Stabilité et dynamique d'écoulements de fluides parfaits barotropes autour d'un obstacle en présence de dispersion

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barotropes autour d’un obstacle en présence de

dispersion

Chi-Tuong Pham

To cite this version:

Chi-Tuong Pham. Stabilité et dynamique d’écoulements de fluides parfaits barotropes autour d’un

obstacle en présence de dispersion. Matière Condensée [cond-mat]. Université Pierre et Marie Curie

- Paris VI, 2003. Français. �tel-00006825�

Laboratoire de Physique Statistique

Thèse de do torat de l'université Paris VI

présentée par

Chi-Tuong Pham

pour obtenirle titre de Do teur de l'UniversitéParis VI

Spé ialité :Physique des liquides

Stabilité et dynamique d'é oulements

de uides parfaits barotropes autour d'un

obsta le en présen e de dispersion

Soutenue le 23 septembre 2003 devant le jury omposé de :

Mar -Étienne Bra het Pierre Coullet Laurent Limat Caroline Nore Dominique Salin Laurette Tu kerman Dire teur Rapporteur Examinateur Examinateur Président Rapporteur

Apollinaire  Cors de hasse, in Al ools

La musique, systême d'adieux, évoque une physique dont le

point de départ ne serait pas les atomes, mais les larmes.

D

u holdeKunst,inwieviel grauenStunden, Womi hdesLebenswilderKreisumstri kt, Hast dumein HerzzuwarmerLieb entzunden, Hast mi hineinebeÿreWeltentrü kt!

OfthateinSeufzer,deinerHarf'entossen, Ein süÿer,heiligerAkkordvondir

Den HimmelbeÿrerZeitenmir ers hlossen, DuholdeKunst,i hdankedirdafür!

(FranzvonS hober,Andie Musik)

Cemanus ritestl'aboutissementdequatreannéesdethèse passéesauseinduLabora toire de Physique Statistique duDépartement de Physique l'É olenormale supérieure. Je remer ie ses dire teurs SébastienBalibaret Ja ques Meunier dem'y avoira ueilli.

Ma thèse a été dirigée par Mar -Étienne Bra het dont la ulture s ientique est impressionnante. Qu'il soit remer ié pour tous les onseils qu'il m'a donnés et pour les dis ussionss ientiques,toujoursfru tueusesetbiensouventfortanimées, quenousavons pu avoirensemble.

Je remer ie lesmembresdu juryLaurentLimat,Caroline Noreet Dominique Salin pour l'intérêt qu'ilsont porté àmontravail.Mer i enparti ulier àLaurette Tu kerman et Pierre Coullet d'avoira epté lapénible tâ he de rapporteur.

Sans la présen e des administrateurs système, point de simulations numériques. Je suis don très redevable à ThierryBesançon, DanielLe Moalet Rémy Portier pour leur assistan e fa eaux apri es des ma hines du département. Je remer ie également les se rétaires du LPSCarolePhilippe, AngéliqueMan hon et NoraSadaouiqui mesont venuesen aide haque foisqueje fus onfonté auxar anes del'administration.

Le Département de Physique est un endroit propi e aux é hanges en tout genre, j'ai ainsiprotédesdis ussionss ientiques(ounon)ave StéphanFauve,Christophe Josse-rand,MartineBenamar,Vin entHakim,XavierLeyronas,ÉdouardBrézin,Vin ent Rivasseau,ChristopheDupraz, FrançoisPétrélis,JeanFarago,Ni olasMuji a,Sé

bastien Aumaître, Rémy Berthet, Sébastien Moulinet, Matthieu Poujade, Ya ine

Amarou hène, Frédéri Chevy, Guilhem Semerjian, Philippe Cren, Louis Paulot,

JeanVannimenus,BernardDerrida,Cé ileAppert,DominiqueD'Humières,Frédéri

Caupin,JérmeTignon, AgnèsHuynh,Ia opo Carusotto.

J'ai également béné ié des onseils et de la grande expertise de Laurent Limat en hydrodynamiqueet deLaurette Tu kerman ensimulationnumérique.

L'atmosphèreyfutfort haleureuseetparfoissouvent?pota hegrâ eauxpersonnes quej'yai toyées:BasileAudoly,CristianHuepe,Éri Brunet,HervéHenry,Alberto Rosso,SamuelMarque,RomainThomas,CyrilCi howlas,CamilleÉnaud(laFemme àbarbe) Éri Sultan(Van),PaulFrançois (Roudoudou), Jean-Mar Allain (Manger, bosondélo alisé).Mer iauxquatrederniersbosonsauxsobriquetsridi ules,pourleuraide danslapréparationde l'indispensable pot de thèse.

Je tiens àexprimer toute magratitude envers troispersonnes en parti ulier pour leur soutien onstant(sansmêmeparlerdesaspe tspurements ientiques):ChristopheMora (HamsterJ.),Caroline Noreet ArezkiBoudaoud.Parailleurs,jesuistrèsre onnaissant envers esdeuxderniers,ainsiqu'àmonfrère(qui amêmepoussélevi ejusqu'àrevérier à lamain ertains al uls),pour la patiente et attentive rele ture des diérentes versions demon manus rit.

Enn, j'adresse un immense mer i à mes amis, mes parents et mon frère, pour leur présen eet leur indéfe tible soutienpendant es quatre longues années qui ne furent pas toujoursdes plusfa iles.

Remer iements v

Table des notations xi

Introdu tion xiii

Première partie : Systèmes unidimensionnels 1

I Un modèlede haîne de pendules for ée 3

I.A Présentation dumodèle desine-Gordon . . . 4

I.A.1 Quantités onservées. . . 5

I.A.2 Solutionskink de l'équationde sine-Gordon . . . 6

I.A.3 Propriétés deskinks sine-Gordon . . . 7

I.B Une haînede pendules de typesine-Gordon for ée. . . 8

I.B.1 Solutionsstationnaires . . . 9

I.B.2 Stabilité linéaire . . . 9

I.B.3 Résultatsdynamiques . . . 12

I.B.4 Dis ussion . . . 14

I.B.5 Con lusion . . . 15

I.C Étude d'une haîne dependulesgénéralisée . . . 16

I.C.1 Dénitiondu système . . . 16

I.C.2 Solutionsstationnaires . . . 17

I.C.3 Casd'une relationde dispersionsans fréquen ede oupure . . . . 18

I.C.4 Con lusion . . . 21

II Un modèlede superuide unidimensionnel traversé par un obsta le 23 II.A Une présentation généralede l'équationde S hrödinger nonlinéaire . . . 24

II.A.1 ÉquationdeGross-Pitaevskii . . . 24

II.A.2 Hydrodynamiquede l'équationde S hrödingernon linéaire . . . . 26

II.A.3 Propriétés debasede l'équation deS hrödinger nonlinéaire . . . . 30

II.A.4 Cas parti ulier de la dimension 1 : solution soliton de l'équation deS hrödinger nonlinéaire . . . 31

II.B Superuide unidimensionnel enprésen ed'un obsta le mobile . . . 33

II.B.1 Dénitiondu système . . . 33

II.B.2 Solutionsstationnaires . . . 34

II.C Généralisation : unmodèle de superuide hargé . . . 43

II.C.1 Dénition dusystème . . . 43

II.C.2 Solutionsstationnaires . . . 44

II.C.3 Stabilité linéaire . . . 45

II.C.4 Résultats dynamiques . . . 46

II.D Dis ussion et on lusion . . . 47

Deuxième partie : Systèmes bidimensionnels 53 III Méthodes numériques 55 III.A Stru ture des hamps . . . 55

III.A.1 Transformation d'un domaine innien undomaine borné . . . 55

III.A.2 Représentation spe traledes hamps Propriétés . . . 56

III.A.3 Généralisation delaméthode . . . 58

III.A.4 Notion despe tres . . . 58

III.B Pasde temps etméthode de suivide bran he . . . 59

III.B.1 Pasde temps et onditions auxlimites. . . 59

III.B.2 Méthode desuivi debran he . . . 60

IV Solutions stationnaires de l'équation d'Euler 65 IV.A Dénition du système . . . 65

IV.B Développement en nombre de Ma h dessolutions stationnaires . . . 66

IV.C Cal ul numériquedes solutionsstationnaires . . . 68

IV.C.1 Méthode de al ul . . . 68

IV.C.2 Résultats numériques . . . 69

IV.D Con lusion . . . 71

V É oulement superuide autour d'un disque 73 V.A Dénition du système . . . 74

V.B Conditions auxlimiteset implémentation numérique . . . 75

V.C Expressions analytiques des ou heslimites . . . 76

V.C.1 Cas des onditionsaux limitesde type Diri hlet . . . 77

V.C.2 Cas des onditionsaux limitesde type Neumann . . . 77

V.D Résolution numérique duproblème . . . 78

V.E Diagrammes de bifur ation . . . 79

V.E.1 Obsta lesgrands devant lalongueur de ohéren e . . . 79

V.E.2 Obsta lespetitsdevantlalongueur de ohéren e . . . 82

V.F Dynamique . . . 84

V.F.1 Mode neutreet modes propres instables( asdesgrands obsta les) 85 V.F.2 Naturedes ex itationsémises . . . 88

V.G Con lusion . . . 91

VI É oulement en eau peu profonde autour d'unobsta le 93 VI.A Physique duproblème et miseenéquation . . . 94

VI.A.1 Relationde dispersionen l'absen e detensionde surfa e. . . 95

VI.A.2 Relationde dispersionen présen ede tensionsuper ielle . . . 97 VI.A.3 D'une des ription 3d à une des ription 2d : l'approximation eau

VI.B Dénition dusystème . . . 102

VI.C Expressions analytiques des ou heslimites . . . 103

VI.C.1 Casoù  0 0 6=0 . . . 103

VI.C.2 Casoù  0 0 =0 . . . 104

VI.D Cal ul numérique dessolutions stationnaires . . . 104

VI.E Convergen e numérique dessolutions . . . 104

VI.F Diagrammes de bifur ation . . . 105

VI.F.1 Casoù  0 0 =0 . . . 106

VI.F.2 Casoù  0 0 6=0 . . . 107

VI.G Dynamique . . . 110

VI.G.1 Mode neutre . . . 110

VI.G.2 Singularité àtemps ni de démouillage . . . 110

VI.H Con lusion . . . 112

Con lusion et perspe tives 117 Appendi es 119 A Quelques résultats sur les bifur ations 121 A.I Bifur ationn÷ud- ol . . . 121

A.I.1 Exempledu pendule simple . . . 121

A.I.2 Minimisationdel'a tionet pointde rebroussementdudiagramme debifur ation . . . 124

A.II Bifur ationfour he . . . 125

A.III Bifur ations globales. . . 126

B Fon tion d'Evans et méthode de la matri e omposée 129 B.I Fon tiond'Evans Appro he théorique . . . 129

B.II Méthode delamatri e omposée . . . 131

B.II.1 Delaméthode de lamatri e omposéeà lafon tion d'Evans . . . 131

B.II.2 Cal ulexpli ite delafon tion d'Evans . . . 134

C Méthodes de résolutionnumérique d'équations 135 C.I Résolution d'équationsnon linéaires . . . 135

C.I.1 Prin ipe desméthodesitératives . . . 135

C.I.2 Fon tionsd'unevariable: méthodede Newton . . . 136

C.I.3 Fon tionsde plusieursvariables : méthode de Newton-Raphson . . 138

C.II Résolution desystèmes linéaires: une méthode du gradientbi- onjugué . 139 D Quelques résultats de théorie lassique des hamps 141 E Expression des ou hes limites 145 E.I Prin ipe général du al ul . . . 145

E.I.1 Cas r j  =0ou asdes onditions auxlimites detype Neumann146 E.I.2 Cas 0 0 6=0ou asdes onditions auxlimitesde type Diri hlet . . 147

E.II Cas dusuperuide . . . 148

E.III Cas de l'é oulement en eau peu profonde . . . 155 E.III.1 Cas où

0 0

=0 . . . 155 E.III.2 Cas où

0 0

6=0 . . . 155

F Arti lespubliés et en préparation 159

Abréviations Signi ation

argse h fon tionré iproquedese h

ESNL équationdeS hrödingernonlinéaire

ESNL équationdeS hrödingernonlinéaire( asdebosons hargés)

ESG équationdesine-Gordon

ESGm équationdesine-Gordonmodiée

Im partieimaginaire

Re partieréelle

se h sé antehyperbolique,se hx=1= oshx

SG sine-Gordon

SGm sine-Gordonmodié

SNL S hrödingernonlinéaire

SNL S hrödingernonlinéaire( asdebosons hargés) Lettreslatines Signi ation

enindi e: ritique

vitesseduson

: : omplexe onjugué

C n

lassedesfon tionsnfois ontinûmentdérivables

D diamètredu ylindre

D disqueD(0;r

0

),obsta ledenossystèmes2d

g intensitéduforçagedansl'ESNL1d

H hauteurdeuidedanslesé oulementseneaupeuprofonde

I momentd'inertie ` longueur ` longueur apillaire M nombredeMa h(M=jv j= ) M lo

nombredeMa hlo al(M lo =jr 0 j= p ) N 

résolutionpourla oordonnéeangulaire N

r

résolutionpourla oordonnéeradialer(T heby he)

o(x) négligeabledevantx

O(x) del'ordredex

q hargedusuperuide hargé

r -tauxd'amortissement

- oordonnéeradialeen oordonnéespolaires r

0

rayondu ylindre,toujours hoisiégalà1

s tensiondesurfa e T périodetemporelle U vitesseduuide,U=r 0 =r v:e x v vitessededépla ementdel'obsta le,v=v:e

x e;r;x desve teurs

Symboles Signi ation

 bordd'undomaine(exemple :est lebordde)

 x

dérivéeselonlavariablex

opérateurlapla ienouin rément

r opérateurgradient

? dire tion radiale

 suitune loid'é helleen

? plusgrandoupluspetit que(enregardd'unsigneou) Lettresgre ques Signi ation

 - oupledeforçagedanslessystèmesde haînesdependules -dansle adredel'ESNL= =

p 2

 oupledetorsiondansles haînesdependules ouple

Æ(x) distribution deltadeDira

 hauteurdeuide

 angleen oordonnéespolaires

 0

anglede onta tau ylindreeneau peuprofonde

 valeurpropreinstable

 -longueurde ohéren edanslessystèmesdebosons -longueur apillairerenormalisée

-en1d,dé alagespatial,paramètrerégulierdebifur ation  -densitédeparti ulesdansle asdesgazdiluésdeBose

-massevolumiquedansle asdessuperuides -densitéduuidedansl'équationd'Euler

-hauteurdeuideadimensionnée(é oulementseneau peuprofonde) 

0 0

onditionauxlimites sureneau peuprofonde % danslesé oulementseneau peuprofonde,=1+%

 pasdetemps

 -en1d,unephase

-dansle asdel'ESNL,2estlaphasedelafon tiond'ondedu ondensat -en2d, omposantebornéedupotentieldesvitesses

 0

potentieldesvitesses,en2d, 0

= vr os 

0

phaseadditionnelledansl'ESNL

-dansle asdeSGetSGm,modepropredusystème

-dansle asdel'ESNL, hamp omplexe,paramètred'ordredu ondensat

! pulsation

C

ette thèse regroupe une série de travaux ayant tous trait à des systèmes hamilto niens non linéaires spatialement étendus présentant une bifur ation n÷ud- ol. Elle est onstituée de deux parties. La première est onsa réeà l'étude de systèmes unidimen sionnels qui permettent une ompréhension analytique des phénomènes en présen e, ar il est possible d'en obtenir des solutions exa tes. La se onde partie de la thèse on erne l'étude numérique de deux types d'é oulements bidimensionnels de uides parfaits baro tropes(lapressionne dépend quedeladensitédu uide): uné oulementsuperuide régi par l'équation de Gross-Pitaevskii (ou équation de S hrödinger non linéaire) et un é ou lement à surfa e libre dans l'approximation eau peu profonde, en tenant ompte d'eets dispersifs.Lorsquelalongueur ara térisantladispersiondesondessonorestendverszéro, esdeuxé oulementsonten ommundeseréduire àl'é oulementd'unuideeulérien om pressible autourd'un disque.

Denombreuxtravauxontété onsa résàladéterminationdelavitesse ritiqueàpartir de laquelle l'hélium perd sa superuidité [1℄. Un modèle mathématique des é oulements superuidesest eluide l'équationde S hrödinger nonlinéaire(ESNL),égalementappelée équation de Gross-Pitaevskii (EGP) [24℄. En étudiant un superuide bidimensionnel au tour d'un ylindre par simulation dire tede l'ESNL, Fris h, Pomeau et Ri a ont observé une transition vers un régime dissipatif [5℄. Ils ont interprété leurs simulations en terme d'unebifur ationn÷ud- oldesolutionsstationnaires[6℄.Andetenir ompteduminimum roton dans la relation de dispersion, absent de l'ESNL, ils ont également modié l'équa tion de S hrödinger non linéaire et trouvé que les omportements étaient radi alement modiés [7℄.

Àlasuite de estravaux, Hakima obtenu ette bifur ation n÷ud- olanalytiquement, en étudiant lastabilité d'un é oulement régi par l'ESNL unidimensionnelle (et sans mini mumroton)traversépar unobsta le[8℄.Ila al ulélesexpressionsexpli itesdessolutions stationnaires et a étudié la dynamiqueà latransition : au-delà du seuil de bifur ation,le systèmeémet spontanémentdessolitons gris.Plus ré emment, enutilisant deste hniques de suividebran hes, HuepeetBra het ontobtenulediagramme debifur ation orrespon dant àunsuperuide bidimensionnel autourd'un disque[9,10℄,une bran hestableet une bran heinstablevenant oïn iderparbifur ationn÷ud- ol. Ilsontétudiélessolutions sta tionnaires et la fréquen ed'émission desvortexdans le régime super ritique ( 'est-à-dire au-dessus du seuilde labifur ation). Cettedernière suit uneloi d'é helle en ra ine arrée de l'é art auseuil.

Dansun domaine voisin, les ondensats de Bose-Einsteinsont produits expérimentale ment depuis1995 [11,12℄. Ces uides nonlinéaires ompressibles, à température susam ment basse an de négliger les eets de la fra tion d'atomes non ondensés, sont dé rits

théorie et expérien e [13℄. Dans une expérien e du MIT du groupe de Ketterle [14℄, les auteurs ont trouvé l'existen e d'un nombre de Ma h ritique omme seuil de dissipation dansun ondensat de Bose-Einsteintraversépar un laser.

La loi d'é helle trouvée par Huepe [10℄ est inhabituelle dans le as d'une bifur ation n÷ud- olapparaissantdansdessystèmeshamiltoniens (ons'attend génériquement àtrou ver des lois d'é helles typiques en l'é art au seuil à la puissan e 1=4 dans le adre de systèmes réversibles). Les premiers travaux de ette thèse ont onsisté à omprendre e omportement inattendu. Pour ela, nous avons re onsidéré en détail le problème unidi mensionneld'Hakim,enétudiantlesloisd'é hellesprèsdelabifur ation.Nousavonsainsi trouvé une loi d'é helle suivie par la période d'émission des solitons identique à elle de la période d'émission de vortextrouvée par Huepe. Nous avonségalement pro édé à une analyse de stabilité linéaire et al ulé les valeurspropres et ve teurs propres instables du systèmes près de la bifur ation et mis en éviden e une délo alisation spatiale des modes propres instables à l'appro he de la bifur ation. Notre système, bien qu'hamiltonien, pré sente tous les omportements typiques de systèmes dissipatifs (ainsi, au une os illation autour de la bran he de solutions stables n'est observée; des perturbations de solutions stables relaxent exponentiellement vers zéro). Nous avons alors émis l'hypothèse que la dynamiquedu systèmese ouple ave lesondes sonores, quijouent alors le rled'une dis sipation ee tive. Celles- i peuvent en eet être émises à n'importe quelle fréquen e, ar leurrelation de dispersionne possède pasde fréquen ede oupure.

Andetester ettehypothèse,nousavons onsidéréunsystèmemé aniquetrèssimple: une haîne dependules ouplés  dé ritepar l'équation desine-Gordon  quel'on for e lo alement àl'aided'un ouple onstant.Larelationde dispersionde e systèmephysique présentealorsunefréquen ede oupure;ainsi,nepeuventsepropagerdesondessonoresen dessousd'une ertainefréquen e. Ce systèmepermet une ompréhension (presque) totale desphénomènesaumoyende al ulsanalytiques.Nousavonsainsi al uléanalytiquement lesbran hesstationnairesdesolutionsstablesetinstablesquidisparaissentparbifur ation n÷ud- ol,lesve teurset valeurspropresdusystème. Lesphénomènesd'amortissement du asdel'ESNLn'existentplusetl'onretrouvetousles omportementstypiquesdesystèmes non dissipatifs. En outre, nous avons mis en éviden e que la transition vers le régime super ritiqueprésentait unehystérésis(la transitionestsous- ritique),déjà observée dans dessystèmesétendusdissipatifsparArgentina,CoulletetMahadevan[15℄.C'estlapremière foisà notre onnaissan e qu'elleestren ontréedansdessystèmes étendus hamiltoniens.

Nous avons pro édé également à des modi ations de nos systèmes unidimensionnels and'ajouterunefréquen ede oupureàl'ESNLoubiendel'enleverdansle asdel'équa tion de sine-Gordon. L'ajoût de la fréquen e de oupure dans l'ESNL entraîne bien le rétablissement de toutes les lois d'é helle réversibles. De plus, l'hystérésisest en ore pré sente.Enrevan he,l'absen ede fréquen ede oupuredansla haînedependulesmodiée permet en partie de retrouver un ara tère dissipatifde ladynamique, touten onservant ertaines lois d'é helle hamiltoniennes. On retrouve également, à fréquen e de oupure nulle,lephénomènededélo alisationdesmodespropresinstablesàlabifur ation.Ainsi,le ouplage(ounon)ave lesondessonoresprèsdelabifur ationestresponsabledu ara tère dissipatif(ou non) denosquatresystèmes.

Nous noussommes alors posé laquestion desavoirsi ette propriétéde délo alisation desmodespropresinstablesétait onservée au seuild'une bifur ationn÷ud- olsurvenant

En dimension 2,l'utilisationde odes, fondéssurdesdis rétisations spatialespériodiques, est inadaptée à l'étude de tels phénomènes, propres au ara tère étendude nos systèmes. Andemenerunetelleétude,nousavonsdéveloppédesoutilsnumériquesoriginauxande tenir ompte de lagéométrie innie de nosdomainesd'étude, endéveloppant nos hamps sur unebasede polynmesdeT heby he.

Nous nous sommes intéressés à deux systèmes physiques, en ommençant par le pro blème de l'é oulement superuide déjàabordéen onsidérant desboîtespériodiques[5,9℄. Notre méthode numérique a l'avantaged'imposer diérentes onditions auxlimites au ni veaudel'obsta le.Nos odespermettentaussidetraiterdes onditionsauxlimitesdetype Diri hlet( onformes auxexpérien esdansles ondensatsdeBose Einstein),de façonbien mieux ontrlées queles travauxantérieurs.Ils permettent ausside traiter des onditions aux limitesde typeNeumann. Enutilisant une méthode de suivide bran hes, développée par Mamun etTu kermanpourétudier à l'originel'é oulement de Couettesphérique[16℄, nous avons al ulé les diagrammes de bifur ation omplets pour les deux types de ondi tions auxlimites, e qui nous a permis de faire des omparaisons entre les deuxtypes de onditions auxlimites. Nousmontronsquedansun as omme dansl'autre, lephénomène de délo alisation des modes propres instables à la bifur ation est bien onservé à deux dimensions. Nos odespermettent en outred'explorerde façon bien ontrléedesrégimes opposésà euxdeHuepe,àsavoirdessituationsoùl'obsta ledevientpetit devantlataille typiquedesvortexquantiques.Deplus, ennousplaçantà faibleMa h, nousavons al ulé analytiquementlaformedes ou heslimitesduesauterme dispersifdepressionquantique.

Nousavonsensuiteétudié unse ondsystèmephysique pluspro hede problèmes d'hy drodynamique lassique,à savoir, un é oulement à surfa e libre d'un uide non visqueux autour d'un obsta le, en tenant ompte des eetsdispersifs dus à latension super ielle. Dans le as d'une épaisseur de uide susamment faible, et é oulement tridimension nel in ompressible se ramène, dansl'approximationdite eau peu profonde, à l'étude d'un é oulement bidimensionnel d'un uide ompressible autour d'un obsta le ir ulaire.

Dans une géométrie diérente (profondeur de liquide innie), il est onnu qu'il existe une vitesse ritique omme seuil de traînée par des ondes gravito- apillaires derrière un obsta le [4,17,18℄. Une ontroverse subsiste sur l'ordrede la transition. Dansla limite de profondeur innie, des premiers travaux théoriques dus à Raphaël et de Gennes [19℄ et expérimentaux dus à Browaeys et al. [20℄ ont été en faveur d'une transition dis ontinue. Puis des expérien es réaliséespar Burghelea et Steinbergont pen hé pour une transition ontinue[21,22℄.Enn,ChevyetRaphaëlontsoulignél'importan edurledelaprofondeur à laquelle était plongé l'obsta le sur l'ordre de la transition [23℄. Lorsque la hauteur de uide est innie, la vitesse de phase des ondes de surfa e possède un minimum. Il a été remarqué[21,22℄que ephénomèneprésenteuneforteanalogieave lapertedesuperuidité de l'héliumdansun modèleoù larelation dedispersionin lut leminimum roton[7℄.

En nous plaçant dans l'approximation eau peu profonde, lorsque la hauteur de uide est susamment faible,la relation de dispersion ne présente alors plus et équivalent des rotons,devenantidentiqueàlarelationdedispersiondel'ESNL.Leséquationshydrodyna miques desdeuxsystèmesdièrentalors seulement auniveauduterme dispersif: leterme de pression quantiquedans l'ESNL est rempla é, dansl'é oulement en eau peu profonde, par unterme detensionsuper ielle.Nousavons her hélessolutions stationnairesde et é oulementparlamêmeméthodedesuividebran heque elledel'é oulementsuperuide et mis en éviden el'existen e d'unevitesse ritiqueà laquellelabran he desolutions sta

viaune bifur ation n÷ud- ol. Comme dansle as de l'é oulement superuide,nous al u lonsles ou heslimites rééespar lestermes detension super ielle. Enn, en étudiant le régimedynamique,nousmettonsen éviden el'existen ed'unesingularité dedémouillage, oùlasurfa e du uidevientatteindre lefond dubassin.

Lesdeuxé oulements onsidérésadmettentlamêmelimitelorsquelestermesdispersifs tendent vers zéro : l'é oulement bidimensionnel d'un uide eulérien ompressible autour d'un obsta le.Dans le asdel'ESNL omme dans eluide l'eau peu profonde,nousavons ee tuédes al ulsdes ou heslimitesquiviennents'ajouterauxsolutionsdel'é oulement eulérien.Cedernieré oulement,nondispersif,présenteunesingularitédetype ho au-delà d'une ertaine vitesse de dépla ement de l'obsta le. Cette singularité disparaît dans nos deuxsystèmes (qui présentent de la dispersion), rempla ée par une bifur ation n÷ud- ol. Au passage,nous avonsdéterminé,grâ e à nos odes, le nombre de Ma h ritique auquel apparaît la singularité dans l'équation d'Euler, en améliorant grandement la pré ision de e résultatdéjà trouvépar Ri a [24℄.

Le manus ritde ette thèses'arti ule omme suit.

Le hapitre I présente le modèle de haîne unidimensionnelle de pendules lo alement for ée par un ouple onstant. Nous modions ensuite notre modèle an de supprimer danslarelation de dispersionla fréquen ede oupure, permettant ainsile ouplage de la dynamiquede notresystèmeprès delabifur ation ave l'émissiond'ondes sonores, e qui onfèreun ara tèredissipatifà notrenouveau système,bienqu'hamiltonien.

Le hapitreIIportesurl'étudedétailléedeladynamiqueprèsdelabifur ationn÷ud- ol del'é oulementsuperuideunidimensionnel.Lesystème,bienqu'hamiltonien,se omporte omme un système dissipatif. Nous modions ensuite les équations de e système an d'ajouter àla relationde dispersion unefréquen e de oupure,en ajoutant une hargeau superuide, equiapoureetderétablirle omportementnondissipatifdeladynamique. Ce hapitre se on lut par une omparaison des diérents systèmes présentés dans ette première partie.

Lemanus ritsepoursuitalorsave l'étudedesystèmesbidimensionnels. Le hapitreIII expose lesméthodes numériques employéesdans ette se onde partie : représentation des hamps,méthode de suivide bran hesemployée pour al uler les diagrammes de bifur a tion, exposédesperforman es desalgorithmesutilisés.

Nous présentons ensuite dans le hapitre IV l'équation d'Euler ompressible, qui est la limite non dispersive des é oulements superuide ou en eau peu profonde que nous étudieronsdansles hapitressuivants.Ce hapitremontrelestrèsbonnesperforman esde notreméthode numérique.

Le hapitreV est onsa réànotreétudedu problèmebidimensionnel d'uné oulement superuideautour d'un obsta le. Nous al ulons lediagramme de bifur ationde eté ou lementpour deuxtypesde onditionsauxlimites,et pour desrapportstailledevortexsur tailledel'obsta legrandsetpetits.De erapportdépendlanaturedesex itationsnu léées enavaldel'obsta le, danslerégime super ritique.

Enn, le hapitre VI aborde le problème d'un é oulement en eau peu profonde où la tensionsuper ielleestsusammentgrandepourqueleminimum devitessedephasesoit lavitesse des ondesde gravité. Nous al ulons lediagramme de bifur ation des solutions

situations.

Nousterminons l'ensemblede es six hapitrespar une on lusion généraledu manus rit, ainsiqu'unexposédesperspe tivesliées auxtravauxprésentés.

Lessix hapitres sont a ompagnés desixappendi es, ertains ont un rle plusqu'an nexe et sont né essairesà la ompréhensionde ertainspointsdu manus rit.

L'appendi e A est une des ription des bifur ations que nous avons ren ontrées dans ette thèse (bifur ation n÷ud- ol, bifur ation four he et bifur ation d'Andronov homo line). L'a entestmissurlabifur ationn÷ud- oletlesloisd'é hellequila ara térisent. L'appendi e B introduit la fon tion d'Evans et la méthode de la matri e omposée utilisée dansle hapitreIIpour le al ul desvaleurspropres instablesde l'ESNL 1d.

L'appendi e C présente les méthodes employées dans ette thèse pour résoudrenumé riquement deséquations.Il débuteparlaméthode deNewtonetsavitessede onvergen e et s'a hèvepar l'exposéde l'algorithmedegradient bi- onjugué(BiCGSTAB)utilisé pour résoudrede gros systèmeslinéaires.

L'appendi eD on ernelestermesdebordsquenousajoutonsà ertainesfon tionnelles an de garantir que les solutions stationnaires que nous al ulons sont bien des extrema des fon tionnellesd'énergie dontelles dérivent.

L'appendi eEestunexposédétaillédu al ulde ou heslimitesdesdeuxé oulements bidimensionnelsétudiés. Nous ommençons parlaméthodede al ulgénérale,puisl'appli quonsauxdeuxsystèmesphysiquesenfon tiondes onditionsauxlimites onsidérées.Nous ferons référen e, de manière fréquente, à et appendi e, dont les expressions analytiques pourront semblerrebutantesau premier abord.

L'appendi eF,enn,estunelistedesarti lespubliésouenpréparation.Nouspré isons à quellespartiesdu manus ritils sont reliés.

Un modèle de haîne de pendules

for ée

L

e premier hapitre de e manus rit présente des modèles élémentaires de haîne de pendules ouplésquel'onfor elo alementparun ouple.Ce oupleestleparamètrede ontrledusystème.Nousétudionsdansunpremiertempsune haînedependules ouplés lassique régie par une équation de sine-Gordon (SG). Ce système physique possède une relation dedispersionave fréquen ede oupure :en dessousd'une ertaine fréquen e,les ondes sonores ne peuvent alors plus se propager. Dans un deuxième temps, nous avons modié lepotentiel sinusoïdalde l'équationde sine-Gordon defaçon à obtenir une haîne dependulesdontlarelationdedispersionneprésenteplusdefréquen ede oupure(SGm). Nosdeuxsystèmesprésentent ha ununebifur ationn÷ud- ol:endessousd'un ouple ritique,ilexistedeuxbran hesdesolutionsstationnaires(l'unestable,l'autreinstable)qui disparaissent à labifur ation. Au-delà de e ouple ritique, lesystème se met à émettre des ondes à l'inni et subit une transition à la dissipation : le système, hamiltonien, se metà rayonnerdel'énergie versl'inni. Nousavons al uléexpli itement lessolutions sta tionnaires de nos systèmes et pro édé à une analyse de stabilité linéaire de es solutions. En étudiant les lois d'é helles des omportements dynamiques au voisinage de labifur a tion, nous mettons en éviden e une diéren e de omportement selon qu'une fréquen e de oupure existait ou non dans la relation de dispersion. Dans le as de l'équation de sine-Gordon (relation de dispersionave fréquen ede oupure), on retrouve tous les om portementshabituelsd'unsystèmehamiltonien. Enrevan he,dansle asd'uneabsen ede fréquen ede oupuredanslarelationdedispersion(SGm),touten onservant ertaineslois d'é helle typiques des systèmeshamiltoniens, la haîne de pendules modiéeprésente des omportements ara téristiques dessystèmes dissipatifs: uneperturbation d'unesolution stationnairestableprésentedesos illationsamorties.Enn,une transitionà ladissipation ave hystérésisaétémiseen éviden equelle quesoit larelation dedispersion.

Le hapitre I s'arti ule omme suit. La partie I.A présente l'équation de sine-Gordon, ses solutions solitons élémentaires et leurs propriétés. La partie I.B est onsa rée à une équation de sine-Gordon que nous perturbons par une distribution delta de Dira . Nous en al ulons les solutions stationnaires, étudionsleur stabilité linéaire et en analysons les lois d'é helle dynamiques. Les mé anismes mis en jeu dans e système ont l'avantage de pouvoir être ompris au moyen de al uls analytiques. La partie I.C aborde le problème d'une haînede pendules dontnousavonssupprimé lafréquen ede oupuredelarelation

I.A Présentation du modèle de sine-Gordon

Considérons la haîne d'os illateurs ouplés suivante : haque pendule pesant est élas tiquementlié àsonvoisinpar desressorts(gureI.1). Un ouple detorsionapparaît alors lorsqueles pendules sonté artésl'un de l'autredansunplan normal àl'axe duressort.

L'équation du n-ièmependule dela haîneest donnée par

m` 2 d 2  n dt 2 = 1n + 2n (I.1) ave 1n = mg`sin n ; (I.2) 2n = [ n  n+1 ℄ [ n  n 1 ℄: (I.3) 1n

est le moment exer é par le poids du pendule n et 2n

, le ouple de torsion exer é sur e dernier par ses voisins. 

n

est l'angle de rotation du pendule n, ` la longueur du pendule, g la onstante de gravitation et  la onstante de torsion du ressort.On note a ladistan equi sépare haque pendule.

Posons! 2 0 = g ` et 2 0 = a 2  m` 2

, on obtient alors l'équation

1 ! 2 0 d 2  n dt 2 = 2 0 ! 2 0 a 2 ( n+1 + n 1 2 n ) sin n : (I.4)

Dans le as d'un ouplage fort (a 

0 !

0

= d), on peut se pla er dans l'approximation

 n+1  n z g x n n 1 a ` y

ditedes milieux ontinus,i.e.lorsque n

varielentementd'unpenduleàl'autre. Ondénit alors (x;t),pour x=na,par (x;t)=(na;t)=

n (t). Ona  n1 (t)=(xa;t) (I.5) =(x;t)a  x (x;t)+ a 2 2!  2  x 2 (x;t) a 3 3!  3  x 3 (x;t)+


(I.6) Le nombre d(= 0 !0

) peut être onsidéré omme le paramètre de dis rétisation du sys tème. Ainsi, si d  a, l'angle de rotation varie brusquement d'un pendule à l'autre et l'approximationdesmilieux ontinus ne peut êtreutilisée. En revan he,sid a, ledéve loppement pré édentest valableet l'équation dusystèmepeut seréé rire,

 2  t 2 2 0  2  x 2 +! 2 0 sin=0: (I.7)

En onsidérantdesvariablesadimensionnéesT =! 0

tetX =! 0

= 0

x,l'équationpeut alors se mettresouslaforme (en revenanten notation (t;x))

 2  t 2  2  x 2 +sin=0: (I.8)

Cette équation est appelée équation de sine-Gordon et est utilisée omme modèle de nombreux problèmes physiques, tels que le modèle de Frenkel-Kontorova en théorie des dislo ations.

Remarquons qu'en onsidérant une perturbation autour de (x;t) = 0 de la forme "exp(i(!t+kx)), onobtient,pour "petit, larelationde dispersion

! 2

=1+k 2

; (I.9)

e qui signieque e systèmede haîne de pendules ne peut pas propager d'ondes planes à une fréquen einférieure à1.

I.A.1 Quantités onservées

Lesystèmedé ritpar l'équationde sine-Gordonestunsystèmehamiltonien,réversible dansle temps t7! t, ilpeut être dé rit par ladensitélagrangienne [25℄

L = 1 2   :  + os (I.10) ave lamétrique ( g 00 =1; g 01 =0; x 0 =t; g 10 =0; g 11 = 1; x 1 =x: (I.11)

L'a tion dontdérivent les équationsdu mouvement estdonnée par

A = Z dx 0 dx 1 L = Z dt Z dx  1 2  tt  1 2  xx + os  : (I.12)

L'invarian e partranslationdansletempset translationdansl'espa edel'a tion entraîne l'existen e des ourantsde N÷thersuivants:

soit : T 00 = 1 2  ( t ) 2 +( x ) 2  os; (I.14) T 01 =T 10 = t  x ; (I.15) T 11 = 1 2  ( t ) 2 +( x ) 2  + os; (I.16)

quiont pour équations de onservation

 t T 00 + x T 10 =0; (I.17)  t T 01 + x T 11 =0: (I.18)

Ces équations traduisent la onservation de l'énergie et la onservationde l'impulsion du système.

I.A.2 Solutions kink de l'équation de sine-Gordon

Cher honsdessolutionslo aliséesdel'équationdesine-Gordonentranslationuniforme, de prol onstant.Elles sont don de laforme(s) =(x ut),ave s=x ut où u est unevitessede propagation arbitraire.Ona

 x =  s  t = u  s : (I.19)

Ainsi(I.8)devient une équationdiérentielleordinaire

(1 u 2 ) d 2  ds 2 =sin: (I.20)

Enmultipliant (I.20) par d ds

et enintégrant lerésultat,on obtient

1 2 (1 u 2 )  d ds  2 =C os; (I.21)

oùC estune onstante d'intégration, d'où

d ds = r 2(C os) 1 u 2 : (I.22)

Or, on her he une onde lo alisée; on doitdon avoir

lim s!1

d ds

(s)=0; (I.23)

Nousimposerons en plusà essolutions soit desatisfaire lim s!+1

(s)=0;soit de satis faire lim

s! 1

(s) = 0:Nous sommes onduits à hoisir C = 1 et juj <1. Les solutions de(I.20) peuventdon s'é rire

 s s 0 p 1 u 2 = Z (s) (s0) d p 2(1 os) ; (I.24)

ave s 0 = X 0 uT 0 . X 0 est la position à T 0

du entre de symétrie du kink. L'intégrale donne, ennouslimitant aux as où>0,

 s s 0 p 1 u 2 =lntan  4 ave (s 0 )=: (I.25)

Ainsi, on aobtenu une lasse de solutionsde l'équation desine-Gordon

(x;t)=4ar tan  exp   x ut p 1 u 2  : (I.26)

0

-10

-5

0

5

10

0

-10

-5

0

5

10

Figure I.2 : (a) Solitonskink et antikink statiques(u = 0); (b) Solitonskinks pour u=0,u=0;75etu=0;95.

Le signe dansl'exponentielle détermine laforme de l'onde solution del'équation de sine-Gordon. Le signe + orrespond à un soliton kink, le signe à un soliton antikink (gure I.2(a)). Remarquons que la présen e du fa teur 1=

p

1 u

2

, lorsque la vitesse du kink s'appro he de 1, entraîne un phénomène de ontra tion de type Lorentz omme le montrelagureI.2(b).

I.A.3 Propriétésdes kinks sine-Gordon

Considéronslesexpressionsdes ourantsdeN÷ther(I.14).T 00

estladensitéd'énergie. Onpeut ajouterune onstante à ette densité, pour aboutir à

E =T 00 +1= 1 2 [( t ) 2 +( x ) 2 ℄+(1 os): (I.27)

L'énergie d'un kink est don E k

= R

+1 1

E dx où estdelaforme (I.26) ; e qui donne

E k = m 0 p 1 u 2 ave m 0 =8: (I.28)

Les kinks sont des solitons à qui l'on peut asso ier une masse ee tive m 0

[26℄, une énergiede typeparti ule relativiste E

k

ainsiqu'uneimpulsion

p k = m 0 u p 1 u 2 : (I.29)

Ainsi, on alarelation énergie-impulsion

E 2 k =p 2 k +m 2 0 : (I.30)

I.B Une haîne de pendules de type sine-Gordon for ée

Dans ette partie,nousnousproposons d'étudierlesystèmedé rit par lafon tionnelle d'a tionsuivante A[℄= Z dt Z dx 1 2 ( t ) 2 E  : (I.31)

Dans ette fon tionnelle, estun hamp réelet lafon tionnelled'énergie E s'é rit

E[℄= Z dx  1 2 ( x ) 2 +(1 os) Æ(x)(x)  : (I.32)

L'équationd'Euler-Lagrangeasso iéeà(I.31),ÆA=Æ=0,donnel'équationdesine-Gordon ave un terme enÆ(x)supplémentaire

 tt

 

xx

+sin Æ(x)=0; (I.33)

ave les onditions auxlimites lim x!1  x (x)= lim x!1 (x)=0.

Onpeutseposerlaquestiondelapertinen edel'équation(I.33),dufaitdelaprésen e de la distribution Æ de Dira et de la fon tion sin. Cette distribution Æ(x) signale une

dis ontinuitéenx=0deladérivéepartielle(x;t)7 !  x

.Unedis ontinuitédelafon tion

(x;t) 7 ! (x;t) en x = 0 aurait onduit à une dérivée de Æ(x), e qui n'est pas le as i i. Intégrons ette équation selon la variable x, pour x variant de

" 2 à + " 2 . On a alors,

sa hant que l'appli ation (x;t) 7 ! (x;t) est ontinue, ainsi que t 7 !  2  t 2 (x;t) pour toutx Z + " 2 " 2  2  t 2 (x;t)dx Z + " 2 " 2  2  x 2 (x;t)dx+ Z + " 2 " 2 sin((x;t))dx Z + " 2 " 2 Æ(x)dx=0: (I.34)

Faisonstendre "vers0,on aalors

lim "!0 Z + " 2 " 2  2  t 2 (x;t)dx=0=lim "!0 Z + " 2 " 2 sin((x;t))dx; (I.35) lim "!0 Z + " 2 " 2  2  x 2 (x;t)dx=lim "!0   x (x;t)  + " 2 " 2 =   x (0 + ;t)  x (0 ;t)  ; (I.36) lim "!0 Z + " 2 " 2 :Æ(x)dx=: (I.37)

Ainsi,on ala onditiondedis ontinuité

 x (0 + ;t)  x (0 ;t)=  (I.38)

qui ompenselasingularitéÆ(x)àtoutinstantt.Dupointdevuedela haînedependules, e irevientà onsidérer un ouple de torsion onstants'exerçantsurun pendule n .

I.B.1 Solutions stationnaires

Nousnous intéressonsmaintenant auxsolutions stationnaires del'équation (I.33). On retrouvealors,ausigne près,l'équationdupendule(A.2)sans frottement,dontlavariable temporelle t a été rempla ée par la variable spatiale x, ave un terme en Æ(x) en plus. En l'absen e du Æ(x), on a un portrait de phase (;

x

) dé alé de  (gure I.3(a)). La ourbe séparant la zone où la solution est bornée de elle où la solution ne l'est plus est appelée séparatri e ou orbite hétéro line ( ar elle relie deuxpointsxes diérents duot, à ladiéren e d'uneorbite homo line quirelieun mêmepointxe).Elle orrespond àune solution kink ou antikink.

En l'absen e de ouple extérieur, la solution stationnaire vériant les onditions aux limitesestlasolutionnulle, equi orrespondàune haînedependulesoùtouslespendules sont au repos. Dès qu'on lui applique un ouple extérieur, le pendule for é s'é arte de la positionverti aleet entraîne sesvoisinspar ouplage.Àl'inni,lespendulessont aurepos et dans l'espa e des phases (spatial), ela orrespond au point (0;0) de l'hétéro line. La solution stationnaire, dans le as d'un ouple non nul, orrespond don à la réunion de deuxportionssymétriquesd'hétéro linesf(

(1) ; x  (1) )get f( (2) ; x  (2) )g rassembléesde telle sorte que

x  (1)  x  (2)

=. Cela seproduit àdeux endroits diérentsà ondition quele ouplenesoitinférieurà4(voirgureI.3).Pourl'une,lependulefor éfaitunangle inférieur à , (solution stable), l'autreun anglesupérieur à  (solution instable).

Les solutions stationnaires de (I.33) s'obtiennent analytiquement en ra ordant deux mor eaux de solitons kink et antikink statiques.Indexéespar un indi e , elless'é rivent

 

(x)=4ar tan [exp(x)℄ pour x?0; (I.39)

sa hantquela onditionde saut(I.38) imposede vérier larelation

()= 4 osh ()

: (I.40)

Cette fon tion atteint un maximum 

=4 en =0. Ainsi,pour  <4, on peut inverser larelation () en   =arg osh (   ): (I.41)

Lesdeuxsolutionsstationnaires 



(x) oïn identen=

viaunebifur ationn÷ud- ol (dontnousrappelons ladénitionenappendi e A.I).L'énergie dessolutions stationnaires 

 

(x)peut être al ulée enutilisant (I.32) e quidonne

E[   ℄=8(1+tanh  )     (0); (I.42) ave   (0)=2ar sin   et   + (0)=2 2ar sin   :

Le diagramme de bifur ation est montré sur lagure I.4, on yvoit également que les solutions stationnaires

 et

 +

sont respe tivementénergétiquement stableet instable.

I.B.2 Stabilité linéaire

Maintenantqu'ontété al ulées essolutions,étudionsleurstabilitélinéaire.Pour ela, onsidérons une perturbation dessolutions stationnaires de (I.39) delaforme

(x;t)= (x)+" (x)e i!t

 x  +2 +1 0 1 2  2  0 (a) x  solution stable solution instable 0  2 0  2  3 2 2 5 2 (b)  0 +1 +2 2 1 0  2 ( )Solutionstable  x    0 +1 +2 2 1 0  2 (d)Solutioninstable   x  pendulefor en0 z x y (e) pendulefor en 0 y x z (f)

Figure I.3:Enhaut,(a):portraitdephasedel'équationdesine-Gordon;(b):Allure des solutionsstationnaires qui peuvent être vues omme une haîne de ressorts ouplés poséesur une tle ondulée(représentantle potentiel sinusoïdal).En l'absen e de ouple, lasolutionstationnairestable estune haînesituéeaufondd'unedesvalléesdepotentiel. En imposantun ouplelo al, la haîne deressortss'é arte desa positiond'équilibre. Au milieu, représentation dans l'espa e des phases des solutions stationnaires stable ( ) et instable(d). En bas,solutionsstable (e) et instable(f)du pointde vuedela haînede pendules( f.gureI.1).

e quidonne les équations

! 2 +   xx +(2se h 2 (x) 1)  =0 pourx?0: (I.44) Le mode neutre 0

(x) (mode propre orrespondant à ! 2

=0) s'obtient aisément de la manièresuivante.Onsait que



(x)vérie l'équation(I.33)

 tt    xx   +sin  ()Æ(x)=0: (I.45)

Endérivant ettedernièreéquationparrapportàen=0,sa hantqueestunefon tion de  quiatteint sonmaximum en  =0,on voitalors que

0 (x)= d   j =0 vérie (I.44)

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

2

2.5

3

3.5

4

0

-15

-10

-5

0

5

10

15

FigureI.4:(a)Fon tionnelled'énergieE( f.équation(I.42))dessolutionsstationnaires del'équation(I.33), enfon tionde.Bran hedubas:E[



℄,bran heduhaut: E[ +

℄. (b)Solutionsstationnairesstable()et instable(---), orrespondantà=3;5.

pour ! 2

=0 et l'on a

0

(x)=2se h (x): (I.46)

Remarquons enn que

f(y)=exp( p 1 ! 2 y)[ p 1 ! 2

tanhy℄ (I.47)

est unesolution de

! 2 f +[ yy +(2se h 2 y 1)℄f =0: (I.48)

Posons pour x < 0, y = x+; en symétrisant autour de 0, on obtient alors la solution exa tede (I.44),normalisée arbitrairement,

 (x)=e p 1 ! 2 (x) h p 1 ! 2 tanh(x) i pour x?0; (I.49) ! 2 =! 2 ()= 1 2 tanh 2   1 q otanh 2 +3 ose h 2   pour ?0; (I.50)

où(I.50)estobtenueenimposantd 

(x) =dxj x=0

=0parparitéspatialedesmodespropres. Lafon tion!

2

()etquelquesmodespropres (x)sontmontréssurlagureI.5.Onpeut remarquer que !

2

possède un unique minimum ! 2 min

, que l'on peut al uler en résolvant d!

2

=d =0.Leminimumestatteinten min =argse h p 2=3qui orrespondà! 2 min = 1=3 et  min =4 p 2=3.

Les omportements asymptotiques lim

! 1 ! 2 = 1 et lim !+1 ! 2 = 0 peuvent

être aisément omprisgrâ e auxarguments quisuivent. Autourde labran he stable, loin de labifur ation,les solutionsstationnaires tendent versune haînede pendules aurepos. Une os illation en phase de haque pendule de la haîne orrespond alors à la fréquen e !

2

=1.Autourde labran he instable,loinde labifur ation,lasolutionstationnaire tend versunétatoùla haînedependulespossèdeune pairekink-antikink telleque lessolitons sont inniment éloignés l'un de l'autre. Cette onguration est stable. Ce mode propre orrespondànouveauàunmodeneutrequi hangeladistan ekink-antikink orrespondant

À labifur ation,lesmodesneutres sont lo alisés et l'onpeut passer ontinûment d'un modeproprestableàun mode propreinstableetinversement.Tous esmodespropresont une formesimilaire ontrairement à d'autressituationsque nousren ontreronsultérieure ment dans les parties I.C et II.B.3. Au voisinage de  =0, l'équation (I.50) entraîne que

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

-4

-2

0

2

4

FigureI.5:(a)Tra éde! 2

fon tionduparamètredetranslation ( f.équation(I.50)). Remarquonsl'existen ed'unminimum!

2 min

;(b)Modeproprestable( ourbe1,! 2

=0;5), modeneutre( ourbe2,!

2

=0)etmodespropresinstables( ourbes3,4,5) orrespondant respe tivement à !

2

= 0;2;! 2 min

; 0;2. Notons que les ourbes 3 et 5 orrespondent à deuxvaleursdiérentesduparamètre pourunemême valeurde!

2 .

! 2

= +o().Comme( féquation(I.41))  = p 2 Æ 1=2 +o(Æ 1=2 ),ave Æ =    , nous pouvons on lure que

! 2 = p 2Æ 1=2 +o(Æ 1=2 ): (I.51)

Cette loi d'é helle entraîne don une loi d'é helle du type j 

j 1=4

pour la période desos illationsautour de lasolution stableet pour letemps ara téristique de roissan e 2=j!j sur la bran he instable. De plus, es lois d'é helle sont typiques de bifur ations n÷ud- olhamiltoniennes ( f. A.I.1).

I.B.3 Résultats dynamiques

Dans ette partie, nous étudions ladynamique du système près des solutions station nairespar intégrationnumérique del'équation (I.33).

Les dérivées spatiales sont al ulées ave un s héma numérique de diéren es nies entrées duse ondordre. Le pasdetemps estee tuépar unalgorithme deRunge-Kutta d'ordre 4.Les al ulsindiquéspar lasuite ontétéréalisésave desdis rétisations spatiale et temporelle
x=0;01 et
t=0; 0002.

Nous avons vérié que le s héma numérique reproduit ee tivement les résultats de la se tion I.B.2 en étudiant la dynamique d'une perturbation près des bran hes stable et instable. Nous avons trouvé un ex ellent a ord entre les résultats analytiques et les résultatsnumériques.Ainsi,par exemple,surlabran hestable,à !

2

=0; 3et = 0;2778 ( f. gure I.5), paramètres qui orrespondent à () = 3; 64 (équation I.40), les résultats numériques donnent la valeur !

2 num

= 0; 301. Cette erreur inférieure de 1% est due à la dis rétisation.

Àdesvaleurssous- ritiquesde(<

l'émission à l'inni d'une paire kink-antikink ( f. gure I.6(a)). Tandis que les solitons partentversl'inni,lespendulessituésentrelesdeuxsolitonsrelaxentpuisos illentautour de leur position d'équilibrestableaugmentéede 2.

Lorsque l'on se trouve dans le régime super ritique  > 

, le système subit une transition à la dissipation : des paires kink-antikink sont émises spontanément de façon périodique ( f. gureI.6(b)).

−25

−15

−5

5

15

25

0

10

20

30

40

50

0

2

4

6

8

10

−50

−30

−10

10

30

50

0

10

20

30

40

50

60

0

10

20

30

40

Figure I.6 : À gau he (a) : nu léation d'une paire kink-antikink après perturbation d'une solution stationnaireinstable. Les deux solitons partent vers l'inni et le pendule for ésemetàos illerautourdesapositionstableaugmentéede2.Àdroite(b),émission périodiquedepaireskink-antikink pour>

0

.Cetteémissionestsous- ritique.

Cephénomène peut se omprendreaisément enprenantlemodèlede la haînede pen dules. Pour un ouple extérieursusamment fort, le pendule for é passe par la valeur . Il ee tue alors une rotation de 2, entraînant ave lui l'ensemble de la haîne. De ette façon,lesystèmeémet périodiquement despaireskink-antikink,éva uantainside l'énergie vers l'inni sous la forme de paires de solitons. Remarquons que l'énergie équivalente au travail fourni par le ouple du pendule for é (E

ouple

= 8) est stri tement plus grande que l'énergie d'une paire kink-antikink statique, qui vaut E

0

= 16 ( f. (I.28)). Ainsi par onservation d'énergie, on peut armer que la vitesse de dépla ement des solitons de la paire estnon nulle.

Nousavonsmis de plusen éviden eun résultat inattendu,montré surlagureI.7: si l'on ommen e dans le régime super ritique ( > 

) et que l'on fait dé roître le ouple , le système ontinue à émettre des solitons jusqu'à  = 

0

= 3; 888. Ainsi on a de la sous- riti alité.Lapérioded'émissiondesolitonsdivergelorsquetendvers

0 .Endessous de  0

, le système relaxe versla solution stable en n'émettant qu'une paire kink-antikink. Onpeut remarquerennqu'à=

0

, l'énergiefourniepar le oupleextérieuresttoujours supérieureàl'énergied'unepairekink-antikink statique.Lespériodesspatialeettemporelle des kink-antikink divergent toutes deux à 

0

, alors que leur vitessereste non nulle.Nous avonsvériéquelavaleur de

0

n'étaitpassensible àladis rétisation
x.

Un mé anisme pour lasous- riti alité estun s énario du type bifur ation d'Andronov homo line,quiest une bifur ationglobale ( f. appendi e A.III). Prèsde ettebifur ation, les temps ara téristiquessuivent laloid'é helle suivante :

T = 1  log (  0 )+o(log(  0 )); (I.52)

où +

estlavaleurpropreinstabledusystèmeen 0

.Cettebifur ationadéjàétéren ontrée dansdessystèmesétendus dissipatifs [15,27℄.

Nousavonsmesurélapériode d'émissiondessolitons etnousavonsfaitunajustement desrésultatsselon laloid'é helle T =+

1  th log (  0 )ave  0 =3; 888, th =0; 454 et  =15; 5, f.gureI.7.La valeurde 

+

(voirI.5(a))est 0;450, ainsi th

et +

dièrent de moinsde1%.

Cetrès bon a ordainsiquelaqualitéde l'ajustement montrésurlagureI.7sontde fortsargumentsen faveur del'hypothèse d'un mé anismede typebifur ation d'Andronov homo line pour expliquer la sous- riti alité. À notre onnaissan e, 'est la première fois qu'untel phénomène esttrouvé dansle asd'un systèmehamiltonienétendu.

5

10

15

20

25

30

35

40

3.7

3.8

3.9

4

4.1

Figure I.7:Chaînedependules.Loisd'é helledynamiquesprèsduseuildebifur ation (

= 4). (

) : temps ara téristique de roissan e 2=j!j sur la bran he instable, ():périodedesos illationsautourdelabran hestable,(( f.gureI.5(a)),}:période d'émissiondepaireskink-antikink.Les ourbesentraitplein représententdesajustements auxloisd'é hellej 

j 1=4 et log(  0

),voirtextesousl'équation (I.52).

I.B.4 Dis ussion

Nous avonstrouvéau seuil de labifur ation n÷ud- ol (=

) une loi d'é helle pour les valeurs propres instables du problème linéaire du type 

I  ( ) 1=4 . Cette loi d'é helle peut être retrouvée au travers de la forme normale de la bifur ation n÷ud- ol hamiltonienne( f. appendi e A.I.1)qui s'é rit

m e  Q=Q 2 Æ: (I.53)

Lesparamètresapparaissantdans(I.53)peuventêtredéterminésparles onsidérations quisuivent.É rivonslaformenormale souslaforme m

e  Q= V Q , oùV(Q;Æ)= Q 3 3 ÆQ+V 0

+Æ, lessolutions stationnaires sont alors Q  =(Æ=) 1=2 .Ainsi V(Q  ;Æ)= 2Æ 3=2 1=2 +V 0 +Æ; (I.54)

En omparant (I.54)ave d'unepartle développement asymptotiquede (I.42) E(   )=4[2 +Æ 4 3 Æ 3=2 ℄ (I.55) où Æ =   

, et d'autre partave l'équation (I.51), on trouve m e

=1 et  =1=2.Cette forme normale peut également être expli itée en utilisant une appro he de type oordon nées olle tives[28℄dé ritedansle paragraphe suivant.

Considéronsl'ansatz suivant

(x)=4ar tanexp((t)x) pour x?0: (I.56)

En leréinje tantdansl'expression dulagrangien del'a tion I.32, onaboutit à

L[; t ℄= Z R dx  2 _  2 se h 2 (x+) 2se h 2 (x+) (1 os))  + Z R + dx  2 _  2 se h 2 (x ) 2se h 2 (x ) (1 os))  +4ar tanexp; (I.57) sa hantque

1 os(4ar tanexpy)=2se h 2 y: (I.58) Onse retrouve ave L[; t ℄=2(2 _  2

4)(tanh+1)+4ar tanexp (I.59)

=L(; _

): (I.60)

On adon transformé notre densitélagrangienne en unlagrangien d'un systèmepon tuel de oordonnées(;

_

).C'est e quel'onappelle laméthodedes oordonnées olle tives.Les équations de Lagrange pour  s'é rivent 

 L d dt  _  L=0, 'est-à-dire 4  (1+tanh)+(2 _  2 4)se h 2  se h=0 (I.61)

On sepla eprès dela bifur ation,don 1 et en é rivant =4(1 Æ)ave Æ 1,on se retrouve ave ,après onservation destermesdominants

  =Æ  2 2 (I.62)

qui est la forme normale de notre système. Cette appro he donne la bonne forme nor male, en revan he elle utilise un ansatz dis utable, ar elui- i ne satisfait pasles bonnes onditions de dis ontinuité en0.

I.B.5 Con lusion

Nousavonsmisen éviden eun phénomènede sous- riti alitédont lesdeuxseuils sont elui d'unebifur ation n÷ud- olhamiltonienneet elui d'unebifur ation homo line d'An dronov.Cettedernière estune bifur ation globale qui nepeut don pasêtre al ulée ave

I.C Étude d'une haîne de pendules généralisée

Nous venonsde voir, en I.B, qu'une haîne de pendules perturbée par un ouple lo al était soumise à une bifur ation n÷ud- ol hamiltonienne. Le ara tère hamiltonien a été ara térisénotamment par ses loisd'é hellestypiques de systèmesréversibles.Au-delà du seuildebifur ation n÷ud- ol, a lieuune transitionvers ladissipation.

Dansl'arti le[10℄,lesauteursonttrouvé,pourunautresystèmehamiltonien,unetran sitionàladissipation,quisurvenaitlorsd'unebifur ationn÷ud- ol ettefois- idissipative. Sanaturedissipative aaussiétémiseenéviden eau traversdesloisd'é helle ren ontrées. Une origine possible de es omportements réversible et irréversible pourrait résider dans la diéren e entre les relations de dispersion des deux systèmes, ar l'un possède une fréquen e de oupure (la haîne de pendules), l'autre non (le superuide). Ainsi, en présen ed'une fréquen ede oupure, au une onde sonore ne peut sepropager en dessous d'une ertainefréquen e.Lesystèmeétudiédanslaréféren e[10℄,quantàlui,possèdeune relation de dispersionsans fréquen e de oupure. La dynamiquedu système se ouplerait alors ave une émissiond'ondes quijouerait lerled'un amortissementee tif.

Nousnousproposons detester ettehypothèsedanslasuitede e hapitre,enétudiant une haînede pendules généralisée dont lafréquen e de oupure est variable et peut être miseàzéro.

I.C.1 Dénition du système

Dans ette partie, nous onsdérons le système déni par la fon tionnelle d'a tion sui vante A[℄= Z dt Z dx 1 2 ( t ) 2 E  : (I.63)

Dans ette équation, estun hampréelet lafon tionnelle d'énergies'é rit

E[℄= Z dx  1 2 ( x ) 2 +V() Æ(x)(x)  ; (I.64) où V()= A 4 (1 os)+ B 4 (1 os) 2 : (I.65)

A et B sont des nombres positifs ou nuls. Ce potentiel possède la même allure qu'un potentiel sinusoïdal (il est 2-périodique). On retrouve dans le as (A;B) = (4;0), le potentielsinusoïdaldesine-Gordonétudiépré édemment.Pour(A;B)=(0;4),lepotentiel se omporteauxminimaen( 

min )

4

, equiapoureetd'enleverlafréquen ede oupure delarelation de dispersion( f. infra).

L'équation d'Euler-Lagrange asso iée à (I.63),ÆA=Æ=0, donne l'équation

 tt   xx + V  Æ(x)=0; (I.66)

quenousétudieronsen onsidérantles onditionsauxlimiteslim x!1  x (x)=lim x!1 (x)= 0,et oùla ondition desaut

 (0 +

devra êtrevériée ande ompenser lasingularité Æ(x)à toutinstant t.

Remarquons que, pour  = 0, on obtient, par linéarisation de l'équation autour de =0,larelation dedispersion ! 2 =A=4+k 2 (I.68)

qui possède une fréquen e de oupure A=4 que l'on feravarier à loisir. Pour A non nulle, le systèmenepeut propagerd'ondes à une fréquen einférieureà !

0 =

p A=2.

I.C.2 Solutions stationnaires

Lessolutionsstationnairesde(I.66)sans lepotentieldeltapeuventêtre al uléesanaly tiquementpar quadrature[29℄.Dans es onditions,lessolutions stationnairesvérient

 xx  V  ()=0: (I.69)

Après multipli ation par  x

et intégration selon x en tenant ompte des onditions aux limites àl'inni, onestamené à résoudrel'équation

1 2 ( x ) 2 V()=V((+1)); (I.70)

qui serésout par séparationdesvariables.Considérons

F(x)=ar os " 2(A+B)tanh 2 ( p Ax=2) A 2Btanh 2 ( p Ax=2)+A # ; (I.71)

alors une solutions'é rit

(x)=F(x) pour x60; (I.72)

(x)=2 F( x) pour x>0: (I.73)

Pour trouver les solutions de l'équation(I.66) ave le potentiel delta, ilsut alors de re oller deuxmor eaux de esdernières solutions.On obtientalors lafamille de solutions indexées par leparamètre  suivante

 

(x)=(x); pour x?0: (I.74)

La onditionde saut(I.67) imposelarelation

  ()=2= p Aargtanh A(1+S()) 2(A+B) 2BS() ; (I.75) ave S()=1=2B h A+2B p A 2 +2B 2 i : (I.76)

Onpeut inverser larelation (I.75)en

2



2 

ave U()= 2(A+B)tanh 2 ( p A=2) A 2Btanh 2 ( p A=2)+A : (I.78)

Cettefon tion atteintsonmaximum 

=2(A+2B)

1=2

en=0.En

lesdeuxsolutions stationnaires oïn ident par bifur ationn÷ud- ol.

Dans toutelasuite,nousétudierons le as (A;B)=(0;4) orrespondant au potentiel

V()=(1 os) 2

: (I.79)

Cepotentielpermetde onserverlamêmeformedepotentielextérieurque eluidesine-Gordon à e i prèsqu'on aannulélafréquen e de oupure delarelation de dispersion.

I.C.3 Cas d'une relation de dispersion sans fréquen e de oupure

Dans le as (A;B) = (0;4), les solutions stationnaires de (I.66) sont, en l'absen e de potentiel delta

(x)=+2ar tan ( p

2 x): (I.80)

Ainsi que nous l'avons déjà fait pré édemment, pour trouver les solutions de l'équation (I.66),ilsut de re oller deuxmor eaux dessolutionspré édentes; onobtient ainsi

  (x)=+2ar tan h p 2 (x) i x?0; (I.81)

où(I.67) impose larelation

()= 4 p 2 1+2 2 : (I.82)

Cettefon tion atteint sonmaximum  SGm =4 p 2 en  =0. Ainsi, pour  < SGm , () peut être inversée en

  = r  SGm = 1 2 : (I.83)

Lesdeuxsolutionsstationnaires 

(x)disparaissentà SGm

,viaunebifur ationn÷ud- ol omme indiquépré édemment.

L'énergiedessolutionsstationnaires 

(x)peut-être al uléeenutilisant(I.64), equi donne E[  ℄=4= p 2   8= p 2 2  ar tan q  SGm = 1 q  SGm = 1; (I.84)

Lediagrammedebifur ationestmontréàlagureI.8oùl'onpeutobserverquelessolutions stationnaires 

 et



-10

-5

0

5

10

15

20

0

1

2

3

4

5

6

0

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

Figure I.8:(a)Tra éde lafon tionnelled'énergieE ( f.équation(I.84))dessolutions stationnairesde (I.66) en fon tion de  dans le as (A;B) = (0;4). Bran he inférieure : E[



℄, bran he supérieure : E[ +

℄. (b) Solutions stationnaires stable () et instable (---) orrespondantà=4.Ces solutionsdé roissentàl'inni pluslentement(defaçon algébrique)quelessolutionsstationnairesdela haînedependulesdesine-Gordon( f.gure I.4(b))quitendentexponentiellementàl'inni vers0(voiréquations(I.80)et (I.39)).

I.C.3.a Stabilité linéaire

Maintenant que nous avons al ulé les solutions stationnaires du système, on peut maintenant étudierleurstabilitélinéaire.Pour ela,linéarisons(I.66)autourdelasolution stationnaire donnée par l'équation(I.81) ave uneperturbation delaforme

(x;t)= 

(x)+" (x)e i!t

: (I.85)

Ontrouve alors une équationpour (x)

! 2 +   xx 4 6(x) 2 1 (2(x) 2 +1) 2  =0 x?0: (I.86)

En prenant ladérivée selon  de(I.81) en =0,nousobtenons, omme en I.B.2, lemode neutre (! 2 =0) 0 (x)= 1 1+2x 2 : (I.87)

Analysonsl'équation (I.86).Àl'inni, le systèmeestéquivalentà l'équation

! 2

+ xx

=0: (I.88)

Un mode propre stable ( orrespondant à ! 2

> 0) ne peut don être lo alisé, ar elui- i os illespatialement.Cerésultatseraàmettreenrapportave lerésultattrouvéen[30℄,que nous présenterons au hapitre suivant. En revan he, le mode propre instable est lo alisé. Nouspouvonsmêmeendonnerl'allureprèsdelabifur ation.C'est e quenousprésentons maintenant.

Nous her honsàprésentdesmodesproprestemporellement roissants(! 2

<0)autour de la bran he instable. Les orre tions à !

2

en  & 0 peuvent être al ulées en utilisant la méthode usuellede perturbation en mé anique quantique[31℄. Pour  petit, l'équation (I.86) peut êtreé ritepour x?0sous laforme

! 2 =   xx +4 6x 2 1 (2x 2 +1) 2  +4   12x (2x 2 +1) 2  8x(6x 2 1) (2x 2 +1) 3  (I.89) =H +V 0 ; (I.90)

ainsi ! 2 = < 0 jV 0 j 0 > < 0 j 0 > = 16 p 2  : (I.91)

Commeon a surlabran he instable  + =(Æ=2) 1=2 +o(Æ 1=2 ),ave Æ=( SGm ) = SGm , on peut en on lure que la valeur propre suit une loi d'é helle en j 

SGm

j 1=4

. Cette loid'é helleestdiérente de ellequel'on trouveradansle hapitre suivantsurl'équation de S hrödinger non linéaire, où l'on a plutt une loi d'é helle du type ra ine arrée de l'é artau seuilÆ. An d'allerau-delà de ette théoriede perturbation,nousavonsintégré aumoyend'un algorithme symple tique,dé rit en[32℄, l'équationlinéaire

! 2 +   yy 4 6y 2 1 (2y 2 +1) 2  =0 (I.92)

obtenue àpartir de (I.86) autraversd'un hangementde variabley=x+, x<0. En partant de la variété instable y[ A℄ = ", y

0

[ A℄ = "! en x = A susamment grand, nousavonstrouvé lemaximum y(x) en x=. Cet algorithme nousa ainsipermis detrouver lafon tion !

2

(),tra ée surlagureI.9ainsiqueles modespropres (x). Ces modes propres sont tous lo alisés et dé roissent exponentiellement à l'inni, alors que le mode neutre dé roît lui de manière algébrique : nous avons une divergen e de la taille ara téristique desmodes propres à mesure quel'on se rappro he de labifur ation. Nous retrouverons ette propriétédansle hapitre suivant,dansle asd'unsuperuide (neutre) 1d traversé par unobsta le.

-1

-0.9

-0.8

-0.7

-0.6

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

-4

-2

0

2

4

Figure I.9 : (a)Tra é de! 2

en fon tion duparamètre detranslation  superposé au résultatperturbatif(équation(I.91));(b)Modeneutre(!

2

=0)etmodespropresinstables orrespondantà!

2

= 0;25et ! 2

= 0;64.

I.C.3.b Résultats dynamiques préliminaires au voisinage de la bifur ation

Nous présentons dans ette partie les résultats préliminaires d'une étude numérique de la dynamiquedu système autour de la bifur ation. Nous avons ommen é par étudier la dynamique de notre système au voisinage des solutions stationnaires par intégration numérique de l'équation (I.66) pour (A;B) = (0;4). Les dérivées spatiales sont al ulées ave un s hémanumérique dediéren esnies entrées duse ond ordre. Lepasde temps est ee tuépar un algorithme symple tique [32℄. Les al ulsindiqués par lasuite ont été

En étudiant ladynamiqued'une perturbation près de la bran he instable,nous avons onstatéqueles hémanumériquereproduitqualitativementlesrésultatspré édents.Ainsi, parexemple,surlabran heinstable,à! = 0;656i (ave i

2

= 1)et = 0; 10( f.gure I.9),paramètresqui orrespondentà()=5; 60(équation(I.82)),lesrésultatsnumériques donnentlavaleur!

num

=0;724i.Cetteerreur,del'ordrede10%,estdueàladis rétisation. Nousavonsmesuréletauxde roissan e( 'est-à-direlavaleurpropreinstable= i!) de essolutionsinstables.Prèsdelabifur ation, ettevaleurpropresuituneloid'é helle en l'é art auseuilpuissan e1=4 (loi d'é hellehamiltonienne). Cerésultatest présentésur lagure I.10(a): près delabifur ation 

4

dé roîtlinéairement vers0.

I.C.3.b.1 Modes propres stables Nous avonsexpliqué en I.C.3.a pourquoi l'on ne pouvaitavoirdemodespropresos illantsautourdelabran hestable, ar eux- ineseraient pas lo alisés. Il s'agit de nuan er e propos. Nous avons étudié la dynamique de notre système près de la bran he stable, et, à la diéren e de la se tion I.B.3, nos premières simulationsnumériquesmontrentquelesystèmeneprésentepasd'os illationsautourdela solution stable,maisdesos illationsamorties ("e

i!t rt

ave r>0).Nousavonsmesuré les pulsations (!) de es os illations ainsi que les taux de dé lin (r) et trouvé pour lois d'é helle que! Æ

1=4

(loi d'é helle hamiltonienne)et quer suitune loid'é helleatypique linéaire en l'é art auseuil. Tous esrésultats sontmontréssurla gureI.10(a).

Ilseraitintéressant dedéterminer esmodesproprespar des al ulssemblablesà eux utilisés pour le al ul desétats de Gamov [33℄.Une telle étude estlaissée pour un travail ultérieur.

I.C.3.b.2 Problème de la sous- riti alité Nos premiers résultats suggèrent l'exis ten e, de même qu'en I.B.3, d'un phénomène d'hystérésis montré sur la gure I.10(b) : si l'on ommen e dans le régime super ritique ( > 

SGm

) et que l'on fait dé roître le ouple , le système ontinue à émettre des solitons jusqu'à =

0 SGm

=5;4. Ainsion a de lasous- riti alité.La période d'émissionde solitons divergelorsque tend vers

0 SGm . En dessousde  0 SGm

, lesystème relaxevers lasolutionstable enn'émettant qu'une paire d'ondes solitairessemblablesàdespaireskink-antikink.Lespériodesspatialeet temporelle des pseudo kink-antikink divergent toutes deux à 

0 SGm

, alors que leur vitesse reste non nulle.Cephénomène n'est passensible à ladis rétisationde notresystème.

I.C.4 Con lusion

En modiant le potentiel sinusoïdalde l'équation de sine-Gordon pour obtenir un po tentiel de la forme (I.65), nous avons pu obtenir la relation de dispersion (I.68) dont la fréquen e de oupure estvariable. Lessolutions stationnaires peuventêtre al ulées defa çon analytique(équations(I.39)et (I.74))ainsiqueleurdiagrammede bifur ation(gures I.4 et I.8) dans le as sans fréquen e de oupure. On a montré qu'une délo alisation des modespropresinstablesseproduisaitdansle asd'unerelationdedispersionsansfréquen e de oupure. Ce résultat sera à omparer ave elui trouvé en II.B. De plus, des perturba tions dessolutionsstationnairesstablesos illentens'amortissant.Toutengardantdeslois d'é helles ara téristiquesd'unebifur ationn÷ud- olhamiltonienne, lesystèmemanifeste des omportements propres aux systèmes dissipatifs. Le système onserve néanmoins la propriété d'une transitionà ladissipationave hystérésis.Cela nesera plus le asen II.B (superuideneutre).

 SGm (a)  ! 4 r(10)  4

0

0.5

1

1.5

2

2.5

5.1

5.2

5.3

5.4

5.5

5.6

5.7

0

1

2

3

4

5

6

7

8

5.2

5.4

5.6

5.8

6

6.2

6.4

6.6

Figure I.10 :Chaînede pendules généralisée.(a):Pulsationàlapuissan e4(! 4

)des os illationsamortiesautourdelabran hestable,tauxd'amortissementautourdelabran he stable (r) et valeurpropreinstableàlapuissan e4(

4

)(voirtexte).Letauxdedé lin r aété multipliépar10 pourplusde lisibilité.On remarqueralavariationlinéaireprès du seuildesquantitésmontrées.! etvarientainsi ommel'é artauseuilàlapuissan e1=4 onformémentàlanaturehamiltoniennedusystème.(b):Enfon tiondu ouple,période (!

1

,)desos illationsamortiesautourdelabran hestable,temps ara téristique( 1

, M)de roissan ed'un ve teur propreinstableet période d'émission d'ex itations(T,Æ) : lesystèmeprésente unehystérésis.