Denis Mariano-Goulart

FORMATION TIC (Phymed, STIC,Télécom)

BASES DE TOMOGRAPHIE MEDICALE

Denis Mariano-Goulart

Faculté de médecine & CHRU de Montpellier

http:\\scinti.etud.univ-montp1.fr

FONCTIONNELLE

Imagerie médicale

ANATOMIQUE METABOLIQUE

ECHO

TDM

IRM SPECT = TEMP gamma CT

PET

IRM

_f

SPECT

IMAGERIE DE TRANSMISSION X

I

₀

X X

-

hf -

X

= E

Z dx ρ

I-dI

ρ , Z E _X

- -

E

X

Z ρ

X

X

E

E

^'

<

photo-électrique

Compton

keV 50

g cm /

ρ) log(µ

2

C

I PE

µ probabilité d’atténuation/cm µ est proportionnelle

à la masse volumique ρ

e

x

I

I

₀ ^.

1

-

.

cm dx

I dI -

µ = ∝ ρ ⇒ =

^−µ

I

₀

=100

X X

I

_i

= I

₀

.e

^-µ.x

= 60

Scanner X = Computed Tomography

= ∑ _{i, j j}

i r .µ

p

mesure

?

d

p

_i

∑ = −

=

⇒

=

=

⁻

^∑

⁻

^∑

0 i j

i

µ d.

0 .d

µ 0

i

I ln I d µ 1

p

e I e

I

I

^{j j}

scanner du

connus es

géométriqu paramètres

i projection la

à j pixel du

on contributi r

_i,j

=

mesure

2Dx1D

I

₀

=100

X X

I = 60

Scanner X = Computed Tomography

90 90

d

n n 1, 2

1,2 1

1,1

1

r µ r µ ... r µ

p = + + +

…

= ∑ _{i, j j}

i r .µ

p

mesure

?

∑ = −

=

⇒

=

=

⁻

^∑

⁻

^∑

0 i j

i

µ d.

0 .d

µ 0

i

I ln I d µ 1

p

e I e

I

I

^{j j}

scanner du

connus es

géométriqu paramètres

i projection la

à j pixel du

on contributi r

_i,j

=

n n 2, 2

2,2 1

2,1

2

r µ r µ ... r µ

p = + + +

p

₁

p

₂

2Dx1D

I

₀

=100

X X

Scanner X = Computed Tomography

d

°

=

= ∑ ^{r µ , i 0 - 360}

p _j

j

j i, i

i projection la

à j pixel du

on contributi r _{i, j} =

2Dx1D

γγγγ p

γγγγ

a

_i

2Dx1D

Single Photon Emission CT

γγγγ γγγγ

9943

Tc

vecteur

marqueur

°

=

= ∑ ^{r a , i 0 - 360}

p _j

j

j i, i

2D

γγγγ γγγγ

γγγγ γγγγ

a

_i

3D

Tomographie par Emission de Positons

p

γγγγ γγγγ

γγγγ γγγγ

18 9

F

188

O _j

j

j i,

i r a

p ⁼ ∑

I

₀

X X

p

p

p

γγγγ γγγγ

γγγγ γγγγ γγγγ γγγγ

µ

_i

a

_i

a

_i

2Dx1D 3D

Tomographie: problème inverse linéaire

j j

j i,

i r a

p ⁼ ∑

CT SPECT PET

2Dx1D

Modélisation analytique

( ) ( ^{ω ω} ) ^φ

φ

d x . ,

p x

p) (R

π

0

∫ =

⊥

∗ r = r r r

s

₁

ω ^r ⊥ x r

s

₃

s

₂

( ) ( )

Rf p

=

+

=

= ∫

^⊥

p

dt ) t f(s

s p s

,

t

ω ω

ω ^r

_ω^r

^r

x1 x2

s t

f

cos sin

- ω

φ

φ ^r

 =



 



 φ

x

2

.

r

_⊥

r

= ω s

Natterer F. The mathematics of computerized tomography. New York: Wiley; 1986.

transformée de Radon

rétroprojection = épandage

x r

ω ^r

⊥

^{Nb : x r . ω r}

^⊥

^{= s où x r se projette suivant ω r}

Modélisation algébrique

f

₁

f

₄

f

₃

f

₂

p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

p

₂

= r

_2,3

f

₃

+ r

_2,4

f

₄

p

₃

= r

_3,1

f

₁

+ r

_3,3

f

₃

p

₄

= r

_4,2

f

₂

+ r

_4,4

f

₄

 







 







 =

 





 









 







 





4 3 2 1

4 3 2 1

4,4 4,3 4,2 4,1

3,4 3,3 3,2 3,1

2,4 2,3 2,2 2,1

1,4 1,3 1,2 1,1

p p p p

f f f f . r

r r r

r r r r

r r r r

r r r r

p f

R. r r

=

r

_i,j

= % du pixel j intersecté par la projection i

b

₁

= r

_1.1

p

₁

+ r

_3,1

p

₃

p

₁

p

₂

p

₄

b

₂

= r

_1.2

p

₁

+ r

_4,2

p

₄

b

₃

= r

_2.3

p

₂

+ r

_3,3

p

₃

b

₄

= r

_2,4

p

₂

+ r

_4,4

p

₄

p

₃

 







 







 =

 





 









 







 





4 3 2 1

4 3 2 1

4,4 3,4 2,4 1,4

4,3 3,3 2,3 1,3

4,2 3,2 2,2 1,2

4,1 3,1 2,1 1,1

b b b b

p p p p . r

r r r

r r r r

r r r r

r r r r

b p

R.

t

r r

=

Projection / Rétroprojection

p f

R. r r

= ^t R. p b

r r

=

f

p

b

p

Théorème de coupe centrale

s t

f

( ) ^{s f(s t ) dt}

p

t

∫ ⁺

= ω ^⊥ ω

ω

r

r

( ) ⁼ ∫ ( ) ⁻

s

i.s. ds .e

s p σ

pˆ _ω ^r _ω ^{r σ}

( ) ^{σ f(s t ) e dt ds}

pˆ

s

i.s.σ t

∫ ∫ ^{⊥ + −}

= ω ω

ω

r

r

( ) ^{σ =} ∫∫ ^{f( x ) e −}

^⊥

^{d x}

pˆ r ^{i.σ x r . r} r

r ω

ω

( ) ( ^{= φ φ} ) ⁼ ( ) ^{ω ⊥}

ω

r

r σ fˆ σ.cos , σ.sin fˆ σ.

pˆ

cos sin

- ω

φ

φ ^r

 =



 



 φ

x r

Johann Radon, ¨ Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten, Ber. Verh. Sach. Akad. 69 (1917), 262–77.

x2

x1

J. Radon

i j

s t

f

ω ^r ⊥

( ) ⁼ ( ) ^{ω ⊥}

ω

r

r σ fˆ σ.

pˆ

ξ

₁

ξ

₂

σ t

ω ^r ⊥

( ) ^s

p _ω ^{r s pˆ} _ω ^r ( ) ^σ

σ T F

T F

R ^||

fˆ

Interprétation (I)

75

75

30

30

Interprétation (II)

?

( ) ^s

p _ω ^r pˆ ω ^r ( ) ^σ

T F

T F R ||

f

( ) ⁼ ( ) ^{ω ⊥}

ω

r

r σ fˆ σ.

pˆ

fˆ

= ω

⊥

ξ ^{r σ. r}

ξ

₁

ξ

₂

σ

ω ^r

Interprétation (II)

( ) ⁼ ( ) ^{ω ⊥}

ω

r

r σ fˆ σ.

pˆ

( ) ^s

p _ω ^r pˆ ω ^r ( ) ^σ

T F

T F R ||

f fˆ

ω ^r

⊥

σ.

Rétroprojection filtrée (I)

( ) ^{x =} ∫∫ ^f ( ) ^{ξ e d ξ}

f ^{i x . ξ}

r ) r

r ^{r r}

( ) ∫ ∫ ( )

=

+∞

=

−∞

=

⊥

^⊥

= ^π

0 σ σ

. σ

i σ dσ d

σ e fˆ x

f

φ

ω φ

ω ^{r r x r} r

( ) ∫ ∫ ( )

=

+∞

=

−∞

=

=

⊥

π

0 σ σ

σ .

i dσ d

σ e pˆ

x f

φ

ω ^r σ ω ^{r x r} φ r

[ ^{pˆ r . abs} ] ( ) ^{r . x r}

TF _s ^{− 1} _ω ω ^⊥

||

( ) ^{x (R p )} ( ) ^x

f r _∗ ^f r

=

ω f ^r

p

J. Radon

ξ

₁

ξ

₂

σ φ

ξ 1

ξ 2

φ

d σ φ ^. σ ^d φ ^d σ

Rétroprojection filtrée (II)

ω ^r

p

ω ^r

pˆ abs

x

[ ] ^f

1

s pˆ . abs p

TF ⁻ _ω ^r = _ω ^{r s}

¹

s

₂

s

₃

Projections sur 180°

x

2

.

r

_⊥

r

= ω s

( ) ^{x (R p )} ( ) ^x

f r _∗ ^f r

=

d)

2

. (k - 1

π ^{k impair}

0 ^{k ≠ 0 pair}

4d

2

1 k = 0

RL(k.d) = f m

Rétroprojection filtrée (III)



 



= 

0

2,5 - 1 2,5 1

- 1 0 : filtre le obtient on

2 , d 1 pour Exemple

[ ]

RL p

p

abs . pˆ TF

p

f

1 s f

∗

=

= ⁻

ω ω

ω ω

r r

r r

pixel des

taille d

2 f 2.d

f

_max

1

^éch.

=

=

=

( ) ( ) ( )

2 2

max max

max

. 2

. 2 cos 1

. . 2 x sin

RL x

x f x

x f f

π π π π − −

=

0 0

0 0

0

0

0

0 0

45

15

45 90

15

60 5 5

5 5

20

5

5

20

20

15 60 15

10 10

10 10

25

25

25

25



40



 



 −

=

3

1 1 3 - 1 Filtre

Rétroprojection filtrée (IV)

45 45 90

« illustration non

contractuelle !… »

Rétroprojection filtrée (V)

p

R ^{∗ R TF} s ¹ [ ^{pˆ . abs} ]

−

∗

Limites des techniques analytiques

Nécessité de données sur 180°

Problème important en TEP 3D.

L’inversion directe ou la RPF ne fonctionnent pas sur des données tronquées.

Prise en compte des artefacts en SPECT et PET :

Dans le théorème de la coupe centrale, f(x) et non pas f(x,s, φ ) Difficulté majeure d’introduire des facteurs du type exp(- µ L

_x,s,φ

)

D’où un problème pour corriger les artefacts d’atténuation (photoélectrique, Compton).

En revanche, une déconvolution de la réponse impulsionnelle est faisable.

Ajustement de la fréquence de coupure délicate

Nécessité d’un filtre passe-bas associé au filtre valeur absolue

Algebraic Reconstruction Technique (I)

∆

₁

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

∆

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

f

₁

f

₂

r_1,2 r_1,1 r_2,1

r_2,2

f

₁

f

₂

∆

₁

∆

₂

 





 





1,2 1,1

1

r

ω ^r r

1

f

n ⁺

r

 





 





n 2

n 1 n

f f f d r

r

Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.

S. Kaczmarz 1895-1940

On construit une suite de coupes en projetant chaque itéré sur l’un puis l’autre hyperplan.

f n

r

Algebraic Reconstruction Technique (II)

∆

₁

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

f

₁

f

₂

r_1,2 r_1,1

f

₁

f

₂

∆

₁

 

 





1,2 1 1,1

r ω ^r r

1

f

n ⁺

r

 

 





2n 1n

n

f

f f d r

r

1 n 1 1

1

1 n

1

ω p p

ω

ω . f

p

d r r

r r

= −

= −

n 2 1,2 n

1 1,1 n

1

r f r f

p = +

Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.

S. Kaczmarz 1895-1940

La distance d d’un point f ⁿ à une droite ∆ ₁ est :

1

1 n

1

ω

ω . f

p

d r

r r

= −

, projection qui serait mesurée si fⁿ était la solution

Algebraic Reconstruction Technique (II)

∆

₁

: p

₁

= r

_1,1

f

₁

+ r

_1,2

f

₂

∆

₂

: p

₂

= r

_2,1

f

₁

+ r

_2,2

f

₂

f

₁

f

₂

r_1,2 r_1,1 r_2,1

r_2,2

1 n 1

1 n

ω d ω

f

f r

r r

r

⁺

= +

2 1 1

1n n 1

1

n

ω

ω p f p

f r

r r

r

⁺

= + −

) p p

( f

f

^{n + 1}

=

ⁿ

+ R

^* ₁

−

₁ⁿ

r r

f

₁

f

₂

∆

₁

∆

₂

 

 





1,2 1 1,1

r ω ^r r

1

f

n ⁺

r

 

 





2n 1n

n

f

f f d r

r

1

1 n

1

ω

ω . f

p

d r

r r

= −

n

p

1

Kaczmarz S. Angenährte Auflösung von Systemen linearer Gleichungen. Bull Int Acad Pol Sci Lett A 1937;35:355-7.

S. Kaczmarz 1895-1940

0 0

0 0

0

0

0

0 0

45

45 - 0

45 90

45 - 0 = 15 + 15 + 15

90 - 0 = 30 + 30 + 30 15 15

15 15

30

15

15

30

30

45 90 45

-15 30 -15 60 60 60 -

10 10

10 10

25

25

25

25 40

) p p

( f

f

^{n +1} = ⁿ + R ^* ₁ − ₁ⁿ r

r

Algebraic Reconstruction Technique (III)

« illustration non

contractuelle !… »

G. Hounsfield 1919-2004

J. Radon 1887-1956

S. Kaczmarz 1895-1940

( ) ^{σ fˆ} ( ) ^{σ. θ}

pˆ

_θ

r

r

=

$

Conclusion

( ) ^{x (R p )} ( ) ^x

f r

_∗ ^f

r

=

) p p

( f

f

ⁿ⁺¹

=

ⁿ

+ R

^* ₁

−

₁ⁿ

r

r

Merci de votre attention…

Bibliographie :

The Mathematics of

Computerized Tomography.

F. Natterer. 2001. SIAM.

Reconstruction tomographique en imagerie médicale. D. Mariano-Goulart Encyclopédie Médico-chirurgicale, 35-105-A-10, 2009.

denis.mariano-goulart@univ-montp1.fr