des nœuds et des ventres. C’est pourquoi il est n´ ecessaire d’utiliser un brasseur de forme complexe pour casser le profil de champ r´ egulier de la cavit´ e rectangulaire. La conductivit´ e des parois doit ˆ etre importante

pour permettre des tests en champ fort. Le facteur de qualit´ e (´ elev´ e ` a vide) est modifi´ e par les pertes dans l’objet sous test et les pertes d’insertion des antennes.

La chambre r´ everb´ erante pr´ esente des avantages importants : elle permet de faire des tests avec un champ fort ` a partir de niveaux de puissance d’´ emission moyens, et elle permet d’illuminer l’objet sous test par un champ homog` ene et isotrope dans un temps r´ eduit et sans lui faire subir de rotations. Les inconv´ enients sont son coˆ ut assez ´ elev´ e et

1. conductivit´ e et rugosit´ e du sol mal connues

2. prot´ eg´ ee de l’environnement ext´ erieur : ´ emetteurs, radars, FM, ...

3. indiquant de faibles pertes

TABLE DES MATI ` ERES xv

sa limitation en basse fr´ equence li´ ee ` a ses dimensions, et caract´ eris´ ee par sa fr´ equence minimale de fonctionnement f

.

La chambre r´ everb´ erante (CR) est un outil de plus en plus utilis´ e pour tester l’im- munit´ e d’un syst` eme ´ electronique aux rayonnements ´ electromagn´ etiques parasites et

´ evaluer ses ´ emissions. Les propri´ et´ es statistiques requises sont obtenues, sur un tour de brasseur, ` a partir de la fr´ equence minimale d’utilisation f

.

Le sujet de cette th` ese est l’analyse et l’optimisation des chambres r´ everb´ erantes ` a l’aide du concept de cavit´ e chaotique ouverte. En effet, les propri´ et´ es statistiques du champ requises dans les chambres r´ everb´ erantes sont identiques ` a celles obtenues par la plupart des modes dans les cavit´ es ´ electromagn´ etiques chaotiques. Ceci est la raison pour laquelle nous avons utilis´ e les similitudes entre chambre r´ everb´ erante et cavit´ e chaotique, dans un soucis d’op- timisation des propri´ et´ es de la chambre r´ everb´ erante. Afin de faciliter leur mise en œuvre, nous avons veill´ e ` a proposer des modifications g´ eom´ etriques simples et peu coˆ uteuses ` a par- tir des chambres r´ everb´ erantes existantes. Ainsi, ces modifications simples de la forme de la cavit´ e d’une chambre r´ everb´ erante consistent en l’introduction d’une ou plusieurs calottes

sph´ eriques m´ etalliques sur une ou plusieurs parois de la cavit´ e. Nous verrons que ceci permet d’am´ eliorer les propri´ et´ es statistiques des champs.

Ce m´ emoire est structur´ e de la fa¸ con suivante.

Le premier chapitre pr´ esente les diff´ erentes propri´ et´ es des cavit´ es examin´ ees par la suite ` a partir du cas analytique de la cavit´ e r´ esonante parall´ el´ epip´ edique. Il s’agit en particulier de l’homog´ en´ eit´ e et de l’isotropie des champs associ´ es aux modes propres, de la densit´ e des fr´ equences de r´ esonance, et de la d´ ecomposition des champs en ondes planes.

La chambre r´ everb´ erante est ensuite pr´ esent´ ee, avec les crit` eres de bon fonctionnement d´ efinis par la norme, et les lois de probabilit´ e suivies par les distributions de diff´ erentes grandeurs physiques.

Les cavit´ es chaotiques sont enfin abord´ ees.

Apr` es un ´ etat de l’art sur les cavit´ es chaotiques ondulatoires, mettant en relief leurs diff´ e- rences de comportement par rapport aux cavit´ es r´ eguli` eres, quelques exemples puis´ es dans la litt´ erature montrent les principes utilis´ es pour rendre une cavit´ e chaotique. Enfin, les pr´ edic- tions th´ eoriques relatives aux distributions des champs et des fr´ equences de r´ esonance dans ces cavit´ es sont pr´ esent´ ees ; les ´ ecarts ` a la th´ eorie sont attribu´ es ` a l’existence de certains modes de profils non conformes ` a ceux id´ ealement attendus.

Avant d’aborder les modifications de la cavit´ e ` a trois dimensions, nous avons commenc´ e par r´ ealiser des mesures et des simulations dans des cavit´ es chaotiques 2D ; ceci est l’objet du deuxi` eme chapitre. En premier lieu nous pr´ esentons la th´ eorie perturbative utilis´ ee pour faire nos mesures, et d´ ecrivons le dispositif de mesure situ´ e au LPMC de Nice. Afin de valider le dispositif de mesure, nous avons tout d’abord effectu´ e une mesure en cavit´ e rectangulaire 2D. La comparaison de la mesure aux r´ esultats de simulation et ` a l’expression analytique du

4. Lower Useable Frequency

5. coupe d’une sph` ere dont la hauteur est inf´ erieure ou ´ egale ` a son rayon.

champ ´ electrique a permis de valider le dispositif de mesure. Ensuite, des mesures et des simu- lations en cavit´ es chaotiques, obtenues apr` es introduction d’un puis de deux demi-disques et d’un quart de disque, ont ´ et´ e r´ ealis´ ees. L’´ etude de la r´ epartition du champ issue des mesures et des simulations a montr´ e que le champ est uniform´ ement r´ eparti (homog` ene).

L’objet du troisi` eme chapitre est la recherche d’une g´ eom´ etrie de chambre r´ everb´ erante r´ epondant au mieux aux propri´ et´ es statistiques attendues pour les champs. Dans ce but, nous proposons 3 g´ eom´ etries de cavit´ es chaotiques diff´ erentes, consistant en des modifications simples de la cavit´ e rectangulaire ; ces cavit´ es sont ainsi obtenues en ins´ erant des h´ emisph` eres et calottes sph´ eriques m´ etalliques dans la cavit´ e. Les propri´ et´ es des cavit´ es propos´ ees sont compar´ ees ` a celle d’une chambre r´ everb´ erante classique de mˆ emes dimensions et munie d’un brasseur de mode fixe. En effet, dans ce chapitre, la g´ eom´ etrie des cavit´ es est fix´ ee : nous ne consid´ erons pas ici l’effet du brassage de modes, ce dernier faisant l’objet du chapitre suivant.

A l’aide des r´ esultats de simulations, les propri´ et´ es des 500 premiers modes propres de ces quatre cavit´ es de configurations fixes sont compar´ ees suivant plusieurs crit` eres. Tous les crit` eres utilis´ es concordent et indiquent que l’homog´ en´ eit´ e et l’isotropie du champ ´ electrique sont am´ elior´ ees dans la cavit´ e chaotique munie de deux calottes et d’un h´ emisph` ere par rap- port ` a la chambre r´ everb´ erante classique, et ceci que ces tests soient appliqu´ es aux modes propres des cavit´ es ou au champ associ´ e ` a la r´ eponse stationnaire de la cavit´ e, obtenu par reconstruction ` a partir des modes propres.

L’´ etude de la distribution des ´ ecarts entre fr´ equences de r´ esonance fait par ailleurs appa- raˆıtre que la cavit´ e chaotique r´ epondant le mieux aux crit` eres sur les champs suit ´ egalement plus fid` element la loi de distribution id´ ealement suivie par les ´ ecarts fr´ equentiels dans les cavit´ es chaotiques dans leur limite haute fr´ equence (il s’agit d’une propri´ et´ e asymptotique).

Nous avons donc concordance entre les r´ esultats obtenus sur les distributions des champs et des fr´ equences.

Une recherche de zones de localisation forte de l’´ energie a ´ et´ e effectu´ ee dans la cavit´ e avec deux calottes et un h´ emisph` ere et dans la cavit´ e avec brasseur. Elle montre qu’alors qu’aucun ph´ enom` ene de localisation n’est constat´ e dans la cavit´ e chaotique, une forte localisation est observ´ ee dans la chambre r´ everb´ erante classique, en particulier autour du brasseur de modes.

Nous expliquerons en quoi ce ph´ enom` ene est dommageable ` a deux propri´ et´ es recherch´ ees dans les chambres r´ everb´ erantes. La premi` ere, l’homog´ en´ eit´ e spatiale du champ, sera r´ eduite par l’existence de zones de plus forts niveaux de champs. La seconde, l’homog´ en´ eit´ e fr´ equen- tielle du champ, indiquant que les propri´ et´ es des champs dans le volume de travail doivent ˆ

etre constantes dans une bande de fr´ equence, devient difficilement atteignable en pr´ esence de modes de contribution r´ eduite dans cette zone utile.

Comme, dans les chambres r´ everb´ erantes, les pertes sont un param` etre influent sur les

propri´ et´ es du champ, nous pr´ esentons une ´ etude sur la prise en compte des pertes par conduc-

tion sur les parois de la cavit´ e. Apr` es pr´ esentation et validation de m´ ethodes d’estimation des

TABLE DES MATI ` ERES xvii

facteurs de qualit´ e, nous d´ eterminons ceux de la cavit´ e avec deux calottes et un h´ emisph` ere, et montrons que leur dispersion fr´ equentielle est plus faible que dans la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique.

Les ´ etudes pr´ ec´ edentes sont ensuite reprises en pr´ esence de pertes, les diff´ erents indicateurs d’homog´ en´ eit´ e, d’isotropie et de localisation changent peu par rapport au cas sans pertes.

Le chapitre 4 est consacr´ e ` a l’´ etude des propri´ et´ es des champs dans la cavit´ e munie de deux calottes et un h´ emisph` ere et dans la chambre r´ everb´ erante classique en consid´ erant le brassage m´ ecanique de modes. La cavit´ e chaotique est consid´ er´ ee comme une « cavit´ e chao- tique ` a brassage m´ ecanique de modes » , l’h´ emisph` ere ´ etant mis en rotation autour d’un axe de fa¸ con similaire ` a un brasseur de modes. Trois bandes fr´ equentielles sont consid´ er´ ees autour de 600 MHz, 700 MHz et 1,2 GHz.

Tout d’abord, nous pr´ esentons une comparaison entre les propri´ et´ es d’homog´ en´ eit´ e et d’isotropie des champs associ´ es aux diff´ erents modes propres, sur un tour de brasseur ou d’h´ emisph` ere. Les diff´ erents crit` eres utilis´ es concordent pour indiquer que la cavit´ e chaotique r´ epond mieux aux exigences de la norme, et ceci sans avoir ` a tenir compte du recouvrement modal, et ce dernier permet d’avoir de bons crit` ere et propri´ et´ es statistiques dans basses fr´ equences o` u le recouvrement est trop faible voir nul. De la mˆ eme fa¸con qu’avec les cavit´ es statiques (h´ emisph` ere et brasseur fixes), la recherche de zones de surintensit´ e montre que, sur un tour de brasseur ou d’h´ emisph` ere, la localisation de l’´ energie est plus forte dans la cavit´ e avec brasseur.

Enfin, l’´ etude de la distribution des ´ ecarts entre fr´ equences de r´ esonance, effectu´ ee sur un

tour de brasseur en consid´ erant la variation d’un faible nombre de fr´ equences de r´ esonance,

montre que, suivant ce crit` ere, le comportement de la cavit´ e avec un h´ emisph` ere est plus

conforme ` a la loi th´ eorique de Wigner attendue pour une cavit´ e chaotique.

Chapitre 1

Cavit´es r´esonnantes, de rectangulaire ` a chaotique

Sommaire

1.1 Cavit´ e parall´ el´ epip´ edique . . . . 2

1.1.1 Expression du champ dans la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique . . . . 2

1.1.2 Fr´ equences de r´ esonance de la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique . . . . 4

1.1.3 Cartographie du champ . . . . 5

1.1.4 Modes et d´ ecomposition en ondes planes . . . . 5

1.1.5 Densit´ e de modes cumul´ ee . . . . 7

1.2 Cavit´ e rectangulaire munie d’un brasseur . . . . 8

1.2.1 Fonctionnement des CRBM . . . . 9

1.2.2 Homog´ en´ eit´ e et isotropie . . . . 11

1.2.3 Lois de probabilit´ e requises dans les CRBM . . . . 12

1.3 Cavit´ es chaotiques . . . . 16

1.3.1 Etat de l’art sur les cavit´ ´ es chaotiques ondulatoires . . . . 16

1.3.2 Pr´ edictions th´ eoriques sur les cavit´ es . . . . 18

1.3.3 Modes particuliers . . . . 21

1.4 Conclusion . . . . 22

1

R´ esum´ e

Dans une approche th´ eorique, nous rappelons les expressions analytiques du champ, des fr´ equences de r´ esonance d’une cavit´ e rectangulaire. Une interpr´ etation de la r´ epartition du champ est faite, notamment sur les modes qui ont au moins une composantes nulles et ceux qui ont trois composantes non nulles. Les fr´ equences de r´ esonances sont d´ efinies ainsi qu’une interpr´ etation de leurs positions dans le spectre fr´ equentiel. Nous pr´ esentons en seconde par- tie une chambre r´ everb´ erante ` a brassage de modes, son mode de fonctionnement, de certaines crit` eres statistiques pour ´ etudier l’homog´ en´ eit´ e et l’isotropie du champ et enfin quelques lois th´ eoriques suivies par le champ et ses composantes.

Nous allons illustrer en derni` ere partie, quelque exemples de g´ eom´ etries de cavit´ es chaotiques 2D, les techniques utilis´ ees pour modifier les g´ eom´ etries de ces cavit´ es. Nous rappelons cer- taines distributions suivies par le champ, ses composantes ainsi que celle des ´ ecarts fr´ equentiels dans une cavit´ e chaotique.

1.1 Cavit´ e parall´ el´ epip´ edique

Dans la suite de nos travaux, la cavit´ e utilis´ ee a pour dimensions :

L

= 0.785 m. , L

= 0.985 m. et L

= 0.995 m.

Pour une meilleure couverture du spectre par les fr´ equences de r´ esonance , les dimensions sont choisies de sorte ` a ´ eviter le nombre les modes d´ eg´ en´ er´ es. Dans notre cas nous utili- sons les dimensions d’une cavit´ e pr´ esente dans

le laboratoire. Figure 1.1: Cavit´ e rectangulaire.

1.1.1 Expression du champ dans la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique

1.1.1.1 Equations de Maxwell ´

Les ´ equations de base de l’´ electromagn´ etisme dans le vide sont les quatre ´ equations de Maxwell. Dans notre ´ etude, nous consid´ erons des sources et les champs monochromatiques.

Ces ´ equations s’´ ecrivent alors, en fonction des amplitudes complexes du champ ´ electrique et de l’induction magn´ etique :

∇ ∧ − →

E = − − →

M − iωµ − →

H (1.1)

∇ · − →

E = q

(1.2)

∇ ∧ − →

H = − − →

J − iω − →

E (1.3)

∇ · − →

H = q

µ (1.4)

Cavit´ e parall´ el´ epip´ edique 3

Ce syst` eme d’´ equations coupl´ ees lie les d´ eriv´ ees spatiales du champ ´ electrique et de l’induction magn´ etique ` a leurs sources et charges.

1.1.1.2 Equations de propagation / ´ ´ Equations d’Helmholtz

Nous prenons le vide comme milieu d’´ etude des ´ equations de Maxwell. Les ´ equations 1.1 et 1.3 sont des ´ equations aux d´ eriv´ ees partielles du premier ordre qui couplent le champ ´ elec- trique − →

E et l’induction magn´ etique − →

B . La r´ esolution de ces ´ equations conduit ` a l’´ elimination de l’un des champs dans une ´ equation ou les deux, conduisant ` a des ´ equations aux d´ eriv´ ees secondes.

4 − →

E + ω

µ

− →

E = ∇ ∧ − → M + 1

∇q

+ iωµ

− →

J (1.5)

4 − →

H + ω

µ

− →

H = −∇ ∧ − → J + 1

µ

∇q

+ iω

− →

M (1.6)

Ces ´ equations sont les ´ equations de D’Alembert : le champ ´ electromagn´ etique se propage dans le vide ` a la c´ el´ erit´ e c

.

c

= 1

√ µ

ε

(1.7)

Consid´ erons une cavit´ e avec du m´ etal parfait, son int´ erieur est rempli d’un di´ electrique ho- mog` ene, dans notre cas du vide. Les parois de la cavit´ e ont une conductivit´ e infinie (m´ etal parfait), alors les conditions aux limites imposent que les composantes tangentielles du champ

´ electrique sont nulles sur les parois. Ceci se traduit par l’´ equation 1.8.

−

→ n ∧ − → E = − →

0 (1.8)

o` u − → n est le vecteur unitaire orient´ e vers l’int´ erieur de la cavit´ e. La cavit´ e est sans source et de permittivit´ e ind´ ependante de la position, donc la divergence du champ ´ electrique est nulle en tout point de la cavit´ e (1.2).

5 · − →

E = 0 (1.9)

La solution des ´ equations de Maxwell dans la cavit´ e est une solution de type onde station- naire, satisfaisant ` a l’´ equation de propagation, aux conditions aux limites de Dirichlet et ` a la divergence nulle du champ ´ electrique ( voir syst` eme 1.10 ).



 

 

 

 

 

  4 − →

E − µ

ε

∂

− → E

∂t

= 0

−

→ n ∧ − → E = − →

0 5 · − →

E = 0

(1.10)

Pour une cavit´ e de dimensions L

, L

et L

. On trouve une infinit´ e de modes, qui d´ ependent

d’entiers m,n et p. Pour un mode donn´ e de fr´ equence f

et de pulsation ω

, pour les

deux polarisations TE et TM, on obtient les expressions des champs :

Pour une polarisation TM (pour ne pas alourdir les ´ equations ω

= ω) :

E

E

= ı k

k

ωµ B

cos(k

x) · sin(k

y) · sin(k

z) E

= ı k

k

ωµ B

sin(k

x) · cos(k

y) · sin(k

z) E

= −ı k

+ k

ωµ B

sin(k

x) · sin(k

y) · cos(k

z)

(1.11)

H

H

= k

µ B

sin(k

x) · cos(k

y) · cos(k

z) H

= k

µ B

cos(k

x) · sin(k

y) · cos(k

z) H

= 0

(1.12)

Pour une polarisation TE :

E

E

= k

A

cos(k

x) · sin(k

y) · sin(k

z) E

= − k

A

sin(k

x) · cos(k

y) · sin(k

z) E

= 0

(1.13)

H

H

= ı k

k

ωµ A

sin(k

x) · cos(k

y) · cos(k

z) H

= ı k

k

ωµ A

cos(k

x) · sin(k

y) · cos(k

z) H

= −ı k

+ k

ωµ A

cos(k

x) · cos(k

y) · sin(k

z)

(1.14)

Avec :

k

= mπ

L

k

= nπ

L

k

= pπ L

La convention de la th´ eorie des lignes, dans laquelle l’axe (Oz) est l’axe de propagation, permet de distinguer les modes suivants.

1. Modes TE

ou TM

⇔ mnp 6= 0.

2. Modes TE

ou TE

⇔ mn = 0 et p 6= 0.

3. Modes TM

⇔ mn 6= 0 et p = 0.

1.1.2 Fr´ equences de r´ esonance de la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique

Nous allons ici d´ eterminer les fr´ equences de r´ esonance de la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique. Les

´

equations 1.11 et 1.12 sont solutions de l’´ equation 1.10, alors un mode ne peut exister que lorsqu’on peut trouver un triplet d’entiers (m,n,p) v´ erifiant l’´ equation 1.15.

f

= c

2

v u u t

m L

+ n

L

!

+ p

L

(1.15)

Cavit´ e parall´ el´ epip´ edique 5

Avec :

— L

, L

etL

les dimensions de la cavit´ e.

— c

la vitesse de la lumi` ere dans le vide.

— n, m, et p des entiers non tous nuls.

La plus petite fr´ equence de r´ esonance f

= 214.12 MHz correspond au mode TE

. Nous remarquons dans les ´ equations 1.11 ` a 1.14, qu’il existe des modes TE

et des modes TM

qui ont les mˆ emes fr´ equences propres : ce sont des modes d´ eg´ en´ er´ es

. Comme dans notre cas les dimensions de la cavit´ e sont toutes diff´ erentes, on ne peut avoir des d´ eg´ en´ erescences que lorsque mnp 6= 0. Dans cette condition on identifie les modes d´ eg´ en´ er´ es par leurs trois indices qui sont tous diff´ erents de z´ ero. Ces modes serviront pour v´ erifier si les simulations d´ eterminent les fr´ equences d´ eg´ en´ er´ ees. Les fr´ equences de r´ esonance de la cavit´ e vide serviront

`

a ´ evaluer les d´ ecalages fr´ equentiels

des modes en pr´ esence d’un d´ efaut. Les d´ efauts peuvent ˆ etre de diff´ erentes natures, d´ eformations des parois, introduction d’objets avec ou sans pertes susceptibles de modifier la r´ epartition et les propri´ et´ es statistiques des champs − →

E et − → H et de leurs composantes.

1.1.3 Cartographie du champ

En analysant les ´ equations 1.11 ` a 1.14, pour diff´ erents triplets d’entiers (m,n,p), on re- marque que chaque mode de la cavit´ e a une r´ epartition diff´ erente des autres modes. La figure 1.2 pr´ esente les cartographies du module du champ ´ electrique sur quelques plans du volume et sur les parois de la cavit´ e. L’amplitude du champ sur les faces montre que certains modes ont des composantes du champ ´ electrique nulles. Ces cartographies de diff´ erents modes montrent l’impact de la fr´ equence de r´ esonance sur la r´ epartition du champ modal.

Nous remarquons que (figure 1.2) les modes de la cavit´ e ont diff´ erentes r´ epartitions, cer- tains ont des composantes nulles. Ces diff´ erentes configurations li´ ees ` a la fr´ equence soul` event un certain nombre de questions. Par exemple comment ? et o` u ? peut-on exciter le maximum de modes sur une bande de fr´ equence. On ne doit pas oublier que certains modes sont id´ ea- lement anisotropes, c’est ` a dire qu’ils ont au moins une composante nulle, certains modes l’anisotropie se traduit, par des amplitudes diff´ erentes de leurs composantes respectives. Ceci ne signifie pas que dans la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique il peut y avoir un mode isotrope, mais que certains modes sont plus faciles ` a am´ eliorer sur le plan de l’isotropie que d’autres ayant au moins une composante nulle. Quant aux modes d´ eg´ en´ er´ es, leur r´ epartition est telle qu’un brassage doit permettre d’obtenir une r´ epartition r´ epartition isotrope plus facilement que pour des modes dont une ou deux composantes s’annulent.

1.1.4 Modes et d´ ecomposition en ondes planes

Soit un mode de la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique tel que le triplet d’entiers mnp est diff´ erent de zero. On a alors deux modes d´ eg´ en´ er´ es : pour le mode TE (respectivement TM) les trois com- posantes du champ ´ electrique (respectivement magn´ etique) sont non nulles. La composante

1. Modes TE et TM qui ont la mˆ eme fr´ equence

2. positions des fr´ equences dans le spectre par rapport ` a celles de la cavit´ e rectangulaire

(a)

(b)

(c)

(d)

Figure 1.2: Cartographie du module du champ ´ electrique de quelque modes de la cavit´ e rectan- gulaire. [f

; f

]

E

du champ ´ electrique se d´ ecompose alors de la fa¸ con suivante : E

= E

cos(α). sin(β). sin(γ)

= E

( e

+ e

2 )( e

− e

2i )( e

− e

2i )

= E

( e

+ e

− e

+ e

−8 )

+E

( e

− e

− e

+ e

−8 )

(1.16)

Les autres composantes des champs ´ electrique et magn´ etique s’´ ecrivent de fa¸ con similaire.

Ainsi, ces champs peuvent ˆ etre vus comme r´ esultant de la superposition de 8 ondes planes.

Si un des entiers mnp s’annule, le nombre d’ondes planes est r´ eduit ` a 4. Ainsi, d’apr` es cette

d´ ecomposition, les modes ayant trois composantes de champ non nulles sont associ´ es au plus

grand nombre d’ondes planes. Ces modes d´ eg´ en´ er´ es pr´ esentent donc un avantage en terme

Cavit´ e parall´ el´ epip´ edique 7

d’isotropie de champ dans la cavit´ e.

1.1.5 Densit´ e de modes cumul´ ee

Bien qu’il soit relativement simple dans le cas analytique de la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique, le d´ enombrement exact des fr´ equences de r´ esonance entre la fr´ equence fondamentale et une fr´ equence fix´ ee peut devenir tr` es difficile pour une cavit´ e de forme plus complexe. Le nombre moyen de modes jusqu’` a une fr´ equence f est donn´ e par la formule de Weyl [1, 2], qui pr´ esente aussi le lissage de la fonction de comptage exacte. Dans le cas de la cavit´ e parall´ el´ epip´ edique elle s’´ ecrit :

N

(f) = 8πV

3c

f

− (L

+ L

+ L

) f c + 1

2 (1.17)

— c : est la vitesse de la lumi` ere dans le vide.

— V : volume de la cavit´ e : L

L

L

= 0.7694m

— f : fr´ equence sup´ erieure ` a f

.

L’approximation haute fr´ equence de (Eq. 1.17), seul le terme dominant, et qui d´ epend du volume de la cavit´ e est conserv´ e.

La densit´ e de modes au voisinage de f est alors : N

(f) = dN

df = 8πV

c

f

− (L

+ L

+ L

)/c (1.18) L’´ equation 1.18 permet d’avoir une approximation du nombre de modes sur une bande de fr´ equence donn´ ee.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 100 200 300 400 500

f en GHz

N

Figure 1.3: Nombre moyen de modes jusqu’` a f

On note une augmentation de la densit´ e modale en fonction de la fr´ equence. En cons´ e-

quence, le spectre devient de plus en plus dense et les r´ esonances se rapprochent de plus en

plus. En pr´ esence de pertes, le recouvrement de modes serait de plus en plus important avec

la fr´ equence.

1.2 Cavit´ e rectangulaire munie d’un brasseur

Une chambre r´ everb´ erante ` a brassage de modes est une cage ou cavit´ e de Faraday munie d’un (ou plusieurs) brasseur(s) m´ etalliques, mobile(s) autour d’un axe, mis en mouvement par un moteur pas-` a-pas ou continu. Comme nous venons de voir dans la partie 1.1.1.2, seules des ondes stationnaires peuvent exister (voir 1.11), impos´ ees par les conditions aux limites sur les parois m´ etalliques de la chambre. Ces ondes stationnaires (modes propres de la cavit´ e) sont caract´ eris´ ees par des fr´ equences de r´ esonance propres discr` etes qui d´ ependent des dimensions de la cavit´ e (Eq. 1.15). La densit´ e de modes augmente avec la fr´ equence (Eq. 1.18).

Pour ´ etudier le comportement de l’objet sous test, la norme exige un champ, isotrope et de polarisation arbitraire. Plusieurs techniques sont utilis´ ees pour obtenir ces propri´ et´ es de champ, la plus courante ´ etant le brassage m´ ecanique de modes obtenu par l’introduction d’un brasseur de modes en rotation ` a l’int´ erieur de la cavit´ e, modifiant ainsi les conditions aux limites, les fr´ equences de r´ esonance propres et la r´ epartition spatiale des modes propres.

L’effet le plus visible de la rotation du brasseur est le d´ ecalage des fr´ equences de r´ esonance provoquant le d´ ecrochage et l’accrochage des plusieurs modes propres (fr´ equences propres) ` a la fr´ equence d’excitation. Ce dernier effet a pour cons´ equence la modification des coefficients de la matrice [S], qui cause des fluctuations plus ou moins importantes de la puissance transmise dans la cavit´ e.

La chambre r´ everb´ erante est excit´ ee par une (ou plusieurs) antenne(s) [3], et le champ ou la puissance sont mesur´ es par une antenne r´ eceptrice ou une sonde reli´ ees ` a diff´ erents appareils, permettant de mesurer le champ ou la puissance ` a une fr´ equence donn´ ee ou sur une bande de fr´ equence.

Les parois des chambres r´ eelles n’´ etant pas des conducteurs parfaits, elles pr´ esentent une conductivit´ e finie, et des pertes par effet Joule se produisent sur les parois. Par ailleurs, les antennes engendrent des pertes et l’objet sous test absorbe de l’´ energie. Toutes ces pertes r´ esultent en un ´ elargissement des raies. Cet ´ elargissement augmente le recouvrement entre modes. C’est pourquoi les pertes d’une chambre r´ everb´ erante sont un facteur important car elles influencent beaucoup la distribution des champs. Comme le montre l’´ equation 1.18, la densit´ e modale augmente avec la fr´ equence ; en cons´ equence, ` a fr´ equence ´ elev´ ee, plusieurs modes peuvent ˆ etre excit´ es simultan´ ement ` a cette fr´ equence et le recouvrement modal contri- bue ` a l’homog´ en´ eit´ e des champs. Le changement continuel des conditions aux limites rend inappropri´ ees les ´ etudes d´ eterministes du comportement ´ electromagn´ etique de la chambre r´ everb´ erante. En raison des modifications que nous venons de citer, une approche statistique est n´ ecessaire pour caract´ eriser le comportement des champs dans la chambre [4].

En pr´ esence du (ou des) brasseur(s) en rotation, et du fait des diff´ erentes pertes, au-del` a d’une certaine fr´ equence appel´ ee f

[5, 6], , le champ devient relativement homog` ene et isotrope.

La structure complexe du champ en haute fr´ equence est li´ e au fait que la longueur d’onde devient petite par rapport aux dimensions du (ou des) brasseur(s) de g´ eom´ etrie en g´ en´ eral complexe [7, 8, 9, 10, 11, 12], ainsi qu’au recouvrement modal caus´ e par les diff´ erentes pertes : la chambre est alors qualifi´ ee de surdimensionn´ ee par rapport aux longueurs d’onde.

On distingue dans une chambre r´ everb´ erante la zone de test, qui exclue la proximit´ e du

Cavit´ e rectangulaire munie d’un brasseur 9

(ou des) brasseur(s) et des murs, et dans laquelle les champs sont homog` enes et isotropes (voir figure 1.4). La d´ etermination de cette zone a donn´ e lieu ` a plusieurs ´ etudes, pour caract´ eriser notamment les distances entre celle-ci et les parois de la cavit´ e ou le(s) brasseur(s) [13, 14, 15].

1.2.1 Fonctionnement des CRBM

Parmi les techniques de test d’immunit´ e aux perturbations ´ electromagn´ etiques rayonn´ ees, les chambres r´ everb´ erantes ` a brassage de modes (CRBM) sont aujourd’hui d’utilisation r´ epan- due. D’une mani` ere g´ en´ erale elles permettent de simuler des ph´ enom` enes ´ electromagn´ etiques perturbateurs auxquels sont soumis divers objets sous test dans la zone de champ homog` ene et isotrope. Les avantages d’une CRBM sont les suivants :

Figure 1.4: CRBM et sa zone de test, brasseur, points de mesures

— L’´ energie se trouvant confin´ ee dans la cavit´ e en raison des r´ eflexions sur les parois, elle permet de soumettre l’objet sous test ` a des forts niveaux de champ tout en utilisant des puissances d’´ emission mod´ er´ ees.

— Ses dimensions et son coˆ ut sont plus faibles que ceux d’une chambre an´ echo¨ıque fonc- tionnant aux mˆ emes fr´ equences, en raison notamment de l’absence d’absorbants et de l’utilisation d’un amplificateur moins puissant.

— Toutes les polarisations sont excit´ ees simultan´ ement

, et ceci quelle que soit la polari- sation de l’antenne ´ emettrice. Par ailleurs, l’objet est illumin´ e simultan´ ement de tous les cˆ ot´ es. Ceci permet une r´ eduction de la dur´ ee du test, par rapport ` a l’utilisation d’une chambre an´ echo¨ıque.

Il existe plusieurs plusieurs mani` eres de brasser les modes :

— Le brassage ´ electronique [16, 17] : la g´ eom´ etrie de la cavit´ e est fixe, l’excitation est faite sur une bande de fr´ equences autour d’une fr´ equence centrale donn´ ee. En fonction de la fr´ equence d’excitation, diff´ erents modes sont excit´ es ce qui engendre un changement de la distribution spatiale du champ ´ electromagn´ etique. Ce brassage serait bien adapt´ e au cas d’une cavit´ e chaotique (chapitre 3).

3. id´ ealement si

— Le brassage par modification de la g´ eom´ etrie des parois. Les fr´ equences de r´ esonance d´ ependant beaucoup de dimensions de la cavit´ e, pour une excitation ` a fr´ equence fixe, les modes excit´ es varient. Dans [18, 19], les auteurs ont utilis´ e comme parois des papiers m´ etalliques, et le brassage est r´ ealis´ e ` a l’aide d’un ventilateur qui fait bouger les parois. L’inconv´ enient de cette m´ ethode, est qu’on ne peut pas contrˆ oler les variations de r´ esonance dans une bande de fr´ equences donn´ ee vu le d´ eplacement al´ eatoire des parois, donnant des configurations non reproductibles de la cavit´ e.

— Le brassage m´ ecanique, consistant ` a l’introduction d’un ou plusieurs brasseurs dans la cavit´ e est le plus r´ epandu. Les brasseurs doivent avoir une taille et une g´ eom´ etrie pouvant modifier significativement la r´ epartition spatiale du champ d’une position ` a l’autre. L’efficacit´ e d’un brasseur est caract´ eris´ ee par le nombre de positions statis- tiquement ind´ ependantes qu’il produit sur un tour complet et la fr´ equence minimale pour laquelle il reste efficace. Plusieurs ´ etudes ont ´ et´ e men´ ees sur la mod´ elisation de formes de brasseur [7] afin d’augmenter le nombre de positions ind´ ependantes et de minimiser la fr´ equence de fonctionnement [20].

Protocoles d’´ etude

L’objet sous test doit ˆ etre contenu dans le volume de test. Cette zone o` u le champ a les propri´ et´ es voulues est distante des parois et du ou des brasseurs d’au moins un quart de longueur d’onde (λ/4) [21]. Dans cette norme, les propri´ et´ es du champ sont d´ etermin´ ees ` a partir des mesures effectu´ ees aux 8 sommets de cette zone (voir figure 1.4). Certains auteurs utilisent un point de plus au milieu de celle-ci.

Etude de l’ind´ ´ ependance des ´ echantillons en fonction de la position du bras- seur

La norme [21] d´ efinit la proc´ edure de d´ etermination du nombre de positions ind´ ependantes du brasseur, pour lesquelles les champs sont faiblement corr´ el´ es.

Le coefficient d’auto-corr´ elation est d´ efini par :

ρ

(r) = 1 N ·

P

P

− hP

i · P

− hP

i

σ

avec α = x, y, z (1.19)

— avec :

— r : nombre de pas du d´ ecalage angulaire.

— N : le nombre total de positions du brasseur (nombre total d’´ echantillons).

— i : la position actuelle (courante) du brasseur.

— h•i : la moyenne arithm´ etique.

— σ : l’´ ecart-type de tous les ´ echantillons sur un tour du brasseur.

— P

: la puissance normalis´ ee de la composante α

La valeur maximale du coefficient d’auto-corr´ elation entre deux positions ind´ ependantes est

fix´ ee ` a : ρ

(r

) ≤ e

' 0.37.

Cavit´ e rectangulaire munie d’un brasseur 11

Le nombre de positions ind´ ependantes est d´ etermin´ e par 1.20 : N

= N

N

(1.20)

avec N

: nombre minimal r

de pas n´ ecessaires pour r´ eduire le coefficient d’auto-corr´ elation

`

a moins de 0,37 (ρ

(r

) ≤ e

).

1.2.2 Homog´ en´ eit´ e et isotropie

Homog´ en´ eit´ e du champ

Apr` es avoir ´ evalu´ e le nombre de positions ind´ ependantes, la norme IEC-61000-4-21 d´ efinit un crit` ere qui permet d’´ evaluer l’homog´ en´ eit´ e et l’isotropie du champ dans le volume de travail. L’approche est similaire. On compare les variations des valeurs maximales de chaque composante aux sommets du volume. Le param` etre que l’on ´ evalue est l’´ ecart-type des valeurs maximales du champ sur un tour du brasseur relev´ es sur les huit sommets de la zone d’´ etude.

Les ´ ecart-types des trois composantes permettent d’estimer l’isotropie du champ alors que l’´ ecart-types de l’ensemble de composantes permet d’´ evaluer son homog´ en´ eit´ e. Les valeurs maximales du champ sont normalis´ ees par la moyenne de l’amplitude du champ transmis sur un tour du brasseur (ou des brasseurs).

Les ´ ecart-types des trois composantes, permettant d’´ evaluer l’isotropie du champ sont d´ efinis par :

σ

= 20 log

1 + σ

hE

i

avec i = x, y, z (1.21)

— avec :

— σ

: est l’´ ecart-type des huit ou neuf valeurs maximales.

— hE

i, la moyenne de ces huit ou neuf valeurs maximales.

Pour ´ evaluer l’´ ecart-type global, afin de caract´ eriser l’homog´ en´ eit´ e du champ, on concat` ene les huit ou neuf valeurs maximales de chacune des composantes. On a alors 24 ou 27 valeurs maximales dont nous ´ evaluons l’´ ecart-type.

σ = 20 log 1 + σ

hE

i

!

(1.22)

— avec :

— σ

: l’´ ecart-type des 24 ou 27 valeurs maximales.

— hE

i, la moyenne des 24 ou 27 valeurs maximales.

Selon la norme, le champ est consid´ er´ e comme homog` ene si l’´ ecart-type global est inf´ erieur ` a 3 dB. Ceci est obtenu au del` a de la fr´ equence de fonctionnement f

.

Coefficients d’inhomog´ en´ eit´ e et d’anisotropie

Dans la norme [21], d’autres param` etres permettent d’´ etudier l’homog´ en´ eit´ e et l’isotropie

du champ en ´ evaluant les coefficients d’inhomog´ en´ eit´ e et d’anisotropie. Ces coefficients sont

notamment utilis´ es pour ´ etudier les performances de la chambre, en particulier l’efficacit´ e du

ou des brasseurs. Les crit` eres d´ efinis dans la norme sont quantitatifs, avec des valeurs seuils

en dessous desquelles les chambres r´ epondent ` a la norme. Ces coefficients permettent ainsi de diff´ erencier une bonne d’une mauvaise chambre r´ everb´ erante.

Coefficients d’anisotropie.

Ils sont d´ efinis par : hA

i =

* |E

|

/P

− |E

|

/P

(|E

|

/P

) + (|E

|

/P

)

+

=

* (P

/P

) − (P

/P

) (P

/P

) + (P

/P

)

+

avec α, β = x, y, z (1.23)

hA

i =

*r h

A

+ A

+ A

ⁱ /3 +

(1.24)

— avec :

— |E

| et P

: repr´ esentent le champ et la densit´ e de puissance pour chacune des composante α , β = x, y, z et pour chaque position du brasseur.

— P

= P

− P

, la puissance moyenne transmise dans la cavit´ e sur un tour de brasseur.

Ces coefficients d´ ependent du nombre de positions ind´ ependantes. c’est pourquoi un tableau r´ ecapitulatif des valeurs des coefficients en fonction du nombre de positions ind´ ependantes est donn´ e dans la norme [21].

Coefficients d’inhomog´ en´ eit´ e Ils sont d´ efinis par :

hI

(r

, r

)i =

* |E

(r

)|

/P

− |E

(r

)|

/P

(|E

(r

)|

/P

) + (|E

(r

)|

/P

)

+

=

(P

(r

)/P

) − (P

(r

)/P

) (P

(r

)/P

) + (P

(r

)/P

)

avec α = x, y, z (1.25) hI

i =

*r h

I

+ I

+ I

ⁱ /3 +

(1.26)

— avec :

— |E

| et P

: repr´ esentent le champ et la densit´ e de puissance pour chacune des composante α = x, y, z et pour chaque position du brasseur, pris respectivement aux positions r1 et r2 de la cavit´ e.

— P

= P

− P

, la puissance moyenne transmise dans la cavit´ e sur un tour de brasseur.

La norme recommande une distance minimale entre les deux positions r1 et r2 de mesure du champ ´ egale ` a la longueur d’onde de travail.

1.2.3 Lois de probabilit´ e requises dans les CRBM

Dans une cavit´ e munie de brasseur en rotation, le champ est caract´ eris´ e de mani` ere sta- tistique. Il est toujours possible de d´ ecomposer le champ sur son spectre d’ondes planes.

Aux hautes fr´ equences, on admet que la r´ epartition de ces ondes planes est al´ eatoire, avec des directions d’arriv´ ee ´ equiprobables sur un tour du ou des brasseurs. Plusieurs auteurs ont adopt´ e le formalisme probabiliste pour d´ ecrire le comportement du champ dans la cavit´ e.

On montre alors qu’aux fr´ equences ´ elev´ ees, le champ ´ electromagn´ etique, consid´ er´ e sur un

tour de brasseur est statistiquement homog` ene et isotrope. Certaines grandeurs d´ erivant du