Denis Mariano-Goulart

(1)

ECOLE CENTRALE DE MARSEILLE TOMOGRAPHIE MEDICALE

Denis Mariano-Goulart

Faculté de médecine & CHRU de Montpellier

http:\\scinti.etud.univ-montp1.fr

(2)

FONCTIONNELLE

Imagerie médicale

ANATOMIQUE METABOLIQUE

IMAGERIE TRACEURS RADIOACTIFS SCINTIGRAPHIE DIAGNOSTIC THERAPIE RIA DOSIMETRIE

ECHO

TDM

IRM SPECT = TEMP gamma CT

PET

IRM

_f

SPECT

(3)

I

₀

X X

Scanner X = Computed Tomography

dx

I

I-dI

E _X

n/cm interactio

d' é probabilit dx

I

dI

µ = -

(4)

I

₀

X X

Scanner X = Computed Tomography

INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D

-

hf -

X

= E

Z ρ dx

I-dI

ρ , Z E _X

-

E

X

Z ρ

X

E

^'

<

3 X

3 PE E

. Z µ ∝ ρ

ρ

C ∝ µ

Atténuation photo-électrique

Atténuation Compton

keV 50 E

si

surtout

_X

>

g cm / ρ) log(µ ²

keV 50 E

keV 10 si

surtout <

_X

<

C PE

1

cm

-

dx I dI - µ =

I

(5)

I

₀

=100

X X

I = 60

Scanner X = Computed Tomography

ρ

∝

= dx I dI µ -

e x

I I

I dx

dI _.

. 0 ^µ

µ ⇒ = ⁻

−

=

dx

I

I-dI

ρ , Z

E _X

(6)

I

₀

=100

X X

I = 60

Scanner X = Computed Tomography

e x

I I

I dx

dI _.

. 0 ^µ

µ ⇒ = ⁻

−

=

∑ ⁼

=

∑ ⇒

= ⁻

I I p d

e I

I ₀ ^d

ⁱ

_i 1 ln ⁰

µ µ

mesure

?

d

2 n

1 µ ... µ

µ

p = + + +

ρ

∝

= dx I dI µ -

p

(7)

I

₀

=100

X X

I = 60

Scanner X = Computed Tomography

90 90

e x

I I

I dx

dI _.

. 0 ^µ

µ ⇒ = ⁻

−

=

∑ ⁼

=

∑ ⇒

= ⁻

I I p d

e I

I ₀ ^d

ⁱ

_i 1 ln ⁰

µ µ

mesures

?

d

2 n

1 µ ... µ

µ

p = + + +

' n '

2 '

1 µ ... µ

µ

p' = + + +

…

ρ

∝

= dx

I

dI

µ -

(8)

I

₀

=100

X X

Scanner X = Computed Tomography

d

°

=

= ∑ ^r ^µ ^, ⁱ ⁰ ^- ³⁶⁰

p _j

j

j i, i

i projection la

à j pixel du

on

contributi

r _i, _j =

(9)

γγγγ p

γγγγ

a

_i

2D

Single Photon Emission CT

γγγγ γγγγ

9943

Tc

vecteur

marqueur

°

=

= ∑ ^r ^a ^, ⁱ ⁰ ^- ³⁶⁰

p _j

j

i,

i

(10)

γγγγ γγγγ

a

_i

3D

Tomographie par Emission de Positons

p

γγγγ γγγγ

18 9

F

188

O _j

j

j i,

i r a

p ⁼ ∑

(11)

I

₀

X X

p

γγγγ γγγγ

γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

µ

_i

a

_i

a

_i

2D 2D 3D

Tomographie: problème inverse linéaire

j j

j i,

i r a

p ⁼ ∑

CT SPECT PET

(12)

φ

s

p(s, φ ,z, θ ) : plans

p(s, φ ) : lignes

Codage en tomographie 2D et 3D

p

x₁

x₂

(13)

Modélisation analytique

( ) ( ^ω ^ω ) ^φ

φ

d x . ,

p x

p) (R

π

0 ∫ =

⊥

∗ r = r r r

s

₁

ω ^r ⊥ x r

s

₃

s

₂

( ) ( )

Rf p

=

+

=

= ∫

^⊥

p

dt ) t f(s

s p s

,

t

ω ω

ω ^r

_ω^r

^r

x1 x2

s t

f

cos sin

- ω

φ

φ ^r

 =



 



 φ

x

2

.

r

_⊥

r

= ω s

Natterer F. The mathematics of computerized tomography. New York: Wiley; 1986.

transformée de Radon

rétroprojection = épandage

x r

(14)

Modélisation algébrique

f

₁

f

₄

f

₃

f

₂

p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

p

₂

= r

_2,3

f

₃

+ r

_2,4

f

₄

p

₃

= r

_3,1

f

₁

+ r

_3,3

f

₃

p

₄

= r

_4,2

f

₂

+ r

_4,4

f

₄

 







 







 =

 





 









 







 





4 3 2 1

4,4 4,3 4,2 4,1

3,4 3,3 3,2 3,1

2,4 2,3 2,2 2,1

1,4 1,3 1,2 1,1

p p p p

f f f f . r

r r r

r r r r

p f

R. r r

=

r_i,j = % du pixel j intersecté par la projection i

b

₁

= r

_1.1

p

₁

+ r

_3,1

p

₃

p

₁

p

₂

p

₄

b

₂

= r

_1.2

p

₁

+ r

_4,2

p

₄

b

₃

= r

_2.3

p

₂

+ r

_3,3

p

₃

b

₄

= r

_2,4

p

₂

+ r

_4,4

p

₄

p

₃

 







 







 =

 





 









 







 





4 3 2 1

4,4 3,4 2,4 1,4

4,3 3,3 2,3 1,3

4,2 3,2 2,2 1,2

4,1 3,1 2,1 1,1

b b b b

p p p p . r

r r r

r r r r

b p

R. t

r r

=

(15)

Projection / Rétroprojection

p f

R. r r

= ^t R. p b

r r

=

f

p

b

p

(16)

Théorème de la projection

s t

f

( ) ^s ^f(s ^t ⁾ ^dt

p

t

∫ ⁺

= ω ^⊥ ω

ω

r

( ) ⁼ ∫ ( ) ⁻

s

i.s. ds .e

s p σ

pˆ _ω ^r _ω ^r ^σ

( ) ^σ ^f(s ^t ⁾ ^e ^dt ^ds

pˆ

s

i.s.σ t

∫ ∫ ^⊥ ⁺ ⁻

= ω ω

ω

r

( ) ^σ ⁼ ∫∫ ^f( ^x ⁾ ^e ⁻

^⊥

^d ^x

pˆ r ^i.σ ^x ^r ^. ^r r

r ω

ω

( ) ( ⁼ ^φ ^φ ) ⁼ ( ) ^ω ^⊥

ω

r

r σ fˆ σ.cos , σ.sin fˆ σ.

pˆ

cos sin

- ω

φ

φ ^r

 =



 



 φ

x r

Johann Radon, ¨ Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten, Ber. Verh. Sach. Akad. 69 (1917), 262–77.

x2

x1

J. Radon

(17)

i j

s t

f

ω ^r ⊥

( ) ⁼ ( ) ^ω ^⊥

ω

r

r σ fˆ σ.

pˆ

ξ

₁

ξ

₂

σ t

ω ^r ⊥

( ) ^s

p _ω ^r ^s ^pˆ _ω ^r ( ) ^σ

σ T F

T F

R

^||

fˆ

Interprétation (I)

(18)

Interprétation (II)

?

( ) ^s

p _ω ^r pˆ ω ^r ( ) ^σ

T F

T F R

||

f

( ) ⁼ ( ) ^ω ^⊥

ω

r

r σ fˆ σ.

pˆ

fˆ

ω ^r

⊥

σ.

(19)

Interprétation (II)

( ) ⁼ ( ) ^ω ^⊥

ω

r

r σ fˆ σ.

pˆ

( ) ^s

p _ω ^r pˆ ω ^r ( ) ^σ

T F

T F R

||

f fˆ

ω ^r

⊥

σ.

(20)

Rétroprojection filtrée (I)

( ) ^x ⁼ ∫∫ ^f ( ) ^ξ ^e ^d ^ξ

f ⁱ ^x ^. ^ξ

r ) r

r ^r ^r

( ) ∫ ∫ ( )

=

+∞

=

−∞

=

⊥

^⊥

= ^π

0 σ σ

. σ

i σ dσ d

σ e fˆ x

f

φ

ω φ

ω ^r ^r ^x ^r r

( ) ∫ ∫ ( )

=

+∞

=

−∞

=

⊥

π

0 σ σ

σ .

i dσ d

σ e pˆ

x f

φ

ω ^r σ ω ^r ^x ^r φ r

[ ^pˆ ^r ^. ^abs ] ( ) ^r ^. ^x ^r

TF _s ⁻ ¹ _ω ω ^⊥

||

( ) ^x ^(R ^p ⁾ ( ) ^x

f r _∗ ^f r

=

ω f ^r

p

J. Radon

ξ

₁

ξ

₂

σ φ

ξ 1

ξ 2

φ

d σ φ ^. σ ^d φ ^d σ

(21)

Rétroprojection filtrée (II)

ω ^r

p

ω ^r

pˆ abs

x

[ ] ^f

1 s pˆ . abs p

TF ⁻ _ω ^r = _ω ^r ^s

¹

s

₂

s

₃

Projections sur 180°

x

2

.

r

_⊥

r

= ω s

( ) ^x ^(R ^p ⁾ ( ) ^x

f r _∗ ^f r

=

(22)

r) 2

(kπ 1

- ∆ ^{k impair}

0 ^k ^≠ ^{0 pair} r) 2

4(

∆ 1 ^{k = 0}

RL(k. ∆ r) = 2

f e r 2.∆

m 1

f = =

f m

( ) ( ) ( )

2 2

m m

m

2π x

x 2π f

cos 1

πx

x 2π f

sin x f

RL = − −

Rétroprojection filtrée (III)



 



= 

∆ 0

2,5 - 1 2,5 1

- 1 0 : filtre le obtient on

2, r 1 pour Exemple

[ ]

RL p

p

abs . pˆ TF

p

f

1 s f

∗

=

= ⁻

ω ω

r r

r

(23)

0 0

0

0 0 0

45

15 45 90

15 60 5 5

5 5

20

5

20

20 15 60 15

10 10

25



40



 



 −

= 3

1 1 3 - 1 Filtre

Rétroprojection filtrée (IV)

45

90

(24)

Rétroprojection filtrée (V)

p

R ^∗ ^R ^TF s ¹ [ ^pˆ ^. ^abs ]

−

∗

(25)

Algebraic Reconstruction Technique (I)

∆

₁

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

∆

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

f

₁

f

₂

r_1,2 r_1,1 r_2,1

r_2,2

f

₁

f

₂

∆

₁

∆

₂

 





 





1,2 1,1

1

r

ω ^r r

1

f

n ⁺

r

 





 





n 2

n 1 n

f f f d r

r

Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.

S. Kaczmarz 1895-1940

On construit une suite de coupes en projetant chaque itéré sur l’un puis l’autre hyperplan.

f

n

r

(26)

Algebraic Reconstruction Technique (II)

∆

₁

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

∆

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

f

₁

f

₂

r_1,2 r_1,1 r_2,1

r_2,2

1 n 1

1 n

ω d ω

f

f r

r r

r

⁺

= +

2 1 1

1n n 1

1

n

ω

ω p f p

f r

r r

r

⁺

= + −

) p p

( f

f

ⁿ ⁺ ¹

=

ⁿ

+ R

^* ₁

−

₁ⁿ

r r

f

₁

f

₂

∆

₁

∆

₂

 

 





1,2 1 1,1

r ω ^r r

1

f

n ⁺

r

 

 





2n 1n

n

f

f f d r

r

1

1 n

1

ω

ω . f

p

d r

r r

= −

n

p

1

Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.

S. Kaczmarz 1895-1940

(27)

0 0

0

0 0 0

45 45 - 0

45 90

45 - 0 = 15 + 15 + 15

90 - 0 = 30 + 30 + 30 15 15

15 15

30

15

30

30 45 90 45

-15 30 -15

60 60 60

-

10 10

25

25 25 40

) p p

( f

f ⁿ ⁺¹ = ⁿ + R ^* ₁ − ₁ⁿ r

r

Algebraic Reconstruction Technique (III)

(28)

) f ( ).

f / p ( )

p ( )/

f ( ).

f / p ( )

p / f (

r r r

r r r r

r r

Ρ Ρ

= Ρ

Ρ Ρ

= Ρ

Bayes :

[ ^log ⁽ ^p ^/ ^f ⁾ ^log ⁽ ^f ⁾ ]

min arg

f

~

f

r r r

r

r − Ρ − Ρ

=

Adéquation aux données

! p

~ p log e

i p i

~p

i

i i

∏

−

∑ ∑

∑

⁼

=

+ =

^P

l

N

s

n s s l

l i

P l

l

i

l

r f

r p

r

¹

1 , ,

1 '

,'

. 1 n f i 1 n f i

Dempster A et al. Maximum likelihood from incomplete data via the EM algorithm. J R Stat Soc 1977;39:1-38. Hudson H et al. .Accelerated image reconstruction using ordered subsets of projection data. IEEE Trans Med Imaging 1994;13:601-9.

MLEM et OSEM

 

 



∗



p

R p

_n

l

f

₁

f

₂

∆

₁

∆

₂

∆’

₂

OSEM

(29)

p . R r

d r ⁰ r ⁰ ^* r

=

j

* j

j 2 j

d .R.

R d

ω r r r

r

=

j j

j 1

j f ω . d

f

r r

r ⁺ = +

j

* j

j 1

j r ω .R .R. d

r

r r

r ⁺ = −

j j 2

1 2 j 1

j 1

j . d

r r r

d

r r

r

r r ⁺

+

+ = +

2 C

f

p - f min R

f arg r r

= ∈

Initialisation :

Gradient Conjugué

Gilbert P Iterative methods for the three-dimensional reconstruction of an object from projections. J. Theor. Biol. 1972; 36:105-17

(30)

Exemples

MLEM Gradient Conjugué

6 200 6 16

(31)

G. Hounsfield 1919-2004

J. Radon 1887-1956

S. Kaczmarz 1895-1940

( ) ^σ ^fˆ ( ) ^σ. ^θ

pˆ _θ

r

r =

$

(32)

Approche intuitive (I)

f

₁

f

₂

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

f

₁

f

₂

∆

₁

∆

₁

∆

₂

∆

₂

(33)

64² = 4 096 128² = 16 384 256² = 65 536 512² = 262 144

f

₁

f

₂

∆

₁

∆

₂

f

₁

f

₂

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

∆

₁

∆

₂

Approche intuitive (II)

(34)

Exemple



 









 







=



 









 









 









 







=



 









 







31 33 23 32

1 1 1 1

10 9

5

7 9 10

6

8 5 6

5

7 7 8

7

10 1 1 1 1 R.

 







 







 =

 





 







 −







 





30,9 33,1 22,9 32,1

1 , 1

5 , 4 12,6 -

9,2 10

9 5

7 6 10 9 8 5 6 5 7 7 8 7 10

 







 







 =

 





 







−

 





 





31,1 32,9 23,1 31,9

1 , 3

5 , 2 14,6

7,2 - 10 9 5

7 6 10 9 8 5 6 5 7 7 8 7 10

{ } ( ) ³⁰²⁹

01 . 0

29 , R 30

30,29

3,86;

0,84;

0,01;

Sp(R) ≈ ⇒ κ ≈ ≈

Matrice de Wilson

1 Det =

( )

R R de propres valeurs

où

R

. R κ R

t min

1 max

=

= ⁻

µ

µ µ

La matrice de Wilson est très mal conditionnée ( κ >>1)

(35)

En continu : , R bijectif d’inverse continue (conditions d’Hadamard).

En discret, les choses sont moins simples :

R surjectif ?

R injectif ? : choix parmi les solutions possibles

R ^-1 continue mais ^||R

^-1

|| grande :

2 C

f t

t

R.R f A f R. p q f arg min p R f

r r r

r r

r = = = ⇐ = −

∈

( ) ^R ^R ^R ¹

κ

min 1 max

-

= >>

= µ

µ

( )

( ) ^ ^ ^



 



 +

≤ −

R δR p

δ p

R R δR 1 κ

R κ f

δ f

r r r

r

Problème d’Hadamard bien posé ?

( ) ⁼ ( ) ^ω ^⊥

ω

r

r σ fˆ σ.

pˆ

(36)

Gradient conjugué , Approximation de Galerkin

dont le spectre CV vers celui de R: estimation de κ (R) qui borne l’erreur sur la solution et le spectre

Estimation de κ (R)

 





 





+

−

− +

−

1 j

1 j j

1 j

1 j 0

0 1

0 0

0 0 0

ω β ω 1 ω

0 β 0

ω 0 β

ω 0 β ω 1 ω

β

0 ω 0

β ω

1 O O

O

j

* j

j 2 j

d .R.

R d

ω r r r

r

=

₂

j 1 2 j j

r β r r r

₊

=

www.inma.ucl.ac.be/~vdooren/Krylov.pdf Analyse numérique matricielle appliquée à l’art de l’ingénieur. P. Lascaux & R. Théodor (II), p. 516, 1987. MASSON D. Mariano-Goulart, P. Maréchal, S. Gratton, et al. Comput. Med. Imaging & Graphics 2007; 31 : 502-509 INTRODUCTION MODELISATION RADON RPF ART REGULARISATION TOMOGRAPHIE 3D

(37)

Exemple : régularisation de Tikhonov (cf. pseudo-inverse de Moore-Penrose)

2 C

f

f R min p

f arg

r r

−

= ∈

 



 

 − +

= arg ∈ min p R f α.ρ( f )

f ²

C f

r r r

Remplacer : par

Adéquation aux données Surjectivité du problème inverse

Régularisation injectivité

Régularisation de Tikhonov

( ^R ^R ^αI ) ^f ^R ^p

f α.

f R min p

f arg ² ² ^t ^t

f

= +

 ⇔

 

 

 − +

= r r r

r

( ^R ^R ^αI ) ^R ^p

f r = ^t + ^-1 ^t

(38)

) f ( ).

f / p ( )

p ( )/

f ( ).

f / p ( )

p / f (

r r r

r r r r

r r

Ρ Ρ

= Ρ

Ρ Ρ

= Ρ

Bayes :

[ ^log ⁽ ^p ^/ ^f ⁾ ^log ⁽ ^f ⁾ ]

min arg

f

~

f

r r r

r

r − Ρ − Ρ

=

Adéquation aux données régularisation

Régularisation MAP-EM-OSL

! p

~ p log e

i p i

~p

i

i i

∏

−

Ρ( f ) = _K ¹ e ⁻ ^β. ^∑

^i,^j

^w

^i,^j

^.V ⁽ ^f

ⁱ

^- ^f

^j

⁾ r

Gibbs :

∑

∑ + β ∂ + =

=

P 1

l N

1 s

n s s , l

l i

, P l

1 '

l l,'i

r f

r p . U . r

. 1 n f i 1 n f i

∑ −

∂

= ∂

∂ f ∈V(f ) i,k. i k

i k

) f f r ( w V U

Green PJ. Bayesian reconstructions from emission tomography data using a modified EM algorithm. IEEE Trans Med Imaging 1990;9:84-93

(39)

Régularisation de Fourier FRECT

f _c

( ¹ ^B ) ^. ^fˆ

fˆ B.

fˆ = + −

pˆ B.

TF p'

pˆ B.

fˆ B.

' fˆ '

pˆ = = = ⇒ = _s ^-1

à régulariser

Adéquation à p’ = R.f ’

( ) ( ) ( )

( )

2 2 2

1 s

0 p

* b - f U B - 1

R fˆ

. B 1

Rf pˆ

B. TF f

E   





 







 







 







=

− +

−

=

⁻

r r

D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 07 & Lect Notes Comput Sci. 04

(40)

GC 16 MLEM 6 MLEM 200 GC 6

FRECT 34 (CV)

Comparaison MLEM-GC-FRECT

( ) f TF

s ¹

( ) B. pˆ Rf

²

( 1 B ) . fˆ

²

E =

⁻

− + −

D Mariano-Goulart, P Maréchal, S Gratton, L Giraud, M Fourcade. Comput Med Imaging Graph 07 & Lect Notes Comput Sci. 04

(41)

Tomographie en coïncidence 3D

a

_i

γγγγ γγγγ

18 9

F

188

O

Projections 3D Projections 3D Projections 3D

Projections 3D redondantes redondantes redondantes redondantes et et et et incomplètes incomplètes incomplètes incomplètes

• Recherche de f(x,y,z) connaissant p(s, φ ,z, θ )

• Certaines projections obliques ne sont pas enregistrées si θ ≠ 0

Exemple de la TEP

(42)

Tomographie en coïncidence 3D

a

_i

γγγγ γγγγ

18 9

F

188

O

Projections 3D Projections 3D Projections 3D

Projections 3D redondantes redondantes redondantes redondantes et et et et incomplètes incomplètes incomplètes incomplètes

• Reconstruction 2D de données 2D Reconstruction 2D de données 2D Reconstruction 2D de données 2D Reconstruction 2D de données 2D

• Utilisation d’un collimateur

• statistique de comptage, S/B

(43)

Tomographie en coïncidence 3D

a

_i

γγγγ γγγγ

18 9

F

188

O

Projections 3D Projections 3D Projections 3D

Projections 3D redondantes redondantes redondantes redondantes et et et et incomplètes incomplètes incomplètes incomplètes

• Reconstruction 2D de données 2D Reconstruction 2D de données 2D Reconstruction 2D de données 2D Reconstruction 2D de données 2D

• Utilisation d’un collimateur

• γ détectés N, S/B=N/√N= √N

• Réarrangement 2D de données 3D Réarrangement 2D de données 3D Réarrangement 2D de données 3D Réarrangement 2D de données 3D

• Algorithmes de «rebinning »

• S/B mais approximation

(44)

Tomographie en coïncidence 3D

a

_i

γγγγ γγγγ

18 9

F

188

O

Projections 3D Projections 3D Projections 3D

Projections 3D redondantes redondantes redondantes redondantes et et et et incomplètes incomplètes incomplètes incomplètes

• Reconstruction 2D de données 2D Reconstruction 2D de données 2D Reconstruction 2D de données 2D Reconstruction 2D de données 2D

• Utilisation d’un collimateur

• γ détectés N, S/B=N/√N= √N

• Réarrangement 2D de données 3D Réarrangement 2D de données 3D Réarrangement 2D de données 3D Réarrangement 2D de données 3D

• Algorithmes de «rebinning »

• S/B mais approximation

• Reconstruction 3D de données 3D Reconstruction 3D de données 3D Reconstruction 3D de données 3D Reconstruction 3D de données 3D

• Algorithmes algébriques 3D

• RPF 3D si projections complètes

• S/B mais temps de calcul

(45)

Un théorème de Radon 3D…

ω r ⊥ ω r

( ) ( ) ^ξ ⁼ ^ξ

∈ ⊥ ξ

∀ r r r r

r fˆ

pˆ , ω _ω

( ) ( ^y ^f ^y ^s ) ^ds

, p

y ω

ω ^∈ S, ^∀ ^∈ ^⊥ ^ω ⁼ ∫ ⁺ ^ω

∀ r r r ^r ^r ^r ^r

TF

₂

TF

₃

f

fˆ

( ) ^f ⁽ ^y ^s ⁾ ^e ^ds ^d ^y

pˆ r r r ² ⁱ ^y _r ^. ^r r

r

r − π ξ

ω ω ∫∫ ∫

⊥

ω +

= ξ

( ) ^ξ ⁼ ∫∫∫ ^{( )} ⁻ ^π ^ξ ⁼ ( ) ^ξ

ω

r r

r r r r

r f x e d x fˆ

pˆ ² ⁱ ^x ^.

y r

ξ r

(46)

Condition nécessaire à l’affectation

de toutes les fréquences spatiales de ℝ

³

:

Ω contient au moins un cercle équatorial de S i.e

Ω intersecte tout cercle équatorial de S

ω r ω r ⊥

z

Ω

SS. Orlov. Sov.Phys. Crystallogr.,1976. Vol 20, 3:312-4 et 4:429-433

1- Condition d’Orlov :

…

(47)

… plutôt difficile à appliquer !

2 - Projections non tronquées

ω r

3 – moyennant une interpolation 3D dans le domaine des fréquences 1- Condition d’Orlov

( ^, ) ^ˆ ⁽ ^cos ^sin ^sin ^, ^sin ^sin ^cos ^, ^cos ⁾

ˆ ξ

₁

ξ

₂

= f ξ

₁

θ φ − ξ

₂

θ ξ

₁

θ φ + ξ

₂

θ − ξ

₁

φ

p

x₁ x₃

x₂

θ φ

(48)

Solutions possibles

1– Condition d’Orlov

- Détecteur TEP cylindrique 2 – Projections tronquées

- Estimées par reconstruction 2D puis projection ou rebining 3 –Interpolation 3D en fréquence

- Optimisation de l’interpolation (fonctions de Kaiser-Bessel) - Utilisation d’une rétro-projection filtrée (filtre de Colsher)

Fourier-based reconstruction for fully 3-DPET. Matej S, Kazantsev IG. IEEE Trans Med Imaging 2006;25:845-54.

Evaluation of a new gridding method for fully 3D direct Fourier PET reconstruction based on a two-plane geometry F Ben Bouallègue, J F Crouzet, D Mariano-Goulart. Comput Med Imaging Graph. 2008;32:580-589.

Colsher JG. Fully three-dimensional PET. Phys Med Biol 25(1), 103-115, 1980

En « routine » : Utilisation d’algorithmes algébriques (OSEM 3D)

Reconstruction 2D après rebining des projections 3D

(49)

a

_i

Reconstruction 2D

Calcul des projections 3D

manquantes

Reconstruction 3D

Reprojection après RPF 2D

(50)

Ré-arrangement (rebining) exact

2 , ,

,

³ ³







 

 ^s φ ^z = ^x + ^x δ = ^tg θ

p

B A

TF(s,φ) puis TF(z) si invariance en Tz

( ^, ^k ^, ^, ) ^e ^pˆ ( ¹ ^, ^k ^, ^, ⁰ )

pˆ ω ζ δ =

⁻^ik^arctan(^α⁾

ω + α

²

ζ

δζ ω

= α

Defrise M, Kinahan PE, Townsend DW, Michel C, Sibomana M, Newport DF.

Exact and approximate rebinning algorithms for3-D PET data. IEEE Trans Med Imaging 1997;16:145-58.

(51)

Ré-arrangement approximatif

δζ ω

= α

Ben Bouallègue F, Crouzet JF, Comtat C, Fourcade M, Mohammadi B, Mariano-Goulart D. Exact & approximate Fourier rebinning algorithms for the solution of the data truncation problem in 3-DPET. IEEE Trans Med Imaging 2007;26:1001-9.

DL à l’ordre 1 sur

( ^, ^k ^, ^, ) ^e ^pˆ ( ^, ^k ^, ^, ⁰ )

pˆ ω ζ δ ≈

⁻^ik^α

ω ζ

( ^, ^k ^, ^z ^, ) ^pˆ ( ^, ^k ^, ^z ^- ^k ^, ⁰ )

pˆ ω δ ≈ ω ω δ

( ^ω ^, ^k ^, ^z ^, ⁰ ) ^≈ ^pˆ ( ^ω ^, ^k ^, ^z ⁺ ^k _ω ^δ ^, ^δ )

pˆ

( ) ( ) _



 



 ω − δ ω − δ δ

≈ δ

ω ' , '

k z , k , pˆ

, z , k , pˆ

SYNTHESE DE DONNEES 2D à S/B ↑ :

SYNTHESE DE DONNEES MANQUANTES :

( ^, ^k ^, ^, ) ^e ^pˆ ( ¹ ^, ^k ^, ^, ⁰ )

pˆ ω ζ δ =

⁻^ik ^arctan(^α⁾

ω + α

²

ζ

(52)

Conclusions

Résolutions de grands systèmes linéaires

Problématique fréquente en ingénierie numérique

Pour tout problème complexe : attention au conditionnement

Intérêt d’une base fonctionnelle adaptée

Transformation de Fourier, analyse factorielle…

La recherche en imagerie :

Très active, exemples sur notre propos :

Artefacts, quantification, dosimétrie…

Améliorations fréquentes disponibles en routine.

Nécessité de collaborations pluridisciplinaires

Compétences techniques pointues + ouverture

Pour choisir les directions de recherche, puis valider

(53)

Merci de votre attention…

P. Lascaux et R. Théodor. 2 tomes.

MASSON.

The Mathematics of

Computerized Tomography.

F. Natterer. 2001. SIAM.

Positron Emission Tomography.

Basic Sciences and Clinical Practice.

PE Valk, DL Bailey,

DW Towsend, MN Maisey.

2003. Springer.

Reconstruction tomographique en imagerie médicale. D. Mariano-Goulart Encyclopédie Médico-chirurgicale, 35-105-A-10, 2009.

d-mariano_goulart@chu-montpellier.fr

(54)

Médecine et

sciences de l’ingénieur.

Aspects complémentaires et

Passerelles

(55)

Dans l’industrie :

Nombreuses PME (sous-traitantes) : hard et soft

SIEMENS, GE-MS, PHILLIPS :

Carrières de commerciaux

Principalement aux USA pour la R&D

Dans les Hôpitaux :

Ingénieurs biomédicaux

Physiciens d’hôpitaux

Hospitalo-Universitaires

(56)

Ingénieur Biomédical

Rôles

Elaboration des plans d’équipement

Besoins, chiffrage, contraintes…

Lancement des appel d’offres

suivi des achats (installation, maintenance…)

Veille technologique

Formation spécifique

Ecoles d’ingénieurs généralistes

± formation complémentaire spécialisée

(57)

Rôle

« Qualité et sécurité dans l’utilisation des rayonnements ionisants »

Tests d’acceptation et de conformité Assurance et contrôle de qualité

Optimisation de la dosimétrie au patient en radiologie et en médecine nucléaire

Simulation de balistique en radiothérapie

(58)

Physicien d’hôpital

Formation spécifique (Arrêtés du 3/3/97 & 18/3/09)

Diplôme de Qualification en Physique Radiologique et Médicale (DQPRM) : 1 an → N° agrément

Concours d’admission ( ≈ 100 places) après :

M2, DI, thèse + formation aux RI

validation d’un M2 parmi

« Radiophysique et imageries médicales »,Toulouse.

« IPSM », UJF Grenoble.

« Ingénierie pour la santé », UCL Lyon I.

« Physique médicale », Paris Sud.

« Physique électronique » Nantes.

Programme : Physique des RI, dosimétrie, imagerie

(59)

Rôles :

Soin en Centre Hospitalier Universitaire (ou CRLCC) Gestion médicale de départements hospitaliers

Denis Mariano-Goulart

ECOLE CENTRALE DE MARSEILLE TOMOGRAPHIE MEDICALE