El diablo de los n´ umeros

El diablo de los n´ umeros

Secci´on a cargo de Fernando Chamizo Lorente

¿Y qui´en es Michel Waldschmidt?

Para cualquiera que se dedi- que a la teor´ıa de n´ umeros, es un investigador de primera l´ınea en temas de trascendencia y aproximaci´ on diof´ antica. Por otra parte, ha sido presi- dente de la

y vicepresidente del

. Probablemen- te el profesor Waldschmidt es menos conocido entre sus colegas por su in- cre´ıble forma f´ısica. ¿Te atrever´ıas a participar en una carrera de

sin parar a trav´ es de los Alpes?

Una introducci´ on elemental a valores zeta m´ ultiples

por

Michel Waldschmidt

1. Introducci´ on

El problema de Basilea consiste en la evaluaci´ on de la suma de los inversos de los cuadrados de los enteros positivos. El problema fue propuesto por Pietro Mengoli en 1644 y Leonhard Euler encontr´ o en 1735 la respuesta correcta, la impresionante f´ ormula

∞

X

n=1

1 n

= π

6 ,

1CIMPA es una organizaci´on sin ´animo de lucro en beneficio de los pa´ıses en desarrollo. Si quieres participar en una escuela sobre series hipergeom´etricas en Ul´an Bator (Mongolia) o ense˜nar teor´ıa de n´umeros en Dangbo (Benin), contacta con ellos.

†Este art´ıculo est´a basado en las notas tomadas por Fernando Chamizo de las dos primeras charlas impartidas por el autor en el congresoMultiple Zeta Values, Multiple Polylogarithms and Quantum Field Theoryque tuvo lugar en el ICMAT (Instituto de Ciencias Matem´aticas) en octubre de 2013 en Madrid.La Gacetaagradece al autor las correcciones y el permiso para publicarlo.

pero sus argumentos iniciales no eran completos. Una generalizaci´ on natural es la evaluaci´ on de las series

X

n≥0 B(n)6=0

A(n)

B (n) con A, B polinomios deg B ≥ deg A + 2.

Hay algunos ejemplos que se eval´ uan con trucos sencillos, as´ı se tiene X

n≥1

1

n(n + 1) = X

n≥1

1

n − 1

n + 1

= 1 − 1 2 − 1

2 − 1

3 − 1 3

+ · · · = 1 y

X

n≥0

1

(2n + 1)(2n + 2) = X

n≥0

1

2n + 1 − 1 2n + 2

= 1 1 − 1

2 + 1 3 − 1

4 + · · · = log 2 donde la ´ ultima igualdad se sigue del desarrollo de Taylor de f (x) = log(1 + x).

Antes de seguir, mencionemos brevemente la soluci´ on no rigurosa de Euler para el problema de Basilea. Euler emple´ o el desarrollo de Taylor de sen(x) para escribir

sen(πz)

πz = 1 − π

6 z

+ (t´ erminos con potencias de z pares mayores) = F(z).

Los ceros de la funci´ on F as´ı definida son 1

, 2

, 3

, 4

,. . . . Por otro lado, si P es un polinomio gen´ erico con P(0) = 1 y {α

} son sus ra´ıces (en C ), entonces es f´ acil probar que

P(z) = 1 + a

z + a

z

+ . . . con a

= − X 1 α

.

Si so˜ namos que F es un polinomio (claramente no lo es) entonces el resultado resuelve el problema de Basilea.

Parece dif´ıcil completar el razonamiento no riguroso de Euler, incluso movi´ endo- nos en el terreno de las funciones enteras, porque por ejemplo F (z) y e

F(z) tienen los mismos ceros pero distinto coeficiente en z:

F (z) = 1 + a

z + . . . implica e

F (z) = 1 + (a

+ λ)z + . . .

La primera prueba rigurosa para el problema de Basilea se debe tambi´ en a Euler, seis a˜ nos m´ as tarde, y se basa en la identidad

sen(πz)

πz =

1 − z

1

1 − z

2

1 − z

3

· · ·

Hay otras soluciones m´ as elementales del problema de Basilea

. La siguiente la present´ o P. Cartier en el Seminario Bourbaki y la atribuy´ o a Calabi [1].

1N. del E.V´ease el art´ıculoDisquisitio numerorumde A. C´ordoba en esta secci´on deLa Gaceta 4 (2001), no. 1, 249–260.

El punto de partida es la identidad Z

0

Z

0

dxdy 1 − x

y

=

Z

0

Z

0

X

n≥1

(x

y

)

dxdy = X

n≥0

1 (2n + 1)

· Introduciendo el cambio de variable

x = sen u

cos v , y = sen v

cos u , dxdy

1 − x

y

= dudv,

el dominio de integraci´ on se convierte en 0 ≤ u, v ≤ π/2, u + v ≤ π/2 y la integral pasa a ser simplemente el ´ area de un tri´ angulo, resultando π

/8. As´ı pues,

X

n≥1

1 n

= X

m≥1

1

(2m)

+ X

m≥0

1

(2m + 1)

= 1 4

X

n≥1

1 n

+ π

8 y basta con despejar la serie.

Euler consider´ o, para argumentos enteros, lo que hoy conocemos como funci´ on ζ de Riemann:

ζ(s) = X

n≥1

1 n

y no se limit´ o a valores positivos, por ejemplo obtuvo las siguientes extra˜ nas identi- dades (redescubiertas por Ramanujan)

ζ(0) = − 1

2 y ζ(−1) = − 1

12 ·

L. Euler S. Ramanujan

Dos expertos sumadores de series que no se pueden sumar

Riemann, en su famosa memoria, extendi´ o la funci´ on ζ a una funci´ on meromorfa en C con un cero simple en s = 1, concretamente

ζ(s) = 1

s − 1 + (funci´ on entera).

Los misteriosos resultados de Euler son compatibles con esta extensi´ on que permite darles sentido. Riemann tambi´ en prob´ o una ecuaci´ on funcional para ζ, a saber

ξ(s) = ξ(1 − s) donde ξ(s) = π

Γ(s/2)ζ(s).

Para m ∈ Z

se tienen los siguientes valores especiales expl´ıcitos de ζ:

ζ(−2m) = 0, ζ(1 − m) = − B

m y ζ(2m) = (−1)

2

π

(2m)! B

donde B

son los n´ umeros de Bernoulli (J. Bernoulli 1654–1705) definidos mediante x

e

− 1 = X

k≥0

B

x

k! ·

Todos ellos son n´ umeros racionales, B

= 1, B

= −1/2, B

= 1/6, B

= 0, B

= −1/30, B

= 0, B

= 1/42, etc.

No se conoce una f´ ormula expl´ıcita sencilla para ζ(2m + 1). En 1979 R. Ap´ ery (v´ ease [7]) sorprendi´ o a la comunidad matem´ atica con una prueba de la irracionalidad de ζ(3). Pero hay muchas preguntas abiertas. Por ejemplo, no se sabe si ζ(3)/π

o ζ(5) son n´ umeros irracionales.

R. Ap´ ery y la inscripci´ on en el cementerio P` ere Lachaise

T. Rivoal y W. Zudilin han conseguido algunos avances importantes. Rivoal de- mostr´ o en 2000 [5] que ζ(3), ζ(5),. . . ζ(a) con a ≥ 3 impar genera un Q -espacio vectorial de dimensi´ on mayor que

log a. En particular, esto implica que ζ(2m + 1) es irracional para infinitos valores de m enteros positivos. Zudilin demostr´ o en 2004 [9] que al menos uno de los n´ umeros ζ(5), ζ(7), ζ(9) y ζ(11) es irracional. En [2] se prueba que existen enteros positivos impares n ≤ 139 y m ≤ 1961 tales que 1, ζ(n) y ζ(m) son linealmente independientes sobre Q .

Se espera que no haya relaciones algebraicas con coeficientes racionales entre ζ(2), ζ(3), ζ(5),. . . , ζ(2n + 1). Con un lenguaje m´ as t´ ecnico, esperamos que estos n´ umeros sean algebraicamente independientes sobre Q .

En particular, se cree que cualquiera de estos n´ umeros es trascendente (no alge-

braico, es decir, que no es ra´ız de una ecuaci´ on polin´ omica no trivial con coeficientes

racionales).

Algunos resultados cl´ asicos sobre trascendencia e independencia algebraica son los siguientes:

Teorema de Hermite (1873): e es trascendente.

Teorema de Lindemann (1881): π es trascendente.

Teorema de Hermite-Lindemann (1882): Si α 6= 0 es algebraico entonces e

es trascendente.

Teorema de Lindemann-Weierstrass (1888): Si α

, α

, . . . , α

son algebraicos y Q -linealmente independientes, entonces e

, . . . , e

son algebraicamente in- dependientes sobre Q .

Otra formulaci´ on del ´ ultimo resultado es: Si β

, β

, . . . , β

son n´ umeros algebrai- cos distintos, entonces e

, e

, . . . , e

son linealmente independientes sobre Q .

Volviendo a la funci´ on ζ, se puede expresar el producto de dos de sus valores en t´ erminos de una serie doble:

ζ(s)ζ(s

) = X

n≥1

X

m≥1

1

n

m

= X

n>m≥1

1

n

m

+ X

m>n≥1

1

n

m

+ ζ(s + s

), donde suponemos s, s

≥ 2.

Motivados por este c´ alculo, introduzcamos las sumas arm´ onicas generalizadas ζ(s

, s

, . . . , s

) = XX

· · · X

n₁>n₂>...>n_k≥1

1 n

n

· · · n

donde s

son enteros positivos y s

≥ 2 (para asegurar la convergencia). Estas sumas ya fueron introducidas por Euler para k = 2. Consideremos todas las combinaciones racionales de estos n´ umeros, m´ as formalmente, definimos

Z = Q -espacio vectorial generado por ζ(s) donde s = (s

, s

, . . . , s

) con s

∈ Z

y s

≥ 2, como antes.

Definamos tambi´ en el subespacio Z

⊂ Z generado por ζ(s) con s

+s

+· · ·+s

= p un entero positivo fijado. Escogemos adem´ as convencionalmente Z

= Q .

Resulta que Z es una sub´ algebra sobre Q de R . Esto significa simplemente que si multiplicamos dos elementos de Z, obtenemos un nuevo elemento de Z (esto es impor- tante porque el problema de la independencia algebraica se convierte en un problema de independencia lineal). Por ejemplo, el c´ alculo de m´ as arriba con ζ(s)ζ(s

), para s = s

= 2 lleva a

ζ(2)

= 2ζ(2, 2) + ζ(4).

En general, las f´ ormulas que representan el producto de dos sumas arm´ onicas

generalizadas como combinaci´ on lineal de otras sumas del mismo tipo, se conocen

como relaciones stuffle. Se pueden obtener con un algoritmo simple (a pesar de que

un poco lioso de describir con palabras). Digamos que queremos multiplicar ζ(s) y

ζ(s

) con s = (s

, s

, . . . , s

) y s

= (s

, s

, . . . , s

), entonces los ζ(s

) a los que da lugar el producto son exactamente aquellos que verifican s

= e s + e s

donde e s y e s

se obtienen a partir de s y de s

introduciendo algunas coordenadas nulas de tal forma que e s y e s

tengan la misma longitud (dimensi´ on) y no haya dos ceros en la misma coordenada. Por ejemplo, en el caso de ζ(2)ζ(2) tenemos s = (2), s

= (2) y las posibilidades son

e s = 2 0 e s

= 0 2 s

= 2 2

e s = 0 2 e s

= 2 0 s

= 2 2

e s = 2 e s

= 2 s

= 4 y el resultado es ζ(2)

= ζ(2, 2) + ζ(2, 2) + ζ(4) que ya hab´ıamos visto.

Nuestro objetivo es conocer todas las Q -relaciones lineales entre las ζ(s) y hay dos conjeturas principales acerca de su estructura.

Conjetura 1 : Con la notaci´ on anterior, Z = M

p≥0

Z

En otras palabras, cada elemento de Z se expresa de manera ´ unica como una suma de elementos de Z

. Aqu´ı el punto clave es la unicidad.

Hab´ıamos impuesto Z

= Q , mientras que Z

= {0} y Z

= Q ζ(2) se derivan f´ acilmente de la definici´ on. Menos triviales son Z

= Q ζ(3) y Z

= Q ζ(4), la primera se sigue de ζ(3) = ζ(2, 1) y la segunda de 4ζ(3, 1) = ζ(4), 4ζ(2, 2) = 3ζ(4), ζ(2, 1, 1) = ζ(4). Y aqu´ı se acaba nuestro conocimiento. Ni siquiera se sabe la dimensi´ on de Z

. Puede ser 1 o 2 dependiendo de la irracionalidad de ζ(2)ζ(3)/ζ (5).

En relaci´ on con las dimensiones, hay una conjetura de enunciado simple debida a Zagier.

Conjetura 2 : Sea d

= dim Z

. Entonces se tiene d

= d

+ d

para p ≥ 3.

N´ otese que, de acuerdo con nuestras observaciones anteriores, d

= 1, d

= 0, d

= 1, d

= 1 y d

= 1, y estos datos cuadran con la f´ ormula de recurrencia de la conjetura anterior para p = 3 y p = 4.

Sorprendentemente, suponiendo las Conjeturas 1 y 2 es posible deducir la in- dependencia algebraica de ζ(2), ζ(3), ζ(5), etc. Esta implicaci´ on requiere temas no combinatorios altamente avanzados. Tambi´ en hay una conjetura de M. Hoffman que propone una base expl´ıcita para Z

.

Conjetura 3 : Los n´ umeros ζ(s

, s

, . . . , s

) con s

+s

+· · ·+s

= p y s

∈ {2, 3}

conforman una base de Z

.

Recientemente F. Brown ha demostrado que estos valores general el Q -espacio

vectorial Z

, por tanto queda demostrar que son linealmente independientes sobre Q .

Con este resultado, la Conjetura 2 y la Conjetura 3 son equivalentes. Previamente se

conoc´ıa [3] [6] que los n´ umeros de Zagier d

son cotas superiores para la dimensi´ on

de Z

.

Por otro lado, nuestro conocimiento incondicional acerca de Z y Z

es muy pobre.

Por ejemplo, no se sabe si existe p ≥ 5 tal que d

≥ 2. Incluso no se sabe descartar la posibilidad de que Z = Q [π]. Entonces, en principio, con los conocimientos actuales, todos los valores de ζ(s) podr´ıan ser polinomios en π con coeficientes racionales. Por supuesto, todas las conjeturas apuntan a que ´ este no es el caso.

En 2001 M. Kontsevich y D. Zagier [4] introdujeron el concepto de periodo y desarrollaron alguna teor´ıa al respecto. De acuerdo con su definici´ on, un periodo es el valor de la integral de una funci´ on algebraica definida mediante polinomios con coeficientes algebraicos, calculada en un dominio de integraci´ on descrito por ecuaciones o inecuaciones que involucran polinomios con coeficientes algebraicos.

Por ejemplo, ζ(2) es un periodo gracias a la f´ ormula ζ(2) =

Z

1>t₁>t₂>0

dt

dt

t

(1 − t

) · Su prueba se reduce a

Z

1>t₁>t₂>0

dt

dt

t

(1 − t

) =

Z

0

1 t

Z

0

X

n≥0

t

dt

dt

= Z

0

X

n≥1

t

n dt

= X

n≥1

1 n

·

de la misma forma, ζ(3) es tambi´ en un periodo porque ζ(3) =

Z

1>t₁>t₂>t₃>0

dt

dt

dt

t

t

(1 − t

) ·

En general, ζ(s

, s

, . . . , s

) es un periodo por la representaci´ on integral ζ(s

, s

, . . . , s

) =

Z

∆p

ω

ω

ω

ω

. . . ω

ω

donde ∆

=

(t

, t

, . . . , t

) ∈ R

: 1 > t

> t

> . . . > t

> 0 , p = s

+ · · · + s

, ω

= dt/t y ω

= dt/(1 − t) con el significado obvio para ω

.

Esta representaci´ on integral permite obtener relaciones para productos de ζ(s), simplemente multiplicando integrales y “barajando” (shuffling, en ingl´ es) las varia- bles teniendo en cuenta todas las posibles ordenaciones. Lo que se obtiene son las llamadas relaciones shuffle.

Por ejemplo, consideremos de nuevo el producto ζ(2)ζ(2), entonces se tiene ζ(2)

=

Z

1>t₁>t₂>0 1>u₁>u₂>0

dt

dt

du

du

t

(1 − t

)u

(1 − u

) .

Ahora podemos dividir el dominio de integraci´ on en una uni´ on disjunta de 6 s´ımplices como ∆

, concretamente

1 > t

> t

> u

> u

> 0, 1 > u

> u

> t

> t

> 0,

1 > t

> u

> t

> u

> 0, 1 > t

> u

> u

> t

> 0,

1 > u

> t

> t

> u

> 0, 1 > u

> t

> u

> t

> 0.

Los dos primeros dan ζ(2, 2) y el resto ζ(3, 1). Entonces con este proceso de barajado de las variables, con las t

en un mont´ on y las u

en otro, obtenemos

ζ(2)

= 2ζ(2, 2) + 4ζ(3, 1).

Si se combina esta igualdad con ζ(2)

= 2ζ(2, 2)+ζ(4) que obtuvimos antes, entonces se deduce

ζ(4) = 4ζ(3, 1) que se utiliza para probar d

= 1.

La estructura con la que dotan a Z las relaciones stuffle y shuffle permite emplear herramientas algebraicas para estudiar este espacio. Para saber m´ as acerca de esta sorprendente teor´ıa, cons´ ultese [8].

Ejercicios:

1) Demostrar ζ(2, 2) = π

120 ·

2) Deducir, en general, ζ({2}

) = π

(2k + 1)! donde {2}

= (2, 2,

. . . ,

2). Indi- caci´ on: Demostrar primero P

n≥0

ζ {s}

x

= Q

j≥1

1 +x/j

y utilizar la f´ ormula producto para sen z.

3) Es el n´ umero X

n≥0

1

4n + 1 − 3

4n + 2 + 1

4n + 3 + 1 4n + 4

racional?

4) Demostrar las siguientes evaluaciones de series:

X

n≥0

1

(n + 1)(2n + 1)(4n + 1) = π

3 , X

n≥2

1 n

− 1 = 3

4 y

X

n≥0

1 n

+ 1 = 1

2 + π 2

e

+ e

e

− e

·

Referencias

[1] P. Cartier . Fonctions polylogarithmes, nombres polyzˆ etas et groupes pro-

unipotents. Ast´ erisque, (282):Exp. No. 885, viii, 137–173, 2002. S´ eminaire Bour-

baki, Vol. 2000/2001.

[2] S. Fischler and W. Zudilin . A refinement of Nesterenko’s linear independence criterion with applications to zeta values. Math. Ann., 347(4):739–763, 2010.

[3] A. B. Goncharov . Multiple ζ-values, Galois groups, and geometry of modu- lar varieties. In European Congress of Mathematics, Vol. I (Barcelona, 2000), volume 201 of Progr. Math., pages 361–392. Birkh¨ auser, Basel, 2001.

[4] M. Kontsevich and D. Zagier . Periods. In Mathematics unlimited—2001 and beyond, pages 771–808. Springer, Berlin, 2001.

[5] T. Rivoal . La fonction zˆ eta de Riemann prend une infinit´ e de valeurs irration- nelles aux entiers impairs. C. R. Acad. Sci. Paris S´ er. I Math., 331(4):267–270, 2000.

[6] T. Terasoma . Mixed Tate motives and multiple zeta values. Invent. Math., 149(2):339–369, 2002.

[7] A. van der Poorten . A proof that Euler missed. . .Ap´ ery’s proof of the irratio- nality of ζ(3). Math. Intelligencer, 1(4):195–203, 1978/79. An informal report.

[8] M. Waldschmidt . A course on multizeta values. The Institute of Mathematical Sciences, Special year in number theory at IMSc, Chennai (India), April 2011 http://www.math.jussieu.fr/~miw/index2.html .

[9] W. Zudilin . Arithmetic of linear forms involving odd zeta values. J. Th´ eor.

Nombres Bordeaux, 16(1):251–291, 2004.

El autor

M. Waldschmidt, Institut de Math´ematiques de Jussieu, Universit´e Pierre et Marie Curie-Paris 6

Correo electr´onico:miw@math.jussieu.fr P´agina web:http://www.math.jussieu.fr/~miw/