 410 .. Hm 

II- Loi de Biot et Savart II- Loi de Biot et Savart

La loi de Biot et Savart relie les sources (courant) au champ magnétique crée en tenant compte de la géométrie du système support du courant électrique.

I d l

x M S

•Le champ magnétique crée en M est donné par :

  

B M idl SM

conducteur

SM ( )

( )

 

 



4

Unités B en Tesla

Unités B en Tesla 

 4 10  .

H m .



Spire circulaire i x M

d B

R



Par raison de symétrie de révolution autour de l’axe Ox, le champ magnétique total en M est dirigé selon Ox et dans le sens des x croissants (règle du tire bouchon).

Un élément de longueur de la spire crée un champ magnétique élémentaire donné par : Un élément de longueur de la spire crée un champ magnétique élémentaire donné par :

dB M idl SM SM

  

( )   



4

1ère méthode( intégration)

Les deux vecteurs

dl et SM  

sont orthogonaux et sachant que le champ total est dirigé selon Ox, on ne va retenir que la composante du champ élémentaire selon cet axe :

dB M idl

SM u

 ( )   sin 



 4

   

B M idl

SM u i

R Sin

R u i

R u

spire

x x x

( ) sin . sin sin

( )

 ₄ ^ _



^  ₄ ^ _

^{2 }

^{ }  ₂ ^

^

2ème méthode

  

B M idl SM

spire

SM ( )

( )

 

 



4

SM SO OM

dl OM dl OM

dl SO S

spire spire

spire

  

    

  

 

  

  

   

 







( )

( )

( )

0 2

 

B M i S  SM

i

R u

( )    sin



 

0

3

0 3

4

2

2

 

S   R u

Allure du champ magnétique crée par la spire su son axe . Allure du champ magnétique crée par la spire su son axe .

i x

R

B ( x )

Si on considère une bobine plate constituée de N spires avec un rayon moyen R et de faible épaisseur, le champ magnétique crée par la bobine en un point de son axe est Nx le champ magnétique crée par une spire.

1)

Bobines de Helmholtz

Utilité : c’est l’un des rare système qui permet de réaliser un champ magnétique constant dans un certaine région de l’espace. La condition repose sur le choix d’un écartement des deux bobines d’une distance égale à leur rayon moyen.

Bobines identiques

comportant N spires parcourues par un courant I

Composition des champs magnétiques des deux bobines

Composition des champs magnétiques des deux bobines

i i x i i x

d > R

d = R

 

B M B O

( )  ( )   . R

  

  1 1152

4 4



x   Ecart par rapport à l’origine Ecart par rapport à l’origine

Induction magnétique totale en fonction de la distance x sur l’axe Induction magnétique totale en fonction de la distance x sur l’axe

Bobines de Helmholtz

Symétrie en Magnétostatique

Le champ magnétique est un champ axial et se transforme par les opérations de symétrie différemment que le champ électrostatique ( champ polaire).

Ci-dessous les transformations d’un champ magnétique par des plans de symétrie et d’antisymétrie.

P S

P A S

Champ magnétique = Champ axial

I.

III. Théorème d’Ampère

1.Enoncé

Soit une boucle de courant © parcourue par un courant i.

Soit un parcours fermé (g) et orienté de façon arbitraire.

si (g) intercepte la boucle © : la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est égale à

  ₀ i

Si (g) n’intercepte pas la boucle © : la circulation du champ magnétique sur le parcours (g) est nulle.

Formulation mathématique  

B dl i

g

.

( )

   ^

Si (g) intercepte ©

B dl   i

g

.

( )

  ⁰ Si (g) n’intercepte pas ©

( g ) n g i ( C )

( - )

( g ) n g i ( C )

( + )

Applications du théorème d’Ampère.

Fil rectiligne infini parcourue par un courant constant

i

( g ) r

n g

Symétrie de révolution implique que le champ magnétique a une norme dépendante uniquement de r.

Le sens de B est défini par la règle du tire bouchon - ou la règle du Bonhomme d’Ampère ( couché sur le fil et regardant le point ou on cherche le champ magnétique,

sa main gauche indique la direction du champ magnétique).

Le sens du parcours (g) est choisi de telle façon que sa normale soit dans le sens de i.

Le fil ayant une longueur infini, on peut considérer que c’est une boucle de courant de rayon infini.

Le théorème d’Ampère donne : B dl   i B r B r  i  r u

g

. . ( )

( )

   

 ^

^{2 } ₂ ^ _

Champ magnétique crée par un solénoïde de longueur infini

i B

 

 

 



•La circulation de B est nul implique que B est uniforme dans le solénoïde :

B dl   . B l B l . . B

( )







1



uniforme dans le solénoïde.



2 : extérieur au solénoïde. La circulation sur ce parcours est nulle et donc B est uniforme à l’extérieur du solénoïde. La valeur de B est nécessairement nulle en dehors du solénoïde.



3 : intercepte des courants et la circulation est :

   

B dl . B l

. nli B ni u (

)

( )

  

 





0 0

 

Champ magnétique d’un solénoïde dans le cas où l’on ne tient pas

compte des effets de bords (solénoïde de longueur infinie)

Conducteur massif de longueur infini parcouru par un courant i de densité j constante

P l a n d 'A n t i - s y m é t r i e

P l a n d e s y m é t r i e

Symétrie : Symétrie :

• Axe de révolution implique que B ne dépend que de r. Axe de révolution implique que B ne dépend que de r.

• Plan de symétrie : tout plan contenant l’axe du conducteur Plan de symétrie : tout plan contenant l’axe du conducteur

• Plan d’antisymétrie : tout plan perpendiculaire à l’axe du conducteur Plan d’antisymétrie : tout plan perpendiculaire à l’axe du conducteur

• Règle du tire Bouchon : fixe le sens de B Règle du tire Bouchon : fixe le sens de B

• Symétrie de translation : B indépendant de z. Symétrie de translation : B indépendant de z.

Calcul de B à l’extérieur ( g )

R r

B dl   i B r B i

spire

r

. .

( )

   

 ^

^{2 } ₂ ^ _

Calcule de B à l’intérieur  

B dl j r B r B jr ir

spire

R

. . .

( )

  

 

 ^{ }

^{2  }

_{2 2} ^ _

Flux d’un champ magnétique à travers une spire parcouru par un courant.

Flux d’un champ magnétique à travers une spire parcouru par un courant.

i

n B

La surface délimité par la spire est orienté positivement par le sens de (i) par la règle du tire-bouchon.

L i S

B S

d B

S

. .

.

) (







  ^{   }

si le champ magnétique est uniforme.

Flux du champ magnétique Flux du champ magnétique

L= coefficient d’auto induction (Henry)

Calcul de l’inductance d’une longueur l d’un solénoïde Calcul de l’inductance d’une longueur l d’un solénoïde

i B

Le champ magnétique est uniforme à l’intérieur du solénoïde :

B     ₀ niu  _x

Le flux de B à travers les nl spires se trouvant sur la longueur l est :

iL ilS

n S

B

nl  



 ^ . ^  ₀ ²

L’inductance d’une longueur l d’un solénoïde est :

L  

n Sl

Unité (H : Henry)

Coefficient d’induction mutuelle entre deux portions Coefficient d’induction mutuelle entre deux portions

de deux solénoïdes de même section de deux solénoïdes de même section

i i B

Le flux du solénoïde (1) à travers n

l spires du solénoïde (2) est :

 ₁₂   _{1 2}  ₂  _{0 1 2 2 1}  _{21 1}  ₁ B n lS .  n n S li L i Mi

Donc le coefficient de mutuelle-induction est M=L21=L12, son signe est positif si

les courants sont orientés dans le même sens sinon , il est négatif.

Inductance propre d’une bobine torique de N spires rectangles ((b-a),c) parcourues par i

a b

i

B  Ni 

r u

 



0

2

Montrer que le champ magnétique Montrer que le champ magnétique est donné par :

est donné par :

En calculant le flux, en déduire que l’inductance est de la forme:

a Ln b a

N b

L ( )

2

2

0



 

