Seconde
Corrigé du DS n°1 de maths
30/09/2008Exercice 1 :
A = - 24 30x 55
72x 4
121x 49
28 B =
3 8 25– 7
5 5– 11
5 9 25 = - 23×3×5×11×22×72
2×3×5×23×32×112×22×7
= – 7
98 = 75 25 8
25– 35 25 125
25 – 55 25 9
25 =
48 25 79 25
= 48 25x 25
79 = 48 25
C =
231
×34 1
43×– 5– 2
= 5 3×3
4 1
4– 15– 2
=
5 4 1 4– 60
4 – 8 4
= 5 4 – 674
= 5
4 x (- 4
67 ) = – 5 67 Exercice 2 :
1) D = (1 + 1
2 ) x (1 + 1
3 ) x (1 + 1
4 ) x ... x (1 + 1 9 ) = 3
2 x 4 3 x 5
4 x 6 5 x 7
6 x 8 7 x 9
8 x 10 9 = 5
1 = 5 E = (1 - 1
2 ) x (1 - 1
3 ) x (1 - 1
4 ) x ... x (1 - 1 9 ) = 1
2 x 2 3 x 3
4 x 4 5 x 5
6 x 6 7 x 7
8 x 8 9
= 1 9
2) a) D est un entier naturel donc D b) E est un rationnel donc E Exercice 3 :
F = 725×257×492 286×275×503
= 23×325×527×722
22×76×335×2×523 = 215×310×514×74
212×76×315×23×56 = 2 0 x 3 -5 x 5 8 x 7 -2 Exercice 4 :
a) Pour n = 1 : 21x(22 – 1) = 2x3 = 6 Pour n = 2 : 22x(23 – 1) = 4x7 = 28 Pour n = 3 : 23x(24 – 1) = 8x15 = 120 Pour n = 4 : 24x(25 – 1) = 16x31 = 496 b) 6 et 28 sont parfaits (voir l'énoncé !) Voyons pour 120 et 496 :
Diviseurs de 120 autres que lui-même :{1;2;3;4;5;6;8;10;12;15;20;24;30;40;60}
En additionnant les trois derniers, on trouve déjà : 130 ! Donc 120 n'est pas parfait
Par contre, 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 Donc 496 est parfait
Exercice 5 : G = 5
2– 1 -5
21Remarque : Pour pouvoir simplifier l'écriture de G, il va falloir « supprimer » les racines aux deux dénominateurs.
Pour cela, on va utiliser l'identité remarquable : a2 – b2 = (a + b)(a - b)
D'où : G = 5×
21
2– 1
21 -5×
2– 1
2– 1
21= 5
25– 5
252– 1 = 10
1 = 10
Donc
G Exercice 6 :
1) 37 800 = 23 x 33 x 52 x 7 et 7 875 = 32 x 53 x 7
D'où pgcd(37 800;7 875) = 32 x 52 x 7 (on prend pour chaque facteur premier la plus
petite des puissances entre les deux nombres) C'est-à-dire : pgcd(37 800;7 875) = 1 575
2) On a : 37800
7 875 = 1575×24
1575×5 = 24 5 Exercice 7 :
1)
Distances en km Distances en km en notation scientifique
Terre-Lune 384 400 3,844x10 5
Terre-Soleil 149 600 000 1,496 x 10 8
Soleil-Jupiter 7783 x 105 7,783 x 10 8
Soleil-Neptune 4 500 000 000 4,5 x 109
Etoile Polaire-Terre 4 100 000 000 000 000 4,1 x 10 15 Galaxie du Grand Nuage de
Magellan-Terre
1530x1015 1,530 x 10 18 2) a) Calcul de la vitesse de libération à la surface de la Terre :
V =
2×6,67×106,378×10–11×6×106 24 (ATTENTION aux unités...) 11 202Par conséquent :
la vitesse de libération à la surface de la Terre est d'environ : 11,2 km/s b) Si on remplace R par l'expression donnant Rs dans celle de V, on obtient :
V =
2×G2×Gc2×M×M
=
2×2G××GM×M×c2 =
c2 = c
Autrement dit : Quand un astre atteint son rayon de Scwarzschild, la vitesse de libération à sa surface est égale à la vitesse de la lumière...
C'est-à-dire : l'astre ne laisse plus la lumière s'échapper : c'est un trou noir.
Calcul du Rs de la Terre : Rs = 2×6,67×10–11×6×1024
3×1082 9 x 10-3
Le rayon de Schwarzschild de la Terre est d'environ :
9 x 10-3 m (c'est-à-dire
moins de 1 cm...) c) Calcul du Rs du Soleil :
RS = 2×6,67×10–11×2×1030
3×1082 2,964 x 103
our « fabriquer » un trou noir avec le Soleil, il faudrait donc enfermer toute sa
matière dans une boule d'environ 3 km de rayon alors que son rayon réel est d'environ 700 000 km
